高中数学第一轮复习《集合》

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高中数学一轮复习必备知识点大梳理

一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：①a A ∈↔a 属于集合A ；②a A ∉↔a 不属于集合A ．（3）常用的数集：N↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集；Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R ．（4）集合的表示方法：⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集；例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >．（5）集合之间的关系：①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A B A C B C⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．②B A =或A B A B⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等；③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（6）集合的运算：①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ↔集合A 与集合B 的交集；②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或 ↔集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．④得摩根定律：()U U U C A B C A C B = ；()U U U C A B C A C B= （7）集合的子集个数：若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个非空子集；22n -个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，那么四种命题形式就是：命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式若α，则β若β，则α；若α，则β；若β，则α．逆命题关系原命题↔逆命题逆否命题↔否命题否命题关系原命题↔否命题逆否命题↔逆命题逆否命题关系原命题↔逆否命题逆命题↔否命题同真同假关系（3）充分条件，必要条件，充要条件：①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件⇒α结论β；第二步：证明必要性：结论⇒β条件α．（4）子集与推出关系：设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =，则B A ⊆与βα⇒等价．结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人．小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式一、不等式的性质：不等式的性质1、c a c b b a >⇒>>,；2、c b c a b a +>+⇒>；3、bc ac c b a >⇒>>0,；4、d b c a d c b a +>+⇒>>,；5、bd ac d c b a >⇒>>>>0,0；6、bab a 1100<<⇒>>；7、)(0*N n b a b a n n ∈>⇒>>；8、)1,(0*>∈>⇒>>n N n b a b a n n ．二、一元一次不等式：一元一次不等式bax >0>a 0<a 0=a 0≥b 0ab x <ΦR三、一元二次不等式：)0(02>=++a c bx ax 的根的判别式42>-=ac b △042=-=ac b △042<-=ac b △四、含有绝对值不等式的性质：（1）b a b a b a -≥±≥+；（2）nn a a a a a a +++≥+++ 2121．五、分式不等式：（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax dcx b ax ；（2）0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx b ax ．六、含绝对值的不等式：a x <a x >a x ≤ax ≥0>a 0≤a 0≥a 0<a 0>a 0=a 0<a 0>a 0=a 0<a ax a <<-Φax a x -<>或Rax a ≤≤-0=x Φax a x -≤≥或R七、指数不等式：（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>；（2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>．八、对数不等式：（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a aϕϕϕ；（2）⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)；②+∈≥+R b a ab b a 、(2，当且仅当b a =时取“=”号)；211a b+．③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33，当且仅当c b a ==时取“=”号)；⑤n a a a na a a n n n 2121 ≥+++为大于1的自然数，+∈R a a a n ,,,21 ，当且仅当n a a a === 21时取“=”号)；（2）证明不等式的常用方法：①比较法；②分析法；③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(；x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域．求定义域一般需要注意：11()y f x =，()0f x ≠；2y =，()0f x ≥；30(())y f x =，()0f x ≠；4log ()a y f x =，()0f x >；⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数Dx x f y ∈=),(前提条件“定义域D 关于0对称”成立①“定义域D 关于0对称”；②“)()(x f x f -=”；③“()()f x f x =--”①不成立或者⎧⎨⎩①成立②、③都不成立)()(x f x f -=成立()()f x f x =--成立奇偶性偶函数奇函数非奇非偶函数奇偶函数图像性质关于y 轴对称关于)0,0(O 对称注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ．（2）单调性和最值：前提条件D x x f y ∈=),(，D I ⊆，任取12,x x I∈区间单调增函数⎩⎨⎧<<)()(2121x f x f x x 或⎩⎨⎧>>)()(2121x f x f x x注意：①复合函数的单调性：函数单调性外函数()y f x =内函数()y g x = 复合函数[()]y f g x =②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．零点定理：⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数，且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =．（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”．函数向左平移k向右平移k 向上平移h 向下平移h 备注)(x f y =)(k x f y +=)(k x f y -=)(x f h y =-)(x f h y =+0,>h k（5）对称性：①轴对称的两个函数：函数)(x f y =对称轴x 轴y 轴xy =xy -=mx =ny =函数)(x f y =-)(x f y -=)(y f x =)(y f x -=-)2(x m f y -=)(2x f y n =-②中心对称的两个函数：函数对称中心函数)(x f y =),(n m )2(2x m f y n -=-③轴对称的函数：函数)(x f y =对称轴y 轴mx =条件()()f x f x =-()(2)f x f m x =-注意：()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2a bx +=对称；()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．④中心对称的函数：函数)(x f y =对称中(,)m n注意：()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22对称；()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称；()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数．（6）凹凸性：设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；例如：2y x =．进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈ ，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f nn+++++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数．例如：lg y x =．进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈ ，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f nn+++++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．（7）翻折：函数翻折后翻折过程()y f x =()y f x =将()y f x =在y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边，并覆盖．()y f x =将()y f x =在x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边，并覆盖．()y f x =第一步：将()y f x =在y 轴右边的图像不变，并将其翻折（8）周期性：若R x x f y ∈=),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T为这个函数的周期．注意：若T 是)(x f y =的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b=-；（阴影部分下略）②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-；④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-，0p ≠⇒2T p =；⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++，0p ≠⇒4T p =；⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-；⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，a b ≠对称⇒4T a b =-；⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++= （m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数；若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++= （m 为常数，n 为正偶数），则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．三、V 函数：定义形如(0)y a x m h a =++≠的函数，称作V 函数．分类,0y a x m h a =++>,0y a x m h a =++<图像定义域R值域[,)h +∞(,]h -∞对称x m=-四、分式函数：定义形如(0)a y x a x=+≠的函数，称作分式函数．分类,0ay x a x=+>（耐克函数）,0ay x a x=+<五、曼哈顿距离：在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离．六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y x m=-，在x m =时取最小值；2、对于函数y x m x n=-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；3、对于函数y x m x n x p=-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；4、对于函数y x m x n x p x q=-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；5、推广到122ny x x x x x x =-+-++- ，122n x x x <<< ，在1[,]n n x x x +∈时取最小值；1221n y x x x x x x +=-+-++- ，1221n x x x +<<< ，在n x x ∈时取最小值．思考：对于函数1232y x x x =-+++，在x _________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像．（4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大；方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax b y c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图：①作渐近线（用虚线）：d x c=-、a y c=；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)b d；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则：①yx y xaa a+=⋅；②xyyxa a =)(；③xxxb a b a ⋅=⋅)(；④(xx xa ab b=，其中),0,(R y x b a ∈>、．2、指数函数图像及其性质：/)1(>=a a y x )10(<<=a a y x图像定义域R值域),0(+∞奇偶性非奇非偶函数渐近线x 轴单调性在(,)-∞+∞上单调递增；在(,)-∞+∞上单调递减；性质①指数函数x a y =的函数值恒大于零；②指数函数x a y =的图像经过点)1,0(；3、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大；方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈．2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”）①将()y f x =看作方程，解出()x f y =；②将x 、y 互换，得到1()y f x -=；③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应．