数学：3.3.3,3.3.4《点到直线的距离和两条平行直线的距离》课件(新人教版A版必修2)
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高一数学人教版A版必修二：3.3.3～3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
解析答案
(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着
点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2， 显然当ll12⊥⊥AABB 时，l1 和 l2 的距离最大，
且最大值为|AB|＝ －3－62＋－1－22＝3 10，
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
∴d 的取值范围为(0,3 10]；
②求当d取最大值时，两条直线的方程. 解 由①知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最
小时P点的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
为__4__. 解析 由题意得63＝m1 ，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
|－1＋6| 由两平行线间距离公式得： 62＋22＝
540＝
10 4.
解析答案
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l的方程为_2_x_－__y_＋__1_＝__0_.
(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着
点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2， 显然当ll12⊥⊥AABB 时，l1 和 l2 的距离最大，
且最大值为|AB|＝ －3－62＋－1－22＝3 10，
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
∴d 的取值范围为(0,3 10]；
②求当d取最大值时，两条直线的方程. 解 由①知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最
小时P点的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
为__4__. 解析 由题意得63＝m1 ，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
|－1＋6| 由两平行线间距离公式得： 62＋22＝
540＝
10 4.
解析答案
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l的方程为_2_x_－__y_＋__1_＝__0_.
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
第一页，共25页。
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
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探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
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例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
高中数学第三章直线与方程3.3.3_3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课件新人教A版必修2
1.(点到直线的距离)原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( D )
(A)1
(B) 3 (C)2
(D) 5
2.(两平行线间的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( B ) (A)3x-4y-1=0 (B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0 (C)3x-4y+1=0 (D)3x-4y-21=0
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知识探究
1.点到直线的距离
| Ax0 By0 C |
(1)点到直线的距离公式:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d= A2 B2 (当
A=0 或 B=0 时,也成立).
(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.
的最小值是( )
(A)2
(B)2 2 (C)4
(D)2 3
解 析 : 因 为 (m,n) 在 4x+3y-10=0 上 , 所 以 m2+n2 的 最 小 值 表 示 原 点 到 直 线 4x+3y-10=0 的距离的平方,即( 10 )2=4.故选 C.
42 32
【备用例3】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这 条直线的方程.
数m=
.
解析:(1)由题意,得 | 9 16 7 | = |18 4m 7 | ,
5
5
新课标高中数学人教A版必修二全册课件3 .3.3点到直线的距离、3.3.4两条平行直线间的距离
练习2. 若两条平行直线 l1：ax＋2y＋2＝0 l2：3x－y＋d＝0嘚距离为 ， 求a与d嘚值.
10
练习3.求过点M(－2, 1)，且与 A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等嘚 直线方程.
练习4. 求两条直线 l1：3x＋4y＋1＝0 l2：5x＋12y－1＝0 嘚夹角平分线方程.
练习5. 求与直线l：5x－12y＋6＝0 平行且到l嘚距离为2嘚直线嘚方程.
练习1. 已知A(2, 1)，直线BC嘚方程是 x＋y＝1，求△ABC嘚BC边上嘚高.
讨 论： 两条平行直线间嘚距离怎样求？
讨 论： 两条平行直线间嘚距离怎样求？
平行直线间嘚距离 转 化 为
点到直线嘚距离
例3. 已知直线l1：2x－7y－8＝0， l2：6x－21y－1＝0，
l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间嘚距离.
讲授新课
讨 论： 什么是平面上点到直线嘚距离？ 怎样才能求出这一段嘚距离？
点P0(x0, y0)到直线A0 C . A2 B2
例1. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x嘚距离.
例2. 已知点A(1, 3)，B(3, 1)，C(－1, 0)， 求△ABC嘚面积.
课堂小结
1. 点到直线嘚距离； 2. 两条平行直线间嘚距离.
课后作业
1. 阅读教材P.106到P.108； 2. 《习案》二十四.
3.3.3点到直线、两条 平行直线间嘚距离
主讲教师：陈震
复习引入 两点间嘚距离公式是什么？
复习引入 两点间嘚距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)嘚距离为
AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
讲授新课
讨 论： 什么是平面上点到直线嘚距离？ 怎样才能求出这一段嘚距离？
3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离 公开课一等奖课件
的 ABC 面 y
A
h O
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为 y - 3 x 1 即x y 4 0 1- 3 3 1
h | 1 0 4 | 1 1
2 2
B
x
5 2
因此, S ABC
1 5 2 2 5 2 2
两条平行直线间的距离：
已知点 P ，直线 l : Ax By C 0， 0 x0 , y0
如何求点 P 到直线 的距离？ l 0
点P 到直线 l 的距离，是指从点 P 到直线 l 的 0 0
垂线段 P 的长度，其中 Q是垂足． 0Q y l
Q
P0
O x
点到直线的距离
试一试，你能求出 y 吗？ P 0Q
思考：还有其他解法吗？
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d
| Ax0 By 0 C | A B
2 2
练习2
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.1.8 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 0.4 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是.
附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
l
高中数学_3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离课件_新人教A版必修2
①两直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2则d=|x2-x1|;
②两直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.
