河北省石家庄市2019_2020学年高二数学下学期末考试题

石家庄市2019~2020学年度第二学期期末检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}6U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B 等于（ ）A. {1,2,3,4}B. {5}C. {0,5}D. {2,4}【答案】C 【解析】 【分析】 先根据集合{1,3}A =，{2,4}B =，求得A B ，再根据全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=求解.【详解】因为集合{1,3}A =，{2,4}B =， 所以{}1,2,3,4AB =，又全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=， 所以{}()0,5UA B =故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 设复数3i12iz -=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. (1,1)B.C. 1(,1)5D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】因为3i (3i)(12i)32i 6i1i 12i (12i)(12i)5z --++-+====+--+，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1). 故选A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题. 3. 已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（ ） A. 0x R ∃∈，060x +≥ B. 0x R ∃∈，060x +≤ C. x R ∀∈，60x +≥ D. x R ∀∈，60x +≤【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题0:p x R ∃∈，060x +>是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即：x R ∀∈，60x +≤ 故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. 22xy =-B. 3y x =C. ln y x =D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解. 【详解】A. 因为()()2222xx f x f x --=-≠-=，所以是非奇非偶函数，故错误；B. 因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，故错误； C.因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，所以是非奇非偶函数，故错误；D.因为()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数，令()0f x =，解得1x =±，故故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题. 5. 若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.b c a >>【答案】A 【解析】 因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．6. 为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（ ） A. 20 B. 18 C. 36 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.【详解】由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有23436636C A ⨯=⨯=种分配方法，故选：C.【点睛】本题考查分组分配问题，一般采用先分组后分配的方法，属于基础题. 7. 某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ） A. 12 B. 20 C. 30D. 40【答案】A 【解析】利用正态分布曲线关于90x =对称，从而求得()90100P ξ≤<的值，进而求得()100P ξ>的概率值，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()290,5N ，所以()8090P ξ≤<=()90100P ξ≤<0.3=， 所以()()18010010.61000.222P P ξξ-≤<->===，所以该班数学成绩在100分以上的人数为600.212⨯=（人）. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8. 若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A. 2B.C. 5D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9. 函数f (x )＝21xx e -的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f (－x )＝21x x e--≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f (2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 10. 若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（ ） A. 1e - B. 1e -C. 11e-D.11e- 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数性质确定()f x 的单调性，然后得出,a b 的取值（或范围），可得结论．【详解】ln ,01()ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，∴()f x 在(0,1]单调递减，在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)0f x f ==，又1()1f f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意11a e≤≤，1b e ≤≤，且1a e =和b e =中至少有一个取到．即1a e =，1b e ≤≤，此时111b a e e e-≤-≤-， 若11a e <≤，则b e =，11e b a e e-≤-<-， ∴b a-的最小值是11e-． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的值域问题，掌握对数函数的性质是解题关键．基本方法是：去掉绝对值符号后确定函数的单调性，由单调性得出函数值域．11. 已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)1,-+∞D. (],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >， 则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B.【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系.12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21xf x =-，则2(log 9)f =（ ） A. 79-B. 8C. 10-D. 925-【答案】A【解析】 【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A. 【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 函数()2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-，所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 【答案】2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15. 若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出导数()'f x ，确定函数的极值点，由极值点可得a 的范围．【详解】函数定义域是(0,)+∞，2141()4x f x x x x '-=-=114()()22x x x+-=，当102x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当12x >时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 只有一个极值点，极小值点12， 由1(1,1)2a a ∈-+，则112112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1322a <<，又10a -≥，即1a ≥，∴312a ≤<．故答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果．16. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________． 【答案】25【解析】 【分析】由于该密码的最后一位数字是奇数,应该在“1,3,5,7,9”中选数，求出按前2次的所有基本事件个数，再求出其中有密码的基本事件的个数，从而可得概率．【详解】根据题意,密码的最后一位数字是奇数,所以此人在按最后一位数字时,有“1,3,5,7,9”5种可能，由此可得此人在按前两次,所有的基本事件有255420n A ==⨯=个，若此人不超过2次就按对,说明前2次所按的数字含有正确数字，相应的基本事件有12428m C A =⋅=个，因此,此人不超过2次就按对的概率是82205m P n ===， 故答案为：25． 【点睛】本题以按密码的事件为例,求某人按密码不超过两次就正确的概率.着重考查了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识,属于基础题.三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项. 【答案】70 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数,列出方程解得n 值,利用二项展开式的通项公式求出第1r +项, 令x 的指数为0求出常数项【详解】因为21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等所以知可得3522n n C C =,所以352n +=,即4n =. 所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=, 若它为常数项,则4r =,所以45870T C ==. 即常数项为70.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<．（Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤． 综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.19. 已知函数()()223m m f x xm Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()()log 2a g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦(0a >且1a ≠)，求()g x 在(]2,3上值域．【答案】（1）1m =，()2f x x =；（2）当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞. 【解析】试题分析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，验证后可知1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，函数22y x x =-在(]2,3上单调递增，故按1a >，01a <<两类，利用复合函数单调性来求函数的值域. 试题解析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，()3f x x =它不是偶函数；当1m =时，()2f x x =是偶函数；所以1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，设(]22,2,3t x x x =-∈，则(]0,3t ∈，此时()g x 在(]2,3上的值域，就是函数(]log ,0,3a y t t =∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(]03,上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞； 当01a <<时，log a y t =在区间(]03,上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞； 所以当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35f f <，可以判断函数在()0,+∞上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.20. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h 的有25人. （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关.（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为65.【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，完成列联表，求出28.2497.879K≈＞，从而有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即23,5B⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出X的分布列与数学期望.【详解】解：（1）因为()22100402515208.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆的概率为4021005=， X 可取值是0，1，2，3，由题知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 分布列为()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查二项分布，随机变量的分布列与期望的计算，考查学生的数据分析和运算求解能力.21. 在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y=；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7y xa =-+． （Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） 【答案】（Ⅰ）模型①的2R 小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；（Ⅱ）技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，182.479.2>，得到()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑判断即可.（2）由表中数据求得由已知可得 23x =．67.2y =，进而得到ˆ0.7ay x =+写出线性回归方程，再将20x计算，然后再比较即可.【详解】（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元） （2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =．∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+． 所以当20x 亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=． 所以当20x亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．【点睛】本题主要考查回归分析及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22. 已知函数2()ln f x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；（Ⅱ）先根据零点得2121lnx x a x x =-，再代入化简不等式为2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，其中211x t x =>，最后根据导数确定函数()g t 单调性，根据单调性证不等式.【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞ ； （2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln xx a x x =- ， 要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫ ⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t <-+， 设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭， ∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.。