全国各地高中高考数学试卷试题数列分类汇编.docx

2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

1 ．（

2018全国新课标Ⅰ理） 记 S 为等差数列 a

n 项和 .

若 3S

S S

a 2

a

n

n 的前

3

2

4 ， 1

，则 5

（

）

A ． 12

B ．

10

C ． 10

D ． 12

答案： B 解答：

3(3a 1 3

2 d) 2a 1 d

4a 1

4 3 d 9a 1 9d

6a 1 7d

3a 1

2d

6 2d

d3 ，

2

2 ∴ a 5 a 1 4d 2 4 ( 3)

10 .

2. （ 2018 北京理） 设 a

n 是等差数列，且 a 1 =3，a 2 +a 5=36，则 a

n 的通项公式为 __________．【答案】 a n 6n 3

【解析】 Q a 1

3 ， 3

d 3 4d

36 ， d 6 ， a n 3 6

n 1

6n 3 ．

3．（ 2017 全国新课标Ⅰ理） 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 4 a 5 24 ，S 6 48 ，则 { a n }

的公差为

A ． 1

B ． 2

C ． 4

D ． 8

【答案】 C

【解析】设公差为 d ， a 4

a 5 a 1 3d a 1

4d 2a 1 7d

24 ， S 6 6a 1

6 5

6a 1 15d

48 ，

d

2

联立 2a 1 7d

24 , 解得 d 4 ，故选 C.

6a 1 15d

48

秒杀解析： 因为 S 6

6( a 1 a 6 )

3(a 3

a 4 ) 48 ，即 a 3 a 4 16 ，则 ( a 4 a 5 )

(a 3 a 4 ) 24 16

8 ，

2

4，故选 C.

即 a 5 a 3 2d 8 ，解得 d

4.（ 2017 全国新课标Ⅱ理） 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一 层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）

【答案】 B

A ． 1 盏

B ．3 盏

C ．5 盏

D ． 9 盏

5.（ 2017全国新课标Ⅲ理） 等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则

a n 前 6项的

和为（ ）

A ． 24

B ． 3

C ． 3

D ．8

【答案】 A

【解析】 ∵ a n

为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .

则 a 32

a 2 a 6 ，即 a 1 2d

2

a 1 d a 1 5d

又 ∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d

又 ∵ d 0 ，则 d

2

∴ S 6 6a 1 6 5

1 6

6 5

2 24 ，故选 A.

2 d

2

6．（ 2017 全国新课标Ⅰ理） 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 4 a 5 24 ，S 6 48 ，则 { a n } 的公差为

A ． 1

B ． 2

C ． 4

D ． 8

【答案】 C

【解析】设公差为 d ， a 4

a 5 a 1 3d a 1

4d 2a 1 7d

24 ， S 6 6a 1 6 5 d 6a 1 15d

48 ，

2

联立 2a 1 7d

24 , 解得 d

4 ，故选 C.

6a 1 15d

48

秒杀解析：因为S66( a1a6 )

a4 )48 ，即 a3a4 16 ，则 ( a4 a5 )(a3 a4 )2416 8 ，23(a3

4，故选C.

即 a5a3 2d8，解得 d

7.（ 2015 福建文）若a, b是函数 f x x2px q p0, q 0 的两个不同的零点，且a,b, 2

这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q的值等于

________．

【答案】 9

8.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列 a n的首项为 1，公差不为0．若 a2， a3， a6成等比数列，则a n前 6项的和为（）

A ． 24

B ． 3C． 3 D ．8

【答案】 A

【解析】∵ a n为等差数列，且a2 , a3 , a6成等比数列，设公差为 d .

则 a32a2 a6，即a1

2

a1 d a15d 2d

又∵ a1 1 ，代入上式可得 d 22d0又∵ d0，则 d2

∴ S66a165

d 1

65

224 ，故选 A. 2

6

2

9. （ 2016 全国Ⅰ理）已知等差数列a n前 9 项的和为 27, a108 ,则 a100（）

（A） 100 （ B）99 （ C） 98 （D） 97

【答案】 C

【解析】：由已知 ,9a136d27,所以a11,d 1,a100a199d 1 99 98, 故选C.

a19d8

考点：等差数列及其运算

【名师点睛】我们知道 , 等差、等比数列各有五个基本量, 两组基本公式 , 而这两组公式可看作多元方程 , 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题, 所以用方程思想解决数列问题是

一

10．（ 2016 四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司 2015 年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（）

（参考数据： lg 1.12 ≈ 0.05 ，lg 1.3 ≈0.11 ， lg2 ≈ 0.30 ）

（ A ） 2018 年（ B） 2019 年（C）2020 年（ D） 2021 年

【答案】 B

【解析】

试题分析：设第 n 年的研发投资资金为a n， a1 130 ，则 a n 130 1.12 n 1，由题意，需

a n 130 1.12n 1200 ，解得n 5 ，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200 万，选 B.

