2015年北京中考丰台区数学二模试卷

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2015年北京中考数学二模各区29题汇总(含答案)

2015北京中考数学二模各区29题（含答案）昌平29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式与；（2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图朝阳29.如图，顶点为A （－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P 在该图象上，OP 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点A 对称，连接PN ，ON .（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P 的坐标是（－6,3），求△OPN 的面积；（3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：① 求证：∠PNM ＝∠ONM ；② 若△OPN 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标.丰台29.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．（1）分别判断函数1y x=-（0x ＜）和23y x =-（2x ＜）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；（2）如果函数2y x =-+ （,a x b b a ≤≤＞）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222y x ax =-+（15x ≤≤）是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值.怀柔29. 阅读理解：学习了三角形全等的判定方法:“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”和直角三角形全等的判定方法“HL ”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA ”的情形进行研究．我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D . 初步探究：如图1，已知AC=DF, ∠A =∠D ,过C 作CH ⊥射线AM 于点H ，对△ABC 的CB 边进行分类，可分为“CB<CH ，CB=CH ，CH<CB<CA ，”三种情况进行探究．深入探究：第一种情况，当BC<CH 时，不能构成△ABC 和△DEF ．第二种情况，（1）如图2，当BC=CH 时，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，根据，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．HNANA第三种情况，（2）当CH<BC<CA 时，△ABC 和△DEF 不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC 和△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）．（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH 时，才一定能使△ABC ≌△DEF ．除了上述三种情况外，BC 边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC ≌△DEF ？写出结论,并利用备用图证明.石景山29．对于平面直角坐标系xOy 中的点(),P m n ，定义一种变换：作点(),P m n 关于y 轴对称的点'P ，再将'P 向左平移()0k k >个单位得到点'k P ，'k P 叫做对点(),P m n 的k 阶“ℜ”变换．（1）求()3,2P 的3阶“ℜ”变换后3'P 的坐标；（2）若直线33y x =-与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点A 的2阶“ℜ”变换后得到点C ，求过,,A B C 三点的抛物线M 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线M 的对称轴与x 轴交于D ，若在抛物线M 对称轴上存在一点E ，使得以,,E D B 为顶点的三角形是等腰三角形，求点E 的坐标．房山29.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“友好”抛物线. （1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数（2）如图2，已知抛物线L 3：2284y x x =-+与y 轴交于点C ，点C 关于该抛物线对称轴的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的表达式;（3）若抛物线21()y a x m n =-+的“友好”抛物线的解析式为22()y a x h k =-+,请直接写出1a 与2a 的关系式为 .ANH图2图1平谷29．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为（1，0）点有个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为（p ，q ），且∠BOD =120°．请画出图形，并直接写出p ，q 的关系式；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为（1，且∠AOB =30°，求OM 的长．顺义29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，其中B （6，0），与y 轴交于点C （0，8），点P 是x 轴上方的抛物线上一动点（不与点C 重合）．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，点E 关于直线PC 的对称点为'E ，若点'E 落在y 轴上（不与点C 重合），请判断以P ，C ，E ，'E 为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下直接写出点P 的坐标．图1O D C B A 图2 图3备用图西城29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 半径为1．在A ，B两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ，求m 的值；（3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．东城29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。

2015年北京中考数学试卷及参考答案

2015年北京市高级中等学校统一招生考试数学试卷及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到1 40 000立方平米。

将1 40000用科学记数法表示应为( )A ．14×104B ．1.4×105C ．1.4×106D ．0.14×1062．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d3．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为( ) A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( )A B C D5．如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为( ) A ．26° B ．36° C ．46° D ．56°（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（） A ．0.5km B ．0.6km C ．0.9km D ．1.2km 7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（） A ．21，21 B ．21，21.5 C ．21，22 D ．22，228．下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图。

若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向。

表示太和门的点坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．景仁宫（4，2）B．养心殿（-2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（-3.5，-4）9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。

