培优专题(五) 一次函数与面积

图4
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解：对于一次函数 y＝－ 4x＋ 8， 令 y＝ 0，得 x＝ 2，∴ A 点坐标为 (2， 0)， 令 x＝ 0，得 y＝ 8，∴ B 点坐标为 (0， 8)， ∵ S△ ABP＝ 12， 1 ∴ · AP· 8＝ 12，即 AP＝ 3，∵ P 在 x 轴的负半轴上， 2 ∴ P(－ 1， 0)， ∵一次函数 y＝ kx＋ b 的图象经过点 P 和点 B， － k＋ b＝ 0， ∴将点 P， B 的坐标代入得 b＝ 8， k＝ 8， 解得 b＝ 8， ∴这个一次函数 y＝ kx＋ b 的表达式为 y＝ 8x＋ 8.
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2．如图2，已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2：y＝－x＋5，直线l1， l2分别交x轴于B，C两点，l1，l2相交于点A. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求△ABC的面积．
图2
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解： (1)令直线 l1， l2 中的 y 为 0，得： 3 x1＝－ ， x2＝ 5， 2 由函数图象可知，点
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3 13 (2)由 (1)题知： |BC|＝ 5＋ ＝ ， 2 2 1 1 13 13 169 又由函数图象可知 S△ ABC＝ × |BC|× |yA|＝ × × ＝ . 2 2 2 3 12
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3．如图3，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx＋3在同一平面直角坐标 系内交于点P，且直线l2与x轴交于点A.求直线l2的解析式及 △OAP的面积．
(1)求这两个函数的表达式； (2)求△PBO的面积．
y＝ mx， x＝－ 2， 解： (1)∵方程组 的解是 y＝ kx＋ b y＝ 2，
∴点 P 的坐标为 (－ 2， 2)， 代入直线 y＝ mx 得，－ 2m＝ 2，解得 m＝－ 1， 所以函数 y＝ mx 的表达式为 y＝－ x， 1 ∵△ PAO 的面积为 6，∴ × OA× 2＝ 6，解得 OA＝ 6， 2
图3
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解：把 x＝ 1 代入 y＝ 2x，得 y＝ 2.∴点 P(1， 2)， ∵点 P 在直线 y＝ kx＋ 3 上，∴ 2＝ k＋ 3， 解得 k＝－ 1， ∴直线 l2 的解析式为 y＝－ x＋ 3； 当 y＝ 0 时，由 0＝－ x＋ 3 得 x＝ 3， ∴点 A(3， 0)， 1 ∴ S△ OAP＝ × 3× 2＝ 3. 2
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第4题答图
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5．[2014· 大兴区二模]已知：如图4，在平面直角坐标系xOy中，一 次函数y＝－4x＋8的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在 x轴的负半轴上，△ABP的面积为12.若一次函数y＝kx＋b的图 象经过点P和点B，求这个一次函数y＝kx＋b的表达式．
培优专题(五)
一次函数与面积
一、由一次函数的图象求三角形的面积 1．如图1，在直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且 与x轴，y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的函数关系式； (2)求△AOB的面积．
图1
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解： (1)设直线 l 的函数关系式为 y＝ kx＋ b(k≠ 0)， 把 (3， 1)， (1， 3)代入得 3k＋ b＝ 1， k＝－ 1， 解方程组得 k＋ b＝ 3， b＝ 4， ∴直线 l 的函数关系式为 y＝－ x＋ 4； (2)当 x＝ 0 时， y＝ 4，∴ B(0， 4)， 当 y＝ 0 时，－ x＋ 4＝ 0，解得 x＝ 4， 1 1 ∴ A(4， 0)，∴ S△ AOB＝ AO· BO＝ × 4×4＝ 8. 2 2