4、反函数的性质：①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1x f y -=过点),(m n ；②原函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=关于x y =对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数．5、原函数与反函数的关系：/函数)(x f y =)(1x fy -=定义域D A 值域AD（四）对数&对数函数1、指数与对数的关系：abNN a b =底数指数幂bN a =log 对数真数2、对数的运算法则：①01log =a ，1log =a a ，N a Na=log；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =；③N M MN a a a log log )(log +=，NM NM a a a log log log -=，Mn M a na log log =；④bN N a a b log log log =，ab b a log 1log =，b n m b a m a n log log =，b b a c a c log log =，log log N N b a a b =．3、对数函数图像及其性质：/)1(log >=a x y a )10(log <<=a x y a图像定义),0(+∞4、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大；方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）．（2）特殊位置的角的集合的表示：位置角的集合（3）弧度制与角度制互化：①180rad π=︒；②1801rad π=︒；③1180rad π︒=．（4）扇形有关公式：①rl =α；②弧长公式：r l α=；③扇形面积公式：21122S lr r α==（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终边上任取一个异于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r，则（7）特殊角的三角比：α角度制︒0︒30︒45︒60︒90︒180︒270︒360弧度制06π4π3π2ππ23ππ2αsin 0212223101-0（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈）①角α和角β的终边：角α和角β的终边关于x 轴对称关于y 轴对称关于原点对称sin sin cos cos tan tan αβαβαβ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩sin sin cos cos tan tan αβαβαβ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩sin sin cos cos tan tan αβαβαβ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩②α的终边与2α的终边的关系．α的终边在第一象限⇔(2,22k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+；α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++；α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++；α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++．③sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）；sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；sin cos θθ=⇔5{2244k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩；sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩；sin cos θθ=⇔3{44k k ππθππ∈++,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：（轴对称）（互余性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin （3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；两角和差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±．（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=；降次公式：万能置换公式：22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=；（5）辅助角公式：①版本一：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．②版本二：sin cos )a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2b a b aπϕϕ><<=．3、正余弦函数的五点法作图：以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②Ra A 2sin =，Rb B 2sin =，Rc C 2sin =；③c b a C B A ::sin :sin :sin =；④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△；4ABC abc S R =△．（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩．5、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：①12ABC S dh =△；②111sin sin sin 222ABCS ab C A B ===△；③ABC S =△l 为ABC △的周长．（2）在ABC △中，①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<；②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B CB C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot22tan cot 22A B C B A CCA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22A BA C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22CA CB ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B A C A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos 222222A B C A B C <；⑥sin sin sin 4cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin222sin sin sin 4sin cos 222A B C A B C A B CA B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩；sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,]8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B CA B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩．其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．（3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=．（4）ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++．6、仰角、俯角、方位角：略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos )cos()]21sin sin )cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩；（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．六、三角函数1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：xy sin =xy cos =xy tan =定义域RR},2{Z k k x x ∈+≠ππ值域]1,1[-]1,1[-R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期π2=T 最小正周期π2=T 最小正周期π=T 单调性[2,2]22k k ππππ-+ ；3[2,2]22k k ππππ++ ．（Z k ∈）[2,2]k k πππ- ；[2,2]k k πππ+ ．（Z k ∈）(,)22k k ππππ-+ （Z k ∈）最值当22ππ-=k x 时，1min-=y ；当22ππ+=k x 时，1max=y ；当ππ+=k x 2时，1min -=y ；当πk x 2=时，1max=y ；无例1：求函数5sin(2)3y x π=+的周期、单调区间和最值．（当x 的系数为负数时，单调性相反）解析：周期22T ππ==，由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+，可得222232k x k πππππ-≤+≤+，即51212k x k ππππ-≤≤+，于是，函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+．同理可得函数5sin(273y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++．当2232x k πππ+=+，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5；当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-．例2：求函数5sin(27,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值．解析：由[0,]2x π∈，可得42[,]333x πππ+∈．然后画出23x π+的终边图，然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递增；当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递减．同时，当232x ππ+=，即12x π=时，函数5sin(273y x π=++取最大值12；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最小值72-；注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠：（1）复合三角函数的基本性质：三角函数sin()y A x hωϕ=++其中0,0A ϕ>≠cos()y A x hωϕ=++其中0,0A ϕ>≠tan()y A x hωϕ=++其中0,0A ϕ>≠振幅A无基准线y h=定义域(,)-∞+∞{,}2x x k k Z πωϕπ+≠+∈值域[,]A h A h -+(,)-∞+∞最小正周期2T πω=T πω=频率12f T ωπ==1f T ωπ==（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下：①相位变换：当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位；当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位；②周期变换：当1ω>时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的；当01ω<<时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）；③振幅变换：当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）；④最值变换：当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位；当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位；注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．3、三角函数的值域：（1）sin y a x b =+型：设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值．（2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：引入辅助角,tan b aϕϕ=，化为)y x c ϕ=±+．（3）2sin sin y a x b x c =++型：设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解．（4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：设sin cos [t x x =±∈，则212sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值．（5）tan cot y a x b x =+型：设tan t x =，化为b y at t=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x b y c x d +=+型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x b y c x d+=+型：化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dyϕ+=-，利用有界性，sin()[1,1]x ϕ+=-求解．（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c ≠不全为0）型：利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 22222a cb bc a x x b x c x x x -+++=++，然后利用辅助角公式即可．4、三角函数的对称性：对称中心对称轴方程x y sin =)0,(πk ，Z k ∈2ππ+=k x ，Z k ∈x y cos =)0,2(ππ+k ，Z k ∈πk x =，Zk ∈x y tan =)0,2(πk Z k ∈/xy cot =)0,2(πk Z k ∈/备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）例3：求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ，Z k ∈，可得232x k πππ+=+，Z k ∈解得122k x ππ=+，Z k ∈．所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+，Z k ∈．