拐点问题
七年级下册数学拐点问题(一)
七年级下册数学拐点问题(一)七年级下册数学拐点问题简介本文将针对七年级下册数学中的拐点问题进行探讨和解释。
拐点是函数图像上的特殊点，也是函数曲线转向的地方。
了解拐点的概念和性质对于理解函数的变化趋势和图像形状非常重要。
相关问题1. 什么是拐点？•解释：拐点是函数图像上的特殊点，表示函数曲线在该点处的曲率发生变化。
在拐点上，函数的斜率由增加变为减小或由减小变为增加。
•举例：当函数图像从凹向上凹向下时，存在拐点。
2. 如何判断一个点是否为拐点？•解释：要判断一个点是否为拐点，需要通过二阶导数来确定。
•公式：拐点的判断条件为f’‘(x)=0且存在f’’’(x)。
3. 拐点的性质有哪些？•解释：拐点具有以下性质：–拐点的存在性：函数一定存在拐点，当且仅当函数图像由凹变凸或由凸变凹。
–拐点的个数：函数图像可能存在多个拐点，也可能没有拐点。
–拐点的位置：拐点通常位于函数图像的曲线变化最为剧烈的地方。
–拐点的切线：拐点处的切线方程在该点处为水平。
4. 如何找到拐点？•解释：要找到函数的拐点，需要进行以下步骤：–求函数的二阶导数f’’(x)。
–令f’’(x)=0，解方程求得拐点的横坐标。
–将拐点的横坐标代入原函数，求得拐点的纵坐标。
5. 如何利用拐点解决问题？•解释：利用拐点可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势和图像形状，从而解决相关问题。
•举例：通过分析拐点的位置和性质，可以判断函数的增减性、极值点和凹凸区间等。
6. 拐点问题的应用场景有哪些？•解释：拐点问题在实际生活中有着广泛的应用，例如：–经济学中，用于分析市场需求和供应曲线的变化趋势。
–物理学中，用于研究物体运动的加速度变化和变速过程。
–工程学中，用于设计曲线道路和光学元件的形状。
总结通过本文的介绍，我们了解了七年级下册数学中的拐点问题。
拐点是函数图像上的特殊点，表示曲线的曲率变化。
了解拐点的概念和性质可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势和图像形状。
同时，拐点问题在实际生活中有着广泛的应用。
拐点问题方法总结
拐点问题方法总结1. 引言拐点问题在数学和物理学中起到了重要的作用。
它用于描述函数在特定点处由上升变为下降（或由下降变为上升）的变化趋势。
拐点问题的解决可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将总结一些解决拐点问题的方法和技巧。
2. 寻找函数的拐点寻找函数的拐点可以通过以下步骤进行：步骤 1：求函数的二阶导数首先，我们需要求出函数的二阶导数。
二阶导数表示函数的斜率的变化率，它可以帮助我们确定函数的曲线是否存在拐点。
步骤 2：求函数的导数为零的点接下来，我们需要找到函数的导数为零的点，即函数的驻点。
驻点是函数曲线上的点，对应着函数的极值或拐点。
步骤 3：判断函数的拐点最后，我们可以利用二阶导数的正负性来判断函数的拐点。
当二阶导数在某个点上由正变为负或由负变为正时，该点就是函数的拐点。
3. 示例让我们通过一个简单的例子来说明寻找函数的拐点的方法。
假设我们有一个函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2。
我们可以按照以下步骤来找到函数的拐点：步骤 1：求函数的二阶导数首先，我们需要求出函数 f(x) 的二阶导数。
对 f(x) 进行求导，得到f’’(x) = 6x - 8。
步骤 2：求函数的导数为零的点接下来，我们需要找到函数 f(x) 的导数为零的点，即求解方程f’(x) = 0。
对 f(x) 进行求导，得到f’(x) = 3x^2 - 8x + 5。
解方程f’(x) = 0，我们可以得到 x = 1，x =5/3。
步骤 3：判断函数的拐点最后，我们使用二阶导数的正负性来判断函数的拐点。
将 x = 1 和 x = 5/3 分别代入二阶导数f’‘(x) = 6x - 8，我们可以得到f’‘(1) = -2 和f’’(5/3) = 2/3。
根据二阶导数的正负性，我们可以得出结论：函数 f(x) 在 x = 1 处由下降变为上升，是一个拐点；而在 x = 5/3 处由上升变为下降，也是一个拐点。
拐点问题结论总结
拐点问题结论总结概述拐点问题，也称为驻点、拐点、转折点等，是函数图像上的一个特殊点，其处的导数或二阶导数发生变化。
研究函数的拐点可以帮助我们了解函数图像的形状和性质，从而对函数做出更准确的描述和预测。
本文将对拐点问题进行总结和解释。
拐点定义和性质拐点是函数图像上导数或二阶导数发生变化的点。
具体地说，如果一个函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。
同样地，如果一个函数的二阶导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点也是一个拐点。
拐点的性质如下：1.拐点处的函数可导，但并不一定连续可导。
2.拐点处的导数为零，但不意味着该点是极值点。
3.拐点可以导致函数图像从凹向上凸，或从凸向下凹。
4.拐点可以存在于函数的内部，也可以是函数的极值点。
拐点的判断方法判断一个函数是否存在拐点主要有以下几种方法：1.利用导数的增减性来判断。
如果函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。
2.利用二阶导数的正负性来判断。
如果函数的二阶导数在某个点是正的，而在该点之后是负的，那么该点就是一个拐点。