考点：等比数列的应用.

11．（ 2018 全国新课标Ⅰ理） 记 n 为数列

n

的前

n 项和 若

n

n

1 ，则 6 _____________．

S

a

.

S

2 a

S

答案： 63

S n

2a n 1,

2a n ，所以 { a n } 为公比为 2 的等比数列，又因为

解答：依题意，

作差得 a n

1

S n 1 2a n 1 1,

a 1 S 1 2a 1 1，所以 a 1

1，所以 a n

2

n 1

1 (1 26 )

63 .

，所以 S 6

1 2

a 2

12.(2017 北京理 ) 若等差数列

a n 和等比数列

b n 满足 a 1

1 –， 4 4

，则

=_______.

b 2

=b = 1 a =b =8 【答案】 1

【解析】试题分析： 设等差数列的公差和等比数列的公比为

d 和 q ， 1 3d

q 3 8 ，求得 q

2, d 3 ，

a 2 1 3

那么

1 .

b 2

2

13.(2017 江苏 )

等比数列 { a } 的各项均为实数 其前 n 项的和为 S

S

7

, S

63

,则

n

,

n ,已知

3

4

6

4

a 8 =

.

【答案】 32

【解析】当 q 1 时，显然不符合题意；

a 1 (1 q 3 ) 7

1

1 q 4 ，解得 a 1

1 27 3

2 .

当 q 1 时，

4 ，则 a 8

a 1 (1 q 6 ) 63 q 2

4

1 q 4

【考点】等比数列通项

14.（ 2017 全国新课标Ⅱ理） 等差数列

a n 的前 n 项和为 S n ， a 3 3 ， S 4 n

1 10 ，则

。

k 1

S k

【答案】

2n

n 1

【解析】

试题分析：设等差数列的首项为

a 1 ，公差为 d ，

a 1

2d 3

a 1 1

由题意有：

4 3

，解得

10 d 1 ，

4a 1 d

2

数列的前 n 项和

S n na 1

n n 1

d n n n 1

1

n n

1

2 1

2

2

,

裂项有：

1 2 2

1 1 ，据此：

S k k k

1 k

k

1

n 1

2 1

1 1 1 ......

1 1

2 1

1 2n

。

k 1

S k

2

2 3

n n 1

n 1 n 1

15．（ 2017 全国新课标Ⅲ理） 设等比数列 a n

满足

a

1

a 2

1

，

a 1

a

3

3

，则

a 4

________．

【答案】 8

【解析】 Q a n 为等比数列，设公比为

q ．

a 1 a 2 1 a 1 a 1 q 1 ① ，

a 1

a 3

，即

a 1 a 1 q 2

3 ②

3

显然 q 1 ， a 1 0 ，

②

得 1 q 3 ，即 q 2 ，代入 ① 式可得 a 1

1 ，

①

a 4 a 1q

3

1 2 3

8 ．

16．（ 2016 北京理） 已知 { a n } 为等差数列， S n 为其前 n 项和，若 a 1

6 ， a 3 a 5

0 ，则

S 6 = _______..

【答案】 6

【解析】 试题分析： ∵ { a } 是等差数列， ∴ a

3

a

2a

0 ，a

4 0 ，a

4

a

3d

6 ，

d

2

，

n

5

4

1

∴ S 6 6a 1 15d 6 6 15 ( 2) 6 ，故填： 6． 考点：等差数列基本性质 .

【名师点睛】在等差数列五个基本量

a 1 ， d ， n ， a n ， S n 中，已知其中三个量，可以根据已

知条件结合等差数列的通项公式、 前 n 项和公式列出关于基本量的方程 (组 )来求余下的两个 量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用. 17．（ 2016 江苏） 已知 { a n } 是等差数列， {S n } 是其前 n 项和 . 若 a 1 a 22

3,S 5 =10 ，则 a 9 的值

是. 【答案】 20.

