福建省莆田市2011届高三高中毕业班质量检查试卷数学理(word版)3月份
福建省莆田市2011届高中毕业班教学质量检查
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A 、B 互相独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅；
样本数据12,,,n x x x 的标准差；
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-++- ，其中x 为样本平均数；
锥体体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为高。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的，把答案填写在试卷的指定位置。
1．复数(1)(z i i i =-+为虚数单位）在复平面内所对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．“点*
(,)()n n P n a n N ∈都在直线1y x =+上”是“数列{}n a 为等差数列”的 （ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分不必要条件
3．已知函数()(0,1)x
f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数，则函数
4()log (1)g x x =+的图象大致是
（ ）
4．某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．
的是 （ ）
5．一组数据由小到大依次为2，2，a ，b ，12，20。
已知这组数据的中位数为6，若要使
其标准差最小，则a ，b 的值分别为 （ ） A ．3，9 B ．4，8 C ．5，7 D ．6，6 6．某程序框图如右图所示，若该程序运行后输出n 的值是4，
则自然数0S 的值为
（ ）
A ．3
B ．2]
C ．1
D ．0
7．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另
1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了 （ ） A ．9局 B ．11局 C ．13局 D ．18局
8．若双曲线22
213x y a
-=的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
9．已知函数1,0
()1,0x f x x x
≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）
A ．（1，2）
B ．(,2]-∞-
C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞
10．若1
1
1
20
,1,1a xdx b xdx c x dx ==-=-⎰
⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在试卷的指定位置。
11．已知*
(1)()n
x n N +∈的展开式中，2
x 与3
x 的系数相等，则n =。
12．若2{|()0,}x x x m m Z ∈-<∈，则m 的最小值为 。
13．已知点P 是不等式组1,
230,
y x x y ≤-⎧⎨
+-≤⎩所表示的可行域内的一动点，则点P 到抛物线
24x y =的焦点F 的距离的最小值是 。
14．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在角α的终边上，且||4cos OA α=，则当
[,]83
ππ
α∈时，点A 的纵坐标y 的取值范围是 。
15．已知向量,a b 是平面α内的一组基底，向量2c a b =+，对于平面α内异于,a b 的不共
线向量,m n ，现给出下列命题： ①当,m n 分别与,a b 对应共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 有无数组； ②当,m n 与,a b 均不共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 有无数组； ③当,m n 分别与,a b 对应共线．．
时，满足2c m n =+的向量,m n 不存在； ④当m 与a 共线，但向量n 与向量b 不共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 有无数组。
其中真命题的序号是 。
（填上所有真命题的序号）
三、解答题
16．（本小题满分
13分）函数
()sin (0,0)f x A x A ωω=>>在一个周期内的图
象如图所示，其最高 点为M ，最低点为N ，与x 轴正半轴交点为P 。
在△MNP 中，∠MNP=30°，MP=2。
（1）判断△MNP 的形状，并说明理由； （2）求函数()f x 的解析式.
17．（本小题满分13分）一个盒子装有标号为1，2，3，4，5，6且质地相同的标签各若干
张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X ，记()(1)P X i P X ≤==+P （X=2）
+…+P （X=i ），i=1,2,…，6.若2()42
i ai
P X i +≤=（其中a 为常数）
（1）求a 的值以及随机变量X 的数学期望EX ；
（2）有放回地每次抽取1张标签，求得到两张标签上的标号之和为4的概率。
18．（本小题满分13分）如图（1），在直角梯形ACC 1A 1中，∠CAA 1=90°，AA 1//CC 1，
AA 1=4，AC=3，CC 1=1，点B 在线段AC 上，AB=2BC ，BB 1//AA 1，且BB 1交A 1C 1于点B 1.现将梯形ACC 1A 1沿直线BB 1折成二面角A —BB 1—C ，设其大小为θ。
（1）在上述折叠过程中，若90180θ︒≤≤︒，请你动手实验并直接写出直线A 1B 1与平
面BCC 1B 1所成角的取值范围。
（不必证明）； （2）当90θ=︒时，连接AC 、A 1C 1、AC 1，得到如图（2）所示的几何体ABC —A 1B 1C 1，
（i ）若M 为线段AC 1的中点，求证：BM//平面A 1B 1C 1；
（ii ）记平面A 1B 1C 1与平面BCC 1B 1所成的二面角为(090)αα<≤︒，求cos a 的
值.
19．（本小题满分13分）设1122(,),(,)P x y Q x y 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上两个
不同的动点，圆O 的方程为2
2
2
x y a +=.
（1）如图（1），若向圆O 内随机投一点A ，点A 落在椭圆C 的概率为
1
2
，椭圆C 上的动 点到其焦点的最近距离为23-。
椭圆C 的面积为ab π. （i ）求椭圆C 的标准方程；
（ii ）若点B （0，1）且QB OP =
，求直线OP 的低斜率；
（2）若直线OP 和OQ 的斜率之积为2
2b a
，请探点M （12,x x ）与圆O 的位置关系，并
说明理由。
20．（本小题满分13分） 在福建省第14届运动会（2010·莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a 米的正
方形地面全彩LED 显示屏如图所示，点E 、F 分虽为BC 、CD 边上异于点C 的动点，现在顶点A 处有视角EAF ∠设置为45︒的摄像机，正录制形如ECF ∆的移动区域内表
演的某个文艺节目，设DF x =米，BE y =米。
（Ⅰ）试将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）求证：ECF ∆周长p 为定值； （Ⅲ）求ECF ∆面积S 的最大值。
21．（本小题满分14分）
某研究性学习小组研究函数3()(0,,f x ax bx a a b =+≠为常数）的 性质：
（Ⅰ）甲同学得到如下表所示的部分自变量x 及其对应函数值y 的近似值（精确到0.01）：
x
-1 -0.72 -0.44 -0.16 0.12 0.4 y 的近似值
4.00
1.15
0.02
-0.14
0.11
0.08
请你根据上述表格中的数据回答下列问题：
（i ）函数()f x 在区间（0.4，0.44）内是否存在零点，写出你的判断并加以证明； （ii ）证明：函数()f x 在区间(,0.3)-∞-上单调递减；
（Ⅱ）乙同学发现对于函数()f x 图象上的两点(1,4),(,())(
12)A B t f t t --<<，存在(1,)m t ∈-，使()f m '的值恰为直线AB 的斜率，请你判断乙同学的结论是否正
确？若正确，请给出证明并确定m 的个数，若不正确，请说明理由。
福建省2011届高三普通高中毕业班质量检查试题word版
福建省2011届高三考前质量检测数学试卷理科1第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．） 1. 已知集合M = {1,2}，N = {2a −1｜a ∈M }，则M ∪N 等于A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．∅ 2．复数121i,2i z b z =+=-+，若12z z 的对应点位于直线x +y =0上，则实数b 的值为A ．-3B ．3C ．-13 D ． 133.已知实数等比数列{}n a 中，S n 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于A ．35 B.33 C.31 D.29 4. 函数f (x )=ln x +x -2的零点位于区间 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 5. a 的值由右边程序框图算出，则二项式9)(xax -展开式的常数 项为A. 59567C T ⨯-=B. 39347C T ⨯= C. 39347C T ⨯-= D. 49457C T ⨯=6. 函数)32sin()(π-=x x f 的图象为C ，给出以下结论：①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数)(x f 在区间)125,12(ππ-内是增函数；④由x y 2sin =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的是A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④7. 若圆x 2+y 2=2在点(1，1)处的切线与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于8. 下列四个命题中，错误的是A.已知函数f (x )=()x x x e e dx -+⎰，则f (x )是奇函数B.设回归直线方程为x y5.22ˆ-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少2.5个单位 C.已知ξ服从正态分布 N (0,σ 2)，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.1P ξ>=D.对于命题p ：“∃x ∈R ，210x x ++<”，则⌝ p ：“∀x ∈R ，210x x ++>”9. 如图，动点P 在正方体1AC 的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面D D B B 11的直线， 与正方体表面相交于M 、N ，设x BP =，y MN =，则)(x f y =的图象大致是10．