专题05 函数的性质复习-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(一)(解析版)
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
函数的概念与基本性质-2019年江苏高考数学五年真题与三年模拟试题考点分类解读(解析版)
【答案】：－
2 2 <m<0.
3、（ 2016 年） 函数 y＝ 3－ 2x－ x 2的定义域是 ________．
【答案】：[－ 3,1]
【解析】：由 3－ 2x－x2≥ 0 得－ 3≤ x≤ 1，所以函数 y＝ 3－2x－ x2的定义域为 [ － 3,1] ．
x＋a，
4、（ 2016 年） 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [－ 1,1)上， f(x)＝
考纲要求
要求
A 函数的概念
B
C
√
函数的基本性质
√
1、理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域和值域 2、理解简单的分段函数，能求出给定自变量所对应的函数值，会画出函数的图像 3、理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性 4、了解函数奇偶性的含义 5、会运用函数的图像理解和研究函数的性质。理解二次函数的图像和性质。能运用数形结合的思想结合在 区间上的最值。
－ 1≤ x<0， 25－ x ，
0≤x<1 ，
)其中 a
∈ R .若
f
－
5 2Leabharlann ＝f9 2，则
f(5a)的值是 ________．
【答案】： －25
【解析】：
因为 f(x)的周期为
2，所以
f
－5 2
＝f
－1 2
＝ a－ 1， f 2
9 2
＝f
1 2
＝ 1 ，从而得 10
a－1＝ 1 ，解 2 10
得 a＝ 35，所以
从近几年江苏高考可以看出，函数的性质是近几年江苏的热点也是重点考查的知识点。函数的定义域
在这几年多次考查，函数的性质几乎每年都要进行考查，在大题中经常与导数等知识点结合考查，因此，
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型一.定义域考点1.具体函数定义域1．函数f（x）＝（1﹣）−12+（2x﹣1）0的定义域是（）A．（﹣∞，1]B．（−∞，12）∪（12，1）C．（﹣∞，1）D．(12，1)2．函数op=M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁R N＝A．[﹣2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，1）考点2.抽象函数定义域3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是．4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]考点3.已知定义域求参5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是．6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域、值域都为R，则实数a满足（）A．a＝﹣1或a=−32B．−139＜＜−1C．a≠﹣1或a≠−32D．a=−32题型二.解析式考点1.待定系数法1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是．考点2.换元法3．已知o−1)=−2，则函数f（x）的解析式为．4．已知f（1−1+）=1−21+2，求f（x）的解析式．考点3.凑配法5．（1）已知f（1）=1−2，求f（x）的解析式；（2）已知f（x+1）＝x2+12，求f（x）．6．已知f（3x）＝4x log23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于．考点4.方程组法7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝．考点5.求谁设谁9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（）A．[−18，0]B．[−14，0]C．[−18，−14]D．[0，14]考点6.利用对称求解析式11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4题型三.值域考点1.利用单调性求值域1．下列函数中，与函数op=(15)的定义域和值域都相同的是（）A．y＝x2+2x，x＞0B．y＝|x+1|C．y＝10﹣x D．=+12．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（12）2﹣x（x∈A）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点2.换元法3．函数=2+41−的值域为（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，4]C．[0，+∞）D．[2，+∞）4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．R D．[2，+∞）考点3.分离常数5．函数=2r1r1在x∈[0，+∞）上的值域是．6．已知函数op=2+4，则该函数在（1，3]上的值域是（）A．[4，5）B．（4，5）C．[133，5)D．[133，5] 7．函数=2+2r2r1的值域是．8．下列求函数值域正确的是（）A．函数=5K14r2，x∈[﹣3，﹣1]的值域是{U≠54}B．函数=2−3r1的值域是{U≤−1，≥−15}C．函数=sB+1K2，∈[2，2)∪(2，p的值域是{U≤4K4，≥1K2} D．函数=+1−2的值域是{U−1≤≤2}课后作业.函数的三要素1．函数op=−2+9+10−2B(K1)的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]2．已知函数f（x）=l2，＞03，＜0，则no14)]的值为（）A．19B．13C．﹣2D．3 3．已知o p=2−2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）B．f（x）＝x4﹣2x2C．op=−2o≥0)D．op=−24．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．5．已知f（x）=(1−2p+3o＜1)Bo≥1)的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，12）C．[﹣1，12）D．（0，1）6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．。
专题05 函数的定义与性质第一季(解析版)
