2019版高考数学一轮复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课时作业理

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式及其解法学案文

第二节一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一一元二次不等式的解法{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a }{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A ．1 B ．－14C ．4D ．－12解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为 {x |－1<x <2}．所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1,2.所以－1＋2＝－b a，(－1)×2＝1a.所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.答案：B知识点二一元二次不等式恒成立的条件 1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．答案1.⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0 2.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<04．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)5．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16， ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一一元二次不等式的解法【例1】解关于x 的不等式： (1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )；(3)a x －x －2>1(a >0)．【解】 (1)原不等式可化为2x 2－4x ＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0， ∴原不等式的解集为∅.(2)由12x 2－ax －a 2>0⇒(4x ＋a )(3x －a )>0⇒(x ＋a 4)(x －a3)>0，①当a >0时，－a 4<a 3，解集为{x |x <－a 4或x >a3}；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a 3，解集为{x |x <a 3或x >－a4}． (3)a x －x －2－1>0⇒a －x ＋2－a x －2>0⇒[(a －1)x ＋2－a ](x －2)>0.①当a ＝1时，不等式的解为x >2. ②当a ≠1时，关键是(a －1)的符号和比较a －2a －1与2的大小． ∵a －2a －1－2＝－aa －1，又a >0. ∴当0<a <1时，a －2a －1>2，不等式的解为2<x <a －2a －1；当a >1时，a －2a －1<2，不等式的解为x <a －2a －1或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <a －2a －1}；当a ＝1，原不等式的解集为{x |x >2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x <a －2a －1或x >2}.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)由x 2－4ax －5a 2>0知(x －5a )(x ＋a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论．当a <0时，x <5a 或x >－a ；当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }．热点二一元二次不等式恒成立问题考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题【例2】已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m－m ，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题【例3】设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法1：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6.所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <67或m <0. 解法2：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <0或0<m <67 . 考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])恒成立问题【例4】对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零．∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．解析：(1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之得x ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2>2，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a 2>2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，得－7≤a ≤2.(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h ，h，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解之得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2](3)(－∞，－3－6)∪[－3＋6，＋∞)1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.。

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第二节一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一一元二次不等式的解法{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a }{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A ．1 B ．－14C ．4D ．－12解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为 {x |－1<x <2}．所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1,2.所以－1＋2＝－b a，(－1)×2＝1a.所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.答案：B知识点二一元二次不等式恒成立的条件 1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．答案1.⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0 2.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<04．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)5．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16， ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一一元二次不等式的解法【例1】解关于x 的不等式： (1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )；(3)a x －x －2>1(a >0)．【解】 (1)原不等式可化为2x 2－4x ＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0， ∴原不等式的解集为∅.(2)由12x 2－ax －a 2>0⇒(4x ＋a )(3x －a )>0⇒(x ＋a 4)(x －a3)>0，①当a >0时，－a 4<a 3，解集为{x |x <－a 4或x >a3}；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a 3，解集为{x |x <a 3或x >－a4}． (3)a x －x －2－1>0⇒a －x ＋2－a x －2>0⇒[(a －1)x ＋2－a ](x －2)>0.①当a ＝1时，不等式的解为x >2. ②当a ≠1时，关键是(a －1)的符号和比较a －2a －1与2的大小． ∵a －2a －1－2＝－aa －1，又a >0. ∴当0<a <1时，a －2a －1>2，不等式的解为2<x <a －2a －1；当a >1时，a －2a －1<2，不等式的解为x <a －2a －1或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <a －2a －1}；当a ＝1，原不等式的解集为{x |x >2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x <a －2a －1或x >2}.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)由x 2－4ax －5a 2>0知(x －5a )(x ＋a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论．当a <0时，x <5a 或x >－a ；当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }．热点二一元二次不等式恒成立问题考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题【例2】已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m－m ，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题【例3】设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法1：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6.所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <67或m <0. 解法2：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <0或0<m <67 . 考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])恒成立问题【例4】对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零．∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．解析：(1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之得x ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2>2，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a 2>2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，得－7≤a ≤2.(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h ，h，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解之得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2](3)(－∞，－3－6)∪[－3＋6，＋∞)1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.。