已知函数f (x )满足：①当0≤x ≤2时，f (x )=(x -1)2，②∀ x ∈[0，8]，f (x -12)= f (x +32) . 若方程 f (x )=M log 2x 在[0，8]上有偶数个根，则正数M 的取值范围是 A. M <≤103 B. M <≤103或M =1或2 C. M <≤103或M =1或12 D. M <≤103或M =1或12或log 62第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）11. 非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b 的夹角为______________.12. 一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .13. 若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点 P 落在单位圆221x y +=内的概率为 .14. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为 辆.15.设集合I={1，2，3，……，n } (n ∈N ，n ≥2)，构造 I 的两个非空子集A ，B ，使得B 中最小的数大于A 中最大的数，则这样的构造方法共有__________种.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）16.（本题满分13分）在锐角ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边依次为c b a 、、．设(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n A A =- ，a =，12m n ⋅=- 且.（Ⅰ）若b =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）求b +c 的最大值．17. (本小题满分13分)对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数1)(2--=x x x f η在区间(4，6)内有零点”的事件为A ，求A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.18.(本题满分13分)如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60o, AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，AB = AE =2，CF =3.（Ⅰ）求证EF ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求锐二面角E —BD —F 的大小.19. （本题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=经过点（0），离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x =4上的射影依次为点D 、K 、E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且,MA AF MB BF λμ==，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+ 的值是否为定值？若是，求出λμ+的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数f (x )=ae x，g (x )= ln a -ln(x +1)（其中a 为常数，e 为自然对数底），函数y =f (x )在A (0，a )处的切线与y =g (x )在B (0，ln a )处的切线互相垂直. (Ⅰ) 求f (x ) ，g (x )的解析式；(Ⅱ) 求证：对任意n ∈N *， f (n )+g (n )>2n ；(Ⅲ) 设y =g (x -1)的图象为C 1，h (x )=-x 2+bx 的图象为C 2，若C 1与C 2相交于P 、Q ，过PQ 中点垂直于x 轴的直线分别交C 1、C 2于M 、N ，问是否存在实数b ，使得C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？说明你的理由.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
福建莆田四中2011届高三数学(理)第二次月考试卷及答案
福建莆田四中2011届高三数学（理）第二次月考试卷及答案命题人------- -陈世洪； 审核人------翁建新 2010.10.05一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。
1．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个2.若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(－4,3)为其终边上一点，则 cos α的值为（ ）A 、45B 、－35C 、－45D 、±353．已知R b a ∈,，则“33log log a b >”是 “11()()22a b <”的（ ）。
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4．若函数f (x )=e x cos x ，则此函数图象在点(1, f (1))处的切线的倾斜角为（ ） A ．0B ．锐角C ．2πD ．钝角5．今有一组数据如下：在以下四个模拟函数中，最合适这组数据的函数是( )A 、2log v t= B ．12log v t= C ．212t v -=D ．22v t =- 6.以下判断正确的是（ ）A .命题“对边平行且相等的四边形都是平行四边形”不是全称命题； B.命题“2x R ,x x 40∃∈++≤”的否定是“2x R ,x x 40∀∈++≥ ”； C .“a b =”是“ac bc =”的充要条件；D .“a 5+是无理数”是“a 是无理数”的充要条件。
7.设()(),3R x x x x f ∈+=若20πθ≤≤时，()()01cos >-+m f m f θ恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．()1,∞-B ．(]1,∞-C ．()0,∞-D ．()1,08．某地2008年降雨量()p x 与时间X 的函数图象如图所示，定义“落量差函数”()q x 为时间段[0,]x 内的最大降雨量与最小降雨量的差，则函数()q x 的图象可能是（ ）A B C D9．函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =, 则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为 ( )A ．16B ．18C ．20D ．无数个10．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,,a b ∈R a *b 为唯一确定的实数，且具有 性质：（1）对任意,a ∈R a *0= a ；（2）对任意,,,a b c ∈R (a *b )*c =(ab )*c +(a *c )+(b *c )-2c . 如：3*2 =(3*2)*0= (3⨯2)*0+(3*0)+(2*0)-2⨯0=6+3+2-0=11. 关于函数)2()(x x f =*x21的性质，有如下说法： ①函数)(x f 的最小值为3； ②函数)(x f 为奇函数；③函数)(x f 的单调递增区间为11(,),(,)22-∞-+∞. 其中所有正确说法的个数为 （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
【精选高中试题】福建省莆田市高三下学期高中毕业班3月教学质量检查理科数学试卷 Word版含答案
2017年莆田高中毕业班教学质量检查试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合22{|650},{|log (2)}A x x x B x y x =-+≤==-，则A B =A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,5]D ．[2,5] 2、设复数z 满足(1)3i z i -=+，则z =A ．12i +B ．22i +C ．2i -D ．1i +3、设a 为实数，直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件4、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2xf x = ，则(2)f -= A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 5、我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有 方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数 为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为A ．49B ．74C ．81D ．1216、抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率是 A ．34 B ．12 C ． 13 D ．14 7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．43 C ．2 D ．838、已知函数())(0,)22f x wx w ππϕϕ=+>-<<，1(,0)3A 为图象()f x 的对称中心，,BC 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是A ．24(2,2),33k k k Z -+∈ B ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ C ．24(,),33k k k Z -+∈ D ．24(4,4),33k k k Z ππππ-+∈9、已知双曲线E 2222:1(0,0)x y a b a b-=>> 点为的左焦点，点F 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足3PF FQ =，若OP b =，则E 的离心率为A．2 D10、在直角梯形ABCD 中，090,//,2,A AD BC BC AD ABD ∠==∆的面积为2， 若1,2DE EC BE DC =⊥，则DA DC ⋅的值为 A ．2- B．- C ．2 D．11、设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，若6AB =，则FM 的长为 A．2 D ．