12-3齐次方程
齐次线性方程组与非齐次线性方程组
齐次线性方程组与非齐次线性方程组线性方程组是数学中经常遇到的一类问题，其中，常常会涉及到齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
本文将介绍齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、特点以及解的求解方法。
一、齐次线性方程组（Homogeneous Linear Equations）齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = 0A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = 0...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = 0其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数。
齐次线性方程组的特点是零解的存在。
零解是指将所有未知数都取零时，方程组成立。
除了零解外，齐次线性方程组可能还存在非零解。
对于齐次线性方程组的求解可以采用矩阵的方法，即对系数矩阵进行行变换，将其化为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵，然后根据矩阵的特性来求解未知数。
具体的求解方法不再赘述。
二、非齐次线性方程组（Non-Homogeneous Linear Equations）非齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和不为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = b_1A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = b_2...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = b_m其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数，b_i为常数向量。
非齐次线性方程组的特点是除了零解外，可能还存在其他解。
当方程组存在解时，称其为有解方程组。
对于非齐次线性方程组的求解，可以将其转化为齐次线性方程组的形式来求解。
具体方法是将方程组转化为增广矩阵，然后对增广矩阵进行行变换，化简为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵。
齐次线性方程组解的性质
,
0
0
x5 0 0 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
(1, 2,1, 0, 0) , 1
(1, 2, 0,1, 0) , 2
(5, 6, 0, 0,1). 3
于是所求通解为
k11 k22 k33 *
(4) 利用C写出导出组的同解方程组得到导出 组的基础解系
(5) 利用特解和基础解系写出通解
四、小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A进行初等变换，将其化为
最简形
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br
,nr
0
,
x5
0
0 1 0
(k
,
1
k
,
2
k
3
R).
由例（2）可归纳出求解非齐次线性 方程组的步骤：
(1) 对增广矩阵 B 进行初等行变换，将其化 为行最简形矩阵C
(2) 写出C对应的原方程组的同解方程组
(3) 确定自由未知量，对自由未知量取零值得 到一个特解
向
量b能
由
向
量组
1
,
2
,
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,, n与向量组1, 2 ,, n , b等价;
矩阵A 1,2 ,,n 与矩阵B 1,2 ,,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。
( )2.y=(y '')3是二阶微分方程。
( )3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（ ）二、填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足yx=0=0, y 'x=0=1的曲线是 。
三、选择题1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2(B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ∂∂+22y a ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程22dxy d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
线性代数第四章齐次线性方程组
有k1 0, k 2 0, , k n r 0， 故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
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(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组 的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代 入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系， 含n - r个解向量。
证明 由矩阵、向量的运算、 线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
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由Gramer法则， (4.6)有唯一解， 得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的 解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;
平移齐次化巧解双斜率问题课件-2024届高三数学一轮复习
2
2
2
2
2
O
F
M
2
y
2 y
得 2 2n 4n 4mn 1 4m 2m 2 0
x
x
4n 4mn
故k MA k MB k M A k M B
0, 所以OMA OMB
2
2 2n
B
x
平移坐标系
2
x 2
解：如图将椭圆C平移到C :
y 2 1, 即x 2 4 y 2 4 x 0
4
设l : mx ny 1, 联立C 与l ，得x 2 4 y 2 4mx ny 0,
2
y
y
即4 y 2 4nxy 1 4m x 2 0,同除x 2 , 得4 4n 1 4m 0
所以
0, 即m n, 故l 的斜率为 1，原直线l的斜率也为 1
n2
x
P
Q
（2023年新课标Ⅱ卷 第21题）
已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 2 5, 0 ，离心率为 5
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 A1，A2 ，过点 4, 0 的直线与C的左支交于M，N两
2
联立lMN 与C 得y 2 16nxy 16m 4 x 2 0,
2
y
y
