初二数学勾股定理测试题
勾股定理测试卷
京翰提示：弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理，是初中数学中常用的公式定理，下面的试卷主要考察同学们对勾股定理的基本知识和基础题型的认识程度，在数学学习的过程中，一定要注意对一个问题的延伸，这样才能把知识点学习的更加透彻和明晰！
一、选择题
1.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
2.一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（ ） （A ） 4 （B ） 8 （C ） 10 （D ） 12
3.如图，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的关系是（ ） （A ）321S S S =+ （B ）232221S S S =+ （C ）321S S S >+ （D ） 321S S S <+
4. 若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．
（A ）3cm 2 （B ）32cm 2 （C ）33cm 2 （D ）4cm 2
5.已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则
△ABE 的面积为 （ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm
2
6. 在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成 直角三角形的是 （ ）
（A ）a=9 、b=41 、c=40 （B ）a=11 、b=12 、c=15 （C ）a ∶b ∶c=3∶4∶5 （D ） a=b=5 、c=25 7、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33
8.如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，BC /交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
9、锐角三角形的三边长分别是2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） （A 513 （B 13 （C ）13 （D ）1<x<5 10. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长 是 （ ） A . 4cm B . 34cm C . 6cm D . 36cm 二、填空题
1.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。
E
D C'
A B
E D
D
C
B
A
2. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 。
3.若正方形的面积为18cm 2
，则正方形对角线长为__________cm 。
4. 一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为 。
5.如图在Rt ∆ABC 中，CD 是AB 边上的高，若AD=8，BD=2，则CD=
6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
7. 如下图，已知OA =OB ，那么数轴上点A 所表示的数是____________.
8. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .
9. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是： ，它是 （填入“真”或“假”）命题。
10.在△ABC 中，∠C =90°， AB ＝5，则2AB +2
AC +2
BC =_______． 三、解答题
1. 如图，ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，且BD AD CD ⋅=2，求证：ABC ∆是直角三角形。
2. 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
()2112
=+ 2
1
1
=
S ; ()3122
=+ 2
2
2
=
S ; ()4132
=+ 2
33
=
S
; （1）用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA 10的长； （3）求出S 12 + S 22 + S 32 + … + S 102的值。
A1
A2A4
4. 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC,P 为BC 上任意一点，求证:2
2
AB AP PB PC -=⋅
4. 小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
5.如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，P A =3，求∠BPC 的度数．
6. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD
折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗
A
C
P
B
C
D
7.如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子
滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
8. 如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？
9. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
小河。
八年级数学勾股定理测试题
图6八年级数学勾股定理测试题(1）一、填空题（每小题5分，共25分)：1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为_________________． 2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______． 3．△ABC 中，AB=10，BC=16，BC 边上的中线AD=6，则AC=___________．4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图1）,设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ,则h 的取值范围是_____________．5．如图2所示，一个梯子AB 长2。
5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1。
5米，梯子滑动后停在DE 上的位置上,如图3，测得DB 的长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．二、选择题(每小题5分，共25分）：6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是( ）． A ．a=9 b=41 c=40 B ．a=b=5 C=52C ．a:b ：c=3：4： 5D ．a=11 b=12 c=157．若△ABC 中，AB=13，AC=15,高AD=12，则BC 的长是（ )． A ．14 B ．4 C ．14或4 D ．以上都不对 8． 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示)，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a +的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．1699． 如图5,四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm,且∠ABC=900,则四边形ABCD 的面积是（ )．A ．84B ．30C ．251D ．无法确定 10．如图6，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，B C /交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( ）．A ．3B ．4C ．5D ．6 三、解答题(此大题满分50分)：11．（7分）在ABC Rt ∆中，∠C=900．（1）已知15,25==b c ，求a ；(2）已知060,12=∠=A a ，求b 、c ．12．(7分)阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状．