2015丰台二模数学试题及答案

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则AB =(A){0x x <或1}x ≥(B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A)223(B)283(C)323(D)3434．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x ≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3(D) 236．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =(A)(B) (C) 3 (D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是(A) 30(B) 40 (C) 47.5(D) 52.5俯视图正视图8．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是 (A) 4(B)(C) (D) 8第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是． 10．直线l 的斜率是1-，且过曲线22cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是．11．已知函数21()sin 22f x x x =+，则()f x 的最小正周期是；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'= ． 12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．13．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB PA ⊥，24BE PE PD ===，则PA =_____，AC = ．14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{1,2,3,4,5,6,7}A B =；②A B =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______；（ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值；（Ⅱ）求边AC 的长．16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A A B C D-中，⊥1AA 底面A B C D ，BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ；（Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥；（Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ，当cos θ=CM 的长．18.（本小题共13分）OMD 1C 1B 1A 1DCBAA 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57已知数列{}n a 满足110a =，1212,2,1log ,21n a n n n k a a n k --⎧==⎨-+=+⎩*(N )k ∈，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）写出3a ，4a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求n S 的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．20.（本小题共13分）已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10．50x y +-= 11．π；1-12．212213．4； 14．{6}；32 注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=，所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD ∠==……………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ．因为222BC CD DB =+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(91113202437)196+++++=，由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时； B 班样本数据的平均值为1(111221252736)226+++++=，由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时． ……………………2分（Ⅱ）因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是13，所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为12124()()339P C =⨯=． ……………………5分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．252)0(26262324===C C C C P ξ， 7526)1(2626131324231214=+==C C C C C C C C P ξ， 7531)2(26261313121423242322=++==C C C C C C C C C C P ξ， 7511)3(2626231214131322=+==C C C C C C C C P ξ， 751)4(26262322===C C C C P ξ． ξ的分布列是：2263111150123425757575753E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BA B A 11是平行四边形．所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面 O B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ．所以AB l //．………………4分（Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．B设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-．所以08081=++-=⋅．所以1AO DM ⊥． ……………………8分（Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =．设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--．设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-．又因为cos 25θ=，所以2cos ,25m n<>=，即125m nn m⋅==解得3h =或76h =．所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为110a =，所以110222a a ==，1032221log 1log 29a a =-+=-+=，942512a ==． ……………………3分（Ⅱ）当n 为奇数时，221221log 1log 21n a n n n a a a ---=-+=-+=-，即21n n a a --=-．所以{}n a 的奇数项成首项为110a =，公差为1-的等差数列．所以当n 为奇数时，1121()(1)22n n na a --=+⋅-=．当n 为偶数时，121(1)1122222n n n n a a ----===，所以 112*2,2,(N )21,2 1.2nn n k a k n n k -⎧=⎪=∈⎨-⎪=-⎩ ……………………10分（Ⅲ）因为偶数项11220n n a -=>，奇数项212n na -=为递减数列，所以n S 取最大值时n 为偶数．令2210k k a a -+≥(*N k ∈)，即112121202kk --++≥．所以11211k k -≥-．得11k ≤．所以n S 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=．……………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距22c =，所以1c =．因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b =2a ．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………4分（Ⅱ）假设存在点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点．设00(,)P x y ，(,0)T t ，PM 的中点为S ．因为PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），且PTN ∠的平分线过S ，所以PTS STN PST ∠=∠=∠．又因为S 为PM 的中点，所以12PT PS PM ==．0142x =-．因为点P 在椭圆C 上，所以2203(1)4x y =-，代入上式可得 202(1)(1)0x t t -+-=．因为对于任意的动点P ，PTN ∠的平分线都过S ，所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立．所以21010t t -=⎧⎨-=⎩，解得1t =．所以存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，此时定点T 的坐标为(1,0)． ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}x x >．因为ln 1()ax f x x +=，所以2ln ()axf x x -'=．因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=．当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当 1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1x a=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k kk k --<-，所以得到当*N k ∈且2k ≥时，1111ln 234k k+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分由（Ⅰ）得ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-，……11ln1k k k k++<-，所以得到当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+．又因为1lnln 22k k +<，所以当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2015北京各区中考数学二模26、27、28题汇编(带答案)

OC
（用含 x 的式子表示），
【问题解决】
2015 北京模拟 2 / 18
已知，如图 2，点 M、N、P 为圆 O 上的三点，且∠P=β，tanβ = 1 ，求 sin2β 的值. 2
y
C B
2α
M
β
P
A
D
D
O
α
A
N
O
B
O C
x
图1
图2
26．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 各边都平行于坐标轴，且 A（-2，2），C（3，-2）．对矩形 ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以 a，纵坐标乘以 b，将得到的点再向右平移 k （k 0）个单位，得到矩形 A ' B ' C ' D ' 及其内部的点（ A ' B ' C ' D ' 分别与 ABCD 对应）．E（2，1）经过上述操作后的对应点记为 E ' ．（1）若 a=2，b=-3，k=2，则点 D 的坐标为，点 D ' 的坐标为；（2）若 A ' （1，4）， C ' （6，-4），求点 E ' 的坐标． 26．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G. 如果 AF 3 ，求 CD 的值． CG EF 他的做法是：过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H，那么可以得到△BAF∽△HEF．请回答：（1）AB 和 EH 之间的数量关系是，CG 和 EH 之间的数量关系是， CD 的值为．
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 o –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5

2015年区二模数学答案

3 2 2
3 ..............................................................................................2 分
22.（本题满分 7 分）（1）画图正确...............................................................................................................................................3 分 △ABC 的面积为6..................................................................................................................................1 分（2）画图正确.................................................................................................................................................3 分 23.（本题满分 8 分）（1）解：m = 100，x = 40，y = 0.18........................................................................................................3 分（2）补图正确..................................................................................................................................................2 分（3）解：估计该校学生劳动的总时间为 2640 小时..........................................................................................3 分 24.（本题满分 8 分） (1)在△ABC 中，∵AC=BC，∠ACB=90，CG 平分∠ACB， ∴∠CAB=∠CBA=