即 16n 16m 4 0, 所以k A1M k A1N 16m 4 12
x
x
b2
又k A1N k A2 N 2 4, 则k A1M 3k A2 N , 设原直线A1M : y k A1M x 2
齐次化原理
L , 2a 0,
k 2 k2
16
u ( x, t ) X k ( x)Tk (t )
k 1
1 (1) k ka k 3 cos t sin x 3 k 1 k L L L 2a 2 sin t sin x 2a L L 4 L2
2014-9-23
21
分离变量法: k u ( x , t ) C (t) sin x 令 k
(1.1)
(1.2)
(1.3) (1.4)
(I)
首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方 程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。这些非零 特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。
所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它可表示为
u( x, t ) X ( x)T (t )
2014-9-23
• 对任意时刻 t0 ,
uk ( x, t0 ) N k sin( ωk t0 k )sin k x L
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波， 其振幅 Nk sin(ωk t0 k ) 随不同的时间 t 0 而不同。
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k • 对任意一点 x0 , uk ( x0 , t ) N k sin x0sin( ωk t k ) L
k 2 2 k 2 , (k 1,2,3,). L
本征值 (1.11)
这样就找到了一族非零解
X k ( x) Ck sin
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k x, L
(k 1,2,)
(1.12)
7
本征 函数
k 2 2 k 2 , (k 1,2,3,) L
第12讲 齐次化巧解双斜率问题(解析几何)(原卷版)
第12讲 齐次化巧解双斜率问题知识与方法1. 齐次式: 一个多项式中，如果各项的次数都相同, 则称这个多项式为齐次式.例如： 2x y +, 为一次齐次式, " 2223x xy y --, 为二次齐次式, 等等.2. 齐次方程：一个方程中, 如果所有非零项的次数都相同, 则称这个方程为齐次方程.例如: “ 20x y += "是一次齐次方程; “ 22230x xy y --= "是二次齐次方程, 等等.特别地，二次齐次方程的一般形式为: 220Ax Bxy Cy ++= (其中 ,,A B C 不同时为 0 ), 当 0x ≠ 时，两边同时除以 2x , 可得 20y y C B A x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭, 设 y k x =, 则 20Ck B k A +⋅+=, 当 0C ≠ 时，即为关于 k 的二次方程.3. 直接构造齐次式的步骤:对于圆锥曲线中的双斜率问题, 常规方法是联立方程结合韦达定理求解; 也可以通过齐次化处理, 利用齐次式解决更加方便快捷，可简化运算, 降低运算难度.齐次化方法一般适用于两直线斜率之和（或积）为常数的题型，可以解决与斜率之和（或积）有关的定点、 定值或轨迹等问题：使用齐次化方法时，可以有两种处理方法:方法 1: 先平移坐标系, 将原点平移至给定的点，转化为两直线过原点的类型;方法 2: 不进行坐标平移, 直线方程须化为 ()()001m x x n y y -+-= 的形式, 其中 ()00,x y 是题目中的给定的点, 此时圆锥曲线的方程也要跟着变形; 其中斜率的和或者积决定了直线方程中 ,m n 的一个关系式.以椭圆为例, 已知 PAB ∆ 为椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 的内接三角形, 其中 ()00,P x y 为定点, ,A B 为两动点,可以直接构造两根为 ,A P pB k k 的二次方程，步骤如下:(1)将椭圆方程变形:()()222222222222220000221, x y b x a y a b b x x x a y y y a b a b⎡⎤⎡⎤+=⇒+=⇒-++-+=⎣⎦⎣⎦} 化简整理得: ()()()()2222220000220(*)b x x b x x a y y a y y -+-+-+-=;(2)设直线 AB 的方程为: ()()001m x x n y y -+-=;(3)联立, 齐次化:（*）式化为()()()()()()()()22222200000000220b x x b x x m x x n y y a y y a y y m x x n y y ⎡⎤⎡⎤-+--+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦化简整理得: ()()()()()2222220000(12)22(12)0m b x x nb ma x x y y n a y y +-++--++-=(4)上式两边除以 ()20x x -, 得: ()222220000(12)22(12)0y y y y n a nb ma m b x x x x ⎛⎫--+++⋅++= ⎪--⎝⎭ ， 此方程两根即为 ,PA PB k k . 由韦达定理，可得：2222222(12),(12)(12)PA PB PA PB nb ma m b k k k k n a n a+++=-=++. 据此，可以简便地解决与双斜率有关的定点或定值问题. 另一方面，我们得到了一个重要的定点定值模型: 两直线斜率之和（或积）为定值，则第三边过定点. （其中斜率之和不为 0 )典型例题类型 1 过原点的两直线斜率和与积问题【例1】 已知 ,A B 为抛物线 2:2(0)C y px p => 上异于顶点的两动点, 且以 AB 为直径的圆过顶点. 求证：直线AB 过定点.【例2】 已知椭圆的中心为 O , 长轴、短轴分别为 2,2(0),,a b a b P Q >> 分别在椭圆上, 且 OP OQ ⊥, 求证:2211OP OQ + 为定值.【例3】 已知圆 1C 的方程为 22(2)24x y ++=, 点 2C 的坐标为 (2,0). 点 P 为圆 1C 上的任意一点，线段 2PC 的垂直平分线与 1PC 交于点 D .(1) 求点 D 的轨迹 E 的方程;(2)点 Q 是圆 222(0)x y r r +=> 上异于点 (,0)A r - 和 (,0)B r 的任一点, 直线 AQ 与轨迹 E 交于 ,M N 直线 BQ 与轨迹 E 交于点 ,S T . 设 O 为坐标原点, 直线 ,,,OM ON OS OT , 的斜率分别为 N ,,,OM o os oT k k k k , 问:是否存在常数 r , 使得 OM ON os oT k k k k +=+ 恒成立? 若存在, 求 r 的值; 若不存在, 请说明理由.【例 4】在直角坐标系 xOy 中, 曲线 2:4x C y = 与直线 :(0)l y kx a a =+> 交于 ,M N 两点. (1) 当时 0k = 时, 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2) y 轴上是否存在点 P , 使得当 k 变动时, 总有 OPM OPN ∠=∠? 说明理由.