312、定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '>+，则使得()1xf x e +<成立的x 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、5(21)()x x y -+的展开式中33x y 的系数为 （用数字填写答案）14、若,x y 满足约束条件102020x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为15、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b c b c a b c -+=+-，则b ca+的取值范围是 16、如图，在菱形ABCD 中，M 为AC 与BD 的交点，3BAD π∠=，3AB =，将CBD ∆沿BD 折起到1C BD ∆的位置，若点都在球O 的球面上，且球O 的表面积为，则直线1C M 与平面ABD 所成角的正 弦值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，1413,,a a a 成等比数列. （1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)(3)n n n b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：512n T <.18、（本小题满分12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[)45,75的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如下表：（1）根据以上统计数据完成下面22⨯ 列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表）（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差2142s =，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差2162s =，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？19、（本小题满分12分）如图，在圆柱1OO 中，矩形11ABB A 是过1OO 的截面1CC是圆柱1OO 的母线，12,3,3AB AA CAB π==∠=.（1）证明：1//AC 平面1COB ；（2）在圆O 所在的平面上，点C 关于直线AB 的对称点为D ， 求二面角1D B C B --的余弦值.20、（本小题满分12分）已知曲线222:1(,1)x E y a b a a+=>≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠.（1）若点,A B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为13-，求a 的值； （2）记1212(,),(,)x xm y n y a a==，若m n ⊥为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？ 若是，求出定值；若不是，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数()()32231,1ln f x x x g x kx x =-+=+-.（1）若过点(,4)P a -恰有两条直线与曲线()y f x =相切，求a 的值；（2）用min{,}p q 表示,p q 中的最小值，设函数()()()min{,}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰 有三个零点，求实数k 的取值范围.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）设点P 为圆C 上的任一点，求点P 到直线l 距离的取值范围.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()42f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若2xa M +≥的解集包含[]0,1，求a 的取值范围.。
福建省莆田市高三数学下学期教学质量检测(3月)试题理
2018年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟 注意事项1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的1已知集合{}{}23230,log 0x A x x x B x =--<=>,则A∩B= A. φ B.(0,1) C.(0,3) D.(1,3) 2.设复数z 满足(1)3z i i ⋅+=- ,则z=A. 12i +B. 12i -C. 2i +D. 2i - 3.已知tan 2α=-,α为第二象限角,则sin cos αα-的值为36+36-63-36--4.执行右面的程序框图,如果输入的a=1,b=2,n=3,则输出的S=A.5B.6C.8D.135.已知F是双曲线E:22214x yb-=的右焦点,F到E的渐近线的距离为1,则E的离心率为A.2B. 5C.32D.526.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸等十个符号叫天干;子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥等十个符号叫地支如:公元1984年农历为甲子年,公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年则公元2047年农历为A.乙丑年B.丙寅年C.丁卯年D.戊辰年7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A.43π+ B.83π+ C.423π+ D.823π+8.2,()1,x x af xx x a≤⎧=⎨+>⎩在R上是增函数的一个充分不必要条件是A. a=0B. a=2C.a≥1D. a≤19.甲乙两人被安排在某月1日至4日值班,要求每天安排一人值班,每人至少值班一天,则甲恰好值班两天的概率为A. 13B.37C.38D.6710.已知函数()sin()(08)f x xωϕω=+<<,且2()()263f fππ+=则下列结论正确的是A. f(x)的图象关于直线24π对称 B. f(x)的图象关于点(512π,0)对称C. f(x)在区间[12π-,0]上是减函数 D.存在m∈[6π-.0],使得f(x+m)为偶函数11.已知F为抛物线E: 22y px=的焦点,过F作斜率为2的直线l,与E交于A、B两点,过A、B向E的准线作垂线,垂足分别为C、D,设CD的中点为M,则直线MF的斜率为A.-2B.-1C.12- D.1212.已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为8π,∠BAC=90°,BC=CC1,E 为BC中点,F为BB1中点,则直线EF被该三棱柱外接球球面截得的线段长为2 B. 22626第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x、y满足约束条件222022x yyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩,则2=x-y的最大值为________。
福建省莆田高中高三教学质量检查理科数学试卷参考答案
福建省莆田高中高三教学质量检查理科数学试卷&参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合22{|650},{|log (2)}A x x x B x y x =-+≤==-，则A B =A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,5]D ．[2,5]2、设复数z 满足(1)3i z i -=+，则z =A ．12i +B ．22i +C ．2i -D ．1i +3、设a 为实数，直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也必要条件4、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x = ，则(2)f -=A ．4B ．14C ．14- D ．4- 5、我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为A ．49B ．74C ．81D ．121 6、抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率是 A ．34 B ．12 C ． 13 D ．147、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．23B ．43C ．2D ．838、已知函数()3sin()(0,)22f x wx w ππϕϕ=+>-<<，1(,0)3A 为图象()f x 的对称中心，,BC 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是A ．24(2,2),33k k k Z -+∈B ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ C ．24(,),33k k k Z -+∈ D ．24(4,4),33k k k Z ππππ-+∈ 9、已知双曲线E 2222:1(0,0)x y a b a b-=>> 点为的左焦点，点F 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足3PF FQ =，若OP b =，则E 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．510、在直角梯形ABCD 中，090,//,2,A AD BC BC AD ABD ∠==∆的面积为2，若1,2DE EC BE DC =⊥，则DA DC ⋅的值为 A ．2- B ．22- C ．2 D ．2211、设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，若6AB =，则FM 的长为A ．2B ．3C ．2D ．312、定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '>+，则使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、5(21)()x x y -+的展开式中33x y 的系数为 （用数字填写答案）14、若,x y 满足约束条件102020x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为15、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b c b c a b c -+=+-，则b c a +的取值范围是16、如图，在菱形ABCD 中，M 为AC 与BD 的交点，3BAD π∠=，3AB =，将CBD ∆沿BD 折起到1C BD ∆的位置，若点都在球O 的球面上，且球O 的表面积为，则直线1C M 与平面ABD 所成角的正弦值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，1413,,a a a 成等比数列.（1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)(3)n n n b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：512n T <.18、（本小题满分12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[)45,75的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如下表：（1）根据以上统计数据完成下面22⨯ 列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表）（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差2142s =，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差2162s =，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？