【课件】人教新课标A版高中数学必修五课后课化作业(二)(余弦定理)PPT精品文档27页

人教新课标版数学高二-必修5课件余弦定理

同理可证(2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A.
名师点评
证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：
探究点2 证明三角形中的恒等式
问题：前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？
由余弦定理得
a2＋c2－b2 b2＋c2－a2 a 2ac ＝b 2bc ，去分母得
a2＋c2－
b2＝b2＋c2－a2，化简得 a＝b.
由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12. ∵0<A<π，∴A＝π3. 又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，
a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 得 a＝2b· 2ab ＝ a ， ∴b2＝c2，b＝c，
证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．
例2 在△ABC中，有 (1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
方法一 (1)由正弦定理，得 b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C) ＝2Rsin(B＋C) ＝2Rsin A＝a. 即a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A.

数学必修5 新课标人教A版第一章 1.1 1.1.2 余弦定理

zxx k
【问题探究】 1．余弦定理对任意三角形都适用吗？答案：都适用． 2．余弦定理的式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答案：四个，能．
zxx k
3．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2<b2＋c2，能否说△ABC分别是直角三角形，钝角三角形，锐角三角形？
zxx k
解：∵b2＝a2＋c2－2accosB
＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)cos45°
＝12＋( 6＋ 2)2－4 3( 3＋1)＝8.
∴b＝2 2.
∵cosA＝b2＋2cb2c－a2＝2
22＋ 2×2
6＋ 22－2 2× 6＋ 2
32＝12，
∴A＝60°.
1．1.2 余弦定理
zxx k
【学习目标】 1．掌握余弦定理的两种表示形式． 2．初步掌握余弦定理的应用． 3．培养推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．
zxx k
1．余弦定理三角形中任何一边的_平__方___等于其他两边的_平__方___的和减去这两边与它们的 __夹__角_____的余弦的积的 ___两__倍___．即 a2 ＝ _b_2_＋__c_2－__2_b__cc_o_s_A__ ， b2 ＝ ___a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_sB___ ， c2 ＝ __a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s_C___. 练习1 ：在△ABC 中，已知C＝60°，a＝3，b＝4，则边长 c＝____1_3___.
zxx k
[方法·规律·小结] 1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例． 2．已知两边及一角解三角形的方法：①当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角； ②当已知两边及其一边的对角时，可用正弦定理求解，也可用余弦定理求解，但都要注意对解的情况进行讨论．利用余弦定理求解相对简捷．

高中数学人教A版必修5课件 1.1 正弦定理和余弦定理第2课时《余弦定理》

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
∵2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，
∴(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R( 2a－b)sinB.
∴a2－c2＝( 2a－b)b，即 a2＋b2－c2＝ 2ab.
∵cosC＝a2＋2ba2b－c2，∴cosC＝
2 2.
(1)利用余弦定理求出第三边； (2)利用余弦定理求出一个角； (3)利用三角形内角和定理求出第三个角．若求出第三边后，再选用正弦定理求其他角也可以，但计算量大，故建议此类型题用余弦定理．
变式探究 1 如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin∠BAC
＝232，AB＝3 2，AD＝3，则 BD 的长为________．
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求角 A. 分析：已知两边 a＝2，b＝2 2及其夹角 C＝15°，故可利用余弦定理求出边 c，已知三边求角 A，可用余弦定理的变形解决．
解析：cosC＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°sin30°
解析：(1)由正弦定理得
cosA－2cosC cosB
＝
2sinC－sinA sinB
，
即
(cosA
－
2cosC)sinB
＝
(2sinC
－
sinA)cosB，化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又因为 A＋B＋C＝π，所以 sinC＝2sinA，所以ssiinnCA＝2.
(2)由ssiinnCA＝2，得 c＝2a.由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 4＝
解析：由余弦定理得： cosB＝a2＋2ca2c－b2＝522＋×852×－872＝12，又∵0<B<π，∴B＝60°. 答案：C

人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理同步教学课件(共25张PPT)