【解析】由 S 5 10 得 a 3 2 ，因此 2 2d (2 d)2

3

d 3, a 9 2 3

6

20.

考点：等差数列性质

【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关

于首项及公差的两个独立条件即可 . 为使问题易于解决， 往往要利用等差数列相关性质，如

S n n( a 1 a n )

n( a m a t ) ,( m t 1 n, m 、 t 、 n N * ) 及等差数列广义通项公式

a n

a m ( n m) d.

2

2

18. （ 2016 全国 Ⅰ理 ）设等比数列 a n 满足 a +a =10, a +a =5, 则 a a ?a 的最大值

1

3

2

4

1

2

n

为

．

【答案】 64 【解析】

试题分析：设等比数列的公比为

q , 由

a 1 a 3 10 a 1(1 q 2 ) 10

, 解得

a 1 8

a 2 a 4

得,

2

1 . 所以

5

a 1q(1 q

) 5 q

2

a 1a 2 L a n a 1n q

1 2 L (n 1)

8n

( 1

)

2

n (n 1)

1 n

2 7n

3 或

4 时 , a 1 a 2 L a n 取得最大值 26 64 .

2

2 2

2

, 于是当 n

考点：等比数列及其应用

高考中数列客观题大多具有小、巧、 活的特点 , 在解答时要注意方程思想及数列相关性质的

应用 , 尽量避免小题大做 .

19. （ 2016 上海文、理） 无穷数列 a n 由 k 个不同的数组成， S n 为 a n 的前 n 项和 . 若对任

意 n N ， S n

2,3 ，则 k 的最大值为 ________.

【答案】 4

【解析】 试题分析： 当 n 1 时， a 1 2 或 a 1 3 ；当 n ?2 时，若 S n 2 ，则 S n 1 2 ，于是 a n 0 ，若 S n 3 ，

则 S n 1 3 ，于是 a n

0. 从而存在 k N ，当 n ?k 时， a k 0 . 其中数列 a n ： 2,1, 1,0,0,0,

满足条件，

所以 k max

4 .

考点：数列的求和 .

【名师点睛】从研究 S n 与 a n 的关系入手，推断数列的构成特点， 解题时应特别注意 “数列 a n

由 k 个不同的数组成”的不同和“ k 的最大值” . 本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等 .

20. （ 2016 浙江理） 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S =4，a n =2S n +1，n ∈ N ，则 a =

，

2 +1 * 1

5

=.

S

【答案】 1

121

【解析】试题分析： a 1 a 2

4,a 2 2a 1 1 a 1 1,a 2

3 ，

再由 a n 1 2S n 1,a n 2S n 1 1(n 2) a

n 1

a n

2a n

a n 1 3a n ( n 2) ，又 a 2

3a 1 ，

所以 a n 1 3a n (n

1 3

5

1),S 5

121.

1 3

考点： 1、等比数列的定义；

2、等比数列的前 n 项和．

【易错点睛】由 a n 1 2S n 1 转化为 a n 1

3a n 的过程中，一定要检验当 n 1 时是否满足

a n 1 3a n ，否则很容易出现错误．

a 2

21.(2017 北京理 ) 若等差数列

a

n

和等比数列

b

n

足 a 1=b 1=– 1，a 4=b 4=8，

b 2

=_______.

【答案】 1

【解析】试题分析： 设等差数列的公差和等比数列的公比为 d 和 q ，

1 3dq 3

8 ，求得 q

2, d 3 ，

a 2 1 3 1 .

那么

2

b 2

22.(2017 江苏 )

等比数列 { a n } 的各项均为实数 ,其前 n 项的和为 S n ,已知 S 3

7 , S 6 63 ,则

4

4

a 8 =

.

【答案】 32

【解析】当 q 1 时，显然不符合题意；

a 1 (1 q 3 ) 7

1

1 q 4 ，解得 a 1

1 27 3

2 .

当 q 1 时，

4 ，则 a 8

a 1 (1 q 6 ) 63 q

2

4

1 q 4

【考点】等比数列通项

23.（ 2017 全国新课标Ⅱ理） a n 的前 n 项和为 S n ， a 3 3 ， S 4 n

1 等差数列

10 ，则

。

k 1

S k

2n

【答案】 n 1

【解析】

试题分析：设等差数列的首项为

a 1 ，公差为 d ，

a 1

2d 3

a 1 1

由题意有：

4 3 d

，解得

d

，

4a 1 10

1

2

数列的前 n 项和 S n

na 1 n n

1 n 1

n n 1

1

n n

1

d 2

2,

2

裂项有：

1

2

1 2 1

1 ，据此：

S k k k k k 1

n

1 2 1

1

1 1

......