19、（本小题满分12分）如图，在圆柱1OO 中，矩形11ABB A 是过1OO 的截面1CC是圆柱1OO 的母线，12,3,3AB AA CAB π==∠=.（1）证明：1//AC 平面1COB ；（2）在圆O 所在的平面上，点C 关于直线AB 的对称点为D ，求二面角1D B C B --的余弦值.20、（本小题满分12分）已知曲线222:1(,1)x E y a b a a+=>≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠. （1）若点,A B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为13-，求a 的值； （2）记1212(,),(,)x x m y n y a a==，若m n ⊥为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数()()32231,1ln f x x x g x kx x =-+=+-.（1）若过点(,4)P a -恰有两条直线与曲线()y f x =相切，求a 的值；（2）用min{,}p q 表示,p q 中的最小值，设函数()()()min{,}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有三个零点，求实数k 的取值范围.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=. （1）写出圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）设点P 为圆C 上的任一点，求点P 到直线l 距离的取值范围.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()42f x x x =-+-.f x>的解集；（1）求不等式()2（2）设()f x的最小值为M，若2x a M0,1，求a的取值范围.+≥的解集包含[]。
福建省莆田市高三下学期高中毕业班3月教学质量检查文科数学试卷 Word版含答案
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
20、（本小题满分12分）
已知点 ，点 分别为椭圆 的左右顶求 的方程；
（2）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当坐标原点 位于 以为直径的圆外时，
求直线 斜率的取值范围.
21、（本小题满分12分）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4、已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则
A．4 B． C． D．
5、5、我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有
方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数
为 ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为
（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；
（2）根据表中的数据完成下面茎叶图：
（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？
19、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，四边形为 矩形， 为 的中点，
2017年莆田高中毕业班教学质量检查试卷
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，则
A． B． C． D．
2、已知 ，则 的值是
A． B． C． D．
3、设 为实数，直线 ，则“ ”是“ ”的
A．121 B．81 C．74 D．49
6、从区间 中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，
则所得的两个数列使得斜边长不大于1的概率是
A． B． C． D．
数学_2011年福建省高三质量检查数学试卷(理科)(含答案)
2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 复数3+i 2−i等于（ ）A 1−iB 1+iC −1+iD −1−i2. 设全集U =R ，集合A ={x|x(x −2)<0}，B ={x|x <a}，若A 与B 的关系如图所示，则实数a 的取值范围是( )A [0, +∞)B (0, +∞)C [2, +∞)D (2, +∞)3. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5=4，则数列{log 2a n }的前7项和等于（ ） A 7 B 8 C 27 D 284. 已知向量a →与b →的夹角是120∘，且|a →|=1，|b →|=2．若(a →+λb →)⊥a →，则实数λ等于（ ）A 1B −1C −√33 D √335. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是（ ）A 0B 1C 2D −16. 设二次函数f(x)=ax 2−2ax +c 在区间[0, 1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是（ ）A (−∞, 0]B [2, +∞)C (−∞, 0]∪[2, +∞)D [0, 2]7. 设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（ ）A 当m ⊂α，n ⊂β时，若m // n ，则α // βB 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥n ，则α⊥βC 当m ⊂α，n ⊂α，且m 、n 相交时，若m // β，n // β，则α // βD 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥β，则n ⊥α8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =l ，c =4√2，B =45∘，则sinC 等于（ ） A 441 B 45 C 425 D4√41419. 函数f(x)={log3x，x>0cosπx,x<0的图象上关于y轴对称的点共有（）A 0对B 1对C 2对D 3对10. 定义在区间[0, a]上的函数f(x)的图象如图所示，记以A（0, f(0)），B （a, f(a)），C（x, f(x)）为顶点的三角形的面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图象大致是（）A B C D二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11. ∫|4x−2|dx=________．12. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=sin nπ2，n∈N∗，则S2011=________．13. 若以双曲线x24−y2=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是________．14. 已知平面区域D1={(x, y)|{|x|<2|y|<2}，D2={(x, y)|kx−y+2<0}．在区域D1内随机选取一点若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0<p≤18则A的取值范围是________．15. 某棋赛采用单循环赛（每两名选手均比赛一盘）方式进行，并规定：每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．今有8名选手参加这项比赛，已知他们的得分互不相等，且按得分从高到低排名后，第二名选手的得分是最后四名选手的得分之和．以下给出五个判断：①第二名选手的得分必不多于6分；②第二名选手的得分必不少于6分；③第二名选手的得分一定是6分；④第二名选手的得分可能是6.5分；⑤第二名选手的得分可能是5.5分．其中正确判断的序号是________（填写所有正确判断的序号）．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx−√32，x∈R．（1）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P(12, −√32)，求f(a)的值；（2）试讨论函数f(x)的基本性质（直接写出结论）．17. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关． 甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（此公式也可写成x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2）18. 如图，在Rt △ABC 中，AB =BC =4，点£在线段AB 上．过点E 作EF // BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置（点A 与P 重合），使得∠PEB =60∘． (I )求证：EF 丄PB ；(II )试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．19. 已知函数f(x)=x +2a 2x+alnx ．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）设a =1，g(x)=f′(x)，问是否存在实数k ，使得函数g(x)（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．20.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√32，且过抛物线C:x 2=4y 的焦点F ． （1）求椭圆E 的方程；（2）过坐标平面上的点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，它们分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点．(I)若点F′恰好是点F 关于-轴的对称点，且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F ；(II)试探究：若改变点F′的位置，或切线l 3的位置，或抛物线C 的开口大小，(I)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使(I)中的结论成立的命题，并加以证明． 21. （1）选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =(2a2b)的两个特征值分别为λ1=−1和λ2=4．（I ）求实数的值；（II ）求直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程． （2）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，（α为参数），曲线D 的坐标方程为ρsin(θ−π4)=−3√22． (I)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(II)判断曲线c 与曲线D 的交点个数，并说明理由． （3）选修4−5：不等式选讲 已知a ，b 为正实数． (I)求证：a 2b +b 2a≥a +b ；(II)利用(I)的结论求函数y =(1−x)2x+x 21−x (0<x <1)的最小值．