北京市2015年中考数学二模试题

2015年中考数学二模试题学校班级姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．某种埃博拉病毒（EBV ）长0.000 000 665nm 左右．将0.000 000 665用科学记数法表示应为A ．0. 665×10-6B ．6.65×10-7C ．6.65×10-8D ．0. 665×10-92A C 3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是A B C D4．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，若23AD DB ，AE =6，则EC 的长为 A . 6 B. 9 C. 15 D. 185．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中. 大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n 大约是A . 10 B. 14 C. 16 D. 406．某射击教练对甲、乙两个射击选手的5次成绩（单位：环）进行了统计，如下表所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为x 甲、x 乙，射击成绩的方差分别为2s 甲、2s 乙，则下列判断中正确的是A ．x 甲＜x 乙，2s 甲＞2s 乙B ．x 甲=x 乙，2s 甲＜2s 乙C ．x 甲=x 乙，22=s s 甲乙D ．x 甲=x 乙，2s 甲＞2s 乙7．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心， 5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ，若CD =6，则隧道的高（ME 的长）为A ．4B ．6C ．8D ．98．某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器模拟水池蓄水情况：从某时刻开始，5分钟内只进水不出水，在随后的10分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的蓄水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则第12分钟容器内的蓄水量为A. 22B. 25C. 27D. 289. 如图，点M 、N 分别在矩形ABCD 边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿MN 翻折后点C 恰好与点A 重合，若此时BN CN =13,则△AMD′ 的面积与△AMN 的面积的比为 A ．1:3 B ．1:4 C ．1:6 D ．1: 910. 如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，点F 为BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连接EF ，以EF 为直径的圆分别交BE ，CE 于点G 、H . 设BF 的长度为x ，弦FG 与FH 的长度和为y ，则下列图象中，能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式162+-x x 的值为0，则x 的值为．12．分解因式：22312x y -．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．14. 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边中线，分别以点A 、C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧交点分别为点E 、F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA =2，则△ABC 外接圆的面积为．(第14题) (第15题)15．如图，点B 在线段AE 上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABC ≌△ABD ，那么这个条件可以是 (要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可 )． 16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为．17．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D . 求证：BE=CD ．18．计算：-2018cos60(2π⎛⎫- ⎪⎝⎭．19．解不等式12212333x x --≥，并把它的解集在数轴上表示出来.20．已知a b -2(2)(2)4(1)a b b a a -+-+-的值．21．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数 my x=()0≠m 的图象交于A (-3，1)，B (1，n )两点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）设直线AB 与y 轴交于点C ,若点P 在x 轴上，使BP =AC ，请直接写出点P 的坐标．22．列方程或方程组解应用题：23．如图，点F 在□ABCD 的对角线AC 上，过点F 、 B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF=∠FBC+∠FCB ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若BE=5，AD=8，21sin =∠CBE ，求AC 的长.24．某校为了更好的开展“学校特色体育教育”，从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生，组成了一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:（说明：40---55分为不合格，55---70分为合格，70---85分为良好，85---100分为优秀）请根据以上信息，解答下列问题：（1）表中的a = ，b= ；（2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图；（3）如果该校八年级共有150名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为．25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD 是⊙O的直径，PA ∥BC ，与DB 的延长线交于点P ，连接AD ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若BC =4 ，求AD 的长．正正正正26．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD 的面积为（用含m 的式子表示）．（2）求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD 的面积为（用含a 、b 、α的式子表示）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．图1 图2图328．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接PB ，那么PA 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想:PA 2+PC 2=PB 2 .小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB 后得到△P′C B ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，①PA =4，PC=PB= .②用等式表示PA 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.29.如图，顶点为A （－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P 在该图象上，OP 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点A 对称，连接PN ，ON . （1）求该二次函数的表达式；（2）若点P 的坐标是（－6,3），求△OPN 的面积；（3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：① 求证：∠PNM ＝∠ONM ；② 若△OPN 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标.图1图2草稿纸北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷答案及评分参考 2015.6一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 312. )2)(2(3y x y x -+13. 214. π415. 答案不惟一，例如D C ∠=∠ 16. 