高中数学多项选择题分类强化试题汇编专题05函数的定义与性质第一季1．定义“正对数”：若，，则下列结论中正确．．的是（）A．B．C．D．E.【答案】ACE【解析】对于A，当时，有，从而，所以，当时，有，从而，，所以，当时，，所以A正确；对于B，当时，满足，而，所以，所以B错误；对于C，由“正对数”的定义知，且，当时，，而，所以，当时，有，而，因为，所以，当时，有，而，所以，当时，，则，所以当时，，所以C正确；令，则，显然，所以D不正确；对于E，由“正对数”的定义知，当时，有，当时，有，从而，，所以，当时，有，从而，，所以，当时，，因为，所以，从而，所以D正确；故选ACE.2．若是方程的两个根，则下列式子正确的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】依题意得，故A不正确；，故B正确；C中，原式，故C正确；D中，原式，故D正确；故选：BCD．3．对于函数，选取的一组值去计算和，所得出的正确结果可能是（）A．和B．和C．和D．和【答案】ABD【解析】∵∴，∴，且，∴为偶数，故选ABD4．设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】由题意，实数，，满足，且，结合图象，可得，即，且，可得和恒成立，即A、B恒成立；又由，所以，所以C恒成立；又由，当时，的符号不能确定，所以D不恒成立，故选ABC.5．某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题:已知函数的定义域为.①若当时,都有，则函数是上的奇函数；②若当时，都有，则函数是上的增函数.下列说法正确的是（）A．①是真命题B．①是假命题C．②是真命题D．②是假命题【答案】BD【解析】对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义；对于命题②，由于，是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义，所以两个都是假命题，故选BD.6．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A．B．C．D．E.【答案】ABD【解析】对于A,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以A正确; 对于B,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以B正确;对于C, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以C错误;对于D,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以D正确对于E,定义域为R,且函数在R上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以E错误综上,故选ABD7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A．B．函数是偶函数C．任意一个非零有理数，对任意恒成立D．存在三个点，使得为等边三角形【答案】ABCD【解析】，正确；，偶函数，正确；，正确；易知三点构成等边三角形，正确；故选：8．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（）. A．B．C．D．【答案】AB【解析】当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
专题05 函数的对称性、周期性及其应用-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)
专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
考点05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)-2019届高考数学(文)提分必备30个黄金考点
【考点剖析】1.命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 2.课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．2．若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =．即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等．4．若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为()()()()()1122f x f x f x f x f x =+-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称． 8．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称． 9．函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称．10．函数x y a =与函数()log 0,1a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称． 3.名师二级结论： 一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y=x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 两个应用1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f (－x )＝±f (x ) ⇔ f (－x )±f (x )＝0⇔()()f x f x -＝±1，f(x)≠0． 4.考点交汇展示：例1.【2018届重庆市合川区5月模拟】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x≥ 0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ． {1,3} B ． {－3，－1,1,3} C ． {2－，1,3} D ． {－2－，1,3}【答案】D 【解析】例2．【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质因此10nmqp=，则10()n mqp=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q∉因此lg x不可能与每个周期内x D∈对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期x D∉的部分的交点，例3．【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题序号是___________.【答案】①②④【解析】①对于任意，都有成立，令，则，又是上的偶函数，，，，又由，故，故①正确； ②由①知，的周期为6，又是上的偶函数，，而的周期为6，，，直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确；③当，且时，都有，函数在上为减函数，是上的偶函数，函数在上为增函数，而周期为6，函数在为增函数，故③不正确；④的周期为6，，函数在有四个零点，故④正确，所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④.【考点分类】考向一 函数的单调性1.【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】2．【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项. 3．【2018届广东省汕头市潮南区5月冲刺】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________ 【答案】【解析】【方法规律】1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)<f(x2)⇔f(x1)－f(x2)<0，若函数是增函数，则f(x1)< f(x2)⇔x1<x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【易错点睛】误区1．