新人教版九年级数学《垂径定理》

经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据由垂题径设定得理,A D是A BB 的7 .中2 ,点C ,C是 D A2 B.4 的,H 中点, CN D1 就M 是拱高 .1 N .5 .
AD
1
AB
1
7.2
2 3.6,
2
2
O D O CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
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圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
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4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是___2cm 或14cm.
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
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练习
如图, △ABC的三个顶点在⊙O上，
OE⊥AB于E，OF ⊥AC于F。
求证：EF∥BC，EF=
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…
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结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
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弦,并且平分弦所对的两条弧.
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讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
C
A M└
B
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （1） （5） （4）
（2） （1） （3） （5） （5）
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1（）2） （3（）5） （5）
变式４：在变式１题图的基础上，将小圆隐去， 得到下图，设ＯC＝ＯD，试证明ＡＣ＝ＢＤ。
O
AC
DB
C A
O
D B
变式３题图
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变式４题图
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学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
B
O.
求证：EC＝DF
A
EC
DF
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试一试
如图,A、B、C在圆上,且AB=AC=5厘米,
OA 2AD 2OD 2,
即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R=3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
(1)
OB650(mm)
(2)
2
O E A
EB600(mm) B 2
B OE OB 2EB 2
E
A O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
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如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半 圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米， 半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问 这辆卡车能否通过通道，请说明理由。
C
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的
直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧
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4
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
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5
下列图形是否具备垂径定理的条件？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
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C
·O
E B
D
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直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
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解决求赵州桥拱半径的问题
⌒ 如图，用
ＡＢ
Байду номын сангаас
表
示
主
桥
拱
，» A
B
设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
BC=8厘米，求圆的半径。
A
B
DC
O
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练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
说明： 解决有关圆的问题，
C
F
A
B OE D
常常需要添加辅助线，
针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规
律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是
一个很好的例证。
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一、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
C
A M└
B
●O
④平分弦的直径垂直于这条弦
D
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
1 2 BC
A
E
F
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
O
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点 1
∴EF为三角形ABC的中位线∴ 2 BC
B
C
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再来！你行吗？
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：Q O EA B
A
AE1AB184
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在Rt △ AOE 中
O E A 9 0 o E A D 9 0 o O D A 9 0 o
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
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A
D
B
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赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石
C
O
A
E
D
是
c
C
A
D
B
O
O
B
A
E
不是 是
C
BA
O EB D
不是
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6
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC=BC AD= 大家好 BD
O
C
B
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•思考：平分弦（不 是直径）的直径有 什么性质？
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垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM 连接OA,OB,则OA=OB.
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
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例１、图示，在圆Ｏ中，弦ＡＢ的长为８厘米， 圆心Ｏ到ＡＢ的距离为３厘米，求圆Ｏ的半径。
A
B
O
AB
CD O
E
AC
DB O
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ED
O
B
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某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱 桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
M
N
H
A
E
DF
B
O
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船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
解：因为 AB=37.4，CD=7.2，
A D 1A B 1 3.4 7 1.7 8 ,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
18.7 D
A
B
OA2=AD2+OD2
7.2
即