解：∵ 442222b a c b c a -=-, ①∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=-， ② ∴ 222b a c +=, ③∴ △ABC 为直角三角形．问:（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______；(2）错误的原因是___________________________;（3)本题正确的结论是_______________________________．13．(7分)细心观察图7，认真分析各式,然后解答问题： 21)1(2=+ 211=S 31)2(2=+ 222=S41)3(2=+ 233=S┉┉ ┉┉（1） 用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3)求出210232221S S S S ++++ 的值．图1图2图3图4图5图714．(7分）已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．15．（7分)小东拿着一根长竹杆进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米，当他把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？16．（7分）小明向西南方向走40米后，又走了50米，再走30米回到原地．小明又走了50米后向哪个方向走的？再画出图形表示17．（8分）如图8,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒？八年级数学（勾股定理）自测题(2）一、选择题（共4小题,每小题4分，共16分.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内。
八年级初二数学 勾股定理测试试题及答案
八年级初二数学 勾股定理测试试题及答案一、选择题1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB ＝3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．10D ．92．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．143．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。
若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是A ．13B ．25C ．47D 134．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11EF 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cm +B ．513cmC ．277cmD ．(2583)cm + 5．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1527．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．10 8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．①⑤D ．③④9．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）A ．3尺B ．4.2尺C ．5尺D ．4尺二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.14．如图，△ABC 是一个边长为1的等边三角形，BB 1是△ABC 的高，B 1B 2是△ABB 1的高，B 2B 3是△AB 1B 2的高，……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高，则B 4B 5的长是________，猜想B n-1B n 的长是________．15．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．16．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________17．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．18．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．20．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，2），点G的斜坐标为（7，﹣2），连接PG，则线段PG的长度是_____．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积. (2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.25．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）26．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．28．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】做点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ，因此要求出EF 的长，只要求出EH 和HF 即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE ，在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ，同理在Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ，在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF ．【详解】过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ．∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得，∴ED=BE ，CF=C F '，3BC CD '==∵ED=BE ，DE=AD-AE=9-AE∴BE=9-AE∵Rt ABE △，AB=3，BE=9-AE∴()22293AE AE -=+∴AE=4∴DE=5∴9C F BC BF BF '=-=-∴Rt BC F '，3BC '=,9C F BF '=-∴()22293BF BF -+=∴BF=5，EH=1∵Rt EFH ，HF=3，EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 2．B解析：B【分析】过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∴BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，∴∠CBC ′＝90°，∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°，∴BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积．即可求解．【详解】四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即222233=92549=47＋5＋2＋＋＋＋；故答案为C ．【点睛】理解正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键．4．C解析：C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= ∵277<325∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的5．C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边.【详解】解：当a 是直角三角形的斜边时,22345a =+= ；当a 为直角三角形的直角边时,22437a -=故选C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．6．C解析：C【解析】将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S 2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．7．C解析：C【解析】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，∴c 2=25，∴a 2+b 2=c 2=25，∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6， 又∵直角三角形的面积是12ab=6， ∴ab=12．故选C. 8．