8或10（写出一个正确结果给1分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BEC=∠CDA ＝90°. ………………………1分 ∴∠EBC ＋∠ECB ＝90°. 又∵∠DCA ＋∠ECB ＝90°，∴∠EBC=∠DCA . ………………………………2分又∵BC=AC ，……………………………………3分∴△BEC ≌△CDA . ………………………………………………………………4分 ∴BE ＝CD . ………………………………………………………………………5分18. 解：原式＝1218324-⨯-+. ………………………………………………………4分＝132-. ……………………………………………………………………5分19. 解：2443-≥-x x .……………………………………………………………………1分4243+-≥-x x .……………………………………………………………………2分2≥-x . …………………………………………………………………………3分解得2-≤x . ………………………………………………………………………4分 …………………………5分20. 解：)1(4)2()2(2-+-+-a a b b a＝4424422-+-++-a ab b a a . ……………………………………………3分＝ab b a 222-+＝2)(b a -.……………………………………………………………………………4分 ∵2=-b a ，∴原式＝2)2(2=. ………………………………………………………………5分21. 解：（1）把A (-3，1)代入，有31-=m，解得3-=m .∴反比例函数的表达式为xy 3-=. ……………………………………1分当1=x 时，313-=-=y . ∴B （1，－3）. …………………………………………………………2分把A (-3，1)，B （1，－3）代入b kx y +=，有⎩⎨⎧+=-+-=b k bk 331，解得⎩⎨⎧-=-=21b k .∴一次函数的表达式为2--=x y . ……………………………………3分（2）（4，0）或（－2，0）. ……………………………………………………5分22. 解：设小白家这两年用水的年平均下降率为x . …………………………………………1分由题意，得1264000)1(%3630002=-⋅x . ………………………………………2分解得 8.11=x ，2.02=x . ……………………………………………3分 ∵8.1=x 不符合题意，舍去. ………………………………………………4分 ∴%.20=x答：小白家这两年用水的年平均下降率为%.20 ………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23.（1）证明：∵EF ∥AB ，BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形．∵∠ABF=∠FBC ＋∠FCB ，∠AFB=∠FBC ＋∠FCB ，∴∠ABF=∠AFB ． …………………………………………………………………1分 ∴AB ＝AF .∴□ABEF 是菱形． ………………………………………………………………2分（2）解：作DH ⊥AC 于点H ，∵21sin =∠CBE ， ∴︒=∠30CBE . ∵BE ∥AC ， ∴CBE ∠=∠1. ∵AD ∥BC ， ∴12∠=∠.∴︒=∠=∠302CBE .Rt△ADH 中，342cos =∠⋅=AD AH .………………………………………………3分42sin =∠⋅=AD DH .∵四边形ABEF 是菱形，∴CD= AB=BE=5，Rt△CDH 中，322=-=DH CD CH . ………………………………………………4分 ∴334+=+=CH AH AC .…………………………………………5分24.（1）18，50%. …………………………………………………………………………2分（2）…………………………………………4分（3）120. ………………………………………………………………………………5分25.（1）证明：连接OA 交BC 于点E ，由AB =AC 可得OA ⊥BC ．………………………1分∵PA ∥BC ，∴∠PAO =∠BEO =90°.∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 为⊙O 的切线. …………………………… 2分（2）解：根据（1）可得CE =21BC=2． Rt△ACE 中，122=-=CE AC AE . ………………………………3分 ∴tan C =21=CE AE ． ∵BD 是直径，∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分又∵∠D =∠C ，∴AD =52tan =DAB .………………………………………………………5分 26. 解：（1）32m ；……………………………………………………………………………1分（2）由题意可知∠AEO =90°．∵ AO = m ，∠AOB =30°，∴AE =12m ． ∴S △ABD =m AE BD 2321=⋅．同理，CF =1(4)2m -． ∴S △BCD =m CF BD 23621-=⋅．…………………………………………………2分 ∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD 6=．…………………………………………………3分解决问题：αsin 21⋅ab ．………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. （1）证明：22(1)20(0)ax a x a a --+-=>是关于x 的一元二次方程，2[2(1)]4(2)a a a ∴∆=---- ···················· 1分=4．即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ··················2分（2）解：由求根公式，得2(1)22a x a -±=． ∴1x =或21x a=-． ······················· 3分 0a >，1x ＞2x ，11x ∴=，221x a=-． ······················· 4分 211y ax x a ∴=+=-．即1(0)y a a =->为所求．………………………………………………………5分（3）0＜a ≤23．…………………………………………………………………………7分28. （1）①72；……………………………………………………………………………1分②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分∴∠1＝∠2.∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP′. …………………………4分∴PA ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′.在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°，∴∠A ＋∠BCP ＝270°.∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形.∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+.（说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分29.（1）解：设二次函数的表达式为4)4(2++=x a y ，把点（0,0）代入表达式，解得41-=a . ………………………………………1分 ∴二次函数的表达式为4)4(412++-=x y ，即x x y 2412--=. ……………………………………………………………2分（2）解：设直线OP 为y kx =，将P （－6,3）代入y kx =，解得12k =-， ∴12y x =-. 当4-=x 时，2=y .∴M （－4,2）. ……………………………………………………………………3分 ∵点M 、N 关于点A 对称，∴N （－4,6）.∴MN ＝4.∴12=+=∆∆∆PMN O MN PO N S S S . ……………………………………………………4分（3）①证明：设点P 的坐标为)241,(2t t t --，其中4-<t ，设直线OP 为x k y '=，将P )241,(2t t t --代入x k y '=，解得'=k ∴x t y 48+-=. 当4-=x 时，8+=t y .∴M （－4,8+t ）.∴AN ＝AM ＝)8(4+-t ＝4--t .设对称轴l 交x 轴于点B ，作PC ⊥l 于点C 则B （－4,0），C )241,4(2t t ---. ∴OB ＝4，NB ＝)4(4--+t ＝t -，PC ＝-4NC ＝)241(2t t t ----＝t t +241. 则44412t t t t PC NC -=--+=，44t t OBNB -=-=. ∴OBNB PC NC =. 又∵∠NCP ＝∠NBO ＝90°，∴△NCP ∽△NBO .∴∠PNM ＝∠ONM . …………………………………………………………………6分 ② （4,244---）. ………………………………………………………………8分其他正确解法，请参考标准给分.。