1 1

2 1 1 2n

k 1

S k

2

2 3

n n 1

。

n 1 n 1

24．（ 2017 全国新课标Ⅲ理） 设等比数列 a n 满足 a

1

a 2

1

，

a

1

a 3

3

，则 a

4

________．

【答案】 8

【解析】 Q a n 为等比数列，设公比为 q ．

a 1 a 2 1 a 1 a 1q 1 ①

a 1 a 3 ，即 a 1 2

， 3 a 1q 3 ② 显然 q 1 ， a 1 0 ，

② q 3 ，即 q 2 ，代入

式可得 a 1 1，

得 1 ① ①

a 4 a 1q

3

1 2

3

8 ．

25. （ 2016 北京文）已知 { a n } 是等差数列， { b n } 是等差数列，且 b 2 3 ，b 3 9 ，a 1 b 1 ，a 14 b 4 .

（ 1）求 { a n } 的通项公式；

（ 2）设 c n a n b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 . 【答案】（ 1） a n

2n 1（ n 1 ， 2 ， 3 ，

）；（2） n 23n 1

2

（ II ）由

（ I ）知， a n 2n 1， b n 3n 1 ． 因此 c n a n b n 2n 1 3n 1 ．

从而数列 c n 的前 n 项和

n 2

3n

1 ．

2

考点：等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式，考查运算能力 .

【名师点睛】 1.数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数，是函数思想在数

列中的应用 .数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 n 项和 S n

可视为数列 n 的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一； 2. 数列

{S } .

的综合问题涉及到的数学思想： 函数与方程思想 (如：求最值或基本量 )、转化与化归思想 (如： 求和或应用 )、特殊到一般思想 (如：求通项公式 )、分类讨论思想 (如：等比数列求和， q 1

或 q 1)等.

26. （ 2016 全国 Ⅰ 文）已知 a n 是公差为 3 的等差数列 , 数列 b n 满足

b 1 =1，b 2 = 1

，a n b n 1

b n 1 nb n ,.

3

（ I ）求 a n 的通项公式；（II ）求 b n 的前 n 项和 .

【答案】（ I ） a n

3n 1（ II ）

3

1

.

2 2 3n 1

（ II ）

由（ I ）和 a n b n 1 b n 1 nb n , 得 b n 1 b n

, 因此 b n

是首项为 1, 公比为 1

的等比数列 . 记 b n 的

前 n 项和为 S n , 则

3

3

27. （ 2016 全国Ⅱ文） 等差数列 { a n } 中， a 3 a 4 4, a 5 a 7 6 .

（Ⅰ）求 { a n } 的通项公式；

（Ⅱ） 设 b n [a n ] ，求数列 { b n } 的前 10 项和，其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9]=0,[2.6]=2.

【答案】（Ⅰ） a n

2n 3

；（Ⅱ） 24.

5

试题解析： ( Ⅰ ) 设数列 a n 的公差为 d ，由题意有 2a 1

5d 4, a 1 5d 3，解得 a 1 1,d 2 ，

5

所以 a n 的通项公式为 a n

2n 3 .

5 （Ⅱ）由 ( Ⅰ ) 知 b n

2n

3 ，

5

当 n 2n

3 2, b n

1 ；

1,2,3 时， 1

5

当 n

2n

3

3,b n

2 ；

4,5 时， 2

5

当 n 2n

3 4, b n

3；

6,7,8 时， 3

5

当 n 2n

3

4 ，

9,10 时， 4

5,b n

5

所以数列 b n 的前 10 项和为 1

3 2 2 3 3

4 2 24 .

考点：等差数列的性质 ，数列的求和 .

【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“x 表示不超过x 的最大整数”理解出错；

28. （ 2016 全国Ⅱ理）S n为等差数列n的前 n 项和，且 a1=1， S728. 记n n ，其中

x

a b = lg a

表示不超过x 的最大整数，如0.9 =0，lg99 =1 ．

（Ⅰ）求 b1， b11， b101；

（Ⅱ）求数列b n的前1 000项和．

【答案】（Ⅰ） b10 ， b11 1 ， b101 2 ；（Ⅱ）1893.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差 d ，从而求得通项a n，再根据已知条件x

表示不超过x 的最大整数，求b1， b11， b101；（Ⅱ）对n分类讨论，再用分段函数表示b n，再求

数列b n的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设 { a n } 的公差为 d ，据已知有7 21d 28 ，解得 d 1.