2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. A5. C6. D7. C8. B9. D 10. D 11. 4 12. 013. (x −2)2+y 2=45 14. [−1, 0)∪(0, 1] 15. ①②③16. 解：解法一：（1）因为点P(12, −√32)在α终边上， 所以sinα=−√32，cosα=12f(α)=√3cos 2α+sinαcosα−√32=√3×(12)2+(−√32)×12−√32=−√32（2）f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) 函数的基本性质如下：①函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；②函数f(x)单调增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，单调减区间为：[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； ③函数的最大值我1，最小值为−1； ④函数的周期为：π解法二：f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) （1）因为点P(12, −√32)在α终边上， 所以α=2kπ−π3，k ∈Z所以f(α)=sin[2(2kπ−π3)+π3]=sin(4kπ−π3)=sin(−π3)=−√32（2）同解法一；17. 解：(1)根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， ξ的可能取值是0，1，2 P(ξ=0)=C 462C 502=207245，P(ξ=1)=C461C41C502=1841225，P(ξ=2)=C42C502=61225∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×207245+1×1841225+2×61225=425(II)由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知K2=100(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762，由于4.762>3.841，∴ 有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．18. 解：(I)证明：在Rt△ABC中，∵ EF // BC∴ EF⊥AB∴ EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E∴ EF⊥平面PEB又∵ PB⊂平面PEB∴ EF⊥PB(II)在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，由(I)知，EF⊥PD∴ PD⊥平面BCFE在平面PEB中过点B作直线BH // PD则BH⊥平面BCFE如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，设PE=x(0<x<4)，又∵ AB=BC=4∴ BE=4−x，EF=x在Rt△PED中，∠PED=60∘∴ PD=√32x，DE=12x∴ BD=4−x−12x=4−32x∴ C(4, 0, 0)，F(x, 4−x, 0)，P(0, 4−32x, √32x) 从而CF →=(x −4, 4−x, 0)，CP →=(−4, 4−32x, √32x) 设n →=(a, b, c)是平面PCF 的一个法向量，则： {a(x −4)+b(4−x)=0−4a +(4−32x)b +√32x =0即{a −b =0√3b −c =0令b =1，则n →=(1, 1, √3)是平面PCF 的一个法向量， 又∵ 平面BCF 的一个法向量为v →=(0, 0, 1) 设二面角P −FC −B 的平面角为θ，则 Cosθ=|n →|⋅|v →|˙=√155∴ 当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值为定值√15519. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)， ∵ f(x)=x +2a 2x+alnx ，∴ f′(x)=1−2a 2x 2+a x=(x+2a)(x−a)x 2，当a =0时，f′(x)=1>0，所以f(x)的单调递增区间是(0, +∞)； 当a >0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >a ，所以f(x)的单调递增区间是(a, +∞)；当a <0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >−2a ，所以f(x)的单调递增区间是(−2a, +∞)．（2）当a =1时，g(x)=1−2x 2+1x ，假设存在实数k ，使得g(x)的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ， 即对任意x 2>x 1>0，都有g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1≥k ，亦即g(x 2)−kx 2≥g(x 1)−kx 1，可设函数ℎ(x)=g(x)−kx =1−2x 2+1x−kx(x >0)， 故问题等价于ℎ′(x)=4x 3−1x 2−k ≥0，即k ≤4x 3−1x 2对x >0恒成立， 令t =1x ，则F(t)=4t 3−t 2(t >0)，所以F′(t)=12t 2−2t ， 令F′(t)=0，解得t =0（舍去）或t =16， 当t 变化时，F(t)与F′(t)的变化情况如下表：故知F(t)在(0, 16)内单调递减，在(16, +∞)内单调递增， 所以当t =16时，F(t)取得最小值，且最小值为−1108，∴ 当x >0时，F(1x )=4x 3−1x 2≥−1108，当且仅当x =6时取等号， 故k 的取值范围是(−∞, −1108]．20. 解：（1）由已知得F(0, 1)，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则，b =1 椭圆的离心率为√32，可得，ca=√32，又∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2，c =√3∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1(2)(I)依题意，点F ′的坐标为(0, −1)，过点F ′且与拋物线c 相切的直线斜率存在，设其方程为y =kx −1．代入抛物线方程，消y ，得x2−4kx +4=0，令△=0，得k =±1 则切线l 1和l 2方程分别为y =x −1和y =−x −1，又∵ 且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点．∴ l 3的方程为y =0．由{y =x −1y =0，得点A 坐标为(1, 0)由{y =−x −1y =0，得点B 坐标为(−1, 0)设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +4F =0，则{1+D +F =01−D +F =01−E +F =0，解得{D =0E =0F =−1∴ 设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2=1：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．(II)使(I)中的结论成立的命题为：设F ′为抛物线外一点，若过点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点，则△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ． 证明：不妨设拋物线方程为x 2=2py ，l i 分别与抛物线交于点P i (x i , y i )(i =1, 2, 3) 依题意，x 1，x 2，x 3中至少有两个不为0，不妨设x 1≠0，x 2≠0． ∵ y ′=xp 故切线l i 的方程为y −y i =x i p(x −x i )，i =1，2，3由{y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 2=x 2p(x −x 2)，得F ′(x 1+x 22, x 1x 22p)由 {y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 3=x 2p(x −x 3)得A(x 1+x 32, x 1x 32p){y −y 2=x1p (x −x 2)y −y 3=x 2p(x −x 3)，得B( x 1+x 32, x 1x 32p ) ∴ AF ′的垂直平分线方程为y −x 1x 2+x 1x 34p =−p x 1(x −2x 1+x 2+x 34)， BF ′ 的垂直平分线方程为 y −x 1x 2+x 2x 34p=−px 2(x −x 1+2x 2+x 34)它们的交点为M(x 1+x 2+x 34−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3+p 24p)又∵ F(0, p 2)，AF 的中点为N(x 1+x 34, x 1x 3+p 24p )从而 FA →=( x 1+x 32, x 1x 3−p 22p)，NM →=( x24−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 34p)FA →⋅NM →=x 1+x 32(x 24−x 1x 2x 34p 2)+x 1x 3−p 22p⋅x 1x 2+x 2x 34p=0∴ FA →⊥NM →，∴ AF ′，BF ′AF 的垂直平分线教育一点M 圆上，即△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．21. A ：解：(I)矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−2−a −2λ−b |，即f(λ)=λ2−(b +2)λ+2b −2a ， 由于λ1=−1和λ2=4是此函数的零点， ∴ {3=b +2−4=2b −2a ⇒{a =3b =1（II ）由上知，M =[2321]，直线x −2y −3=0上任一点(x, y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像(x′, y′) 由[x′y′]=[2321][xy]得到：{x =−x′+3y′4y =x′−y′2代入x −2y −3=0化简得到5x′−7y′+12=0．直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程5x −7y +12=0． B ：解：(I)∵ 已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，∴ 消去参数α得：x 2=−y2，x ∈[−1, 1]．(II)由方程为ρsin(θ−π4)=−3√22．得到：曲线D 的方程为：x −y −3=0．由上述方程消去y 得到：2x 2+x −3=0，此方程有两个不等的实根，∴ 曲线c 与曲线D 的交点个数是2． C ：解：(I)(a 2b +b 2a)(b +a)=a 2+a 3b+b 2+b 3a≥a 2+b 2+2ab =(a +b)2；∴ a 2b +b 2a≥a +b ；(II)解：依题意可知y=(1−x)2x +x21−x≥1∴ y=(1−x)2x +x21−x(0<x<1)最小值为1．。