2015年北京丰台区中考一模数学试题及答案

丰台区2015年度初三毕业及统一练习数学试卷2015.5 学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值为2的数对应的点是A．点A与点C B．点A与点DC．点B与点C D．点B与点D2．南水北调工程是迄今为止世界上规模最大的调水工程. 2015年3月25日，记者从北京市南水北调办获悉，北京自来水厂每日利用南水约1 300 000立方米.将1 300 000用科学记数法表示应为A．70.1310⨯B．71.310⨯C．61.310⨯D．51310⨯3. 下面平面图形中能围成三棱柱的是A B C D4．如图，AB∥CD，AB与EC交于点F，如果EA EF=，110C∠=︒，那么E∠等于A．30︒B．40︒C．70︒D．110︒5. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是A．23xx-⎧⎨⎩≥＞B．23xx-⎧⎨⎩＜≤C．23xx-⎧⎨⎩＜≥D．23xx-⎧⎨⎩＞≤6. 关于x的一元二次方程2210mx x--=有两个实数根，那么字母m的取值范围是A．1m≥-B．1m＞-C．10m m≠≥-且D．10m m≠＞-且DCBA021-2-1EACBDF13312247. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了下边的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 8. 代数式245x x -+的最小值是A ．-1B ．1C ．2D ．5 9. 为增强居民的节水意识，某市自2014年实施“阶梯水价”. 按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y （元）与用水量x （立方米）的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭2014年全年上缴水费1180元，那么该家庭2014年用水的总量是 A ．240立方米B ．236立方米C ．220立方米D ．200立方米10．如图，一根长为5米的竹竿AB 斜立于墙MN 的右侧，底端B 与墙角N 的距离为3米，当竹竿顶端A 下滑x 米时，底端B 便随着向右滑行y 米，反映y 与x 变化关系的大致图象是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2mx 2－4mx ＋2m = ．12. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：一周在校的体育锻炼时间（小时）5 6 7 8 人数2562那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是小时． 13．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，如果∠AOB ＝80°，那么∠ACB = °．14．请写出一个图象经过点（11-，），并且在第二象限内函数值随着自变量的增大而频率次数50040030020010000.250.200.150.100.05x （立方米）y （元）14609002601800NM BAOC增大的函数的表达式：．15．如图，O 为跷跷板AB 的中点，支柱OC 与地面MN 垂直，垂足为点C ，且OC =50cm ，当跷跷板的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度为 cm.16．右图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段，单位时间进出路口 A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中 123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则123,,x x x 的大小关系是．(用“＞”、“＜”或“=”连接)三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，BF ＝CE ，AC ＝DF ，且AC ∥DF . 求证：∠B =∠E .18. 计算：0-112sin60(3.14π)12()2+--+．19．解分式方程： 112x x x -=-.20．如果21m m -=，求代数式21)(1)(1)2015m m m -++-+（的值．21．如图，一次函数122y x =+的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数k y x =的图象的一个交点为A （2，m ）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，如果点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于6，请直接写出点P 的坐标．xAyOBCFDECBANMBCAO555035302030CBAx 2x 1x 322．列方程或方程组解应用题：中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成.新馆的展厅总面积与原两馆大楼的总建筑面积相同，成为目前世界上最大的博物馆.已知原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米，求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，分别延长DC ，BC 至点E ，F ，使CE =CD ，CF =CB ，联结DB ，BE ，EF ，FD . （1）求证：四边形DBEF 是矩形；（2）如果∠A ＝60 ，菱形ABCD 的面积为38，求DF 的长．24．根据某市统计局提供的2010～2014年该市地铁运营的相关数据，绘制的统计图表如下：2010～2014年某市地铁运营的日均客流量统计表 2014年某市居民乘地铁出行距离情况统计图根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出“2014年某市居民乘地铁出行距离情况统计图”中m 的值；（2）从2010年到2014年，该市地铁的日均客流量每年的增长率近似相等，估算2015年该市地铁运营的日均客流量约为____________万人次；（3）自2015年起，该市地铁运营实行了新票价：乘地铁5公里内(含5公里)收费2元，乘地铁5～15公里（含15公里）收费3元，乘地铁15公里以上收费4元.如果2015年该市居民乘地铁出行距离情况与2014年基本持平，估算2015FEDCBA年该市地铁运营平均每日票款收入约为____________万元.25．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为点E ，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ，联结PD . （1）判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）联结CO 并延长交⊙O 于点F ，联结FP 交CD 于点G ，如果CF =10，4cos 5APC ∠=，求EG 的长.26．阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ,b ，斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形.由图1可以得到22142a b ab c +=⨯+（），整理，得22222a ab b ab c ++=+．所以222a b c +=．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以 .五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）图1图 2a b c c ba c bac baGO PABCD E F27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t的取值范围.28．