积的乘方
积的乘方人教版数学八年级上学期(完整版)
板书设计
积的乘方
积的乘方的法则
语言叙述 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
符号叙述 (ab)n anbn (n是正整数）
.
作业布置【知识技能类作业】必做题：
1.计算:
(1)(ab)8； (2)(2m)3；
(3)(-xy)5；
(4)(5ab2)3； (5)(2×102)2； (6)(-3×103)3.
(4×3)2与42×32相等；(2×5)3与23×53相等.
新知讲解
看看运算过程中用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
(1) (ab)2 =(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)2= a2( )b( ) (2) (ab)3 =_(_a_b_)_·__(_a_b_)_·__(_a_b_)__=(_a_·__a_·__a_)_·__(_b__·__b__·__b_)_3= a3( )b( )
(am)n=___a_m_n_ (m,n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
新知讲解
思考：
计算：(1) (4×3)2与42×32；(2) (2×5)3与23×53. 填空： ∵ (4×3)2 =1_2_2___=_1_4_4__ 42×3216=×__9___144=_____， ∴ (4×3)2=___42×32 ∵ (2×5)3 =1_0_3__1_0=0_0____ 23×538×=_1_2_5____1_0=0_0____， ∴ (2×5)3=___23×53 你发现了什么？
解:(1)原式=a8b8；
(2)原式=23•m3=8m3；
(3)原式=(-x)5•y5=-x5y5；
(4)原式=53•a3•(b2)3=125a3b6；
积的乘方概念公式(二)
积的乘方概念公式(二)
积的乘方概念公式
•乘方的基本定义
–乘方是指一个数自乘多次的操作，用上标表示。
–例如：a n表示 a 的 n 次方。
•乘法公式：幂的乘法法则
–(a n)(a m)=a n+m
–说明：相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
–示例：23⋅24=23+4=27=128
•乘法公式：乘方的乘方法则
–(a n)m=a n⋅m
–说明：幂的乘方，指数相乘。
–示例：(32)3=32⋅3=36=729
•乘法公式：乘方的倒数法则
–a−n=1
a n
–说明：一个数的负指数等于该数的倒数。
– 示例：5−2=1
52=125
• 减法公式：零的乘方等于1
– 0n =1 (n ≠ 0)
– 说明：任何非零数的零次方均等于1。
– 示例：04=1
• 除法公式：幂的除法法则
– a n
a m =a n−m (a ≠ 0)
– 说明：相同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
– 示例：
5653=56−3=53=125 • 其他公式
– 1n =1 (n ≠ 0)：任何非零数的任意次方均等于1。
– (−1)n ={1,当n 为偶数−1,当n 为奇数
：-1 的任意次方的结果根据指数的奇偶性而定。
– a 0=1 (a ≠ 0)：任何非零数不管底数如何，零次方均等
于1。
以上是关于 “积的乘方概念公式” 的一些相关公式和解释说明。
这些公式可以在数学和科学等领域中广泛应用，在计算和推导过程中起到重要作用。
积的乘方法则
积的乘方法则积的乘法是数学中非常基础的一个概念，它是指两个或多个数的乘积。
在日常生活中，我们经常会用到乘法，比如计算购物时的总价、计算面积和体积等。
而在数学中，乘法更是一个非常重要的运算方法，它在代数、几何、微积分等各个领域都有着广泛的应用。
本文将从基本概念、乘法的性质和应用举例等方面，详细介绍积的乘方法。
首先，我们来看一下积的基本概念。
在数学中，积是指两个或多个数相乘的结果。
比如，2和3的积就是6，记作2×3=6。
在乘法中，我们把参与乘法运算的数称为乘数，乘积则是乘法的结果。
乘法运算符号通常是×，有时也用·或者表示。
在乘法中，乘数的顺序是可以交换的，即a×b=b×a。
这就是乘法的交换律，对于任意的实数a和b都成立。
此外，乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)，对于任意的实数a、b和c都成立。
这些基本性质为我们后续学习和应用乘法提供了基础。
其次，我们来看一下乘法的性质。
乘法有分配律、零乘法等重要性质。
分配律是指乘法对加法的分配，即a×(b+c)=a×b+a×c，(a+b)×c=a×c+b×c。
这个性质在代数中有着广泛的应用，可以帮助我们简化复杂的运算。
另外，零乘法是指任何数乘以0的结果都是0，即a×0=0。
这个性质在解方程、化简式子等方面都有着重要的作用。
了解乘法的性质不仅可以帮助我们更好地理解乘法运算，还可以为我们解决实际问题提供便利。
最后，我们来看一些乘法的应用举例。
比如，计算一个矩形的面积，就需要用到乘法。
假设矩形的长为a，宽为b，则它的面积S 为长乘以宽，即S=a×b。
又比如，计算一个立方体的体积，也需要用到乘法。
假设立方体的边长分别为a、b、c，则它的体积V为长乘以宽乘以高，即V=a×b×c。
积的乘方
a
3
)= )∙( )∙( )∙( )∙( ∙
x
. )= )∙( )=
3x
)∙( 4.(������������)������ =( )∙( 5.(������������)������ =( )∙( =
.