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错【例1】求y【错解】令t＝x2－4x－12，则t＝x2－4x－12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y是增函数，所以y(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，则t＝(x－2)2－16在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．又yy(－∞，－2]与[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上递减，在[6，＋∞)上递增．【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识．误区2．忽视隐含条件致误【例2】已知f(x)＝(31)(4),1,1aa x a xlog x x-+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )()1101? 0? 13311()[)[)77A B C D ．，．，．，．， 【错解】误选B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R 上为减函数，还需使得f(x)＝(3a －1)x ＋4a 在x ＜1上的最小值不小于f(x)＝log a x 在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误．【正解】据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足：31001(31)(14)1a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩11a<73⇒≤．故选C ．【点评】一般地，若函数f(x)在区间[a ，b)上为增函数，在区间[b ，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a ，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a ，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a ，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a ，c]上为增函数，即只需f(x)在[a ，b)上的最大值不大于f(x)在[b ，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数1f(x)=x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说1f(x)=x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x 1＝－1，x 2＝1时，有f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝1不满足减函数的定义．(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数 y ＝x 3－3x 的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．考向二 函数的奇偶性1．【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】下列函数中为偶函数又在上是增函数的是（ ）图（1）图（2）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ，是偶函数，当时，是减函数，不满足条件；，是偶函数，当时，是增函数，满足条件；，的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件；，在上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件；故选B.2.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】3.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________． 【答案】12【方法规律】1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． 2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于x 的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． 【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f (x )和f (－x )必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数．误区．不明分段函数奇偶性概念致错【例1】判断2223,0f(x)=3,023,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性．【错解】当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)．当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数． 【剖析】漏x ＝0情况．【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x ＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．考向三 函数的周期性1．【2018年理数全国卷II 】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）A.B. 0C. 2D. 50【答案】C2.【2018届广东省东莞市考前冲刺精品卷】已知函数满足，且时，，则（）A． 0 B． 1 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，选D.3.【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此【方法规律】函数周期性的相关结论：设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；②1 f(x+a)=()f x ；③1f(x+a)=-()f x；④f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)．考向四函数性质的综合应用1.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x=-，则()f x（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】2.【【衡水金卷压轴卷】2018年模拟（二）】已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，且，.又在区间内单调递增，且为偶函数，在区间内单调递减，，.故选：.3.【2018届陕西省延安市黄陵中学6月模拟】若函数是偶函数时，，则满足的实数取值范围是________．【答案】【解析】【方法规律】1．