因此 A＝45°. 故 C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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[类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．
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[活学活用] 在△ABC 中，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角形．解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2， ∴c＝ 6－ 2.
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(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2， ∴设 a＝x，则 b＝ 3x，c＝2x(x>0)．由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝3x22＋34xx·22－x x2＝ 23，∴ A＝30°.同理 cos B＝12，cos C＝0， ∴B＝60°，C＝90°.
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1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 [典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD， AD ＝ 10 ， AB ＝ 14 ， ∠BDA ＝ 60° ， ∠BCD ＝ 135° ，求 BC 的长．
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高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.1.2 余弦定理》课件

课前探究学习
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：若△ABC为钝角三角形，且A>90°，则a，b，c三边满足什么关系？提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A>90°，
b2＋c2－a2 ∴cos A<0，即 <0，∴b2＋c2<a2. 2bc
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余弦定理及其推论的应用 3．应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：三个角 (1)已知三角形的三边，求其_______．两边夹角 (2)已知_____和_____，求第三边和其他两个角．
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【变式1】在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. 3 3 ∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝ . 5 5
根据余弦定理， 3 c ＝a ＋b －2abcos C＝5 ＋3 －2×5×3× ＝16. 5
(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
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【变式2】在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC边上的中线长．解由余弦定理和条件知： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝＝＝， 2· AC AB· 2×9×8 3
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题型一

数学新人教A版必修5 1.1.2《余弦定理》1课件ppt

形的四种基本类型：已知条件一边和二角 (如a,B,C) 如两边和夹角 (如a,b,C) 如两边和其中一边的对角 (如a,b,A) 如三边(a,b,c) 三边定理选用一般解法
由A+B+C=180°求角由正 °求角A,由正正弦定理弦定理求出b与弦定理求出与c 由余弦定理求出第三边c，由余弦定理求出第三边，再余弦定理由正弦定理求出剩下的角由正弦定理求出角B,再求角由正弦定理求出角再求角C, 再求角可有两解,一解正弦定理最后求出 c边.可有两解一解边可有两解或无解. 或无解先由余弦定理求出其中两个再利用内角和为180°求出余弦定理角,再利用内角和为再利用内角和为 ° 第三个角. 第三个角
利用余弦定理及其推论，利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的问题：（）已知两边及其夹角求其它的边和角；两边及其夹角，问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；：（三边，（2）已知三边，求三个角）已知三边求三个角. 练习：练习：在△ABC中中（1）已知）已知a= ，c=2，B=150o，求b； 7 ，；，c= ，求A. 45o （2）已知）已知a=2，b= ，
二、新课讲解余弦定理：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a = b + c − 2bc cos A
2 2 2
b = a + c − 2ac cos B
2 2 2
c = a + b − 2ab cos C
角时，应先求最小的边所对的角角时，应先求最小的边所对的角. 最小的边所对的角
一般地，在 ≈ 180o-(41o+33o)=106° 一般地，知三边及一角” ° ∴B=180o-(A+C)“知三边及一角”要求剩下的两个

人教A版数学必修五1.1.2 余弦定理课件2

第十九页，编辑于星期日：四点十三分。
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋ B＝. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
观规律，是解三角形的重要工具；
(2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定理是⑮________的特例；
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以⑯________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰ ________，或已知两边及夹角求⑱________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
第十六页，编辑于星期日：四点十三分。
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
第十七页，编辑于星期日：四点十三分。
sinB＝ 1－cos2B≈0.9484.
第二十四页，编辑于星期日：四点十三分。
由正弦定理知，AC＝2rsinB， ∴r＝2sAiCnB≈2.5(km)．由余弦定理知，cos∠OBC＝r2＋2BrBCC2－r2＝0.74， ∴∠OBC≈42°. 故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处，使 OB 约为 2.5 km，且∠OBC 约为 42°.
第二页，编辑于星期日：四点十三分。

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)

思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
讲解范例：例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2 , B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角

【课件】人教新课标A版高中数学必修五 课后课化作业(二)(余弦定理)PPT精品文档27页

人教新课标版数学高二-必修5课件 余弦定理

数学 必修5 新课标人教A版 第一章 1.1 1.1.2 余弦定理

高中数学人教A版必修5课件 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时《余弦定理》

人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 同步教学课件(共25张PPT)