=������( ) ������(
· （禾 只） ������ (������ ∙ ������) =?
乘方
1.探索并理解积的乘方法则。 2.运用积的乘方法则进行计算。 学习重点：积的乘方法则及其应用。 学习难点：积的乘方法则的逆用。
自主导航
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1．填空。（要说说你的做法。结果用幂表示） (1)������������ ∙ ������������ = (2)(������������ )������ = . 2.填表
各组任务安排： A1,B1组完成第1题;A2,B4组完成第2题； A3,B3组完成巧算的？） (22)������. ������������������ × ������������ = , ������������������������ ������������������������ (23)(−������. ������������) × (−������) = ������ ������������������ ������ ������������������ (24)( ) × ( ) = , ������ ������ (25)若������������ = ������, ������������ = ������,则������������������ =
,
)
合作交流
积的乘方法则和幂的乘方法则
积的乘方法则和幂的乘方法则《积的乘方法则和幂的乘方法则积的乘方法则和幂的乘方法则》嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来唠唠积的乘方法则和幂的乘方法则这两个数学里的重要宝贝！
先来说说积的乘方法则哈。
想象一下，有一堆数凑在一起相乘，然后要给它们整个次方，这时候该咋办呢？其实很简单，就把每个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
比如说，（ab）的 n 次方，那就等于 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方。
是不是有点像把大部队分成小队伍，各自行动，再汇总成果呀！
再瞅瞅幂的乘方法则。
要是一个幂自己又要乘方，那会咋样呢？嘿，这时候只要把指数相乘就行啦！比如说，（a 的 m 次方）的 n 次方，结果就是 a 的（m×n）次方。
这就好比给一个已经很厉害的力量再加上好几层功力，变得更强大！
这两个法则在数学里可重要啦！做题的时候，要是能熟练运用它们，那简直就像有了超级武器，难题都能被咱们轻松打败。
比如说算那种长长的式子，要是不知道这两个法则，那可就头大啦，像在迷宫里乱转。
但只要掌握了，就能一下子找到出口，轻松得出答案。
而且哦，这两个法则在生活中其实也有用呢！虽然可能不是那种直接能看出来的用处，但它们能锻炼咱们的脑子，让咱们变得更聪明，思考问题更有条理。
就像搭积木，知道了规则，就能搭出漂亮的城堡。
小伙伴们，别觉得数学法则枯燥无聊，它们就像隐藏在数字世界里的小魔法，只要咱们用心去发现，去掌握，就能在数学的大乐园里
玩得超级开心！加油哦，相信咱们都能把积的乘方法则和幂的乘方法则玩转，成为数学小达人！。
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方运算法则
底数不变，指数相乘。
即
a的m次幂的n次幂=a的(m?n)次幂(n、m为正整数)
积的乘方运算法则
把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即
a、b乘积的n次方=a的n次方乘b的n次方(n为正整数)
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方法则：幂的乘方是幂的一种运算积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方最终转化为指数的乘法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。
幂的乘方是类比数的乘方，并借助于同底数幂的乘法性质来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出幂的乘方的性质，进而通过推理加以论证，这一过程蕴含着转化及由特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方的运算法则：幂的乘方，低数不变，指数相加。
积的乘方的运算法则：是指底数是乘积形式的乘方。
七年级下册数学积的乘方
七年级下册数学积的乘方在七年级下册数学教学中，我们将学习一个新的概念——数学积的乘方。
数学积的乘方是数学中的重要概念之一，它不仅具有理论意义，还在实际问题中具有广泛的应用。
数学积的乘方指的是一个数学积连乘多次的运算。
具体来说，若有一个数学积a，我们将其连乘n次，就得到了数学积的乘方aⁿ。
其中，a为底数，n为指数。
那么，数学积的乘法运算我们应该如何进行呢？在进行数学积的乘方运算时，我们可以利用以下两个性质：1.性质一：乘方的运算顺序不影响结果即aⁿ⁺ᵐ = aⁿ * aᵐ。
这个性质告诉我们，在进行数学积的乘方运算时，我们可以先将指数分解为两个数的和，然后再进行运算。
2.性质二：任何数的零次方等于1即a⁰ = 1。
这个性质告诉我们，无论底数是什么，其零次方都等于1。
通过以上两个性质，我们可以更有效地进行数学积的乘方运算。
在解题过程中，我们可以利用性质一将指数进行分解，然后再进行运算，最后再利用性质二将零次方化简为1。
除了数学积的乘方在理论上的重要性外，它在实际问题中也有广泛的应用。
在生活中，我们经常遇到需要多次连乘的情况，比如利息的计算、科学计数法的运算等。
而数学积的乘方可以帮助我们更便捷地解决这些实际问题，提高计算效率。
综上所述，数学积的乘方是七年级下册数学教学中的重要内容。
通过学习数学积的乘方，我们能够了解其定义及相关性质，并能够应用它解决实际问题。
掌握数学积的乘方对我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
让我们一起努力学习，深入探索数学的奥秘吧！。
积的乘方
C．3
2
D．-3
10
3 3 2 x 3 y 12003 x 2 y 2
的结果等于（C）
10 10
A．3x y C． x y 9
3x10 y B．
10 10
D． 9x y
（8）已知2m=3，2n=4，则22m+n的值是 36 ____.