福建省莆田市2011届高中毕业班教学质量检查
福建省莆田市2011届高中毕业班教学质量检查化学试题（满分：100分考试时间：90分钟）注意事项：本试卷分第I卷和第II卷两部分。
相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Zn 65第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题（本题包括15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题意）1．以节能减排为基础的“低碳经济”是保持社会可持续发展的战略举措，下列行为符合“低碳经济”的是（）①推广利用微生物发酵技术，将植物桔杆、动物粪便等制成沼气以替代液化石油气；②上海世博会某些国家的展馆使用可降解的建筑材料；③减少CO2的排放，禁止使用化石燃料；④大力发展潮汐能、风能、核能等。
A．①②④B．②③④C．①③D．③④2．下列化学用语或模型表示正确的是（）A．Cl-的结构示意图：B．CH4分子的球棍模型：C．CO2分子的结构式：O=C=O D．中子数为6的碳原子：146C3．N A表示阿伏加德常数，下列说法正确的是（）A．室温下，16g O2和O3的混合气体中含有N A个氧原子B．2.24L HCl气体中含有0.1N A个HCl分子C．将0.1mol FeCl3溶于1L水中，所得溶液中含有0.1N A个Fe3+D．25℃时，1LpH=13的Ba（OH）2溶液中含有0.2N A个OH-4．下列关于SiO2和CO2的叙述不正确．．．的是（）A．都是共价化合物B．都是酸性氧化物，都能与强碱溶液反应C．都能溶于水且与水反应生成相应的酸D．SiO2可用于制光导纤维，干冰可用于人工降雨5．下列关于有机物的说法正确的是（）A．乙烯、聚乙烯都能使酸性高锰酸钾溶液褪色B．石油经过分馏得到的汽油、煤油等馏分都是纯净物C．苯、乙酸和油脂都可以发生取代反应D．在一定条件下，葡萄糖、淀粉、蛋白质都可发生水解反应6．右表是元素周期表的一部分，W、X、Y、Z均为短周期主族元素，W、X的质子数之和等于Z的质子数，下列说法正确的是（）A．原子半径：Z<XB．氢化物的稳定性：X<WC ．最高价氧化物对应水化物的酸性：Z<YD ．Y 的最高化合价和最低化合价的代数和为07．常温下，pH=11的氨水和pH=1的盐酸等体积混合后（不考虑溶液体积的变化），恰好完全反应。
福建省莆田市2011届高三数学适应性练习 理.doc
18.（本小题满分13分）
已知，在水平平面 上有一长方体 绕 旋转 得到如图所示的几何体．
(Ⅰ)证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求 的长度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面 与平面 所成的角为 ，长方体 的最高点离平面 的距离为 ，请直接写出 的一个表达式，并注明定义域．
A. B. C. D.
8．已知双曲线 与直线 交于A、B两点，满足条件 的点C也在双曲线上，则点C的个数为（ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个或 个或 个
9．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
X
1
2
…
n
…
随机变量X的分布列如下表如示，若数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q( , )．现随机变量X∽Q( ,2)．
(Ⅰ)求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．
的一个交点为M，抛物线 在点M处的切线过椭圆 的右焦点F．
(Ⅰ)若M ，求 和 的标准方程；
1． 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知变量 满足条件 则 的最小值是（ ）
2011年福建高考数学理科试卷（带详解）
2011福建理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则，则（ ） A ．i S Î B ．2i S Î C ． 3i S ÎD ．2iS Î 【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】22i 1S =-Î．故选B ．2．若a ÎR ，则2a =是()()120a a --=的 （ ） A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充要条件．充要条件 C ．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．【测量目标】充分、必要条件．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件，但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ．3．若tan 3α=，则2sin 2cos aa的值等于的值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．6 【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【考查方式】给出式子和正切函数值，利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===aa aa a a．故选D ．4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE △内部的概率等于内部的概率等于 （ ） A ．14 B ．13 C ．12D ．23第4题图题图【测量目标】几何概型．【测量目标】几何概型．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】因为12ABE ABCD S S =△，则点Q 取自ABE △内部的概率12ABE ABCD S P S ==△．故选C ． 5．()1e2xx dx +ò等于等于（ ） A ．1 B ．e 1- C ．eD ．e 1+ 【测量目标】定积分．【测量目标】定积分．【考查方式】给出定积分，求解．【考查方式】给出定积分，求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()()11200e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=ò．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于的系数等于 （ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【测量目标】二项式定理．【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】15C 2rrr r Tx +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ． 7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线Γ的离心率等于的离心率等于 （ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32【测量目标】圆锥曲线的定义．【测量目标】圆锥曲线的定义． 【考查方式】通过给出圆锥曲线上的点与两个交点之间的线段长度比例关系，求圆锥曲线的离心率．离心率．【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λì+==+=ïí==ïî所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λì-==-=ïí==ïî所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +ìïíïî………上的一个动点，则OA OM的取值范围是的取值范围是（ ） A ．[]1,0- B ．[]0,1 C ．[]0,2 D ．[]1,2- 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设()()1,1,z OA OM x y x y ==-=-+ ．作出可行域，如图，直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM 的取值范围是[]0,2．故选C ．第8题图题图9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ÎR ，c ÎZ )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 （ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2 【测量目标】函数的求值．【测量目标】函数的求值．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ÎZ ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有D ，123+=不是偶数．不是偶数．10．已知函数()e xf x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：给出以下判断：①ABC △一定是钝角三角形②ABC △可能是直角三角形可能是直角三角形 ③ABC △可能是等腰三角形可能是等腰三角形 ④ABC △不可能是等腰三角形不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是其中，正确的判断是（ ） A ．①．①,,③ B ．①．①,,④ C ．②．②,,③ D ．②．②,,④【测量目标】基本不等式、指数函数的性质、函数的单调性、等差数列的性质、函数图象的应用．应用．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】设a b <．首先证明()()22f a f ba b f ++æö>ç÷èø．()()22f a f b a b f ++æö-ç÷èø2eee22a baba ba b +++++=--2e e e2a b ab++=-222e e e e e 0a ba ba bab+++-=-= …，（步骤1）当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是，所以等号不成立，于是 ()()022f a f b a b f ++æö->ç÷èø， ()()22f a f b a b f ++æö>ç÷èø． ① （步骤2） 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C C x x y y，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ② （步骤3） 如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ^交BN 于E ，作B F C P ^交CP 于F ．因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2A CB x x y f +æö=ç÷èø， 由①式，D B y y >，（步骤4）D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 内部，（步骤5）因而90DBA DEA °Ð>Ð=，又CB A D B A Ð>Ð，所以ABC △一定是钝角三角形．