所以 { a n } 的通项公式为a n n.

考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.

【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点 .

29. （ 2016 全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列a n满足 a1 1， a n2(2 a n 1 1)a n 2a n 1 0 .（ I ）求a2, a3；

（ II ）求a n的通项公式 .

【答案】（Ⅰ） a21

, a3

1

；（Ⅱ） a n

1

n 1．242

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将 a11代入递推公式求得a2，将 a2的值代入递推公式可求得 a3；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{ a n} 为等比数列，由此可求得数列{ a n } 的通项公式．

试题解析：（Ⅰ）由题意得 a21

, a3 1 ..........5分24

考点： 1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．

【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（ 1）定义法，即证明a

n 1q （常数）；（2）a n

中项法，即证明 a n21 a n a n 2．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．

30（2016 全国Ⅲ理）已知数列{ a n}的前 n 项和S n1a n，其中0 ．

（ I ）证明{ a n}是等比数列，并求其通项公式；

（ II ）若S531，求．

32

a n1()n 1

【答案】（Ⅰ）11；（Ⅱ）1 ．

a n1

由a

10 ，0得

a

n

，所以

a

n 1 .

1

，公比为

a n1()n1

因此{ a

n

}

是首项为1

1

的等比数列，于是11．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n 1 ()n S531 1 ()531(

1

)51

1 ，由3

2 得132 ，即32 ，

解得 1 ．

考点： 1、数列通项a

n与前

n

项和为

S

n关系； 2、等比数列的定义与通项及前n 项和为

S

n．

a n 1

q

a n

【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（ 1）定义法，即证明（常数）；（ 2）

中项法，即证明a

n

2

1

a

n

a

n 2 ．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等

比数列或等差数列来求解．

31. （2016 山东文）已知数列a n的前n项和S n3n28n ，b n是等差数列，且 a n b n b n 1.（ I ）求数列b n的通项公式；

（ II）令 c n ( a n1)n1

的前 n 项和T n.

(b n2)n. 求数列c n

【答案】（Ⅰ） b n 3n 1; （Ⅱ） T n

3n 2n 2

试题解析：（Ⅰ）由题意当 n

2时， a n S n S n 1 6n 5 ，当 n 1时， a 1 S 1 11；所以

a n

6n

5；设数列的公差为

d ，由

a 1

b 1 b

2

，即

11 2b 1 d ，解之得 b 1 4, d 3 ，所

a 2

b 2

b 3

17 2b 1 3d

以 b n 3n 1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 c n

(6n 6) n 1

3( n 1) 2n 1 ，又 T n c 1 c 2

c 3

c n ，即

(3n 3) n

T n

3[ 2 22

3 23

4 24

(n 1)2n 1 ]

2

3[ 2 23

3 2

4 4 25

( n 1)2n 2 ]

，以上两式两边相减得

，所以 T n

T n 3[ 2 2

2 2 3

2 4 2

n 1 (n

1)2 n 2 ] 3[4 4(2 n 1) ( n 1)2 n 2

]3n

2

n 2 。

2 1

所以 T n 3n 2 n

2

考点： 1. 等差数列的通项公式； 2. 等差数列、等比数列的求和； 3. “错位相减法” .

32. （ 2016 山东理） 已知数列 a n 的前 n 项和 S n =3n 2+8n ， b n 是等差数列，且 a n

b n

b n 1.

（Ⅰ）求数列 b n 的通项公式；

（Ⅱ）令 c n (a n 1)n 1

. 求数列 c n 的前 n 项和 T n .

(b n

2) n

【答案】（Ⅰ） b n 3n 1；（Ⅱ） T n 3n 2n 2 .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据 a n S n S n 1 及等差数列的通项公式求解； （Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列 c n

的通项公式，再用错位相减法求其前

n 项和 .