2 4 3 4
3
3
3
3
(xy ) =x · ) =x y (y
(-2x ) =(-2) ·(x ) =16x
3 4
4
3 4
12
计算 （1） (3x)3= 27x3
（2）(-2x2)3= -8x6
（3）(-x2y)4= x8y4
（4）(xy4)2= x2y8
2]3= (x+y)9 （5）[(x+y)(x+y)
1．
-3x
3
9x6y4 y 的值是____________.
2 2
2．
3．
2a
m
b
m+n 3
= 8a
9
m=3，n=2 b 若成立，则________.
15
-1
n+1
p2n p 等于__________.
2 n
4. 若N= a a b
2
3 4
a24 ，那么N=_______.
2 2n2 n
9
m 3
42
，27 9 3
n n
， 求m，， 的值 +n
，
（5）若n是正整数，且 求 xy2n 的值。
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n个a
…· a· a· a
同底数幂的乘法运算法则：
=
an
am · an=am+n
积的乘方运算法则:
(ab)n=anbn
积的乘方=每个因式分别乘方后的积.
反向使用am · an =am+n、(am)n =amn 可使某些计算简捷。
作业
注意 运算顺序 !
≈ 9.05×1011 (千米11)
随堂练习
随堂练习
1、计算： (1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a 。
(4)( xy)
4
(5)( mnpq)
2
2计算：
(1) (2 x y ) (2)(2 x y ) 1 2 3 3 3 (3)(3 10 ) (4)( ab ) 2
阅读 体验
☞
【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r 3 。 地球的半径约为 6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
3
例题解析
解： V 4 r 3
3 4 = ×(6×103)3 3 4 × 3 = 6 ×109 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
♐
(ab)n = an· bn
n个ab
的证明
在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
(ab)n = ab· ab· ……· ab
n个 a
(
幂的意义
)
n个 b
=(a· a·……·a) (b· b·……·b)
=an· bn．
乘法交换律、 ( 结合律 )
(
幂的意义
)
积的乘方法则
积的乘方法则 (ab)n = an· bn（m,n都是正整数）
2 3 2
2 3 2
(5) 2( x y )
3 2
公式的 反向使用
(ab)n = an· bn （m,n都是正整数） 反向使用: an· bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ; = (2×5)3 = 103 (2) 28×58 ;= (2×5)8 = 108 (3) (-5)16 × (-2)15 ;= (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 ;
《数学》(华东师大.八年级 上册)
3
回顾
回顾与思考
幂的意义: n个 a
& 思考 ☞
…· a· a· a = an
同底数幂的乘法运算法则：
am · an = am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则: (am)n= amn (m、n都是正整数)
探索与交流 (1) 根据乘方定义 (幂的意义)，(ab)3表示什么?
例题解析 【例2】计算：
(1)(3x)2 ; 解： (2)(-2b)5 ; (3)(-2xy)4 ; (4)(3a2)n .
阅读 体验
☞
(1) (3x)2 =32x2 = 9x2 ; (2) (-2b)5 = (-2)5b5 = -32b25 ; (3) (-2xy)4 = (-2x)4 y4 = (-2)4 x4 y4 =16x4 y4 ； (4) (3a2)n = 3n (a2)n = 3n a2n 。
积的乘方 乘方的积
• 上式显示:
•
积的乘方= 每个因式分别乘方后的积
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?
.
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= an· bn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
公式的拓展
•
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的 性质? • 怎样用公式表示?
(abc)n=an· bn· cn
怎样证明 ? 试用第一 种方法证明:
因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则; 另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘方的意 义、乘法的交换律与结合律.
方法提示 有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律，把三个
(abc)n=[(ab)· c]n =(ab)n· cn = a n· bn· c n.
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;= [2×4×(-0.125)]4 = 14 = 1 .
3计算：
5 1998 14 1998 (1)( ) ( ) 14 5
a 2 2n 2 2n (2)( ) ( 2 ) 2 a
反向使用:
n n n a· b = (ab)
本节课你的收获是什么？
探索 & 交流
参与活动：
(2) 为了计算(化简)算式ab· ab· ab，可以应用乘法的交换律 和结合律。 又可以把它写成什么形式? (3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到一般的公式 吗?
(ab)3= ab· ab· ab =a· a· a· b· b· b =a3· b3
猜想
(ab)n= anbn