由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23x k ππ+=，Zk ∈解得62k x ππ=-+，Z k ∈．所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+，Z k ∈．5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：xy arcsin =x y arccos =x y arctan =定义域]1,1[-]1,1[-),(+∞-∞重要结论：（1）先反三角函数后三角函数：①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==；②tan(arctan )a R a a ∈⇒=．（2）先三角函数后反三角函数：①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=；②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=．（3）反三角函数对称中心特征方程式：①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-；②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-；③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-．6、解三角方程公式：sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩．七、数列与数学归纳法1、等差数列、等比数列的常用公式：2、等差数列的性质：（1）若数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，则①0d >时，{}n a 是递增数列；0d <时，{}n a 是递减数列；0d =时，{}n a 是常数列．②若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+．③数列{}na m 是首项为1a m ，公比为d m 的等比数列．④下标成等差数列且公差为m 的项*2,,,,(,)k k m k m a a a k m N ++∈ 组成公差为md 的等差数列．⑥n S ，2n n S S -，32n n S S -是等差数列．⑦若,n m S S m n =≠，则0m n S +=．⑧若,,n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若,,n m S m S n m n ==≠，则()m n S m n +=-+．（2）若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ；等差数列{}n b 的公差为d '，前n 项和为n T ，则①*2121()nn nn a S n N b T --=∈；②11nn n mm m a S S b T T ---=-；③limlimnn n n nna S db T d →∞→∞=='．（3）项数为偶数*()n n N ∈的等差数列{}n a 有：①1112222()()(,)22n n n n n n n n S a a a a a a ++=+==+ 为中间的两项；②2n S S d -=奇偶；③212n na S S a =奇偶．（4）项数为奇数*()n n N ∈的等差数列{}n a 有：①1122()n n n S na a ++=为中间项；②12n S S a +-=奇偶；③11S n S n +=-奇偶．注意：S 奇、S 偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．3、等比数列的性质：若数列{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列，则①若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q b b b b ⋅=⋅．②数列{log }a n b 是首项为1log a b ，公差为log a q 的等差数列．③下标成等差数列且公差为m 的项*2,,,,(,)k k m k m b b b k m N ++∈ 组成公比为m q 的等比数列．④n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列．4、根据递推公式求通项公式：①)(1n f a a n n +=+（类等差数列），通过n a a a ,,,21 逐式相加（累加法），可求出通项公式；例：数列}{n a 中，21=a ，且n a a n n n -+=+21，求通项n a ．解析：由12n n n a a n +-=-，结合累加法，可得2)1(2--=n n a n n．②)(1n f a a n n ⋅=+（类等比数列），通过n a a a ,,,21 逐式相乘（累乘法），可求出通项公式；例：数列}{n a 中，21=a ，且n n na a n =++1)1(，则其通项=n a ______．解析：由11n na na n +=+，结合累乘法，可得2n a n=．③)0()()(1≠=-+d d a f a f n n 或)()()()(112n n n n a f a f a f a f -=-+++（复合等差数列），通过求出)(n a f 的通项公式，从而求出n a 的通项公式．其中，比较典型的就是取倒数法．例：数列{}n a 中，11a =且122nn n a a a +=+，求n a ．解析：11112n n a a +-=．④)0()()(1≠=+q q a f a f n n 或)()()()(112n n n n a f a f a f a f +++=（复合等比数列），通过求出)(n a f 的通项公式，从而求出n a 的通项公式．对于)1(1≠+=+s t sa a n n （线性数列），通过设)(1λλ+=++n n a s a ，可逐步求出通项公式．例：已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，求n a ．答案：123n n a +=-．对于1r n n a p a -=⋅型：例：数列}{n a 中，)(,3*211N n a a a n n ∈==+，求数列的通项公式．答案：123-=n na⑤1n n a pa rn s -=++型：例：设数列{}n a ：14a =，1321n n a a n -=+-，2n ≥，求n a ．答案：1631n n a n -=⋅--．⑥1n n n a pa rq -=+型，其中(1)(1)0pq p q --≠．例：已知数列{}n a 中，156a =，1111(32n n n a a ++=+，求n a ．答案：3223n nn a =-．⑦21n n n a pa qa ++=+型：例：已知数列{}n a 中，11a =，22a =，212133n n n a a a ++=+，求n a ．答案：1311[1()]43n n a -=+--．解析：方法一：令211()n n n n a a a a λμλ++++=+，然后就出λ，μ；方法二：特征根法：对于递推公式21n n n a pa qa ++=+，1a α=，2a β=给出的数列{}n a ，方程20x px q --=，叫做数列{}n a 的特征方程．令1112n n n a Ax Bx --=+，其中1x 、2x 是特征方程的根，然后求出A 、B 即可．⑧34112n n n k a k a k a k ++=+型：解析：于是34112n n n k a k a k a k ++=+⇒121()n n n a a k a k μλλ+++=+．令n n b a λ=+，则121nn n b b kb k μλ+=-+，两边取倒数，可得211111n n k k b b λμμ+-+=⋅-．．⑨周期数列：和年份有关，代几项，看周期．例：数列}{n a 满足11,211+-==+n n a a a ，则2008a 等于（）A．2B．31-C．23-D．15、n S 与n a 的关系：⎩⎨⎧∈≥=-=-),2(*111N n n a S S a S n n n．例1：已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n 22+=，求数列}{n a 的通项公式．解析：由题可知，113a S ==，且21(1)2(1)n S n n -=-+-，于是121n n n a S S n -=-=+，2n ≥．经验证，13a =也符合21n a n =+←该步很重要，不可缺少所以该数列的通项公式为121n n n a S S n -=-=+．6、数列求和的常用方法：（1）倒序相加法：已知数列{}n a 满足121n n a a a a -+=+= ，则121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎧⎪⎨=++++⎪⎩ ①②，由①+②得1()2n n n a a S +=．（2）错位相减法：例2：求和：21123(10)n n S x x nx x x -=++++≠≠ 且．解析：由题可得21211232(1)n n n nn S x x nx xS x x n x nx --⎧=++++⎪⎨=+++-+⎪⎩ ①②然后-①②，可得211(1)11nn n n n x x S x x x nx nx x ---=+++-=-- ，即111nn n x nx xS x---=-．（3）裂项相消法：①1111()()n a n n k k n n k==-++；②1n a k==；③11(1)!!(1)!n n n n =-++；④(1)()n a f n f n =+-．（4）常见数列的前n 项和公式：①(1)1232n n n +++++= ；②2222(1)(21)1236n n n n ++++++= ；③33332(1)123[]2n n n +++++= ．7、数列中的最值：①1()n n a a f n +-=，()0,,,()0,,,n n f n n D a n D f n n D a n D ≥∈∈⎧⎪⎨≤∈∈⎪⎩当时单调递增当时单调递减；②()n a g n =的图像，或table 功能；8、常用数列的极限：①11lim 01111n n q q q q q →∞=⎧⎪=-<<⎨⎪≤->⎩不存在或；②01lim =∞→nn ．注意：lim n n q →∞存在的充要条件是11q -<≤，且q 不一定代表公比，所有不需要0q ≠．例3：求出以下数列的极限：（1）23251lim 534n n n n n →∞+-++；（2）22291lim 54n n n n →∞++-；（3）3221lim 554n n n n →∞+=+-_________．解析：若分子、分母都是多项式时，该分式数列的极限如下：0=>⎧⎪⎪⎨⎪⎪<⎩分母的多项式次数分子的多项式次数分子的最高次项系数分母的多项式次数分子的多项式次数分母的最高次项系数不存在分母的多项式次数分子的多项式次数．所以该题的答案：（1）0；（2）25；（3）不存在．例4：计算：23134lim43n n n n n +++→∞-+．解析：原式2313444lim4344n n n n n n n nn+++→∞-=+39()644lim 313()4n n n →∞⋅-=+⋅9064130⨯-=+⨯64=-．另外，该题还可以用lim n nn nn ax y c a x b y a bx y c x d y c d by x d →∞⎧>⎪⎪⋅+⋅+⎪==⎨⋅+⋅+⎪⎪>⎪⎩来直接得出答案．9、极限的运算法则：①lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；注意：该式只用于有限个数列相加的情况；②lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅；③)0(lim lim lim ≠==∞→∞→∞→B B A b a b a n n n n nn n ．特别地，如果C 是常数，那么由②可得A C a C a C n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ．10、无穷等比数列各项的和：1lim 1n n a S S q→∞==-，其中01q <<．11、数学归纳法：证明与正整数n 有关的数学命题的步骤：①证明当n 取第一个值0n （*0n N ∈，例如01n =或02n =）时命题成立；②假设当*0(,)n k k N k n =∈≥时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立．在完成了上面两个步骤后，就可以断定这个命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．例5：用数学归纳法证明2222(1)(21)1236n n n n ++++++= ．解析：①当1n =时，左边211==，右边12316⨯⨯==，等式成立；②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时，等式成立，即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=那么当1n k =+时，左边22222123(1)k k =++++++ 2(1)(21)(1)6k k k k ++=++(1)(2)(23)6k k k +++=；右边(1)(2)(23)6k k k +++=；于是证明，1n k =+时等式也成立．根据①和②可以断定，2222(1)(21)1236n n n n ++++++= 对任何*n N ∈都成立．八、平面向量的坐标表示1、平面向量的正交分解及坐标表示：（1）已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；（2）(,)AB xi y j x y =+= ，其中i、j 分别是平行于x 轴、y 轴的单位向量；（3）向量AB的模AB =2、定比分点的坐标公式：（1）若)1(21-≠=λλPP P P ，且),(111y x P 、),(222y x P 、),(y x P ，则121P P P λλ+=+，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ．（2）特别地，当1=λ时，P 为有向线段21P P 的中点，则122P P P +=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ．平行四边形顶点关系式：如图所示，平行四边形ABCD ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则A CB D +=+，即13241324x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．（3）已知ABC △，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，重心(,)G x y ，则3A B C G ++=，即12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩；1133AG AB AC =+．3、平面向量的的运算及关系：若),(1111y x j y i x a =+=，),(2222y x j y i x b =+=，a 与b的夹角为θ，则（1）平面向量的运算：),(2121y y x x b a ±±=±；),(11y x a λλλ=．（2）向量的数量积及运算性质：数量积：2121y y x x b a +==⋅θ，其中],0[πθ∈；特别地，2a a a ==⋅；对于R ∈λ，有①0≥=⋅a a ，当且仅当0=⋅a a 时，0=a ；②a b b a ⋅=⋅；③)()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ；④c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．（3）向量的数量积与向量的夹角的关系：0[0,)2020(,]2a b a b a b πθπθπθπ⎧⋅>⇔∈⎪⎪⎪⋅=⇔=⎨⎪⎪⋅<⇔∈⎪⎩．。