高考数学一轮复习第六章不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件

12/8/2021
第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
12/8/2021
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2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．

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第六章第2节一元二次不等式及其解法[基础训练组]1．(导学号14577509)不等式4x－2≤x－2的解集是( )A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞）C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞）解析：B [原不等式可化为－x2＋4xx－2≤0.即x x－x－，x－2≠0.由标根法知，0≤x<2，或x≥4.]2．(导学号14577510)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3，或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( )解析：B [由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．]3．(导学号14577511)“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A [当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠０时，a＞0，Δ＝4a2－4a＜0.故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．]4．(导学号14577512)若不等式组x2－2x－3≤0，x2＋4x－＋a的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞）C．[－4,20] D．[－40,20)解析：B [设f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，根据已知可转化为存在x0∈[－1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[－1,3]上为增函数，故只需f(－1)＝－4－a≤０即可，解得a≥－4.]5．(导学号14577513)已知不等式|a－2x|>x－1，对任意x∈[0,2]恒成立，则a的取值范围为( )A．(－∞，1)∪(5，＋∞) B．(－∞，2)∪(5，＋∞）C．(1,5) D．(2,5)解析：B [当0≤x<1时，不等式|a－2x|>x－1对a∈R恒成立；当1≤x≤２时，不等式|a－2x|>x－1，即a－2x<1－x或a－2x>x－1，x>a－1或3x<1＋a，由题意得1>a－1或6<1＋a，a<2或a>5；综上所述，则a的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．]6．(导学号14577514)已知f(x)＝x＋x＜，－x－x，则不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤３的解集是________ .解析：∵f(x－1)＝x，x＜1，－x，x≥1，∴x＋(x＋1)f(x－1)≤３等价于x＜1x＋x＋x≤３或x≥１x＋x＋－x，解得－3≤x<1或x≥1，即x≥－3.答案：{x|x≥－3}7．(导学号14577515)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥０在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________ .解析：∵4x－2x＋1－a≥０在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×２x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤２x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.∴a的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]8．(导学号14577516)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围为________ .解析：函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，所以m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．(导学号14577517)解关于x的不等式ax2－2≥２x－ax(a∈R)．解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥０?(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤０?x≤－1.②当a>0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥０?x≥2a或x≤－1.③当a<0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；当2a<－1，即a>－2，原不等式等价于2a≤x≤－1.综上所述，当a<－2时，原不等式的解集为－1，2a；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<0时，原不等式的解集为2a，－1；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪2a，＋∞.10．(导学号14577518)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.解：(1)∵函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥０恒成立，当a＝0时，1≥０恒成立．当a≠０时，则有a＞0，Δ＝a2－4a≤0，解得0＜a≤1，综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)∵f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a x＋2＋1－a，∵a＞0，∴当x＝－1时，f(x)min＝1－a，由题意得，1－a＝22，∴a＝12，∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－34＜0.解得－12＜x＜32，所以不等式的解集为－12，32.[能力提升组]11．(导学号14577519)对一切正整数n，不等式2x－1x＞nn＋1恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(1，＋∞）C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞）解析：D [由条件知只需2x－1x＞nn＋1max，而nn＋1＝11＋1n＜1.∵2x－1x≥1，解得x∈(－∞，0)∪[1，＋∞)．]12．(导学号14577520)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax 的解集为( )A．{x|0<x<3} B．{x|x<0，或x>3}C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1}解析：A [由题意知a<0且－1,2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴－ba＝1ca＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，∴不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，即为a(x2＋1)－a(x－1)－2a>2ax，∴x2－3x<0，∴0<x<3.]13．(导学号14577521)设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调函数，且f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是__________ .解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝－1，∴f(1)＝－f(－1)＝1.又∵f(x)在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f(x)≤1，∴当a∈[－1,1]时，t2－2at＋1≥１恒成立，即t2－2at≥０恒成立．令g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，∴t2－2t≥0，t2＋2t≥0，解得t≥２或t＝0或t≤－2.答案：(－∞，－2]∪{}0∪[2，＋∞）14．(导学号14577522)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是1005x＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，2005x＋1－3x≥3 000，整理得5x－14－3x≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，x的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y元，则y＝900x·1005x＋1－3x＝9×1045＋1x－3x2＝9×104－31x－162＋6112，故x＝6时，y max＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