B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．【详解】解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确故选B ．【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．B解析：B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得：2224(10)x x +=-．解得： 4.2x =，∴折断处离地面的高度为4.2尺，故选：B ．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．（0，21009）【解析】【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，∴OA 12，OA 2=2）2，…，OA 2018=2）2018，∵A 1、A 2、…，每8个一循环，∵2018=252×8+2∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=20182=21009，故答案为（0，21009）.【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．13．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．14．32 2n 【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝12，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝2，求出△ABC 的面积是4；求出113ABB BCB S S ==B 1B 2＝4，由勾股定理求出BB 2，根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=，B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ． 【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴BA ＝AC ，∵BB 1是△ABC 的高，∴AB 1＝CB 1＝12，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理得：BB 1=；∴△ABC 的面积是12×1=；∴1112ABB BCB SS ==⨯，12=×1×B 1B 2，B 1B 2＝4，由勾股定理得：BB 234=， ∵11221ABB BB B AB B S S S =+，2313112422B B =⨯⨯⨯，B 2B 3＝8，B 3B 4，B 4B 5， …，B n ﹣1B n【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．15．【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==，AE ∴=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，CD =2CE CD ∴==12DE ∴=，∴142ABE S ∆=⨯⨯= 1122CDE S ∆=⨯=24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．53或203【分析】 根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论．【详解】解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示∵Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =， 根据勾股定理可得2210AB AC += ∵13CD BC =，13CE AC =， ∴13CD BC ==103，13CE AC ==83 ∵DE AC ⊥根据勾股定理可得222CD CE -=由折叠的性质可得：DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH－DE=4 3设CP=PH=x，则EP=CE－CP=83－x在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（83－x）2＋（43）2=x2解得：x=5 3即此时CP=53；②当折叠后点C的对应点H在AC的上方时，如下图所示根据折叠的性质可得DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH＋DE=16 3设CP=PH=y，则EP= CP－CE =y－8 3在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（y－83）2＋（163）2=y2解得：y=20 3即此时CP=203．综上所述：CP=53或203．故答案为：53或203．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．17．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值．18．7【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ，在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD故答案为：7【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．19．48 5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485.20．5【分析】如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．【详解】如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．∵P （1，2），G （7．﹣2），∴OA ＝1，PA ＝GM ＝2，OM ＝7，AM ＝6，∵PA ∥GM ，∴∠PAN ＝∠GMN ，∵∠ANP ＝∠MNG ，∴△ANP ≌△MNG （AAS ），∴AN ＝MN ＝3，PN ＝NG ，∵∠PAH ＝45°，∴PH ＝AH ＝2，∴HN ＝1， ∴2222215PN PH NH =+=+=∴PG ＝2PN ＝5．故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(23y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝3BM，进而可得BE+CF＝3（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=∴S △ADC =1423432⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3②当CD =CB =BD =3∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒， ∴132BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=-=， ∴S △BDC =1233332⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=123 S △ADB =12332⨯=， ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =3；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是3或3【点睛】 本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．23．