试题解析：（Ⅰ）由题意知当 n 2 时， a n S n

S

n 1 6n 5 ， 当 n 1时， a S 11，所以 a n 6n 5 . 设数列 n 的公差为 d ，

1

1

b

由

a

1

b 1 b 2 ，即 11

2b 1 d ，可解得 b 1

4,d

3 ，

a 2

b 2 b 3 17 2b 1 3d

所以 b n

3n 1 .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 c n

(6 n 6) n 1

3(n 1) 2n 1 ，

(3n 3) n 又 T n c 1 c 2 c 3 c n ，

得 T n 3 [2 22

3 23

4 24

( n 1) 2n 1 ] ， 2T n

3 [2 23 3 24

4 25

(n 1) 2n 2 ] ，

两式作差，得

所以 T n

3n 2 n 2

考点： 1. 等差数列的通项公式； 2. 等差数列、等比数列的求和； 3. “错位相减法” .

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和

的“错位相减法” . 此类题目是数列问题中的常见题型 . 本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高 . 解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时， 弄错等比数列的项数 . 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等 .

32. （ 2016 浙江文） 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 已知 S 2 =4， a n 1 =2 S n +1， n N * .

（I ）求通项公式 a n ；

（II ）求数列 { a n n 2 } 的前 n 项和 .

3n 1, n N * ；（II ） T

2, n 1

【答案】（ I ） a n n 2

, n 2,n

.

n

3

n 5n 11

N

2

考点：等差、等比数列的基础知识 .

【方法点睛】数列求和的常用方法： （ 1）错位相减法：形如数列 a n b n 的求和，其中 a n 是

等差数列， b n 是等比数列；（ 2）裂项法：形如数列

1

或

1

的求和，

n g n

n

f f

g n

其中 f n ， g n 是关于 n 的一次函数；（ 3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．

33.(2017 北京文 ) 已知等差数列

a n 和等比数列

b n

1 1

2 42 4 5

．

满足 a =b =1,a +a =10,b b =a

（Ⅰ）求 a n 的通项公式； （Ⅱ）求和： b 1 b 3 b 5 K

b

2 n 1 ．

【答案】（Ⅰ）

a n

n

3n 1

2 1

2

34（2017 全国新课标Ⅰ文） 记 S 为等比数列 a n 的前 n 项和，已知 S =2， S =- 6．

n

2 3

（ 1）求 a n 的通项公式； （ 2）求 S n ，并判断 S n +1， S n ， S n +2 是否成等差数列 ．

【解析】（ 1）设 { a } 的公比为

a 1 (1 q)

2,

2 ， a2 ．

q

．由题设可得

解得 q

n

a 1 (1 q

q 2 ) 6.

1

故 { a n } 的通项公式为 a n ( 2)n ．

（ 2）由（ 1）可得 S n

a 1(1 q n

)

2 (

1)n 2n 1 ．

1 q

3

3

由于 S n 2 S n 1

4 ( 1) n 2n 3

2n 2

2[

2

( 1)n

2n 1

] 2S n ，

3 3

3

3

故 S n 1 ， S n ， S n 2 成等差数列．

35（ 2017 全国新课标Ⅱ文） 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的前 n 项和为

T n ， a 1

1,b 1 1,a 2 b 2 2 .

（ 1）若 a 3 b 3 5 ，求 { b n } 的通项公式；

（ 2）若 T 3 21，求 S 3 .

36（ 2017 全国新课标Ⅲ文） 设数列 a n 满足 a 1 3a 2 K (2n 1)a n

2n .

a n

（ 1）求 a n 的通项公式；

（2）求数列

的前 n 项和 .

2n 1

【答案】（ 1） a n

2 ；（ 2）

2n

2n 2n 1

1

2

【解析】试题分析： （ 1）先由题意得 n

2 时， a 1

3a 2

(2n 3)

a

n 1

2(n

1) ，再作差得 a n

，

2n 1

验证

n

1时也满足（ 2）由于 a n

2

1 1

，所以利用裂项相消法求和 .

2n 1

(2n

1)( 2n 1)

2n 1

2n 1

37.（ 2017 山东文） 已知 {a n }是各项均为正数的等比数列 ,且 a 1

a 2 6, a 1a 2 a 3 .

(I)求数列 {a n }通项公式；

n

n

1

b n b n 1 ,求数列 b n 的前 n 项和

T n . (II){b }为各项非零的等差数列 ,其前 n 项和 S ,已知 S 2 n

a n

【答案】 (I)

a n

2n ； (II)

T n 5

2n 5

2n

2q

a 1q 2 .