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.
2
4.-2 【解析】由题意可知 m<0,且-1,2 是方程 mx2+2x+4=0 的两根,则-1+2=- , �� 解得 m=-2. 5.若一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(x1,x2)(x1· x2<0),则不等式 cx2-bx+a<0 的解集为 .
�� 5. 【解析】由题意可知�� < 0, ��1+��2= − �� , �� 1·�� 2= �� < 0, 所以�� 2 �� 0, 所求不等式的解集在两根之间, 又所求不等式等价于 �� − �� + 1 > 1 1 - �� ,- �� 2 1
1.三个二次(一元二次不等式、二次函数、一元二次方程)之间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不等实根有两相等实根 b x1,x2 x1=x2=2a
没有实数根 R ⌀
不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的 {x|x<x1 或 x>x2} 解集不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的 {x|x1<x<x2} ⌀ 解集
��-�� (3) ≥0⇔ ��-��
4.常用的数学方法与思想

近年届高考数学一轮复习第六篇不等式第2节一元二次不等式及其解法训练理新人教版(2021年整理)

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第2节一元二次不等式及其解法【选题明细表】知识点、方法题号一元二次不等式的解法1，9,14已知不等式的解集求参数2，7,11一元二次不等式的恒成立问题5，8,10，12可化为一元二次不等式的解法3一元二次不等式的实际应用4综合应用6，13基础巩固（时间：30分钟）1。

（2017·河北一模）不等式2x2—x—3〉0的解集为（ B ）（A）{x|-1〈x〈｝（B）{x|x〉或x<-1｝(C){x|-〈x〈1｝（D)｛x｜x>1或x〈-}解析:不等式2x2-x-3〉0因式分解为(x+1）(2x—3）〉0,解得x〉或x〈—1.所以不等式2x2—x—3〉0的解集为｛x｜x>或x<—1}。

故选B.2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为｛x|—3<x〈2},则a+b为（ A )（A)25 (B)35 （C)—25 (D）—35解析：因为ax2-5x+b〉0的解集为{x|—3<x〈2｝,所以ax2-5x+b=0的根为-3，2,即-3+2=，—3×2=,解得a=-5，b=30，所以a+b=—5+30=25。

故选A.3。

不等式≤x-2的解集是( B )（A）（-∞,0]∪(2,4］（B)［0，2)∪[4,+∞）(C)［2，4) (D)（—∞,2］∪(4,+∞）解析:①当x-2〉0即x〉2时，原不等式等价于(x—2）2≥4，解得x≥4.②当x—2<0即x〈2时,原不等式等价于(x—2）2≤4,解得0≤x〈2。

2019高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文31

解：由 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令 g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
2 g－1＝x－2×－1＋x －4x＋4>0， ∴ 2 g1＝x－2＋x －4x＋4>0，
解得 x<1 或 x>3．
解：原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0． 4 解得－2≤x≤ ， 3
4 所以原不等式的解集为 x －2≤x≤3 ．
(2)0＜x2－x－2≤4．
解：原不等式等价于
2 x －x－2＞0， 2 x －x－2≤4 2 x －x－2＞0， ⇔ 2 x －x－6≤0
一元二次不等式及其解法
结束
关键在态度
课前 ·双基落实
课堂 ·考点突破
课后· 三维演练
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 1 2 3 ＜0，即 mx－2 ＋ m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 4 12 3 2 因为 x －x＋1＝x－2 ＋＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 4 6 以 m＜ 2 ． x －x＋1 6 6 6 因为函数 y＝ 2 ＝在 [1,3] 上的最小值为，所以只需 1 7 3 x －x＋1 x－ 2＋ 2 4 6 6 m＜即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，7． 7
x－3x－1≤0， x－3 解析：由 ≤0，得 x－1 x－1≠0，

2019版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法课时作业 理

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