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==，∴622 AH AE EH=+=+，22222256623AB AH BH⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，21153222ABDS AB AD AB∆=⋅==+，故③正确；④因为AC是定值，所以当A P C、、共线时，PC最小，如图，连接BC，∵A C、关于BD的对称，∴523AB BC==+∴225231043AC BC==+=+∴minPC AC AP=-，10432=+⑤∵ABD与AEP都是等腰直角三角形，∴90BAD∠=︒，90EAP∠=︒，AB AD=，AE AP=，在ABP和ADE中，AB ADBAP DAEAP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS≅，∴ABP ADE∠=∠，∵AN BN=，∴ABP NAB∠=∠，∴EAN ADE∠=∠，∵90EAN DAN∠+∠=︒，∴90ADE DAN∠+∠=︒，∴AN DE⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=， ∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由：如图4中，由题意：AP 1＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 1＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 1≌△CDB ； AP 2＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 2＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 2≌△CDB ；AC ＝CD ，∠ACP 3＝∠BDC ，BD ＝CP 3根据SAS 可得△CAP 3≌△DCB ；故答案为P 1、P 2，P 3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得1332DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，222212663OA AB OB =-=-= ∴点A 的坐标为(0，63)；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++=故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--= 故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴()()22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-= ()()22EF 343252=--+-=∴DE=DF ，222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D （1,6），F'（4，-2）代入得：642k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DF'的解析式为：826y 33x =-+ 令y=0，解得13x 4=，即P 的坐标为（1304，）。
初二数学《勾股定理》测试题
学习好资料 欢迎下载勾股定理测试题一、选择题1. 三角形的三边分别为 a 、b 、 c ，下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ） A.a = 3, b = 4, c = 5 B.a = 5, b = 12, c = 13 C.a = 8, b = 15, c = 17 D.a = 13, b =16, c = 192. 在Rt △ABC 中 ，∠C= 90°， ∠B = 45°， AC = 1cm ，那么它的三边之比是（ ） A.1 :3 : 2 B.1 : 1 :2 C.1 : 2 : 3 D.1 :2: 33. 一个直角三角形两边的长分别为 15、20，则第三边的长是（ ） A.57 B.25 C. 57或 25 D.无法确定4. 边长为1的等边三角形的面积是（ ）A. 3B. 2C.D. 45. 如图，△ABC 中 ，∠ACB= 90°，AC = 12，CB = 5， AM =AC ， BN =BC ，则 MN 的长是（ ）A.2B.2.6C.3D.46. 如图，在△ABC 中 ，CD ⊥AB 于D ，且 AD =BC = 5，DB = 3，则AC =（ ） A.3 B.6 C.41 D.210 7. 一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走过 的最短路程为（ ） A.B. (1aC. 3aD.8. 一直角三角形两直角边长分别为8和15，则这个直角三角形斜边上的高为（ ） A.8 B.15 C.17 D.120179. 分别以锐角三角形三边为直径作半圆，三个半圆面积分别为S 1,S 2,S 3， 如图，则S 1,S 2,S 3三者之间关系为（ ） A.123S S S >+ B. 123S S S =+ C.123S S S <+ D. 无法确定10. 一只蚂蚁从圆柱体底面圆周上某点出发，绕柱一周到达这点的顶部，如果圆柱底面直径为8，柱高为6π，则蚂蚁行走的最短路径为（ ） A.14π B.8π C.10π D.12π 二、填空题11. 在△ABC 中 ，∠C= 90°， a = 7， c = 25， 则 b =12. 在△ABC 中 ，∠C= 90°， ∠A = 30°， a = 2 ， 则 c = b = 13. 在△ABC 中 ，∠C= 90°， a : b = 3 : 4 ，c = 10， 则 a = ， b =14. 已知3，4，5是一个三角形的三边，那么 3m,4m,5m （m ＞0）为三边长的三角形是 三角形.15. 在平面直角坐标系中，点A (2,0)-与点B (2,4)-之间的距离为 .16. “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 . 17. 在直角三角形中，若两直角边a 、b 满足a+b=17，ab=60，则斜边长为 .18. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=13，AC=8，则22BD DC -= .第18题图 第19题图 第20题图 19. 如图，一架长2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯底距墙底端0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子的底端将滑出 m .20. 如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，若AB=12cm ，BC=4cm ，CD=3cm,AD=13cm,则这个四边形的面积为 ．NMCBAC BA BAS 3S 2S 1DBA DCBA学习好资料 欢迎下载三、解答题21. 已知：如图，在Rt △ABC 中 ，∠C= 90°，∠A = 30°， D 在AC 上且∠BDC=60°， AD = 20，求 BC.22. 如图，在△DEF 中 ，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上的中线DG=8cm ，说明△DEF 是等腰三角形.23、一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移多少米？24. 如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O 向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点，且知AB 长为30海里时，问乙轮船每小时航行多少海里？25. 若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，试判定这个三角形的形状.26、如图所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．DCBA G FE D。
八年级初二数学 勾股定理测试试题附解析
一、选择题1．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=AD D ．F BAQ ∠=∠ 2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是（ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为()22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长等于BC 的长．A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．③④3．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．20194．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE =DG ；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10B ．a ＝41，b ＝4，c ＝5C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5D ．a ＝3，b ＝4，c ＝67．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2a b （）+的值为（ ）A ．13B ．19C ．25D ．1698．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ）A ．h≤15cmB ．h≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm9．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）A ．