高考第一轮复习知识点(数学)

函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
例：解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是 .（例：A ={(x，y)|y=x+1} B={y|y=x2+1}则A∩B= ）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.
④若集合A=集合B，则CBA= ，CAB= CS（CAB）=D（注：CAB= ）.
3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
高考一轮复习知识点
数学
第一章-集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

高三数学第一轮复习 01：集合与命题

高中数学第一轮复习01集合与命题·知识梳理·模块01：集合的概念和性质1、集合概念能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

集合常用大写字母、、、C B A …来表示，集合中的元素用、、、c b a …表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。

全体自然数组成的集合，即自然数集，记作：N ；不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作：∅。

2、集合的表示法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法。

模块02：集合之间的关系与运算1、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以B A ⊆不要忘记Φ=A 。

(高三一轮复习)集合之间的关系

教学过程一、复习预习(1)集合中元素与集合的关系(2)常见集合的符号表示(3)集合的表示法二、知识讲解（一）子集的概念对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B (或B⊇A)，读作“A含于B”（或“B包含A”）.特殊地，集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B 已(或B⊄A)（二）子集的概念⊂≠如果A⊆B ,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B（三）空集的概念不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定: 空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集（三）“相等”关系对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B （即如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B ）.三、例题精析【例题1】【题干】下面的Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A 、B 、C 、D 、E 分别是哪种图形的集合？图1-1-2-6【解析】结合Venn 图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.【答案】梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故E={正方形},即A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形}.【例题2】【题干】集合A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},则满足B A 的a 的值共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】由已知得A={x||x|=1或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合B 是关于x 的方程(a-2)x=2的解集, ∵B A,∴B=∅或B≠∅.当B=∅时,关于x 的方程(a-2)x=2无解,∴a-2=0.∴a=2.当B≠∅时,关于x 的方程(a-2)x=2的解x=22-a ∈A, ∴22-a =-2或22-a =-1或22-a =1或22-a =2.解得a=1或0或4或3,综上所得,a 的值共有5个.【答案】D【例题3】【题干】集合A={x|0≤x<3且x ∈N }的真子集的个数是( )A.16B.8C.7D.4【解析】A={x|0≤x<3且x ∈N}={0,1,2},则A 的真子集有23-1=7个.【答案】C四、课堂运用【基础】【题干】集合}1,0,1{-共有个子集【答案】8【解析】n 元集的子集个数共有2n个，所以是8个。

2025届高中数学一轮复习核心素养测评-拓展拔高练一：集合(含解析)

