因数与倍数ppt

ex ：12的因數有1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，12 則12的質因數分解可以寫成2 ×2 ×3 可以簡化成 22 ×3
因數與倍數：
因數與倍數的概念 最大公因數與最小公倍數
公因數：
兩個或兩個以上的整數之間擁有共同的因數 時，則稱這些數為「公因數」
ex ：12的因數有1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 12 26的因數有1 、 2 、 13 、 26 所以12和26的公因數是1 、 2這兩個數
(A) d是a的3倍
9不是2的3倍，所以此選項錯誤
(B) ) e是3的3倍
14不是3的3倍，所以此選項錯誤
(C) ) f是b的3倍
18是6的3倍，所以此選項正確
(D) 42是d的3倍
42不是9的3倍，所以此選項錯誤
質數：
在大於1的正整數中，除了「 1」和他「本身 」自己以外不再含有別的因數，我們就稱這 樣的整數為「質數」
例題二：
下列有關質數的敘述，哪一個是正確的？ 【90.題本一】 (A)2是偶數，所以2不是質數 (B)67的正因數只有1和67，所以67 是質數 (C)77的十位數字及個位數字都是質數，所以77是 質數 (D)91不是2的倍數，不是3的倍數，也不是5的倍 數，所以91是質數
解答二：
(A)2是偶數，所以2不是質數
記為〔 48 ， 72 ，12〕＝144
最小公倍數的求法（續）：
質因數分解法－「次方較大者」相乘
ex：48、72與12的最小公倍數是多少？ 先把48、72與12質因數分解 48＝2*2*2*2*3＝24 × 31 72＝2*2*2*3*3＝23 × 32 12＝2*2*3 ＝22 × 31 仔細看他們的指數，選擇較大的 最小公倍數：24 × 32 ＝144
解答五：
有一個三位數，其百位、十位、個位數字分 別為1、a、b。若此數與72的最大公因數為12 ，則a＋b可能為下列哪一數？
100～200之間，12的倍數有108、120、132、144、156 、168、180、192 其中滿足題意的有132和156 a＋b可能為3＋2＝5或5＋6＝11
利用「2、3、5、7」法則作檢驗 91的因數有1 、 7 、 13 、 91 ，所以不是質數
合數：
大於1的正整數中，除了「 1」和他「本身」 自己以外含有別的因數，我們就稱這樣的整 數為「合數」
ex ：4 ，6 ，12 ，26 都是合數
最小的和數是「4」
質因數分解：
將一整數寫成其因數的連乘積，這就是質因 數分解
(A) b＝ 22 ×32 ×52 ×7 (B) c ＝ 32 ×52 ×7 (C) e＝ 32×52 ×7 (D) f ＝5×7
解答三：
(A) b ＝22 ×32 ×52 ×7
b ＝7*5*5*3*3*2 ＝ 22 ×32 ×52 ×7
(B) c ＝32 ×52 ×7
c ＝ 7*5*5*3*3*2 ＝ 2 × 32 ×52 ×7
ex：2和13互質，則（2，13）＝1，〔2，13〕＝2×13＝26
任意兩相異質數一定互質
ex：3是質數，7也是質數，這兩個數一定會互質
1和任何大於1的整數都互質
ex：1和5一定互質
例題五：
有一個三位數，其百位、十位、個位數字分 別為1、a、b。若此數與72的最大公因數為12 ，則a＋b可能為下列哪一數？ (A)2 (B)5 (C)8 (D)14
解答一：
將正整數N的所有正因數由小至大排列如下： 1，a，3，b，c，d，e，f，g，42，h，N
N＝1×N＝a×h＝3×42＝b×g＝c×f＝d×e N＝3×42＝2×32×7＝126 1，2，3，6，7，9，14，18，21，42，63，126 ∴a＝2，b＝6，c＝7，d＝9，e＝14，f＝18，g＝21，h＝63
a的因數有1、2、4、7、14、28 ，所以我們知道 a ＝1*28 ＝2*14 ＝4*7 ＝28 把28作質因數分解 28 ＝2*2*7 把210作質因數分解 210 ＝2*3*5*7 所以28和210最大公因數＝2*7 ＝14
所以 (A)4 (B)7 (C)14 (D)28 答案選擇C
公倍數：
ex ：12 把12分解成因數並且依序排列：1 、2 、3 、4 、6 、12 得到1 ×12 ＝2 ×6 ＝3 ×4 ＝12 （原數）的特性
例題一：
將正整數N的所有正因數由小至大排列如下： 1，a，3，b，c，d，e，f，g，42，h，N 判斷下列敘述何者正確？ (A) d是a的3倍 (B) e是3的3倍 (C) f是b的3倍 (D) 42是d的3倍