3.利用函数图像的形状来判断。
如果函数的图像在某个点附近从凹向上凸，或从凸向下凹，那么该点有可能是一个拐点。
拐点问题的应用研究拐点问题可以有助于我们解决以下问题：1.函数的极值点问题。
拐点可以作为函数的极值点的一个候选。
2.函数图像的形状和性质。
了解函数的拐点可以帮助我们确定函数图像的凹凸性和转折点的位置。
3.函数的最优解问题。
拐点是函数曲线在某一方向上由凹转凸或由凸转凹的转折点，有时可以用来确定函数的最优解。
拐点问题的解决方法解决拐点问题的方法主要有以下几种：1.作出函数的导数图像。
通过观察导数的图像，可以判断函数是否存在拐点。
2.求导数的导数。
通过计算函数的二阶导数，可以直接判断函数的拐点。
3.求导数的关键点。
通过求导数为零的点，可以找到可能的拐点，然后使用其他方法来确认。
拐点练习题含详细答案
拐点练习题含详细答案拐点是数学中一个重要的概念，它标志着函数图像从凹向上凸，或者从凸向下凹的转折点。
对于函数而言，拐点处的导数发生变化，导致函数图像的凹凸性发生改变。
在这篇文章中，我们将讨论一些拐点练习题，并提供详细的解答。
题目1：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点。
解答1：首先，我们需要求出函数的导数。
对于给定的函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求导得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后，我们需要找到导数f'(x)的根，因为函数的拐点发生在导数的根处。
我们可以利用因式分解或者配方法求得f'(x) = 0的解为x = 1和x = 3。
接下来，我们可以求得函数f(x)在x = 1和x = 3处的二阶导数。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求二阶导数得f''(x) = 6x - 12。
然后，我们将x = 1和x = 3代入f''(x)得到f''(1) = -6和f''(3) = 6。
最后，我们可以通过观察二阶导数的值来判断拐点的性质。
当二阶导数的值从正数变为负数时，函数图像从凸形状转为下凹形状，此时发生一个拐点。
类似地，当二阶导数的值从负数变为正数时，函数图像从下凹形状转为凸形状，也会发生一个拐点。
根据我们计算得到的二阶导数的值，我们可以确定函数f(x)在x = 1处有一个下凹的拐点，而在x = 3处有一个上凸的拐点。
题目2：给定函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求其拐点。
解答2：首先，我们需要求出函数g(x)的导数。
对于给定的函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求导得到g'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 96x - 64。
然后，我们需要找到导数g'(x)的根。
拐点典型例题
拐点典型例题拐点典型例题(创建与此标题相符的正文并拓展)拐点在数学中被定义为函数曲线上的一个点，其相邻部分的斜率发生突变或改变方向的点。
拐点是函数图像上的一个关键点，它可以提供重要的信息，例如函数的极值点、凸凹性等。
下面将介绍一些拐点的典型例题，以帮助读者更好地理解和应用拐点的概念。
例题1：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，找出其所有的拐点。
解析：为了找出函数的拐点，我们需要找到函数的二阶导数，并解方程f''(x) = 0。
首先计算函数f(x)的一阶导数和二阶导数。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2f''(x) = 6x - 6然后，我们将f''(x) = 0代入方程中，并解得x = 1。
因此，x = 1是函数f(x)的一个拐点。
例题2：考虑函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2，找出其所有的拐点并判断其凹凸性。
解析：同样地，我们需要计算函数g(x)的一阶导数和二阶导数。
g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6xg''(x) = 12x^2 - 24x + 6将g''(x) = 0代入方程中，并解得x = 1/2。
因此，x = 1/2是函数g(x)的一个拐点。
为了判断拐点的凹凸性，我们可以通过观察g''(x)的符号变化。
当x < 1/2时，g''(x) > 0，说明函数g(x)是上凸的；当x > 1/2时，g''(x) < 0，说明函数g(x)是下凸的。
因此，拐点x = 1/2是一个由上凸到下凸的拐点。
这些例题展示了找出函数拐点的过程，并通过判断二阶导数的符号变化来确定拐点的凹凸性。
理解和应用拐点的概念对于解决数学问题、优化函数以及分析曲线的性质都非常重要。
希望这些例题能够帮助读者更好地掌握拐点的概念和应用。
拐点练习册答案
拐点练习册答案问题一：某函数f(x)在点x=a处的导数为0，且在x=a处的二阶导数大于0，根据这些信息，我们可以推断出什么？答案：根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数为0意味着该点是函数的驻点。
而二阶导数大于0则表明函数在该点处是凹的。
结合这两个条件，我们可以推断出x=a是函数f(x)的一个局部最小值点，即拐点。