解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象．2．函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a≠0)：若f(x)有对称轴x＝a，且是偶函数，则f(x)的周期为2a；若f(x)有对称轴x＝a，且是奇函数，则f(x)的周期为4a；若f (x )有对称中心(a ，0)，且是偶函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是奇函数，则f (x )的周期为2a ． 【易错点睛】误区1．函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R 上，且对常数T ＞0，恒有f(x ＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【错解】由f(x)是R 上的奇函数，得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由f(x ＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个．【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即()()f x f x -=-……①()()f x f x T =+……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．误区2．忽视隐含条件的挖掘致误【例2】设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，1,10()=2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________． 【错解】因为f (x )的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,3a+2b=-223b +-∴． 【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a 、b 的值． 【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为211142f(-)=-a+1,f()=1222312b b ++=+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以2-a+1=2b +，即b ＝－2a ． ②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．【热点预测】1．下列函数中,在区间上为增函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】2．【2018届辽宁省葫芦岛市二模】已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由题，对于A ，当时，满足，但不成立．B ．若，则等价为成立，当时，满足，但不成立．C ．当时，满足，但不成立．D ．当时，恒成立，故选D.3．【2018届河北省衡水市武邑中学高三下模拟六】已知函数，则的图象大致为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】4.【2018届湖北省荆州市荆州中学模拟】周而复始，踏着朝霞当思如何学习，踏着晚霞当思是否进步？已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则A． B． C． D． 4【答案】D【解析】函数是定义在上的周期为的奇函数，，则则故选.5．【2018届福建省三明市第一中学模拟（一）】已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】6．【2019届湖南省长郡中学高三上学期第一次（学考试】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，图像关于y轴对称因为在区间上单调递增，所以在区间[上单调递减得到示意图如下根据函数对称性和单调性可知，满足的的取值范围是7．【山东省潍坊市第一中学高三10月月考】已知函数是上的减函数，那么的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数是上的减函数时，递减，即 ①时，递减，即②， ③联立①②③解得故选8.已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为 （ ） （A ）)21,0( （B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞ （D ）11(0,)(,2)82⋃ 【答案】B9.【2018届高考考前专家猜题卷】 若是偶函数，则__________．【答案】【解析】是偶函数，，，，经检验符合题意，故答案为.10．【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】法一：如图，11.【2018届天津市南开中学模拟】设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】∵函数以5为周期，∴，又∵，函数是奇函数，∴，因此，解之得或，故答案为．12.【2018届江苏省常州市横林高级中学月考】定义在R 上的函数()f x 满足: ()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+，则()2017f =________．【答案】12【解析】()()()()121,2f x f x f x f x +⋅=+=，将x 代换为2x +，则有()()()142f x f x f x +==+ ()f x ∴为周期函数，周期为4， ()()()2017504411f f f =⨯+=， ()()12f x f x +=，令1x =-，则()()111f f =-， 当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+ ()()221log 13log 42f ∴-=+==， ()()()1111,1122f f f ∴==∴=-，故答案为12.13.【2019届安徽省肥东县高级中学8月调研】函数的定义域为．（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时， 在上单调减，无最大值，当时取得最小值；当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当 时取得最小值.14．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学第二次月考】已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数；（2）证明见解析；（3）02a ≤≤.【解析】（3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()393,3113f f f a f a f ⎡⎤==+≤+≤⎣⎦ ∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.。