核心素养测评·拓展拔高练一　集合(时间:45分钟　分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( )A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}2.(5分)(2024·大连模拟)已知集合A={1,a2+4a,a-2},-3∈A,则a=( )A.-1B.-3C.-3或-1D.33.(5分)(2024·成都模拟)定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数.已知集合A={4,26,81,153,370},B={x∈A|x是自恋数},则B的子集个数为( )A.16B.8C.4D.24.(5分)(2024·沈阳模拟)设集合A={x|x(4-x)≥3},B={x|x>a},若A∩B=A,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.(-∞,3]D.(-∞,3)5.(5分)(多选题)方程组x+y=3x-y=-1的解集可表示为( )A.(x,y)|x+y=3 x-y=-1B.(x,y)|x=1y=2C.{1,2}D.{(1,2)}6.(5分)(多选题)(2024·佛山模拟)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x-4<0},则下列关系式正确的是( )A.A∩B={x|-1<x<2}B.A∪B={x|x≤3}C.A∪(∁R B)={x|x>-1}D.A∩(∁R B)={x|2≤x<3}7.(5分)(2024·运城模拟)若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a取值的集合为__________.8.(5分)设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________.≥8},B={x|2-a≤x≤2a-1}.9.(10分)(2024·徐州模拟)已知a为实数,A={x|9-x3(1)若a=2,求A∩B, ∁A B;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.【能力提升练】10.(5分)(多选题)设集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N*},则( )A.P⊂MB.1∉PC.M=PD.M∩P=⌀11.(5分)(多选题)(2024·南充模拟)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7},B= {x|m+1≤x≤2m-1},则使A⊆∁U B成立的实数m的取值范围可能是( )A.{m|6≤m≤10}B.{m|-2<m<2}C.{m|-2<m<-1}2D.{m|5<m≤8}12.(5分)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},用如图所示的阴影部分表示的集合为__________.13.(5分)已知M,N为R的子集,若M∩(∁R N)=⌀,N={1,2},则满足题意的M的个数为________.14.(10分)(2024·深圳模拟)已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|a-2<x<3a},全集U=R.(1)若a=2,求A∩(∁U B);(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.15.(10分)已知集合A={x∈N|3x2-13x+4<0},B={x|ax-1≥0}.时,求A∩B;(1)当a=12(2)若__________,求实数a的取值范围.请从①A∪B=B,②A∩B=⌀,③A∩(∁R B)≠⌀,这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.【素养创新练】16.(5分)(多选题)我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁S A={x|x∈S且x∉A},类似地,对于集合A,B我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集,记作A-B,例如:A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8},下列正确的是( )A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8}B.如果A-B=⌀,那么A⊆BC.已知全集、集合A、集合B关系如图中所示,则B-A⊆∁U BD.已知A={x|x<-1或x>3},B={x|-2≤x<4},则A-B={x|x<-2或x≥4}答案1.【解析】选B.B={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2}.2.【解析】选B.因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2,若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3,当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={1,-3,-5},满足题意,故a=-3成立,若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去,综上所述,a=-3.3.【解析】选B.因为41=4,所以4是自恋数,因为22+62=40≠26,所以26不是自恋数;因为82+12=65≠81,所以81不是自恋数;因为13+53+33=153,所以153是自恋数;因为33+73+03=370,所以370是自恋数;所以B={4,153,370},则子集个数为23=8.4.【解析】选B.解不等式x(4-x)≥3,即x2-4x+3≤0,解得1≤x≤3,即A={x|1≤x≤3},因为A∩B=A,且B={x|x>a},则A⊆B,所以a<1.5.【解析】选ABD.方程组x+y=3x-y=-1的解为x=1y=2,所以方程组x+y=3x-y=-1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以(x,y)|x=1y=2,(x,y)|x+y=3x-y=-1,{(1,2)}均符合题意.6.【解析】选ACD.由x2-2x-3<0,(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,所以A={x|-1<x<3};由2x-4<0,解得x<2,所以B={x|x<2}.对于A,A∩B={x|-1<x<2},故A正确;对于B,A∪B={x|x<3},故B错误;对于C,∁R B={x|x≥2},A∪(∁R B)={x|x>-1},故C正确;对于D,由选项C可知∁R B={x|x≥2},A∩(∁R B)={x|2≤x<3},故D正确.7.【解析】由B⊆A,所以集合B可以是{-1},{1},⌀,当B={-1}时,则-a=1,解得a=-1;当B={1}时,可得a=1;当B=⌀时,可得a=0;所以a的取值的集合为{-1,1,0}.答案:{-1,0,1}8.【解析】由题知a+1=-1,a2-2=2,或a+1=2,a2-2=-1,解得a=-2或a=1.经检验,a=-2和a=1均满足题意.答案:-2或19.【解析】(1)因为a=2,由9-x3≥8,得x≤3,所以A={x|x≤3},B={x|0≤x≤3},所以A∩B={x|x≤3}∩{x|0≤x≤3}=[0,3],∁A B=(-∞,0).(2)因为A∩B=B,所以B⊆A,由(1)知,A={x|x≤3},当B=⌀时,2a-1<2-a,解得a<1;当B≠⌀时,2a -1≥2-a2a-1≤3,解得1≤a≤2,综上所述:实数a的取值范围是(-∞,2].10.【解析】选BC.因为a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2,即M={x∈N*|x≥2},因为b∈N*,b2-4b+6=(b-2)2+2≥2,所以P={y∈N*|y≥2},所以1∉P且M=P.11.【解析】选BC.①当B=⌀时,令m+1>2m-1,得m<2,此时∁U B=R符合题意;②当B≠⌀时,m+1≤2m-1,得m≥2,则∁U B={x|x<m+1或x>2m-1},因为A⊆∁U B,所以m+1>7或2m-1<-2,解得m>6或m<-12,因为m≥2,所以m>6.综上,m的取值范围为{m|m<2或m>6}.12.【解析】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},所以A∩B={2,4},A∪B={0,2,3,4,5,6},所以阴影部分的集合为∁(A∪B)(A∩B)={0,3,5,6}.答案:{0,3,5,6}13.【解析】因为M∩(∁R N)=⌀,所以M⊆N,又N={1,2},所以M={1}或M={2}或M=⌀或M={1,2},故满足题意的M的个数为4.答案:414.【解析】(1)因为A={x|x2-x-6≤0},所以(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3,所以A=[-2,3],当a=2时,B=(0,6),∁U B=(-∞,0]∪[6,+∞),所以A∩(∁U B)=[-2,0];(2)因为B⊆A,所以当B=⌀时,a-2≥3a,解得a≤-1,当B≠⌀时,a-2≥-23a≤3a-2<3a,解得0≤a≤1,所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,1].15.【解析】(1)由题意得,A={x∈N|13<x<4}={1,2,3}.当a=12时,B=x|12x-1≥0={x|x≥2},所以A∩B={2,3}.(2)选择①:因为A∪B=B,所以A⊆B.当a=0时,B=⌀,不满足A⊆B,舍去;当a>0时,B=x|x≥要使A⊆B,则1≤1,解得a≥1;当a<0时,B=x|x≤此时1a<0,A∩B=⌀,舍去,综上,实数a的取值范围为[1,+∞).a选择②:当a=0时,B=⌀,满足A∩B=⌀;当a>0时,B=x|x≥要使A∩B=⌀,则1a>3,解得0<a<13;当a<0时,B=x|x≤此时1a<0,A∩B=⌀,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).3选择③:当a=0时,B=⌀,A∩(∁R B)=A≠⌀,满足题意;当a>0时,B=x|x≥∁R B=x|x<要使A∩(∁R B)≠⌀,则1>1,解得0<a<1;a当a<0时,B=x|x≤∁R B=x|x>此时A∩(∁R B)=A≠⌀,满足题意,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).16.【解析】选BD.对于A.由B-A={x|x∈B且x∉A},得B-A={3,8},故A错误;对于B.由A-B={x|x∈A且x∉B},A-B=⌀,得A⊆B,故B正确;对于C.由Venn图知:B-A如图阴影部分,所以B-A⊆(∁U A)∩B,故C错误;对于D.∁U B={x|x<-2或x≥4},则A-B=A∩∁U B={x|x<-2或x≥4},故D正确.。

高中数学一轮复习-集合运算的解题技巧

集合运算的解题技巧高考对集合运算的考查是一个热点，经常考查具体的运算，多数情况下会与求函数定义域、值域、解不等式、求范围等问题联系在一起。

解答集合题目，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件。

简言之为三步走：第一步，对谁运算，即看清楚集合的代表元素是谁；第二步，运算法则，即对集合进行化简；第三步，运算结果，即进行集合的交并补运算。

例：已知集合A ＝{x |－x 2＋2x ＋3>0}，B ＝{x |x －2<0}，则A ∩B ＝_______.例题1 设函数f(x)=lg(21x -)，集合A={x|y=f(x)}，B={y|y=f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为（）A. [-1,0]B. （-1,0）C.()[),10,1-∞- D.(](),10,1-∞-解析：要求阴影部分表示的集合，首先要知道集合A 、B 分别表示什么样的集合，然后再进行集合的运算。

答案：对集合A第一步——对谁运算：对实数x 运算。

第二步——运算法则：x 需满足21x ->0。

解得-1<x<1，即A={x|-1<x<1}。

对集合B第一步——对谁运算：对实数y 运算。

第二步——运算法则：由0<21x -≤1得，lg(21x -)≤0，即y ≤0。

故B={y| y ≤0}。

第三步——运算结果：阴影部分表示的是除了集合A 与B 交集的所有元素构成的集合。

由数轴可以看到，AB={x|-1<x ≤0}。

所以阴影部分表示的是()R A B ð={x|x ≤-1，或0<x<1}。

故选D 。

点拨：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题是，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合Venn 图或数轴进行直观表达，达到解题的目的。