类型 2 不过原点的两直线斜率和与积问题【例5】已知椭圆2222:1(0,0)x yC a ba b+=>>, 四点1233(1,1),(0,1),1,2P P P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,43 1,2P ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆C上.(1) 求C的方程;(2) 设直线l不经过点2P且与C相交于,A B两点，若直线2P A与直线2P B的斜率的和为1-, 证明：l过定点.【例 6】如图, 过椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>> 上的定点 ()00,P x y 作倾斜角互补的两直线, 设其分别交椭圆 C 于 ,A B 两点, 求证：直线 AB 的斜率是定值.【例7】 已知椭圆 22:143x y C += 的左顶点为 ,,A P Q 为 C 上的两个动点, 记直线 ,AP AQ 斜率分别为 12,k k ,若122k k =, 试判断直线 PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标, 若不过定点，请说明理由.类型 3 齐次化处理与斜率和与积有关的轨迹问题【例 8】 12,Q Q 为椭圆 222212x y b b+= 上两个动点, 且 12OQ OQ ⊥, 过原点 O 作直线 12Q Q 的垂线 OD , 求 D 的轨迹方程.强化训练1. 设椭圆 22:12x C y += 的右焦点为 F , 过 F 的直线 l 与 C 交于 ,A B 两点, 点 M 的坐标为 (2,0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时, 求直线 AM 的方程;(2) 设 O 为坐标原点, 证明： OMA OMB ∠=∠.2. 如图, 椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 经过点(0,1)A -, 且离心率为 . (1) 求椭圆 E 的方程;(2) 经过点 (1,1), 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 ,P Q (均异于点 A ) , 证明: 直线 AP 与AQ 斜率之和为 2.3. 如图, 已知 ,E F 是椭圆 22143x y += 上的两个动点, 31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆上的定点, 如果直线 AE 与 AF 关于直.线 1x = 对称, 证明：直线 EF 的斜率为定值.4. 设抛物线 22(0)y px p => 上有两个动点 ()()()()111222,0,,0A x y y B x y y ><, 若 OA OB ⊥, 求线段AB 的中点的轨迹方程.5. 在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 12, 点 31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆 C 上.(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若斜率存在, 纵截距为 2- 的直线 l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点, 若直线 ,AP BP 的斜率均存在, 求证：直线 ,,AP OP BP 的斜率依次成等差数列.6. 已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 12, 过椭圆 C 右焦点并垂直于 x 轴的直线 PM 交椭圆 C 于 ,P M （点 P 位于 x 轴上方）两点，且 ( ?¡OPM O ∆ 为坐标原点）的面积为 32. (1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 l 交椭圆 C 于 (,,A B A B 异于点 P ) 两点, 且直线 PA 与 PB 的斜率之积为 94-, 求点 P 到直线 l 距离的最大值.。
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当 f ( u) u 0时, 得
即 x Ce
( u)
du ln C1 x , f ( u) u
,
（ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) x
y 将 u 代入, 得通解 x Ce , x 当 u0 , 使 f ( u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
微分方程的解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
dx dy 2 . 例 2 求解微分方程 2 2 x xy y 2 y xy
y y 2 2 dy 2 y xy x x , 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x
x y x y
y x 1 1 . 三、化下列方程为齐次方程,并求出通解: x y1 1、 y ； x y3 2、( 2 x 5 y 3 )dx ( 2 x 4 y 6 )dy 0 .
练习题答案
一、1、 y 2 x 2 ( 2 ln x C ) ； 2、 x 2 ye C . y2 x2 y3； 二、1、 x2 y2 x y. 2、 y2 1 ln[( x 1) 2 ( y 2) 2 ] C ； 三、1、arctan x 1 2 ( 4 y x 3 )( y 2 x 3 ) 2 C . 2、
x y
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y,
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
练 习 题
一、求下列齐次方程的通解: 2 2 1、( x y )dx xydy 0 ；
x 2、(1 2e )dx 2e (1 )dy 0 . y 二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: 2 2 1、( y 3 x )dy 2 xydx 0, y x 0 1 ； ( x 2 2 xy y 2 )dx ( y 2 2 xy x 2 )dy 0 , 2、
微分方程的解为 ( y x )2 Cy ( y 2 x )3 .
三、小结
齐次方程
dy y f ( ). dx x
y 齐次方程的解法 令 u . x
思考题
方程0
x
2 y(t )
t 2 y 2 ( t ) dt xy( x )
是否为齐次方程?
思考题解答
方程 令u , x
则 dy xdu udx ,
2
2u u u xu , 2 1 u u
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
3 1 ln( u 1) ln( u 2) ln u ln x ln C , 2 2 u1 3 Cx . u ( u 2) 2
一、齐次方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f (u), 代入原式 dx du f ( u) u 可分离变量的方程 即 . dx x
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x .
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
dx cos udu , x