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2020·浙江·高一期末）已知函数()1,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，则函数()()()112f x f x g x ++-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】写出函数()g x 的解析式，由此可得出函数()g x 的图象. 【详解】()1,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，则()1f x x =-，所以，()()()1,1112110,11221,1x x x x f x f x g x x x x --≤-⎧++--++-⎪===-<<⎨⎪-≥⎩， 因此，函数()g x 的图象如D 选项中的图象. 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．但关键还是要确定函数的解析式.2．（2020·江西·南昌二中高三月考（理））函数5sin()()x f x π-=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先对解析式进行化解，根据函数的奇偶性定义判断出函数是奇函数，可以排除BC 两项，再判断当函数的自变量当0x +→时，函数值，y →-∞即可解得.【详解】5sin()()x f x π-=()()f x f x -==-,故函数是奇函数，排B 、C ，当0x +→时，函数值y →-∞.故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势判断函数图像问题，属于中档题目，函数图像问题一般要用到函数的奇偶性、单调性、变化趋势等，解题中需要结合函数图像的特点灵活处理.3．（2021·江西·南昌市第十七中学高二月考（文））已知函数()()()1sin ,f x x x π=-则函数在[]1,3-上的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】运用排除法，由()(2)f x f x -=，可得()y f x =的图象关于直线1x =对称，当(1,2)x ∈时，所以()0,f x <可排除得选项. 【详解】由()()()()()()(2)21sin 21sin 21sin f x x x x x x x f x ππππ-=---=--=-=⎡⎤⎣⎦， 得()y f x =的图象关于直线1x =对称，故排除BC ， 当(1,2)x ∈时，()sin 0x π<，所以()0,f x <故排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常由函数的奇偶性，单调性，特殊点的函数的正负排除选项，属于中档题.4．（2021·全国·高三月考）函数()2sin 12x e x f x x +=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由()00f >，函数不具有奇偶性，以及0x >时，函数值大于0，结合选项即可得解． 【详解】解：()02sin 0020102e f +==>+，则可排除A ；又函数()2sin 12x e xf x x +=+不具有奇偶性，则可排除C ；当0x >时，sin 0x e x +>，2102x +>，则可排除B ．故选：D ． 【点睛】本题考查已知函数解析式，利用函数性质确定函数图象，常用排除法进行解题，属于中档题．5．（2021·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（ ）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xxy e =【答案】C 【分析】利用函数值恒大于等于0，排除选项A 、B 、D ，则答案可得. 【详解】当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而A 选项中，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 2sin 20xxy e =<，故排除A ； 当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而B 选项中，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2cos20x xy e=<，故排除B ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而D 选项中，当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0x xy e=<，故排除D ； 因此，C 选项正确； 故选：C . 【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.6．（2021·湖北·钟祥市实验中学高二月考）函数cos(π)()e e x xx f x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据定义域排除B ，根据(1)0f <排除A ，当1(0,)2x ∈时，()0f x >，当13()22x ∈，时，()0f x <，排除D 项，得到答案. 【详解】由e e 0x x --≠，解得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故排除B 项. 因为()cos[π()]cos(π)()()e e (e e )x x x xx x f x f x ------===----，所以函数()f x 为奇函数， 又1111cos π1(1)0e e e e f ---==<--，故排除A 项. 设()e e x x g x -=-，显然该函数单调递增，故当0x >时，()(0)0g x g >=，则当1(0,)2x ∈时，cos(π)0y x =>，故()0f x >，当13()22x ∈，时，cos(π)0y x =<，故()0f x <，所以排除D 项. 故选:C. 【点睛】本题考查了图像的识别，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．（2020·浙江·高三专题练习）已知函数()2sin 6241x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律，代入特殊值判断，即可得到答案． 【详解】解：函数2sin(6)2cos62()4141x x xx x x f x π+==--， 2cos(6)2cos6()()4141x x xx x xf x f x ---∴-==-=---， ()f x ∴为奇函数，故图象关于原点对称，故排除B 和D ，2sin(6)2cos62()4141x x xx x x f x π+==--， 可知当62x k ππ=+，即12x k ππ=+时，()0f x =当0x >时，12x π=时，()0f x =，从左到右()f x 第一个零点为12π，因为02412ππ<<，取24x π=，得()0f x >，则C 选项正确.故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，零点等排除.8．（2019·全国·三模（文））函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确.【详解】1.11.1ln |1.1|(1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()2f e ---==，1ln 22<=，2<，1()12f ∴-.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.9．（2019·全国·高三月考（理））已知函数()y f x =图象如下，则函数解析式可以为（ ）A ．()()()sin 2ln 1f x x x π=+B ．