在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE =12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G.（1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形； ②如图2，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值；（2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a 的式子表示）29. 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为；（2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是；图1图2图 34444123123321213xOy（3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x 的距离为3，请直接写出b 的值.4444123123321213xOy丰台区2015年度初三毕业及统一练习参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号1 2 3 4 56 7 8 9 10 答案B C A B DC DB CA二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号11 12 13 1415 16答案22(1)m x -7 401y x=- ，答案不唯一100312x x x >>三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．证明：∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ．……1分 ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ．……2分 ∵AC ＝DF ，∴ △ACB ≌△DFE ．……4分 ∴∠B =∠E ．……5分18．解：原式=3212322⨯+-+…4分 =33-....5分19．解：去分母得：2(2) 2.x x x x --=-…1分222 2.x x x x -+=-……2分2.x =-…….3分经检验，2x =-是原方程的解 (4)分所以，原方程的解是 2.x =-…….5分20. 解：原式=222112015m m m -++-+…1分=2222015m m -+……2分 =22()2015m m -+…….3分∵21m m -=， ∴原式=2017. …….5分21．（1）一次函数122y x =+的图象经过点A （2，m ），∴3m =．∴点A 的坐标为(2，3). ………1分反比例函数ky x=的图象经过点A (2，3)， ∴6k =………2分∴反比例函数的表达式为6.y x=……3分（2）(3,2)(3,2).P P --，………………5分 22. 解：设新馆的展厅总面积为x 万平方米，原两馆大楼的展览面积为y 万平方米，根据题意列方程得：…1分4.2,30.4.x y x y =+=-⎧⎨⎩………3分解得： 6.5,2.3.x y ==⎧⎨⎩ ………4分答：新馆的展厅总面积为6.5万平方米，原两馆大楼的展览面积为2.3万平方米. ………5分 23．（1）证明： ∵CE ＝CD ，CF ＝CB ，∴四边形DBEF 是平行四边形．.…….1分 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ．.…….2分 ∴CE ＝CF ，∴BF ＝DE ，∴四边形DBEF 是矩形．.…….3分23.（2）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，∴∠DGC ＝90°．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60︒，∴∠BCD ＝60°．在Rt △CDG 中，cos ∠BCD ＝12CG CD =， ∴设CG ＝x ，则CD ＝BC ＝2x ，DG ＝3x .∵菱形ABCD 的面积为38，∴83BC DG ⋅=.∴2383x x ⋅=，得2x =±（舍负），∴DG ＝23．.……. 4分 ∵CF ＝CD ，∠BCD ＝60°，∴∠DFC ＝30°. ∴DF ＝2DG ＝43．.…….5分24．（1）15；…1分（2）483；…2分（3）1593.9．…2分25．（1）PD 与⊙O 相切于点D ．.……. 1分证明：联结OD∵在⊙O 中，OD OC =，AB CD ⊥于点E ， ∴12∠=∠．又∵OP OP =，∴OCP ∆≌ODP ∆． ∴OCP ODP ∠=∠．又∵PC 切⊙O 于点C ，OC 为⊙O 半径， ∴OC PC ⊥．.……. 2分∴090OCP ∠=．∴090ODP ∠=．∴OD PD ⊥于点D ．∴PD 与⊙O 相切于点D ．.……. 3分（2）作FM AB ⊥于点M ．∵090OCP ∠=，CE OP ⊥于点E ，∴03490∠+∠=,0490APC ∠+∠=．∴3APC ∠=∠．∵4cos 5APC ∠=，∴Rt △OCE 中，4cos 35CE OC =∠=．ABC DEFG M3421FE D CBAPO G5BCAxO yDx =1y =2x -2y =2x 2-4x -2-13-2-4∵10CF =，∴152OF OC CF ===．∴4CE =，3OE =．.……. 4分又∵FM AB ⊥，AB CD ⊥，∴090FMO CEO ∠=∠=．∵51∠=∠,OF OC =，∴OFM ∆≌OCE ∆．∴4FM CE ==,3OM OE ==． ∵在Rt △OCE 中，4cos 5PC OP APC =∠=，设4,5PC k OP k ==，∴3OC k =． ∴35k=,53k =．∴253OP =．∴163PE OP OE =-=,343PM OP OM =+=．又∵090FMO GEP ∠=∠=，∴FM ∥GE ．∴PGE ∆∽PFM ∆．∴GE PE FM PM =，即1633443GE=．∴3217GE =．.……. 5分26.22142ab b a c ⨯+-=（），.…….3分 22222ab b ab a c +-+=，.……. 4分 222a b c +=．.……. 5分五、解答题27 . 解：（1）∵抛物线22y x mx n =++过点A （-1，a ），B （3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--，即2242y x x =--．.…3分把A （-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分所以40t -<≤．.……. 7分28.（1）①作图.……. 1分ADE ∆（或PDE ∆）.…….2分②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，.…….3分∴CPM CAB ∠=∠．∵∠CPE =12∠CAB ，∴∠CPE =12∠CPN ．∴∠CPE =∠FPN ．∵PF CG ⊥，∴∠PFC =∠PFN =90°．∵PF =PF ，∴PFC ∆≌PFN ∆．∴CF FN =．.…….4分由①得：PME ∆≌CMN ∆．∴PE CN =．∴12CF CF PE CN ==．.…….5分（2）1tan 2α．.…….7分29. （1）4；.…….2分（2）①直线21y x =+记为l ，过点M 作MH l ⊥，垂足为点H ，设l 与,x y 轴的交点分别为,E F ，则1(,0)(0,1)2E F -，．∴52EF =．.…….3分 ∵EOF MHE ∆∆∽∴MH ME OF EF =，即72152MH=．∴755MH =．∴点M 到直线21y x =+的距离为755．.…….4分 ②135a =±．.…….6分（3）3b =-或374b =．.…….8分 GF EBC（P ）A DG F EC D A PBN MM 3—121H yOxEF y =2x +1相关信息链接:北达教育|百度百科|百度贴吧北达教育北达教育总部位于北京大学校内,分校遍及北京各城区40多所,多年来被家长认可的教育机构,法制晚报曾报道：是什么让北达教育成为京城良好口碑课外辅导品牌?为此北达教育被法制晚报评为：公众最信赖知名教育品牌！曾多次被新浪网，中国网评为课外绿色发展机构！北达教育为中央电视台推荐品牌。