问题二：如果一个函数在某区间内是单调递增的，那么这个区间内是否存在拐点？答案：一个函数在某区间内单调递增，说明该区间内导数始终大于或等于0。
由于拐点的定义是函数在该点导数为0且二阶导数改变符号，所以在单调递增的区间内不存在拐点。
问题三：给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求该函数的拐点。
答案：首先计算一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1。
接着计算二阶导数：f''(x) = 6x - 6。
将x=1代入二阶导数，得到f''(1) = 0。
由于二阶导数在x=1处的符号没有改变，所以x=1不是拐点。
问题四：函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2，求该函数的拐点。
答案：计算一阶导数：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x。
令g'(x) = 0，解得x = 0, 1。
计算二阶导数：g''(x) = 12x^2 - 24x + 8。
将x=0代入二阶导数，得到g''(0) = 8 > 0，所以x=0是局部最小值点，但不是拐点。
将x=1代入二阶导数，得到g''(1) = 4 > 0，所以x=1是局部最小值点，且是拐点。
问题五：已知函数h(x) = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x，求该函数的拐点。
答案：计算一阶导数：h'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 20x + 5。
拐点问题的公式
拐点问题的公式
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数
y=f(x)的拐点。
我们可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
（1）求f''(x)；
（2）令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不
存在的点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0)）不是拐点。
1、拐点：二阶导数为零,且三阶导不为零；拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
2、驻点：一阶导数为零。
驻点又称为平稳点、稳定点或临界点是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。
对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。
对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。
3、在驻点处的单调性可能改变,在拐点处单调性也可能发生改变,但凹凸性肯
定改变。
七年级下册数学拐点问题笔记
七年级下册数学拐点问题笔记
拐点问题是数学中的一个重要概念，它在图像的变化过程中表示图像一阶导数（斜率）的变化趋势。
1. 定义：对于函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(x)在a
点左、右两侧的斜率符号不同，那么a点就是函数f(x)的拐点。
2. 判断拐点的方法：
a. 求函数f(x)的一阶导数f'(x)；
b. 解拐点的方程f'(x) = 0，得到函数f(x)的可能拐点；
c. 求出拐点的二阶导数f''(x)；
d. 判断拐点的性质：
- f''(x) > 0，说明拐点是函数f(x)的极小值点，即函数图像
从凹向上变为凹向下；
- f''(x) < 0，说明拐点是函数f(x)的极大值点，即函数图像
从凹向下变为凹向上；
- f''(x) = 0，说明拐点处函数图像没有凹凸性的变化。
3. 求解拐点的示例：
a. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点：
- 求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；
- 解拐点的方程3x^2 - 6x + 2 = 0，得到x = 1和x = 2/3；
- 求得二阶导数f''(x) = 6x - 6；
- 因为f''(1) = 0，所以x = 1是拐点，根据f''(x)的符号，可
以判断拐点是极小值点。
4. 案例应用：拐点问题在物理、经济等领域中有广泛应用，能
够帮助我们分析问题的变化趋势。
以上是有关拐点问题的一些基本笔记，希望对你有所帮助。
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小明的思路是过点 作 ∥ ，通过平行线的性质来求 .
（1）按照小明的思路，求 的度数；
（2）问题迁移：如图， ∥ ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、 两点之间运动时，问CAP
与 、 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 不在 、 两点之间运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接写出 与 、 之间的数量关系.
解：（1）如图1，过点 作 ，∴ ， .