()()2sin 222xxx x f x π-=-C ．()()()sin 222x x f x x π-=-D ．()()()sin 222x x f x x π-=+【答案】C 【分析】根据图象可知函数()y f x =为偶函数，且定义域为R ，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的定义域为R ，且为偶函数.对于A 选项，()()()sin 2ln 1f x x x π=+的定义域为{|0}x x ≠，不合乎题意；对于B 选项，令220x x --≠，得0x ≠，则函数()()2sin 222x xx x f x π-=-的定义域不为R ，不合乎题意；对于C 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=-的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=--=-=，该函数为偶函数，合乎题意； 对于D 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=+的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=-+=-+=-，该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：C.【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题.10．（2020·湖北·武汉二中高二期中）下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】 首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】 ∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选:C.【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.11．（2020·云南·昆明一中高三月考（文））函数()()12xx f x x e -=-的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的定义域计算出导函数()f x '的正负，由此判断函数()f x 的单调性并判断出图象.【详解】因为定义域{}|2x x ≠，所以()2233()0(2)x x x f x x e --+'=<-，所以()f x 在(),2-∞和()2,+∞上单调递减，故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析.12．（2020·全国·模拟预测（理））(5分)函数cos ()cos x x f x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．13．（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以为（ ）A ．21()x f x x +=B ．()2ln 2()x f x x += C ．33()x f x x += D ．ln ()x f x x= 【答案】A【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案．【详解】选项B 根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除；选项C 根据图象x 趋向于-∞，函数值为负，与C 矛盾故排除；选项D 函数图象在第三象限，0x <，与D 的定义域矛盾，故排除；由此可得只有选项A 正确；故选:A.【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题.14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22cos xe x xf x x +=，则()f x 的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性得函数为偶函数，故排除B ，C ，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，排除A 得答案.【详解】因为()22cos xe x xf x x +=，定义域为{}0x x ≠， 所以()()()()()2222cos cos x xe x x e x xf x f x x x --+-+-===-， 所以()f x 为偶函数，所以排除B ，C 选项. 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，所以排除A 选项. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15．（2021·山东省实验中学高三月考）函数()cos f x x x=-( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数f (x )定义域，排除两个选项，再取特殊值得解.【详解】∵令g (x )=2cos x x -，x >0时，x 2是递增的，cos x 在(0,π)上递减，则有g (x )在(0,π)上单调递增，而(0)1,(1)1cos10g g =-=->，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0g x =，()f x ∴中0,x R x x ∈≠，排除C 、D ， ∵2x π=时()0f x >，排除B ，所以选A.故选：A【点睛】给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手.16．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）函数()22()6log ||f x x x =-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，然后根据x →+∞时的函数值确定出正确选项.【详解】因为()()()2222()6log ||6log ||()f x x x x x f x -=---=-=，且定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数，所以排除C ，D ；又因为当x →+∞时，y →+∞，所以排除A .故选:B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.17．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项； 22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''. 对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 18．（2021·广东广州·高二期中）已知函数()f x =，则其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【分析】通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除C D 、.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.【详解】()f x的定义域为0x≠,22cos()()xf x f x-====-所以()f x为奇函数，则C D、排除若0x>,且0x→，则cos1)0,()x x f x→+→∴→+∞若0x<,且0x→，则cos1),()x x f x→→-∞∴→-∞f>，(0f-<，011<<，1)0<.