试题解析： (I)设数列 { a n } 的公比为 q ，由题意知 , a 1 (1 q) 6, a 1 又

a n 0 ， 解得 a 1

2, q 2 ， 所以 a n

2n .

两式相减得

1

3

1 1 L

1

2n 1

2

T

n

2

2 22

2n 1

2n 1

所以 T n

5

2n 5

.

2n

N * ) ， { b n } 是首项为

38.(2017 天津文） 已知 { a n } 为等差数列，前

n 项和为 S n (n

2 的等比数列，且公比大于 0，

b 2 b 3 12,b 3 a 4 2a 1 , S 11 11b 4 .

（Ⅰ）求 { a n } 和 { b n } 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 (n

N * ) .

【答案】（Ⅰ） a n

3n 2 . b n 2n .（Ⅱ） T n (3n 4)2 n 2 16 .

试

题解析：（ Ⅰ）解：设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q .由已知 b 2 b 3 12 ，得 b 1 (q q 2 ) 12 ，

而 b 1 2 ，所以 q 2 q 6

0 .又因为 q 0 ，解得 q 2 .所以， b n

2n .

由 b 3

a 4 2a 1 ，可得 3d a 1 8① .由 S 11 11

b 4 ，可得 a 1 5d 16② ，联立①②，解得 a 1 1,d 3 ，由此

可得

3 2 .

a n n

所以， { a n } 的通项公式为 a n 3n 2 ， { b n } 的通项公式为 b n

2n .

39.（ 2017 天津理） 已知 { a n } 为等差数列， 前 n 项和为 S n (n N ) ，{ b n } 是首项为 2 的等比数列， 且公比大于 0，

b 2 b 3 12, b 3 a 4 2a 1 ， S 11 11b 4 .

（Ⅰ）求 { a n } 和 { b n } 的通项公式；

（Ⅱ）求数列

{ a 2 n b 2n 1} 的前 n 项和 ( n N ) .

【答案】 （ 1） a n

3n 2 . b n 2n .（ 2） T n 3n

2 4n

1 8 .

3 3

【解析】

试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前

n 项和公式列方程求出等差数列首项 a 1 和公差 d 及等比数列

的公比 q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确 .

（ II ）解：设数列 { a 2n b 2n 1} 的前 n 项和为 T n ， 由 a 2 n 6n 2 ， b 2n 1 2 4n 1 ，有 a 2n b 2n 1 (3n 1) 4n ，

故 T n

2 4 5 42 8 4

3 L (3n 1) 4n ，

4T n 2 42 5

43 8 44 L

(3n

4) 4n (3n 1) 4n 1 ，

上述两式相减，得

3T n

2 4

3 42

3 43 L

3 4n

(3n

1) 4n

1

得

T n

3n 2 4n 1

8 .