222221a b h +=B ．222111a b h +=C ．2h ab =D ．222h a b =+10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝13S矩形ABCD，则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．14．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．17．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．如图，直线423y x =+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .25．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．26．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案．【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．2．B解析：B【分析】根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC 和DE 的关系．【详解】解：根据折叠的性质知，△C ED CED '≅∆，且都是等腰直角三角形，∴90BDE ∠<︒，45C DE ∠'=︒， ∴12C DE BDE ∠'≠∠ ∴DC '不能平分BDE ∠①错误；45DC E DCE ∴∠'=∠=︒，C E CE DE AD a '====，CD DC ='=，AC a ∴=，2)BC a ==，∴②正确；2ABC DBC ∠=∠，22.5DBC ∴∠=︒，45DCB ∠=︒，112.5BDC ∴∠=︒，BCD ∴∆不是等腰三角形，故③错误；CED ∴∆的周长(2CE DE CD a a a BC =++=+==，故④正确．故选：B ．【点睛】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．3．D解析：D【解析】【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.【详解】∵OP=1，OP 1OP 2OP 3=2，∴OP4=5，…，OP2018=2019．故选D【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．4．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.5．D解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.【详解】解：由AC=BC=4，则AE=3=DE，由勾股定理可得，①正确；，②正确；1由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；△DCE的周长，△BDF的周长+4-4个，故选：D.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.6．B解析：B【分析】根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．【详解】A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；B、∵52+42＝)2，∴△ABC是直角三角形；C、∵2222，∴△ABC不是直角三角形；D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．7．C解析：C【解析】试题分析：根据题意得：222c a b=+=13，4×12ab=13﹣1=12，即2ab=12，则2()a b+=222a ab b++=13+12=25，故选C．考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．8．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.9．B解析：B【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出22a b+【详解】解：设斜边为c，根据勾股定理得出22a b+∵12ab=12ch，∴22a b+，即a2b2=a2h2+b2h2，∴22222a b a b h =22222a h a b h +22222b h a b h， 即21a +21b ＝21h ． 故选：B ．【点睛】 本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．10．C解析：C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长.【详解】在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BC=2BD.∴∠ADB=90°在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22-AB AD =225-3=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．(21009，0)．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=12，OA 3=22，OA 4=3，…OA 2019=2018，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．【详解】∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，∴2019÷8=252…3，∴点A 2019在x 轴正半轴上．∵OA 2019=）2018，∴点A 2019的坐标为（2018,0）即(21009，0)．故答案为：(21009，0)．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．13．【分析】根据S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．【详解】设△PAD 中AD 边上的高是h ．∵S △PAD ＝13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13AD •AB ， ∴h ＝23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE＝2222+=+= ,8882AE AD即PA+PD的最小值为82．故答案82．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．14．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．【详解】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP＝22-＝3，则P的坐标是（3，4）．54OP OC-＝22②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM＝22-＝3，PD DM当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.15．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．16．106232【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为223332+=；当x=9时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为2293310+= ；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：310，62或32.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．17．6【解析】∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，则CQ=BP+PQ 的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.18．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.19．639+或639- 【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点， 162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=-，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ，AH ∴===． 3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．20．（0，34）.