故选：A【点睛】判断图像类问题，主要考虑以下几点：函数的定义域；函数的奇偶性；函数的单调性；图像中的特殊值.并且通常用到排除法.19．（2020·浙江·诸暨中学高三月考）函数sin lnxy x e x=+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据0x >、0x <分类讨论sin ln x y x e x =+的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1、当0x >时，sin ln x y x e x =+，即1cos (ln )x y x e x x '=++，令1()(ln )x g x e x x=+，则1()ln (2)x xe g x e x x x '=+-， ∴1x >时，()0g x '>即()g x 单调递增，故()(1)g x g e >=，∴此时，cos ()cos 0y x g x x e '=+>+>，即y 在(1,)x ∈+∞单调递增，故排除D 选项；2、当0x <时，sin ln()x y x e x =+-，令()ln()x g x e x =-，则1()[ln()]x g x e x x'=-+， ∴1()(1)0e g e e e-'-=->，1(1)0g e -'-=-<，故0(,1)x e ∃∈--有00001()[ln()]0x g x e x x '=-+=即001ln()x x -=-，所以000001()ln()x x e g x e x x e =-=-<，∴在1x <-上010()()g x g x e<<<，而sin [1,1]x ∈-，故sin ln()x y x e x =+-在1x <-上一定有正有负，则有B 正确；故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论20．（2020·湖南常德·高三期末（文））函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象大致为 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】排除法，求出函数的定义域可排除A 、B ，函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象可由函数()11ln x x e e g x x +-+=的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数()11ln x x e e g x x+-+=的单调性，从而可得出结论．【详解】 解：由ln 10x +≠得10x +≠且11x +≠，即1x ≠-且0x ≠，∴函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的定义域为()()()11,00,-∞--+∞，故A 、B 错；又函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+的图象可由函数()11ln x x e e g x x+-+=的图象向左平移一个单位得到， ∵0x >时，()11ln x x e e g x x +-+=，()()1121ln ln x x e e x x g'x x +-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 由()'0g x =得1ln 0x x -=，令()1ln h x x x=-， ∵()11h =-，()12ln 202h =->， ∴存在实数()01,2x ∈，使得()00h x =，又函数()1ln h x x x=-在()0,∞+上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，函数()g x 单调递增；∴函数()2ln 1x x e e f x x +-+=+在()0,∞+上的单调性应是先递减后递增， 故C 错，D 对；故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的性质与图象，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题．。
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一．重难点梳理1：函数单调性的概念:在理解函数单调性的定义时，要注意：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1、x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x 1)<f(x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2：单调性的证明方法:证明f(x)在区间D 上的单调性应按以下步骤：①设元：设x 1、x 2∈D 且x 1＜x 2；②作差：将函数值f(x 1)与f(x 2)作差；③变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；④判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；⑤定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．3：单调性的判断方法:判定函数单调性的方法是本节的重点．函数单调性的判定方法主要有：(1)．定义法：利用定义严格判断．(2)．图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．(3)．用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．4．求函数y ＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将函数分解成基本初等函数y ＝f(u)，u ＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增同减，则y ＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y ＝f(g(x))为减函数(同“增”异“减”)．5：单调区间:函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若端点处没有定义，必须用开区间．一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．6. 判定函数的奇偶性注意点：判定函数的奇偶性需要注意：①定义域必须关于原点对称。
所以先判定函数定义域是否关于原点对称：②再利用定义判定,③利用函数奇偶性定义的等价形式灵活判定，即：0)()(=-±x f x f 或).0)((1)()(≠±=-x f x f x f ④图象法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。
也可以利用性质判断，如：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．7．利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。
另外，①若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.利用奇偶性求对称区间的函数解析式．②若为偶函数，则有f （－x ）＝f （x ）＝f （|x|）＝f （－|x|）巧用这一重要性质，可避免一些复杂运算，简化解题过程。