記為〔 48 ， 72 ，12〕＝144
互質：
兩個或兩個以上的整數，除了「1」以外，沒 有其他的公因數了。這時我們就稱之為互質
ex：2和35 2的因數有1、2 35的因數有1、3、5、7、35 2跟35的共同公因數只有1 所以我們稱2跟35為互質
互質的特性：
若整數a、b互質，則（a，b）＝1，〔a，b〕＝a × b
最大公因數的求法：
短除法－
ex：48與72的最大公因數是多少？ 2 │48，72 2 │24，36 2 │12，18 3 │6，9 2 ，3 最大公因數：2*2*2*3 ＝24
記為（48 ， 72） ＝24
例題三：
某生將一正整數a分解成質因數相乘，計算過程如下 。則下列哪一個選項是正確的？【90.基本學測二】
兩個或兩個以上的整數之間擁有共同的倍數時， 則稱這些數為「公倍數」
ex：2和6的公倍數有哪些呢？ 2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24 6的倍數有6、12、18、24、30、…. 所以2和6的公倍數有6、12、24、30…
最小公倍數：
兩個或兩個以上的整數之間擁有共同的倍數時 ，則稱這些數為公倍數。而這公被數中最小 的數就是「最小公倍數」
ex ：2 、5 、11 、17 這些都是質數
質數的補充：
「 2」是唯一的質數偶數，也是最小的質數 「0」 、 「1」都不是質數 除了「2」以外，所有的質數都是奇數 凡是小於100的正整數中，只要不能被「2 、 3 、 5 、 7」這四個整除者，就一定是質數。 這個原則可以幫助我們輕鬆判斷考題
ex ：57是質數嗎？97是質數嗎？
記為（48 ， 72） ＝24
例題四：
a是一個正整數，其所有正因數有：1、2、4 、7、14、28。則a與210的最大公因數為何？ 【90.基本學測一】 (A)4 (B)7 (C)14 (D)28
解答四：
a是一個正整數，其所有正因數有：1、2、4 、7、14、28。則a與210的最大公因數為何？
因數與倍數：
因數與倍數的概念 最大公因數與最小公倍數
因數與倍數：
因數與倍數的概念 最大公因數與最小公倍數
因數與倍數：
有a 、b兩個整數，若是a可以被b整除，我們 可以說： a是b的倍數，b是a的因數
ex ：26可以被2整除，所以，26是2的倍數，而2是26的 因數
因數結構特性：
把一數分解，將其所有因數從小到大排列， 依序相乘會得到等於原數的特性：
2是最小的質數，也是偶數中唯一的質數
(B)67的正因數只有1和67，所以67 是質數
利用「2、3、5、7」法則作檢驗，67確定是質數
(C)77的十位數字及個位數字都是質數，所以77是 質數
利用「2、3、5、7」法則作檢驗 77的因數有1 、 7 、 11 、 77 ，所以不是質數
(D)91不是2的倍數，不是3的倍數，也不是5的倍 數，所以91是質數
最大公因數：
兩個或兩個以上的整數之間擁有共同的因數 時，則稱這些數為公因數。而這些公因數中 最大的數就是「最大公因數」
ex ：12的因數有1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 12 26的因數有1 、 2 、 13 、 26 所以12和26的公因數是1 、 2這兩個數 最大公因數就是2
數學符號可以記成（12，26）＝2
ex：2和6的公倍數有哪些呢？ 2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24 6的倍數有6、12、18、24、30、…. 所以2和6的公倍數有6、12、24、30… 最小公倍數為6
記為〔2，6〕＝6
最小公倍數的求法：
短除法－
ex：48 、 72與12的最小公倍數是多少？ 2 │48，72 ，12 2 │24，36 ，6 2 │12，18 ，3 3 │6， 9 ，3 2 ，3 ，1 最小公倍數：2*2*2*3*2*3*1 ＝144
(C) e ＝32×52 ×7
e ＝7*5*5*3 ＝ 3×52 ×7
(D) f ＝5×7
f ＝7*5*5 ＝ 52×7
最大公因數的求法（續）：
質因數分解法－「次方較小者」相乘
ex：48與72的最大公因數是多少？ 先把48與72質因數分解 48＝2*2*2*2*3＝24 × 31 72＝2*2*2*3*3＝23 × 32 仔細看他們的指數，選擇較小的 最大公因數：23 × 31 ＝24