【分析】 由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34， ∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标. 三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）213；（2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒，222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.24．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭x ∴()2221654=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．25．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB SS S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 4532HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确； ③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==， ∴62AH AE EH =+=+， 2222225662322AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称，∴523AB BC ==+∴225231043AC BC ==+=+∴ min PC AC AP =-，10432=+⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．26．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0），∵AB ⊥x 轴，∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，∴AB 2+OB 2＝OA 2，∴a 2+a 2＝（2）2，解得a ＝5，∴点B 坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF ⊥x 轴于F ．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP 和△CDB 中，AC AD ACP DB CP DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CDB （SAS ），∴∠CAP ＝∠DCB ＝22.5°，∴∠BAP ＝∠CAP +∠DAC ＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP 是等腰直角三角形，∴AP ＝AB ＝OB ＝2，∴P （4，2）．②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由：如图4中，由题意：AP 1＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 1＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 1≌△CDB ； AP 2＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 2＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 2≌△CDB ；AC ＝CD ，∠ACP 3＝∠BDC ，BD ＝CP 3根据SAS 可得△CAP 3≌△DCB ；故答案为P 1、P 2，P 3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．27．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 73【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短。
(完整版)初二数学勾股定理测试题
C勾股定理测试卷京翰提示:弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理，是初中数学中常用的公式定理，下面的试卷主要考察同们对勾股定理的基本知识和基础题型的认识程度，在数学学习的过程中，一定要注意对一个问题的延伸，这样才能知识点学习的更加透彻和明晰！一、选择题1。
已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 22。
一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（ ） (A ） 4 （B ） 8 （C) 10 （D ） 123.如图，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的关系是（ ） (A)321S S S =+ （B ）232221S S S =+ （C ）321S S S >+ （D ） 321S S S <+4。
若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为( ）．（A ）3cm 2 （B)32cm 2 （C ）33cm 2 （D ）4cm 25.已知,如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为 （ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm26。
在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成 直角三角形的是 （ ）（A)a=9 、b=41 、c=40 （B)a=11 、b=12 、c=15 (C ）a ∶b ∶c=3∶4∶5 （D ） a=b=5 、c=257、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ) A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 338.如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处,BC /交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 9、锐角三角形的三边长分别是2、3、x,则x 的取值范围是( ) （A 513（B 13（13）1〈x 〈510。
初二勾股定理练习题电子版
初二勾股定理练习题电子版1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，请问斜边长多少？解答：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和。
设斜边长为c，根据公式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25所以，斜边长c为5cm。
2. 在直角三角形ABC中，已知斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，请问另一条直角边长多少？解答：同样根据勾股定理，设另一条直角边长为a，可得：a² + 6² = 10²a² + 36 = 100a² = 100 - 36a² = 64所以，另一条直角边长a为8cm。
3. 已知直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，请问斜边长多少？解答：根据勾股定理，设斜边长为c，可得：c² = 5² + 12²c² = 25 + 144c² = 169所以，斜边长c为13cm。
4. 在直角三角形XYZ中，已知斜边长为15cm，一条直角边长为9cm，请问另一条直角边长多少？解答：根据勾股定理，设另一条直角边长为b，可得：b² + 9² = 15²b² + 81 = 225b² = 225 - 81b² = 144所以，另一条直角边长b为12cm。
5. 若直角三角形的两条直角边分别为xcm和ycm，斜边长为zcm，根据勾股定理，我们可以得到一个关系式，即x² + y² = z²。
请用这个关系式回答以下问题：(1) 如果x=5cm，y=12cm，求z的值。
解答：根据关系式x² + y² = z²，代入x、y的值可得：5² + 12² = z²25 + 144 = z²169 = z²所以，z的值为13cm。
初二数学勾股定理试题及参考答案