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6．如图5，一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点 A(－1，2)，且△ABO的面积为5，求这两个函数的解析式．
图5
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解：∵点 A(－ 1， 2)，∴△ ABO 的高是 2， ∵△ ABO 的面积为 5，∴ BO＝ 5，即点 B(－ 5， 0)， ∵正比例函数 y＝ kx 过点 A(－ 1， 2)，∴ 2＝－ k，即 k＝－ 2， 即 y＝－ 2x； 设一次函数为 y＝ k′x＋ b， 把点 A(－ 1， 2)，点 B(－ 5， 0)代入， － k′＋ b＝ 2， 得 － 5k′＋ b＝ 0， 1 5 解得： k′＝ ， b＝ . 2 2 1 5 ∴一次函数解析式是 y＝ x＋ . 2 2
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1 7． 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝ x 的图象交于 3 点 A，并且与 y 轴交于点 B(0，－6)，O 为坐标原点，△AOB 的 面积为 9，求该一次函数的解析式．
解：∵一次函数与 y 轴交于点 B(0，－ 6)，∴ OB＝ 6， 1 ∵△ AOB 的面积为 9，∴ × 6· h＝ 9， 2 解得 h＝ 3， 所以，点 A 的横坐标是－ 3 或 3， 1 当点 A 的横坐标是－ 3 时，点 A 的纵坐标是 × (－ 3)＝－ 1， 3
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∴点 A 的坐标为 (－ 6， 0)或 (6， 0)， 把点 A， P 坐标代入 y＝ kx＋ b 得 － 6k＋ b＝ 0， 6k＋ b＝ 0， 或 － 2k＋ b＝ 2， － 2k＋ b＝ 2， 1 1 k＝ ， k＝－ 4， 2 或 解得 3 b＝ ， b＝ 3， 2 1 1 3 所以一次函数的表达式为 y＝ x＋ 3 或 y＝－ x＋ ； 2 4 2 1 1 (2)当 y＝ x＋ 3 时， x＝ 0，则 y＝ 3，∴ S△ PBO＝ × 3×2＝ 3； 2 2 1 3 3 1 3 3 当 y＝ x＋ 时， x＝ 0，则 y＝ ，∴ S△ PBO＝ × × 2＝ . 4 2 2 2 2 2
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1 点 A 的横坐标是 3 时，点 A 的纵坐标是 × 3＝ 1， 3 所以，点 A 的坐标是(－ 3，－ 1)或 (3， 1)， ∵一次函数经过点 A， B， － 3k＋ b＝－ 1， 3k＋ b＝ 1， ∴ 或 b＝－ 6， b＝－ 6， 5 7 k＝－ ， k＝ ， 3 或 3 解得 b＝－6， b＝－6， 5 7 所以该一次函数的解析式为 y＝－ x－ 6 或 y＝ x－ 6. 3 3
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y＝ mx， x＝－2， 8．已知方程组 的解是 且 y ＝ kx ＋ b y ＝ 2 ，
y＝ mx，y＝kx＋ b 的
图象交于点 P， y＝ kx＋ b 的图象与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点， O 为坐标原点，△PAO 的面积为 6.
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二、由三角形的面积求一次函数的解析式 4．[2014· 株洲]直线y＝k1x＋b1(k1＞0)与y＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点 (－2，0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1－b2 等于4 ______．
【解析】 如答图，直线 y＝ k1x＋ b1(k1＞ 0)与 y 轴交于 B 点，则 OB＝ b1， 直线 y＝ k2x＋ b2(k2＜ 0)与 y 轴交于 C 点， 则 OC＝－ b2. ∵△ ABC 的面积为 4， 1 1 ∴ OA· OB＋ OA· OC＝ 4， 2 2 1 1 ∴ × 2· b1＋ × 2· (－ b2)＝ 4， 2 2 解得 b1－ b2＝ 4.
3 B 的坐标为－ ， 0，点 2
C 的坐标为 (5，0)，
∵ l1， l2 相交于点 A， y＝ 2x＋ 3， ∴解方程组 y＝－ x＋ 5， x＝ 2， 3 解得 y＝ 13， 3 ∴点
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2 13 A 的坐标为 ， ； 3 3
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