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将 ， ， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2， ，求 的度数.
（3）方法运用：如图3， ，点 在 的右侧， ，点 在 的左侧， ， 平分 ， 平分 ， 、 所在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间，求 的度数.
（2）接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB，EF，然后在平行线间画了一点C，连接AC，EC后，用鼠标拖动点C，分别得到了图（2）（3）（4），小华发现图（3）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE与∠CEF之间也可能存在着某种数量关系．然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
（ⅰ）猜想图 中 与 之间的数量关系并加以证明；
（ⅱ）补全图 ，直接写出 与 之间的数量关系：.
5．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点 是 外一点，连接 、 ，求 的度数.
天天同学看过图形后立即想出： ，请你补全他的推理过程.
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．
(2)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题:如图2，已知三角形ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.
2．（1）我们知道“三角形三个内角的和为180°”．现在我们用平行线的性质来证明这个结论是正确的．
已知：∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角，如图1．
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°证明：过点A作直线DE∥BC（请你把证明过程补充完整）
7．问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
（2）请你用（1）中的结论解答下面问题：
如图2，已知四边形ABCD，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
3．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．
8．已知：如图（1），如果AB∥CD∥EF.那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是______________.
4．探究题：已知：如图, , .求证： .
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变形，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是.
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 ，然后在平行线间画了一点 ，连接 后，用鼠标拖动点 ，分别得到了图 ，小颖发现图 正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图 和 图中的与 之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
拐点问题
1．学习完平行线的性质与判定后，我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题.
(1)小明遇到了下面的问题:如尸图1，直线l1//l2，点P在l1、l2内部，试探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系。小明过点P作l1的平行线，可证∠A、∠APB、∠B之间的数量关系.请你写出小明具体的证明过程.
的平分线与 的平分线交于点 ．求证：______________．
（1）请补充要求择_______题．
A．在图1的基础上，分别作 的平分线与 的平分线交于点 ，得到图2，则 的度数为_______．
B．如图3， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．点 在直线 ， 之间，且在直线 右侧， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 与 满足的数量关系为_______．
请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想：图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.
②补全图（4），并直接写出图中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.（3）小华继续探究：如图（5），若直线AB与直线EF不平行，点G，H分别在直线AB、直线EF上，点C在两直线外，连接CG，CH，GH，且GH同时平分∠BGC和∠FHC，请探索∠AGC，∠GCH与∠CHE之间的数量关系？并说明理由.