结论①正确．（步骤6）若ABC △是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ^，因而AC x 轴，这是不可能的，所以ABC △不是等腰三角形．结论④正确；不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选B ．（步骤7）第10题图题图二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．第11题图题图【测量目标】程序语句．【测量目标】程序语句．【考查方式】给出程序语句，计算求解．【考查方式】给出程序语句，计算求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ^底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______． 【测量目标】三棱锥的体积．【测量目标】三棱锥的体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2113233334ABCV SPA ==´´´=△． 13．盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______． 【测量目标】随机事件与概率．【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】35【试题解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ´===． 14．如图，ABC △中，2AB AC ==，23BC =，点D 在BC 边上，45ADC °Ð=，则AD 的长度等于______．第14题图（1）【测量目标】余弦定理、正弦定理．【测量目标】余弦定理、正弦定理．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度． 【难易程度】中等【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】解法一：由余弦定理【试题解析】解法一：由余弦定理22241243c o s 222223AC BC AB C AC BC +-+-===´´ ,（步骤1） 所以30C °=．（步骤2） 再由正弦定理再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =Ð，即2sin 30sin 45AD °°=，所以2AD =．（步骤3） 解法二：作AE BC ^于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的中点，因为23BC =，则3EC =．（步骤1）于是221AE AC EC =-=，（步骤2）因为ADE △为有一角为45°的直角三角形．且1AE =，所以2AD =．（步骤3）第14题图（2） 15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V ®R 满足：对任意向量()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，以及任意λÎR ，均有，均有()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f x y x y V®=-=ÎR m m ；② ()()222:,,,f V f x y x y V ®=+=ÎR m m ； ③ ()()33:,1,,f V f x y x y V ®=++=ÎR m m ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）． 【测量目标】向量的坐标运算、映射．【测量目标】向量的坐标运算、映射．【考查方式】给出三个映射，利用向量的坐标运算求出与f 具有相同性质的映射．具有相同性质的映射． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】①，③【参考答案】①，③【试题解析】设()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，则，则()()()()11221,1,x y x y l l l l +-=+-a b()()()12121,1x x y y l l l l =+-+-．（步骤1） 对于①，对于①， ()()()()()()1212111fx x y y l l l l l l +-=+--+-a b()()()11221x y x y =-+--l l ，（步骤2）()()()()()()112211f f x y x y l l l l +-=-+--a b ，所以()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b 成立，①是具有性质P 的映射；（步骤3）对于②，()()()()()()21212111f x x y y l l l l l l +-=+-++-a b()()()()2121211x x y y =+-++-l l l l()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-l l l l l l ，（步骤4） ()()()()()()22112211f f x y x y l l l l +-=++--a b ， 显然，不是对任意λÎR ，()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，成立，所以②不是具有性质P 的映射；（步骤5） 对于③，()()()()()()12121111fx x y y l l l l l l +-=+-++-+a b()()()112211x y x y =++-++l l ，（步骤6）()()()()()()11221111f f x y x y l l l l +-=+++-++a b()()()()112211x y x y =++-+++-l l l l ()()()112211x y x y =++-++l l ． 所以()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，③是具有性质P 的映射．的映射．（步骤7）因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．（步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{{}}n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0π)f x A x A j j =+><<在π6x =处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．的解析式．【测量目标】等比数列的通项、性质及前n 项和、函数sin()y A x w j =+的图象及性质．的图象及性质． 【考查方式】给出等比数列的公比和前几项的和，给出等比数列的公比和前几项的和，求其通项公式；求其通项公式；求其通项公式；已知函数的最大值为数列已知函数的最大值为数列的一项，求其解析式．的一项，求其解析式． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由3q =，3133S =Þ()311313133a -=-，解得113a =．（步骤1）所以11211333n n n n a a q---==´=．（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．（步骤3） 又因为函数()f x 在π6x =处取得最大值，处取得最大值， 则πsin 216jæö´+=ç÷èø，因为0πj <<，所以π6j =．（步骤4） 函数()f x 的解析式为π()3sin 26f x x æö=+ç÷èø．（步骤5） 17．已知直线:l y x m =+，m ÎR ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l ¢，问直线l ¢与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．明理由．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【考查方式】给出直线方程，根据圆与直线的位置关系求圆的方程；根据圆与直线的位置关系求圆的方程；给出抛物线方程和直线给出抛物线方程和直线的条件，判断两者之间的位置关系．的条件，判断两者之间的位置关系． 【难易程度】较难【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）解法一：由题意，点P 的坐标为(())0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ^．01102MP l m k k -==-- ，所以2m =．（步骤1） 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则()()2202208r MP ==-+-=，（步骤2） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤3）第17题图（1）解法二：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224202m r mr ì+=ï-+í=ïî，解得222m r =ìïí=ïî．（步骤1） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤2）（Ⅱ）解法一：因为直线:l y x m =+，且，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．（步骤4）由24,,x y y x m ì=í=--î得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-´=，解得1m =．（步骤5）所以，当1m =时，Δ0=，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，Δ0¹，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤6）解法二：因为直线:l y x m =+，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．设直线l ¢与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x ¢=，则0112x =-，02x =-， ()022y m m =---=-．（步骤3） 所以切点为()2,2m --，切点在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =．（步骤4）所以，当1m =时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤5）第17题图（2）18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．千克． （Ⅰ）求a 的值；的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所获得的利润最大．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【考查方式】给出函数关系式，根据条件求解，再利用导数求利润最大时的销售价格． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式，由函数式210(6)3ay x x =+--得 11102a =+，所以2a =．