Q
d y0
l : Ax By C 0
By0 C , y0 R A
P0 (x0,y0)
O
x0
x
1 | P0 S || P0 R | 2
1 d | SR | 2
y d P(x0,y0) x O l:Ax+By+C=0
点到直线的距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
第三章
直线与方程
第三节 直线的交点坐标与距离公式 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
1.从A点穿过马路，怎样走路线最短？
马路
A
2.王叔叔家要从河边接一条水管到房屋， 他的取水点设定在哪里比较节省材料？
大 河
已知点 P x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0， 0
如何求点 P 到直线 l 的距离？ 0
x0 x1 x
【一般情形】 求点P0（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距 离。其中A ≠0且B≠0 y 推导思路1: ' Q l ①求垂线方程 ②求交点坐标 ③求两点间的距离 P 0
·
o
·
x
lБайду номын сангаас
此方法思路自然，但运算较为繁琐．
【推导思路2】
y
Ax0 C S x0, B
④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
2.两平行线间的距离 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可
高中数学(人教A版)必修二课件：3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
点(2，1)到直线 l：x－2y＋2＝0 的距离为( 2 A． 5 6 C． 5 5 2 B． 5 5 D．0
)
答案：B
直线 l1：2x＋3y－8＝0 与 l2：2x＋3y－10＝0 之间的距离 d＝__________．
2 13 答案： 13
直线 l1：x＋y－1＝0 与 l2：2x＋2y＋5＝0 之间的距离 d＝ __________．
(2)法一：当过点 M(－1，2)的直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为 x＝－1， 恰好与 A(2，3)，B(－4，5)两点距离相等， 故 x＝－1 满足题意． 当过点 M(－1，2)的直线 l 的斜率存在时， 设 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋2＝0．
由点 A(2，3)与 B(－4，5)到直线 l 的距离相等，得 |2k－3＋k＋2| |－4k－5＋k＋2| ＝ ， 2 2 k ＋1 k ＋1 1 解得 k＝－ ， 3 1 此时 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)， 3 即 x＋3y－5＝0． 综上所述直线 l 的方程为 x＝－1 或 x＋3y－5＝0．
第三章
直线与方程
3．3．3 3．3．4
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
第三章
直线与方程
1．掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关 问题． 2．掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线 之间的距离．
点到直线的距离与两条平行直线间的距离 点到直线的距离 定义 两条平行直线间的距离 夹在两条平行直线间
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝b(b≠0)的距离 d＝ y0－b．( × ) (2)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d＝ |x0－a|．( √ ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( √ )
高二数学必修2课件3.3.3点到直线的距离、3.3.4两条平行直线间的距离 (共19张PPT)
导学：
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
y P
l1
Q
l2
x
O
导思： 任意两条平行线 l1 :Ax+By+C1=0和 l2 :Ax+By+C2=0的距离 是多少呢？
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2
10 5
25
变式 3：已知 A（-1， 2）， B（5， 0）， C （0，10），求 S ABC
学做思二：两条平行直线直线距离公式 例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y l1:2x-7y+8=0 两平行线间的 l2: 2x-7y-6=0 距离处处相等 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式； （2）两平行直线间的距离该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
思考题：用解析法证明：等腰三角形底边上任意 一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
2ab
2
a b
a b
2
)
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
变 式 ： 已 知 点 P (x 0 , y 0 )， 和 直 线 l ： Ax+C=0 （ ）， 求P点到直线l的距离.
A0
C d | x0 | A
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
y P
l1
Q
l2
x
O
导思： 任意两条平行线 l1 :Ax+By+C1=0和 l2 :Ax+By+C2=0的距离 是多少呢？
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2
10 5
25
变式 3：已知 A（-1， 2）， B（5， 0）， C （0，10），求 S ABC
学做思二：两条平行直线直线距离公式 例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y l1:2x-7y+8=0 两平行线间的 l2: 2x-7y-6=0 距离处处相等 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式； （2）两平行直线间的距离该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
思考题：用解析法证明：等腰三角形底边上任意 一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
2ab
2
a b
a b
2
)
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
变 式 ： 已 知 点 P (x 0 , y 0 )， 和 直 线 l ： Ax+C=0 （ ）， 求P点到直线l的距离.
A0
C d | x0 | A
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d
P
| C1 C2 | A2 B 2
例1 求点P(-1, 2)到直线 l : 3x 2 的距离.
例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求△ABC的面积.
A h C
o
B
x
例3 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 和 与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例4 已知直线l过点 A(0, 10) ，且原点 O到直线l的距离为 5，求直线l的方程.
作业： P110习题3.3A组： 9，10. 习题3.3B组：2，4，5.
教学重点：
两条平行直线间的距离公式及其应用。
自学探究：两条平行直线间的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平法求两条平行直线之 间的距离？
思考3:直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么？ 思考4:根据上述思路，你能推导出两平 行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？
P
| C1 C2 | A2 B 2
例1 求点P(-1, 2)到直线 l : 3x 2 的距离.
例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求△ABC的面积.
A h C
o
B
x
例3 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 和 与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例4 已知直线l过点 A(0, 10) ，且原点 O到直线l的距离为 5，求直线l的方程.
作业： P110习题3.3A组： 9，10. 习题3.3B组：2，4，5.
教学重点：
两条平行直线间的距离公式及其应用。
自学探究：两条平行直线间的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平法求两条平行直线之 间的距离？
思考3:直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么？ 思考4:根据上述思路，你能推导出两平 行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？