一．选择题（共18小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．2．如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（）A．12 B．14 C．16 D．183．如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=（）A．31°B．45°C．30°D．59°4．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B．C．D．25．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．646．2的算术平方根是（）A．B．C．D．27．9的平方根为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．8．81的平方根是（）A．﹣9 B．9 C．±9 D．±39．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或110．下列说法正确的是（）A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根11．5的平方根是（）A．±2.5 B．﹣C．D．±12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）15．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）16．点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2） C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）17．在平面直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），则点B的坐标是（）A．（﹣2，﹣8）B．（2，8） C．（﹣2，8）D．（8，2）18．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2） B．（5，2） C．（6，2） D．（5，3）二．填空题（共12小题）19．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米．20．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．21．若线段a、b、c满足b2=a2﹣c2，则以a、b、c为边的三角形是三角形．22．在△ABC中，AB=2k，AC=2k+1，BC=3，当整数k=时，∠B=90°．23．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，若BC=10，AD=12，则AC=．。
初二数学-勾股定理测试题(含答案)
初二数学-勾股定理测试题(含答案) 初二数学勾股定理测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各组中，不能构成直角三角形的是（）.A) 9，12，15B) 15，32，39C) 16，30，32D) 9，40，412.如图1，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC=（）.A) 6B) 8C) 10D) 123.已知：如图2，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）.A) 9B) 3C) 99D) 424.如图3，在△ABC中，AD⊥BC与D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为（）.A) 11B) 10C) 9D) 85.若三角形三边长为a、b、c，且满足等式(a+b)-c=2ab，则此三角形是（）.A) 锐角三角形B) 钝角三角形C) 等腰直角三角形D) 直角三角形6.直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）.A) 6B) 8.5C) 22/60D) 13/137.高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（）.A) 3B) 4C) 5D) 68.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）.A) 6秒B) 5秒C) 4秒D) 3秒9.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)的值为（）.A) 49B) 25C) 13D) 110.如图5所示，在长方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且BE=12，BF=16，则由点E到F的最短距离为（）.A) 20B) 24C) 28D) 32二、填空题（每小题3分，共30分）11.写出两组直角三角形的三边长.（要求都是勾股数）3.4.5) 和 (5.12.13)12.如图6（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为25.2）斜边x=5√2.13.如图7，已知在Rt△ABC中，ACB=Rt，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于8π.14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形.5.12.13）是一个直角三角形。
初二勾股定理测试题及答案
初二勾股定理测试题及答案一、选择题1. 在直角三角形中，如果直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个三角形的两边长分别为5和12，且这两边构成直角，那么第三边的长度是多少？A. 10B. 13C. 15D. 17二、填空题3. 如果一个直角三角形的直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。
4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是_________。
三、计算题5. 在一个直角三角形中，如果已知斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z。
已知x=9，y=12，求z的值。
四、解答题7. 一个梯形的两底边长分别为3和5，高为4，求梯形的对角线长度。
8. 一个长方体的长、宽、高分别为3米、4米和5米，求这个长方体的对角线长度。
答案：一、选择题1. A（根据勾股定理：3² + 4² = 5²）2. B（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）二、填空题3. 10（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）4. 12（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）三、计算题5. 另一条直角边的长度为8（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）6. z的值为15（根据勾股定理：9² + 12² = 15²）四、解答题7. 梯形的对角线长度为5（根据勾股定理：(3+5)² + 4² = 5²）8. 长方体的对角线长度为5（根据勾股定理：3² + 4² + 5² = 50，再开方得5）结束语：通过本次测试，我们复习了勾股定理的应用，希望同学们能够熟练掌握并灵活运用勾股定理解决实际问题。
勾股定理初二练习题二十道
勾股定理初二练习题二十道1. 在直角三角形ABC中，角C=90°，AB=12cm，AC=5cm，求BC 的长度。
2. 在直角三角形DEF中，角D=90°，DE=8cm，DF=15cm，求EF 的长度。
3. 在直角三角形GHI中，角I=90°，GH=17cm，HI=8cm，求GI的长度。
4. 在直角三角形JKL中，角J=90°，KL=10cm，JL=6cm，求JK的长度。
5. 在直角三角形MNO中，角O=90°，MN=6cm，NO=10cm，求MO的长度。
6. 在直角三角形PQR中，角P=90°，PR=13cm，PQ=12cm，求QR 的长度。
7. 在直角三角形STU中，角T=90°，ST=21cm，TU=20cm，求SU 的长度。
8. 在直角三角形VWX中，角V=90°，VX=24cm，WX=7cm，求WV的长度。
9. 在直角三角形YZA中，角Z=90°，ZY=15cm，ZA=9cm，求YA 的长度。
BC的长度。
11. 在直角三角形EFG中，角E=90°，EG=7cm，FG=25cm，求EF 的长度。
12. 在直角三角形HIJ中，角H=90°，IJ=20cm，HJ=9cm，求HI的长度。
13. 在直角三角形KLM中，角K=90°，KL=16cm，LM=12cm，求KM的长度。
14. 在直角三角形NOP中，角N=90°，NO=5cm，OP=13cm，求NP 的长度。
15. 在直角三角形QRS中，角Q=90°，QR=30cm，RS=16cm，求QS的长度。
16. 在直角三角形TUV中，角T=90°，TV=25cm，UV=7cm，求TU 的长度。
17. 在直角三角形WXY中，角W=90°，WX=14cm，XY=9cm，求WY的长度。
18. 在直角三角形ZAB中，角Z=90°，ZA=11cm，AB=15cm，求ZB的长度。