2022届一轮复习高中数学第一章集合、常用逻辑用语与不等式

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第1课时集合[复习要求] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表示集合的关系与运算．集合的基本概念(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)；(2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(2)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(3)补集：若U为全集，A⊆U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．集合的常用运算性质(1)A∩∅＝∅；A∩A＝A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；(3)A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A；(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；A⊆B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅；(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(6)如图所示，用集合A ，B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B ；A ∩(∁U B)；B ∩(∁U A)；∁U (A ∪B)或(∁U B)∩(∁U A)；(7)card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A ∩B)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)集合{x ∈N |x 3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(2){x|y ＝x 2}＝{y|y ＝x 2}＝{(x ，y)|y ＝x 2}．(3)若5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，则m 的取值集合为{1，－1，3}．(4)若P ∩M ＝P ∩N ＝A ，则A ⊆M ∩N.(5)设U ＝R ，A ＝{x|lgx<1}，则∁U A ＝{x|lgx ≥1}＝{x|x ≥10}．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×解析 (1)由于－1∉N ，故(1)错．(2)中{x|y ＝x 2}＝R ，{y|y ＝x 2}＝{y|y ≥0}＝[0，＋∞)，以上两集合为数集，{(x ，y)|y ＝x 2}表示抛物线y ＝x 2上所有点的集合，故(2)错．(3)当m ＝－1时，m ＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(3)错．(4)正确．(5)中A ＝{x|0<x<10}，∁U A ＝{x|x ≤0或x ≥10}．故(5)错．2．(课本习题改编)若x ∈R ，则x 2＋1＝0的解集A ＝________；不等式x 2≤0的解集B ＝________；0与A 的关系为________；A 与B 的关系为________．答案 ∅ {0} 0∉A A ⊆B(或填A B)3．(2020·课标全国Ⅱ)已知集合U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U (A ∪B)＝( )A ．{－2，3}B ．{－2，2，3}C ．{－2，－1，0，3}D ．{－2，－1，0，2，3}答案 A解析由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，则∁U (A ∪B)＝{－2，3}．故选A.4．(1)(2021·衡水中学调研卷)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x －3≤0}，B ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数为________．(2)已知集合M ＝{x|x －a ＝0}，N ＝{x|ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．答案 (1)8 (2)0或1或－15．(2020·《高考调研》原创题)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N |0≤x ≤9}，若集合B ＝{1，3，5，7}，则A ∩(∁U B)＝________．答案 {0，2，4，6，8，9}解析由题意知集合A 中至少包含0，2，4，6，8，9几个元素，而∁U B ＝{0，2，4，6，8，9}，∴A ∩(∁U B)＝{0，2，4，6，8，9}．题型一集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ＝BB ．A BC ．B AD ．无法比较【解析】方法一(列举法)：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，12，32，52，72，…， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…. 显然A B.方法二(描述法)：集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B. 【答案】 B(2)(2021·重庆八中摸底考试)设集合M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝( )A ．{x|1<x ≤5}B ．{x|－1<x ≤0}C ．{x|－2≤x ≤0}D ．{x|1<x ≤2}【解析】 ∵M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}＝{y|－2≤y ≤2}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}＝{x|x>1}，∴M ∩N ＝{y|－2≤y ≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x ≤2}．【答案】 D(3)集合A ＝{1，0，x}，B ＝{|x|，y ，lg(xy)}，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵x ，y 均不能为0，∴lg(xy)＝0，故xy ＝1.又∵x ≠1，∴y ≠1，从而y ＝1x，且|x|＝1，故x ＝y ＝－1. 【答案】－1，－1状元笔记由本例讲透集合的基础知识(1)由本例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换，并通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系，并共同总结此类题的解法．(2)本例(2)的难点是对集合M ，N 的识别：M 是函数y ＝2cosx 的值域，N 是函数y ＝log 2(x －1)的定义域．(3)由本例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．思考题1 (1)给出以下四个命题：①{(x ，y)|x ＝1或y ＝2}＝{1，2}；②{x|x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．【解析】 ①中左边集合表示横坐标为1或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1或y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1，3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，正确．易错点在于认为3k ＋1与3k－2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中真子集的个数为24－1＝15.④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，∴集合为{－2 021，－ 2 021}，∴真子集有22－1＝3(个)．正确．【答案】 ②③④(2)(2020·课标全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以满足x ＋y ＝8的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.【答案】 C(3)(2020·杭州学军中学月考)集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5，1－a}，若A ∩B ＝{9}，则a ＝( )A ．－3B ．3或－3C ．3D ．3或－3或5【解析】由A ∩B ＝{9}可知9为集合A 与B 的公共元素，也是唯一公共元素．当2a －1＝9时，解得a ＝5，此时A ＝{－4，9，25}，B ＝{9，0，－4}，不合题意(舍去)；当a 2＝9时，解得a ＝3或－3.若a ＝3，则A ＝{－4，5，9}，a －5＝1－a ＝－2，集合B 不满足互异性，不合题意(舍去)．若a ＝－3，则A ＝{－4，－7，9}，B ＝{9，－8，4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.【答案】 A题型二集合的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x|(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x|m －1≤x ≤2m ＋1}．若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 A ＝{x|－1≤x ≤6}．∵A ∩B ＝B ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m<－2，符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m<－2或0≤m ≤52. 【答案】 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 (2)设A ＝{0，－4}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，①若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________；②若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ①A ＝{0，－4}，当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)<0，解得a<－1；当B 为单元素集合时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意；当B ＝A 时，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. 综上可知，a ≤－1或a ＝1.②若A ⊆B ，必有A ＝B ，由①知a ＝1.【答案】 ①(－∞，－1]∪{1} ②{1}状元笔记判断两集合关系的常用方法(1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系，如本例(2)．(2)数形结合法：利用数轴或Venn 图直观判断，如本例(1)．易错提醒：当B 为A 的子集时，易漏掉B ＝∅的情况而致误．思考题2 (1)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________．【解析】 ∵A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，∴m ＝3或m ＝m.∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符．【答案】 0或3(2)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．①若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； ②若B A ，求实数a 组成的集合C.【解析】 ①由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3，5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B A.②∵A ＝{3，5}，又BA ，故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a . ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15. 故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 【答案】 ①B A ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15题型三集合的基本运算(微专题)微专题1：集合的交、并、补运算例3 (1)(2021·兰州市高三诊断)设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x ≤5}，则M ∩(∁R N)＝( )A ．(0，4]B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0)【解析】 ∵M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x ≤5}，∴∁R N ＝{x|x<0或x>5}．M ∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}．【答案】 D(2)(2021·湖北黄冈重点中学联考)全集U ＝{x|x<10，x ∈N *}，A ⊆U ，B ⊆U ，(∁U B)∩A ＝{1，9}，A ∩B ＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4，6，7}，则A ∪B ＝________．【解析】由已知条件可得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn 图如图所示．从而A ∪B ＝{1，2，3，5，8，9}．【答案】 {1，2，3，5，8，9} (3)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N)＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解析】方法一：如图所示易知答案为B.方法二：特值法．不妨设∁R M ＝(1，2)，N ＝(0，3)，则M ∪(∁R N)＝M.【答案】 B状元笔记集合运算的基本类型(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合(给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)，(2)，其解法依然是化简集合、列举法或借助于数轴、韦恩图等．预测明年对于集合的考查仍以此类题为主．(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题．解决此类问题的途径有二：一是利用特例法将抽象集合具体化；二是利用韦恩图化抽象为直观．思考题3(1)(2021·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x ≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}【解析】由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．【答案】D(2)(2020·《高考调研》原创题)已知复数集U，f(n)＝i n，(n∈N*)，集合A＝{z|z＝f(n)}，集合B＝N*，则A∩(∁U B)中有________个元素．【解析】A＝{1，－1，i，－i}，∁U B是由复数集中不属于N*的所有数组成的集合，∴A∩(∁U B)＝{－1，i，－i}．【答案】3(3)如图，图形中的阴影部分表示集合()A．(A∪B)∩(B∪C) B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∩B)∪C D．(A∪B)∩C【答案】C微专题2：利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)．故选B.【答案】B(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．(－1，2] B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】D状元笔记(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．思考题4(1)(2020·启东中学模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4]【解析】 ∵A ＝{x ∈Z |－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x>m 2}，A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，即2≤m<4. 【答案】 C(2)(2020·课标全国Ⅰ，理)设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【解析】求解二次不等x 2－4≤0可得A ＝{x|－2≤x ≤2}，求解一次不等式2x ＋a ≤0可得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B. 【答案】 B1．通过例1～例3的讲解使学生对集合的表示及子、交、并、补运算等基础知识再一次巩固并系统化，体现本书：以“基础知识”为根本、以“通性通法”为重点的宗旨．2．解决集合问题的关键是正确地将集合进行化简求解，一般规律为：(1)若给定的集合是点集(离散型)，用列举法(或结合Venn 图)求解．(2)若给定的集合是不等式的解集(连续型)，用数轴求解．(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解．集合中的创新型问题在知识交汇点处命题的信息迁移题是今后几年高考中的热点题型，解决此类问题，既要有扎实的基本功，又要有创新意识，要迅速阅读理解题意，准确把握新的信息，敢于下笔计算．例1 定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B}，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13 }，则B A∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．【答案】 B例2 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x|ax 2－1＝0，a>0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a ＝________．【解析】 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，若1a ＝12，则a ＝4，若1a＝1，则a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意；当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意．【答案】 1例3 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M ＝{2，3，6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；(2)已知A ＝{1，3}，B ⊆U ，若集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．【解析】 (1)由已知，得∁U M ＝{1，4，5}，则∁U M 表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A ∪B ＝{1，3，6}，而A ＝{1，3}，B ⊆U ，则B 可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B 的个数是4.【答案】 (1)100110 (2)4题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 4．(2021·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x ∈R |－3<x<1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}答案 B解析由题意，得N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}＝{－1，0，1，2}，M ＝{x ∈R |－3<x<1}，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B.5．(2021·山东新高考模拟)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(－2，4)}C ．{(1，1)，(－2，4)}D ．∅答案 C6．(2021·清华附中诊断性测试)已知集合A ＝{x|log 2(x －2)>0}，B ＝{y|y ＝x 2－4x ＋5，x ∈A}，则A ∪B ＝( )A ．[3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x>3，∴A ＝(3，＋∞)，∴y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.7．已知集合A ＝{x ∈N |1<x<log 2k}，集合A 中至少有3个元素，则( )A ．k>8B ．k ≥8C ．k>16D ．k ≥16答案 C解析因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k>4，所以k>24＝16.