3

3

所以，数列 { a 2 n b 2n 1} 的前 n 项和为

3n

2 4n

1

8 . 40.（2018 北京文） 设 a n

3

3

是等差数列，且 a 1 ln 2 ， a 2

a 3

5ln 2 ．

（1）求 a n 的通项公式； a a L a

．

（ ）求 e 1

e 2

e n

2

1．【答案】（ 1） n ln2 ；（ 2） 2n 1 2 ．

【解析】（ 1）设等差数列 a n 的公差为 d ， Q a 2

3 5ln 2 ， 1 3d 5ln 2，

又 1 a 2a

ln2 ， d

ln 2 ， a n

a 1

n 1 d

n ln 2 ．

a

（2）由（ 1）知 a n

a

n ln 2

ln 2n

2n

，

n ln 2 ， Q e n e e

a

e n

是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，

a 1

a 2

a n

ln 2

ln 2 2

ln 2n

2 n

=2n 1

2 ，

e

e

L e

e

e

L e =2 2 L 2

a

a

a

n 1

2 ．

e

1

e

2

L e

n

=2

*

41．（2018 天津文） { a } 是等差数列，其前

）；{ b } 是等比数列，公比

n 和 S （ n ∈N

n

n

n

*

大于 0，其前 n 和 T n （ n ∈ N ）．已知 b =1，b =b +2，b =a +a ，b =a +2a ．

（Ⅰ）求 S 和 T ；

1 3

2 4

3 5 5

4 6

n

n

（Ⅱ）若

S +（

+ +?+ ） = +4 b ，求正整数 n 的 ．

n

1

2

n

n

n

5．【答案】（ 1） S

n n 1

， T 2n 1 ；（ ） ．

n

2

n

2

4

【解析】（ 1） 等比数列

b

的公比 q ，由 b 1

1 ， b 3 b 2

2 ，可得 q 2

q

2 0 ．

n

因 q 0 ，可得 q

2 ，故 b n 2n 1 ．所以， T

1 2n 2n 1 ．

n

1 2

等差数列

a n 的公差 d ．由

b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1

3d 4 ．由 b 5 a 4

2a 6 ，

可得 3a 1

13d 16 ，从而 a 1

1 ， d 1 ，故 a n

n ，所以， S n

n n 1 ．

2

（ 2）由（ 1），有 T 1

T 2 L

T n

21

2

3

L

2n n = 2 1

2n

n

2

n 1

n

2 ，由

1 2

S n T T L T a 4b 可得

n n 1

2n 1n 2n 2n 1，12n n n2

整理得 n23n40 ，解得 n 1 （舍），或 n 4 ．所以n的值为4．42．（ 2018 天津理）设{ a} 是等比数列，公比大于0，其前

n项和为n

n S ( n 数列 . 已知a11， a3a2 2 ， a4b3b5， a5b42b6.

（ I ）求{ a n}和{ b n}的通项公式；

（ II）设数列 { S n } 的前n项和为 T n ( n N) ，求 T n；

【答案】（1）a n2n 1， b n n ；（2）① T n2 n 1n 2 ；②证明见解析．【解析】（ 1）设等比数列a n的公比为 q ．由a1 1 ， a3a2 2 ，

可得 q 2q20因为 q0 ，可得 q 2 ，故a n2n 1 ，

设等差数列b n的公差为 d ，由 a4b3b5，可得 b13d 4 ，

由 a5b42b6，可得 3b113d 16 ，从而 b1 1 ， d1，故 b n n ，

所以数列 a n的通项公式为 a n2n1，数列 b n的通项公式为 b n n ．

（ 2）①由（ 1），有S n12n2n1，

12

n

k n212

n

n1

故

T n

k，

2 1 2 n

12

n 2n 2

k1k 1

43．（ 2018 全国新课标Ⅰ文）已知数列a n

满足 a1 1 ， na n 1 2 n 1 a n，设

（ 1）求b1，b2，b3；N ) ，{ b n } 是等差

a n

b n

n ．

（2）判断数列b n是否为等比数列，并说明理由；

（3）求a

n的通项公式．

7.答案：

（1）b11,b22, b34（2）见解答

（3）a n n 2n

1

解答：依题意， a2 2 2a1 4 ， a31

(2 3 a2 ) 12 ，∴b1

a

11， b

2a2 2 ， b3a3 4 . 2123

（1）∵na n1 2( n1)a n，∴a

n

1

2a

n，即 b n 1 2b n，所以 {b n } 为等比数列. n1n

（2）∵ b n b1q n 12n 1a

n，∴ a n n 2n 1. n

44．（ 2018 全国新课标Ⅱ文、理）记 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，已知 a1 7 ，S315 ．（1）求{ a n}的通项公式；

（2）求S n，并求S n的最小值．

【答案】（ 1）a

n

2n9

；（2）

S

n n

2

–8n

，最小值为–16．

【解析】（ 1）设a n的公差为 d ，由题意得3a13d15 ，

由 a17 得d 2．所以 { a n} 的通项公式为 a n2n9 ．

（ 2）由（ 1）得S n n28n (n 4)216，

当 n 4 时，S n取得最小值，最小值为16．

45．（ 2018 全国新课标Ⅲ文、理）等比数列 { a n } 中， a11，a5 4a3．（ 1）求{ a n}的通项公式；

（ 2）记S n为{ a n}的前n项和．若S m63 ，求 m ．

答案：（1） a n 2n 1 或 a n ( 2)n 1 ；（ 2） 6 . 解答：（1）设数列 { a n } 的公比为 q ，∴ q 2 a 5 4 ，

a 3

∴ q

2 .

∴ a n 2n 1 或 a n ( 2) n 1 .

（ 2）由（ 1）知， S n

1 2n

2

n

1或 S n 1 ( 2)n

1 [1 ( 2)n ] ，

1 2

1 2

3

∴ S m 2

m

1 63 或 S m

1

[1 ( 2)m ] 63 （舍），∴ m 6 .

3