8．函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质，函数的单调性是定义域内的局部性质，可根据函数的奇偶性判断对称区间的单调性．单调性、奇偶性经常在同一个问题中出现，其单调性要注意对称区间的变化．9.有关函数图象的对称性的几个命题（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数y ＝f （x ）满足f （T ＋x ）＝f （T －x ）（T 为常数）的充要条件是y ＝f （x ）的图象关于x ＝T 直线对称。
推论：函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称的充要条件是f （x ）＝f （－x ）.2、函数y ＝f （x ）满足f （x ）＝f （2T －x ）（T 为常数）的充要条件是y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝T 对称。
3、函数y ＝f （x ）满足f （a ＋x ）＝f （b －x ）的充要条件是y ＝f （x ）图象关于直线22))((b a x b x a x +=-+=对称。
4、函数y ＝f （x ）的图象关于点A （a ，b ）对称的充要条件是f （x ）＋f （2a －x ）＝2b.推论：函数y ＝f （x ）的图象关于原点O 对称的充要条件是f （x ）＋f （－x ）＝0.5、（1）若函数y ＝f （x ）图象同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则y ＝f （x ）是周期函数，且2|a －b|是其一个周期。
（2）若函数y ＝f （x ）图象同时关于直线x ＝a 和直线x ＝b 成轴对称（b a ≠），则y ＝f （x ）是周期函数，且2|a －b|是其一个周期。
（3）若函数y ＝f （x ）图象既关于点A （a ，c ）成中心对称又关于直线x ＝b 成轴对称（b a ≠），则y ＝f （x ）是周期函数，且4|a －b|是其一个周期。
（二）两个不同函数对称性的探究1、函数y ＝f （x ）与y ＝2b －f （2a －x ）的图象关于点A （a ，b ）成中心对称。
2、（1）函数y ＝f （x ）与y ＝f （2a －x ）的图象关于直线x ＝a 成轴对称。
（2）函数y ＝f （x ）与a －x ＝f （a －y ）的图象关于直线x ＋y ＝a 成轴对称。
（3）函数y ＝f （x ）与x －a ＝f （y ＋a ）的图象关于直线x －y ＝a 成轴对称。
推论：函数y ＝f （x ）的图象与x ＝f （y ）的图象关于直线x ＝y 成轴对称。
3、曲线y ＝f （x ）与y ＝－f （x ）关于X 轴对称。
4、曲线y ＝f （x ）与y ＝f （－x ）关于Y 轴对称。
5、曲线f （x ，y ）＝0关于直线x ＝b 对称的曲线为f （x ，2b －y ）＝0.6、曲线f （x ，y ）＝0关于直线x ＋y ＋c ＝0对称曲线为f （－y －x ，－x －c ）＝0.7、曲线f （x ，y ）＝0关于直线x －y ＋c ＝0对称曲线为f （y －c ，－x ＋c ）＝0.8、曲线f （x ，y ）＝0关于点P （a ，b ）对称的曲线为f （2a －x ，2b －y ）＝0.10、有关周期性命题（1）、定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足f （x ＋a ）＝f （x ＋b ），则y ＝f （x ）必是周期函数，且T ＝k （a －b ）（Z k ∈且0≠k ）.（2）函数y ＝f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （x ＋a ）＝f （b －x ），则y ＝f （x ）必是周期函数，且T ＝k （a ＋b ）（Z k ∈且0≠k ）.（3）函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，且满足f （x ＋a ）＝f （－x ），则y ＝f （x ）必是周期函数，且T ＝2ka （Z k ∈且0≠k ）.（4）如果函数y ＝f （x ）满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（21,T T 是不相等的常数），则y ＝f （x ）是以)(212T T -为周期的周期函数。
（5）如果奇函数y ＝f （x ）满足)0)(()(≠-=+T x T f x T f ，则函数y ＝f （x ）是以4T 为周期的周期性函数。
（6）如果偶函数y ＝f （x ）满足)0)(()(≠-=+T x T f x T f ，则函数y ＝f （x ）是以2T 为周期的周期性函数。
二．典例精析1.单调性问题例1.函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是______。
解析：函数()f x 的对称轴是1x =，并且开口向上，故()f x 在[1,)+∞单调递增，点评：本题考查了二次函数的性质，可以结合函数的图像，根据二次函数的开口方向以及对称轴的位置确定函数的单调区间．例2已知()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 ．点评：本题考查了函数的单调性的应用，属于基础题型．在单调递增函数的定义中三个条件：12;x x <12()()0()f x f x f x -<；为增函数；知道其中两个条件就可以推出第三个结论；同理对减函数也成立。
2.奇偶性问题例3. 已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。
分析：如果直接将f （－3）＝－3代入，由于含有两个字母，无法建立方程组求解参数，但是如果利用函数局部解析式的奇偶性，问题迎刃而解。
解：设5)(24++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f点评：若遇到已知函数的奇偶性求值问题，若不能代入直接求值，一般可以利用函数局部的奇偶性求值。
例4.（2017•乐山一模）设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a= ．解：函数2()(1)(23)=2(32)3f x x x a x a x a =+++++，∵函数()f x 为偶函数，∴222(32)32(32)3x a x a x a x a -++=+++，∴32a +=0，,∴23a =-。
【点评】本题考查偶函数的定义，根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论。
例5已知()f x 为奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2,(1)(1)4f g f g -+=+-=，则(1)g = ． 解：∵()f x 为奇函数，∴(1)(1)2f g -+=可化为(1)(1)2f g -+=①，∵()g x 为偶函数，∴(1)(1)4f g +-=可化为(1)(1)4f g +=②，①+②得，2(1)g =6，解得(1)g =3，故答案为：3．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的求值，灵活运用函数的奇偶性是解题关键．利用函数()f x 、()g x 的奇偶性可把已知等式化为关于(1)f ，(1)g 的方程组，消掉(1)f 即可求得(1)g ．例6设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是________。