故选C.8．(2020·重庆一中月考)已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]答案 B解析由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故∁R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B ＝{2，3，4}．故选B.9．(2021·郑州质检)已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x<2m ，m ∈R }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析由B ＝{x|x<2m ，m ∈R }，得∁R B ＝{x|x ≥2m ，m ∈R }．因为A ⊆∁R B ，所以2m ≤2，m ≤1.故选A.10．(2021·江淮十校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1x，x ≠0}，集合B ＝{x|x 2－4≤0}，若A ∩B ＝P ，则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <7，下列集合中，是A 的子集的是( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|1<x<3}C ．{x|1<x<2}D ．∅答案 ACD解析依题意得，A ＝{x|－1<x<log 27}，∵2＝log 24<log 27<log 28＝3，∴选ACD.12．设集合M ＝{x|(x －3)(x ＋2)<0}，N ＝{x|x<3}，则( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩(∁R N)＝∅D ．M ∪N ＝R答案 ABC解析由题意知，M ＝{x|－2<x<3}，N ＝{x|x<3}，所以M ∩N ＝{x|－2<x<3}＝M ，M ∪N ＝N ，因为∁R N ＝{x|x ≥3}，所以M ∩(∁R N)＝∅.故选ABC.三、填空题与解答题13．(2021·浙江温州二模)集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A ⊆B ，所以|x|∈B ，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．14．(1)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lgx<1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．(2)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，c>0.若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c ≥2.15．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝(1，2)，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)－1 (3)[0，＋∞)解析 (1)由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1. (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m<13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．16．已知集合A ＝{x|1<x<k}，集合B ＝{y|y ＝2x －5，x ∈A}，若A ∩B ＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为( )A ．5B ．4.5C ．2D ．3.5答案 D解析 B ＝(－3，2k －5)，由A ∩B ＝{x|1<x<2}，知k ＝2或2k －5＝2，因为k ＝2时，2k －5＝－1，A ∩B ＝∅，不合题意，所以k ＝3.5.故选D.17．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ^＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ^＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则P ^∩(∁N Q ^)＝( )A ．{0，3}B ．{0}C ．{1，2}D ．{1，2，6，7}答案 B解析设P 中元素为t ，由方程2n ＋1＝t ，n ∈N ，解得P ^＝{0，1，2}，Q ^＝{1，2，3}，∴P ^∩(∁N Q ^)＝{0}．18．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4答案 A解析方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 31C 31＝9.故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图象，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．故选A.第2课时充分条件与必要条件、全称量词与存在量词[复习要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．充分条件与必要条件(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．全称量词和存在量词(1)全称量词有：一切，每一个，任给，用符号“∀”表示．存在量词有：有些，有一个，对某个，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．(课本习题改编)(1)x>0是x(x＋1)>0的________条件．(2)|a|>0是a>0的________条件．(3)α>β是sinα>sinβ的________条件．答案(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要2．(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析(1)若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则x1＝3.x2＝－1，符合题意．(2)若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x1＝1.x2＝1，两根不异号，不符合题意．(3)若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则两根不异号，不符合题意．(4)若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则两根和不为2，不符合题意．故选A.3．(2020·上海春季高考题)“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若α＝β，则sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分条件；若sin2α＋cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β，∴“α＝β”不是“sin2α＋cos2β＝1”的必要条件，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故选A.4．特称命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假5．【多选题】下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．∃x∈R，sinx＋cosx＝3D．∀x∈R，|x|＋x2≥0答案BC解析此类题的解法有二：①判断原命题的真假，则其否定与其结论相反．②先写出命题的否定，再判断真假，本题宜用方法①.题型一充分、必要条件的判定例1(1)判断下列各题中，p是q的什么条件？①p：a>b，q：a>b－1；②p：a>b，q：lga>lgb；③p ：a>b ，q ：2a >2b; ④p ：a>b ，q ：a 2>b 2.【解析】 ①p ⇒q ，q ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．②q ⇒p ，p q ，∴p 是q 的必要不充分条件．③p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．④p q ，q p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件③充要条件 ④既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p 是q 的什么条件？①在△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC ；②p ：x>1，q ：x 2>1；③p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；④p ：aB ，则BC>AC ；反之，若BC>AC ，则A>B.因此，p 是q 的充要条件．②方法一(定义法)：由x>1可以推出x 2>1；由x 2>1得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此p 是q 的充分不必要条件．方法二(集合法)：p ＝(1，＋∞)，q ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴p ⊆q ，故p 是q 的充分不必要条件．③由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．④由于a1；当b>0时，a b <1，故若a0，a b<1时，可以推出ab.因此p 是q 的既不充分也不必要条件．【答案】 ①p 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分不必要条件 ③p 是q 的必要不充分条件 ④p 是q 的既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a|a|＞b|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】方法一：当a>b>0时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当a>0>b 时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当b<a<0时，a>b ⇔a|a|>b|b|，∴选C.方法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.【答案】 C状元笔记判断充分必要条件的步骤(1)弄清条件p 和结论q 分别是什么．(2)尝试p ⇒q ，q ⇒p.(3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小．(4)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．思考题1 (1)(2020·天津)设a ∈R ，则“a>1”是“a 2>a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】定义法：由a 2>a 得a>1或a<0，反之，由a>1得a 2>a ，则“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A(2)“1x>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1，即x ∈(－∞，1)．∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．或用集合法：∵(0，1)(－∞，1)，∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．【答案】 A(3)(2021·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 “x ≠y ”不能推出“cosx ≠cosy ”，但“cosx ≠cosy ”一定有“x ≠y ”．【答案】 C(4)(2021·合肥一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分条件；若f(a)>f(b)，则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，则“a>|b|”不是“f(a)>f(b)”的必要条件，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A题型二充分、必要条件的应用例2 (1)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x|－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3](2)在(1)中若把条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”改为“若x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是________．【解析】方法一：由(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，满足题意；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x ≤4}满足题意，故m 的取值范围为[0，3]．方法二：若x ∈P 是x ∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解， ∴m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3]状元笔记本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．思考题2 (1)已知p ：1≤x ≤2，q ：(x －a)(x －a －1)≤0，若p 是q 的充要条件，则实数a 的值为________．【答案】 1(2)已知p ：4x ＋m<0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围．【解析】 ∵4x ＋m<0，∴x<－m 4，∴p ：x<－m 4. ∵x 2－x －2>0，∴x<－1或x>2，∴q ：x<－1或x>2.∵p ⇒q ，∴－m 4≤－1，∴m ≥4. 即m 的取值范围是[4，＋∞)．【答案】 [4，＋∞)(3)(2021·北京西城区期末)已知函数f(x)＝sin2x ，x ∈[a ，b]，则“b －a ≥π2”是“f(x)的值域为[－1，1]”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由图可知，若a ＝0，π2<b<3π4，则b －a>π2，但f(x)＝sin2x 的值域不是[－1，1]．反之，因为值域是[－1，1]，说明b －a ≥12T ，而T ＝π.所以b －a ≥π2.【答案】B题型三全(特)称命题及其真假的判断例3指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x02＋1＜0.【解析】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．【答案】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题；(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题状元笔记全(特)称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．(3)不管是全称命题还是特称命题，当其真假不易判定时，可先判断其否定的真假．思考题3(2021·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是() A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0【解析】因为log21＝0，cos0＝1，所以A，B项均为真命题，因为02＝0，所以C项为假命题，因为2x>0，所以选项D为真命题．【答案】C题型四含量词命题的否定例4写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p1：所有的正方形都是矩形；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)p4：∃x0∈{x|x∈Z}，log2x0>0.【解析】(1)綈p1：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈p2：所有的整数，都不能被2或5整除，是假命题．(3)綈p3：∃x0∈{x|x是无理数}，x02不是无理数，是真命题．(4)綈p4：∀x∈{x|x∈Z}，log2x≤0，是假命题．【答案】命题的否定见解析，(1)(2)(4)的否定为假命题，(3)的否定为真命题状元笔记(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．(2)常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假思考题4(1)写出下列命题的否定并判断真假．①p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；②p：每一个非负数的平方都是正数；③p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；④p：有的四边形没有外接圆．【解析】①綈p：存在末位数字是0和5的整数不能被5整除，是假命题．②綈p：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．③綈p：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，是真命题．④綈p：所有的四边形都有外接圆，是假命题．【答案】命题的否定见解析，①④的否定为假命题，②③的否定为真命题(2)(高考真题·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nD．∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”．【答案】D1．充分、必要条件的判定方法．(1)定义法．(2)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．2．含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．题组层级快练(二)一、单项选择题1．(2021·开封市一模)若a ，b 是非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a ，b 为非零向量，a ·b >0，所以由向量数量积的定义知，a 与b 的夹角为锐角或a 与b 方向相同；反之，若a 与b 的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a ·b >0成立．故“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.2．(2021·湖南长郡中学模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0.故选B.4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．5．(2019·北京)设A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若|AB →＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，c 2＋b 2＋2bc·cosA>c 2＋b 2－2bc·cosA ，∴cosA>0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB →与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB →＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.6．(2019·浙江)设a>0，b>0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b>4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.7．(2018·北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (定义法)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝dc，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝cd ，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.8．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.9．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 答案 D解析该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．10．(2021·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1，2]D ．(－1，2) 答案 C解析命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．“m>2”是“关于x 的方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两根都大于1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析设方程x 2－mx ＋m ＋3＝0有两根，两根分别为x 1，x 2，则Δ≥0，且x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝m ＋3.。

高三数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算精品课件

• (3)五个关系式A⊆B、A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB) ＝∅是两两等价的．
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1，也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量词、基本逻辑联结词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}

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例1 判定以下关系是否正确
(2){1，2，3}＝{3，2，1}
(4)0∈{0}
分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．
说明：含元素0的集合非空．
例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．
含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
________．
分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．
答共3个．
说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．
[ ]
分析作出4图形．答选C ．
说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．
(1){a}{a}⊆(3){0}∅⊂≠
(5){0}(6){0}
∅∅∈＝解含有个元素的子集有：； 0∅说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂例设为全集，集合、，且，则≠
4 U M N U N M ⊂
⊆
点击思维
例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是
[ ]
分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，
y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ．答选A ．
说明：要注意集合中谁是元素．
M 与P 的关系是
[ ]
A ．M ＝
U P
B ．M ＝P
分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利
用补集的性质：M ＝
U N ＝
U (
U P)＝P ；三是利用画图的方法．
A A
B B A B
C A B
D A B ．＝．．．≠≠
⊇⊂
⊃C M P
D M P ．．≠⊃
⊆
答选B ．
说明：一题多解可以锻炼发散思维．例7 下列命题中正确的是
[ ]
A ．
U (
U A)＝{A}
分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．
是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ．答选D ．
说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．
例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．
分析逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．
答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．
说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．
例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，
4}，则p ＝________．
分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于
S M ＝{1，4}，
∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解．答 p ＝2×3＝6．
说明：集合问题常常与方程问题相结合．
例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，
求a 的值．
B A B B A B
C A {1{2}}{2}A
．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B 且，≠
M S ⊂
S 这个集合是集合A 与集合
S A
的元素合在一起“补成”的，此外，对
这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．
解由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足
在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．
在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．
说明：分类要做到不重不漏．
[ ]
A ．M ＝N
D ．M 与N 没有相同元素
分析分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得
()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 2
2
2＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④
(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 22
2⎧⎨⎪
⎪⎩
⎪⎪例年北京高考题集合＝＝π＋π
，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24
x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42
B M N
C M N
．．≠≠⊃⊂M {}N {}
M N ＝…，－π，π，π，π，π
，…，
＝…，π，π，π，π，π
，…易见，．
≠
44345474423454
⊂
答选C．
说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。