2015北京中考数学二模试题28题汇编及答案

2015北京中考数学二模试题28题汇编及答案28．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC =α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，DAE∠+BAC∠=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．图1 图2 图328．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH 的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．28. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2) 若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.28．已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；（2）如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ． ①依题意补全图形；②猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论．图3EAC图1 图228．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心．（1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF，AB =2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．ECCBH EFGODA图1图228．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接PB，那么P A、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A2+PC2=PB2 .小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法.这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P在∠ABC的内部，①P A=4，PC=PB= .②用等式表示P A、PB、PC之间的数量关系，并证明.（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1 图228．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．EF OA BCD28.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN = 22FC ;（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .28.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ．（1）补全图形；（2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．图3CDD图2图1ABPCBCPA图2图1图328．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度．（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．28．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ．（1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A到BP 的距离．图1 图2DAB CPDC AB图1图228．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ．当A B ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②OO答案28．(本小题满分7分) （1）∠ADE=90α︒-．…………………………………………………………… ……………………….…1分（2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=． …………………………….……2分由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒． …………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．……………………………………………………………………………………..……………4分 ②证明：∵AB =AC ，∠ABC =， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=， ∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠．α∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ． ∴BD =CF ．………………………………………………………………………………………………………7分28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分（2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ．在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分（3）3．………………………………………………………………………7分28．（1）①解： BE AD =，BE AD ⊥；……2分 ②BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BE AD ⊥.……4分（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒，∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++. ∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……7分28. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分（2）①见右图；…….2分②EM EN =．…….3分证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠． ∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =， ∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分 ∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==． ∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=． ∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ，∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分28．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ，∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB ∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分（3）BH 的最大值为25+……8分28. （1）①72；……………………………………………………………………………1分②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP ′. …………………………4分 ∴PA ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°.∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+.（说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分28．解：（1）∵边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ， ∴BA = BP ，∵α=60°，∴△ABP 是等边三角形，..................................1分 ∴∠BAP =60º，AP = AC ，又∵∠BAC =90°，∴∠PAC =30º，∠ACP =75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠PAE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠PAE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，∴△ADP≌△CDP，.............................................................6分∴∠DCP=∠4=75º，∴∠DPC=15º．.......................................................................7分4123EDBAC PEBC P321EAPC BD28.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∴ ,即…………………………………………3分连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC 又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形∴MN =22FC …………………………………………………………………5分（3） ……………………………………………………………7分28．解：（1）………………………………∠3=∠4FHE FDE ︒==90∠∠BE CF ⊥222BF CE AC +=B图2………… 1分（2）证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ． ∴∠DAE =∠AEB，∠BAE =∠DPA ． ……………………………………… 2分∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DPA ． ∴BA =BE，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ， ∴G为AE中点，H为AP中点． …………………………………………… 4分又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-， ()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分（3）717． ……………………………………………………………………………… 7分28．解：（1）∠D =80°， (1)B∠C =130°； (2)（2）①如图2，连接BD ， ∵AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB ．………………………………………………3 ∵∠ABC =∠ADC ，∴∠ABC ﹣∠ABD =∠ADC ﹣∠ADB ． ∴∠CBD =∠CDB ．∴CB =CD ．………………………………………………………4 （3）（Ⅰ）如图，当∠ADC =∠ABC =90°时，延长AD ，BC 相交于点E ， ∵∠ABC =90°，∠DAB =60°，AB =5， ∴AE =10．∴DE =AE ﹣AD =10﹣4═6．……………………………………5 ∵∠EDC =90°，∠E =30°，∴CD∴AC=2 (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD =∠DAB =60°时，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ， ∵DM ⊥AB ，∠DAB =60°，AD =4， ∴AM =2，DM=2∴BM =AB ﹣AM =5﹣2=3．………………………………………7 ∵四边形BNDM 是矩形， ∴DN =BM =3，BN =DM∵∠BCD =60°， ∴CN∴BC =CN +BN∴AC=2……………………………………………………8 即AC28．（本小题满分7分）解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分 ② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分（2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ， ∴ CD =CE ，∠DCE =90°． ∴ ∠CDE =∠CED =45°．又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE . …………………………………………………………3分又∵ ∠ACB =90°，AAMDABCE∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP的距离为．…………………………………………7分。

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C A
B
图1 （1）请你直接写出△ ABC 的面积________；思维拓展：
图2
（2）如果△ MNP 三边的长分别为 10 ， 2 5 ， 26 ，请利用图 2 的正方形网格(每个小正方形的边长为 1)画出相应的格点△ MNP，并直接写出△ MNP 的面积．
五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 27．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax 2 bx 1 经过
3 x，点 A1 坐标为(0，1)，过 3
y A4 l : y= A3 A2 A1 O B2 x B3 B1 3 3 x
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17．计算：（-1） 8 2 2cos45 ．
2015 3
18．已知：如图，AB=AE ，∠1=∠2 ，∠B=∠E ．求证：BC=ED ．
y
4 3 2 1 1O 1 2 1 2 3 4 5
是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；（2）如果函数 y x 2 （ a≤x≤b, b＞a ）的上确界是 b ，且这个函数的最小值不超过 2a 1 ，求 a 的取值范围；（3）如果函数 y x 2ax 2 （ 1≤x≤5 ）是以 3 为上确界的
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．
1 1．的倒数是 3
A． 3 B． 3 C．
1 3
D．
1 3
2．一根头发丝的直径约为 0.00 006 纳米，用科学记数法表示 0.00 006，正确的是 A．6×10-6 B． 6×10-5 C． 6×10-4 D． 0.6×10-4
y
7 6 5
A(1， 3) ， B(2， 1) 两点.
（1）求抛物线及直线 AB 的解析式；（2）点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 3．将抛物线在点 A，C 之间的部分（包含点 A，C）记为图象 G，如果图象 G 沿 y 轴向上平移 t （ t 0 ）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求 t 的取值范围．
y
1
y
1 1 2 3
y
1 1 2 3
y
1 1 2 3
O
x O
x O
x O
1
2
3
x
A
B
C
D
数学试卷
第 2 页（共 7 页）