（步骤1） （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<．每日销售该商品所获得的利润为每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f xx x x x x éù=-+-=+--êú-ëû，()36x <<．（步骤2）()()()()()()21062363064f x x x x x x éù¢=-+--=--ëû．（步骤3） 于是，当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：的变化情况如下表：x()3,44()4,6()f x ¢+-()f x极大值由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（步骤4） 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（步骤5） 19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2,,8…，其中5X …为标准A ，3X …为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：的概率分布列如下所示：1X 5 6 7 8P0.4 a b0.1且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 53 8 34 3 4 4 75 67 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．的数学期望． （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．“性价比”大的产品更具可购买性． 【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；根据样本数据求期望；给出产品性根据样本数据求期望；给出产品性价比的公式，判断购买性．价比的公式，判断购买性． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为16EX =，所以，所以50.46780.16a b ´+++´=，即67 3.2a b +=，（步骤1）又0.40.11a b +++=， 所以0.5a b +=，解方程组67 3.20.5a b a b +=ìí+=î解得0.3a =，0.2b =．（步骤2）（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 45 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1（步骤3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：列如下表：2X 345 6 7 8P0.3 0.20.2 0.1 0.1 0.1（步骤4） 所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =´+´+´+´+´+´=．（步骤5） （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=，（步骤6）甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>．所以，乙厂的产品更具可购买性．（步骤7）20．如图甲，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ^底面，四边形ABCD 中，AB AD ^，4AB AD +=，2CD =，45CDA °Ð=．（Ⅰ）求证：PAB ^平面平面P AD ； （Ⅱ）设AB AP =．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等？说明理由．明理由．第20题图题图【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【考查方式】给出四棱锥及其边角关系和条件，证明面面垂直；根据线面角求解线段长度，探索点的存在性．探索点的存在性． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）因为PA ABCD ^底面，AB ABCD Ì底面，所以PA AB ^．（步骤1）又AB AD ^，PA AD A =∩，所以AB ^平面P AD ，又AB Ì平面P AB ， PAB ^平面平面P AD ．（步骤2）（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ^．（步骤3）在Rt CDE △中，2cos 45212DE CD °===．（步骤4） 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =- ，()0,4,PD t t =--，（步骤5）（i ）设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，由CD ^ n ，PD ^ n 得00CDPD ì=ïí=ïîn n , ()040x y t y tz -+=ìí--=î取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =- ，（步骤6） 又(),0,PB t t =-，由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，得，得22222241cos602(4)2PB t t PBt t t t °-===++- n n ．（步骤7） 解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去），故舍去）所以45AB =．（步骤8）第20题图（1）（ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 设()0,,0G m ，()04mt -剟．则()1,3,0GC t m =-- ，()0,4,0GD t m =-- ，()0,,GP m t =-，（步骤9）则由GC GD = 得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-， ①由GP GD =得()2224t m m t --=+， ②（步骤10）从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．（步骤11）第20题图（2）解法二：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 由GC GD =得45GCD GDC °Ð=Ð=， 从而90CGD °Ð=，则CG GD ^，（步骤9）设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，（步骤10）3AG AD GD λ=-=-．（步骤11） 在Rt ABG △中，()222223932122GB ABAG λλλæö=+=+-=-+>ç÷èø． （步骤12）与1GB GD ==矛盾，矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B CD 的距离都相等．的距离都相等． （步骤13）第20题图（3）21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修42-：矩阵与变换：矩阵与变换设矩阵设矩阵 00a Mb æö=ç÷èø（其中0a >， 0b >）． （Ⅰ）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线22:14x C y ¢+=，求,a b 的值．的值．【测量目标】矩阵与行列式初步．【测量目标】矩阵与行列式初步．【考查方式】给出矩阵，求其逆矩阵；给出曲线方程及其在矩阵对应的线性变化作用下得到的曲线方程，求未知量．的曲线方程，求未知量． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122xy Mx y -æö=ç÷èø，则11001MM -æö=ç÷èø，（步骤1） 因为2003M æö=ç÷èø，所以112220100301x y x y æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，（步骤2） 所以121x =，120y =，230x =，231y =， 即112x =，10y =，20x =．213y =，（步骤3） 所以1102103M -æöç÷=ç÷ç÷ç÷èø．（步骤4） （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y ¢¢¢．则00a x x b y y ¢æöæöæö=ç÷ç÷ç÷¢èøèøèø，即ax x by y ¢=ìí¢=î，（步骤5） 又点(),P x y ¢¢¢在曲线22:14x C y ¢+=上，所以2214x y ¢¢+=，（步骤6） 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =，（步骤7）又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．（步骤8） （2）选修44-：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直接坐标系x O y 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3c o s s i nx θy θì=ïí=ïî（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，判断点P 与直线l 的位置关系；的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【考查方式】给出直线方程和点的极坐标，判断点与直线的位置关系；给出曲线的参数方程，求曲线上的动点到直线的最小距离．求曲线上的动点到直线的最小距离． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，（步骤1）因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（步骤2）（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q 的坐标可设为()3cos ,sin Q αα．点Q 到直线l 的距离为的距离为π2cos 43cos sin 4π62cos 22622αααdαæö++ç÷-+æöèø===++ç÷èø．（步骤3） 所以当πcos 16αæö+=-ç÷èø时，d 取得最小值2．(步骤4) （3）选修45-：不等式选讲：不等式选讲设不等式211x -<的解集为M ． （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若,a b M Î，试比较1ab +与a b +的大小．的大小．【测量目标】不等式选讲．【测量目标】不等式选讲．【考查方式】给出不等式，求其解集；给出关于集合两个元素的式子，比较它们的大小． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由211x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（步骤1）（Ⅱ）因为,a b M Î，则01a <<，01b <<，（步骤2）()()()()1110ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．（步骤3）。