二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．分解因式： a 3 4a ．
A D E
12．如图，在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E，如果
2 21．已知关于 x 的方程 mx (m 3) x 3 0(m 0) ．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于 1，求满足条件的整数 m 的值．
22．列方程或方程组解应用题：为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点 10 千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少 45 千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的 4 倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?
D F
B
E
C
数学试卷
第 4 页（共 7 页）

24．某校九年级有 200 名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了 20 名学生的成绩进行分组整理．现已完成前 15 个数据的整理，还有后 5 个数据尚未累计： 62，83，76，87，70，
3．下面的几何体中，主视图为三角形的是
A 4．函数 y A． x 2
B
C
D
x 2 中，自变量 x 的取值范围是
B． x＞2 C． x≥2 D． x≤2
5．妈妈在端午节煮了 10 个粽子，其中 5 个火腿馅，3 个红枣馅，2 个豆沙馅（除馅料不同外，其它都相同）．煮好后小明随意吃一个，吃到红枣馅粽子的概率是 A．
学生测试成绩频数分布表学生测试成绩频数分布直方图
成绩 x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 合计
频数累计
频数 3
频率 0.15
8
频数 7
6 4
5 3
2
1 0
5 20
0.25 1.00
50
60
70
80
90
100 成绩（分）
（1）请将剩余的 5 个数据累计在 “学生测试成绩频数分布表” 中，填上各组的频数与频率，并补全“学生测试成绩频数分布直方图” ；（2）这 20 个数据的中位数所在组的成绩范围是；
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
23．如图，在□ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，将△ ABE 沿 AE 翻折得到△ AFE，点 F 恰好落在线段 DE 上．
A
（1）求证：∠FAD=∠CDE；（2）当 AB=5，AD=6，且 tan ABC 2 时，求线段 EC 的长．
AD 3 ，AE=6，那么 EC 的长为 DB 5
．
B
C
13．图 1 中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图 2 是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图 2 中的数据，可知
AB 的长是_________m．
B O A C
图1
2m 图2
14．将二次函数 y x 2 4 x 5 化为 y ( x h )2 k 的形式，那么 h k =
．
15．在四边形 ABCD 中，如果 AB AD ， AB∥ ，请你添加一个条件，使得该四边形是．．菱形，那么这个条件可以是 .
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的表达式是 y＝点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 长为半径画弧交 y 轴于点 A2；再过点 A2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2 长为半径画弧交 y 轴于点 A3，…，按此做法进行下去，点 B4 的坐标为， OA2015 = ．
甲平均分 80 方差 59
乙 80 41
丙 85 54
丁 85 42
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点 E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置，其示意图如图 3 所示（栏杆宽度忽略不计），其中 AB ⊥ BC ， EF ∥ BC ， ∠AEF=143°， AB=AE=1.2 米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）
3 2
4 3 2 1 1O 1 2 3 4 5 6 1 2 3
x
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第 6 页（共 7 页）
7

28．已知△ ABC 是锐角三角形，BA=BC，点 E 为 AC 边的中点，点 D 为 AB 边上一点，且 ∠ABC=∠AED=α．（1）如图 1，当 α=40°时，∠ADE= °；
2
x
有上界函数，求实数 a 的值.
数学试卷
第 7 页（共 7 页）
（3）请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于 80 分.
25．如图，AB 是⊙O 的直径，以 AB 为边作△ ABC，使得 AC = AB，BC 交⊙O 于点 D，联结 OD，过点 D 作⊙O 的切线，交 AB 延长线于点 E，交 AC 于点 F．（1）求证：OD∥AC；（2）当 AB=10， cos ABC
1 10
B．
1 5
C．
3 10
D．
1 2
6．下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
菱形
等边三角形
平行四边形
扇形
A
B
C
D
数学试卷
第 1 页（共 7 页）

7．如图， A， B 是函数 y =
2 的图象上关于原点对称的任意两点， x
y A O B C x
A
5 时，求 BE 的长． 5
B E
O F D C
数学试卷
第 5 页（共 7 页）

26．问题背景：在△ ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 5 ， 3 2 ， 17 ，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为 1)，再在网格中画出格点△ ABC（即△ ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1 所示．这样不需要求出△ ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．
图1
B
A
图2
D B
29．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M ，对于任意的函数值 y ，都满足 y≤M ，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是 2．（1）分别判断函数 y
1 （ x＜0 ）和 y 2 x 3 （ x＜2 ） x

丰台区 2015 年初三毕业及统一练习（二）数
学校考生须知
学
姓名
试
卷
准考证号
1．本试卷共 7 页，共五道大题，29 道小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．