第15讲 一次函数的应用
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数（也叫线性函数）是指形如y = kx + b的函数，其中k和b 是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
一次函数在数学中有广泛的应用，可以用来描述线性关系，解决实际问题以及进行数据分析。
本文将探讨一次函数在不同领域中的应用。
一、经济学领域的应用一次函数在经济学领域有着重要的应用。
以供求关系为例，假设某商品的市场需求量和价格之间存在一次函数的关系，即D = kP +b，其中D表示需求量，P表示价格，k和b为常数。
通过研究这个一次函数，我们可以了解价格上涨/下跌对需求量的影响，从而指导市场调控和经济决策。
二、物理学领域的应用在物理学中，一次函数同样具有重要的应用。
例如，描述匀速直线运动的位移和时间之间的关系就可以用一次函数来表示。
假设一个物体沿直线轨迹匀速运动，其位移与时间之间存在一次函数的关系，即S = Vt + S0，其中S表示位移，t表示时间，V和S0为常数。
通过研究这个一次函数，可以揭示速度和位移的关系，进而预测物体的运动轨迹。
三、生物学领域的应用一次函数在生物学中也有广泛的应用。
例如，研究生长过程中身高与年龄之间的关系，可以使用一次函数来描述。
假设一个人的身高与年龄之间存在一次函数的关系，即H = kA + H0，其中H表示身高，A表示年龄，k和H0为常数。
通过研究这个一次函数，可以了解人体生长的规律，为儿童生长发育提供科学依据。
四、工程学领域的应用在工程学领域，一次函数同样有着重要的应用。
例如，研究电阻和电流之间的关系，可以使用一次函数来描述。
假设电阻与电流之间存在一次函数的关系，即R = kI + R0，其中R表示电阻，I表示电流，k 和R0为常数。
通过研究这个一次函数，可以了解电路中电阻的特性，为电路设计和优化提供依据。
综上所述，一次函数在经济学、物理学、生物学和工程学等领域中都有着广泛的应用。
通过研究一次函数的特性和关系，可以深入探索相关问题，并为实际应用提供科学依据。
一次函数的应用
(3)设货车从甲地出发 x 小时后再与轿车相遇，根据轿车(x－4.5)小时 行驶的路程＋货车 x 小时行驶的路程＝300 千米列出方程，解方程即可．
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例 1 [2013·山西] 某校实行学案式教学，需印制若干份数学 学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外， 甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用 y(元)与印刷份数 x(份)之间的关系如图 11－1 所示：
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(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是__y_甲__＝__0_.1_x_＋___6； 乙种收费方式的函数关系式是___y_乙_＝__0_._1_2_x．
段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手：(1)寻找分段 函数的分界点；(2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式； (3)利用条件求未知问题．
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探究三 利用一次函数解决其他生活实际问题
命题角度： 函数图象在实际生活中的应用．
例 3 甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后 从甲地出发向乙地，如图 11－3，线段 OA 表示货车离甲地距 离 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车 离甲地距离 y(千米)与 x(小时)之间的函数关系．请根据图象解 答下列问题：
度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关 系式．
图 11－4
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解：(1)由图象知，服药后 3 小时血液中药物浓度最高． (2)当 0≤t≤3 时，函数为正比例函数，设关系式为 y＝kx(k≠0)，
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数，也称为线性函数，是数学中常见的一种函数类型。
它的特点是函数的表达式可以表示为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示斜率和截距。
一次函数在各个领域中都有着广泛的应用，本文将探讨一次函数在实际问题中的应用。
一、经济学中的一次函数应用在经济学中，一次函数被广泛用于描述供需关系、成本收益分析等经济问题。
以供需关系为例，我们可以通过一次函数来描述市场上商品的价格与需求量之间的关系。
假设某商品的价格为 p，需求量为 q，则可以用一次函数 y = mx + b 的形式来描述供需关系。
其中，m 表示需求量对价格的弹性，b 表示市场的需求量。
二、物理学中的一次函数应用一次函数在物理学中也具有重要的应用。
以速度和时间的关系为例，我们可以使用一次函数来描述一个运动物体的速度随时间的变化。
对于匀速直线运动，速度 v 和时间 t 的关系可以表示为 v = kt + c，其中 k 表示匀速运动的速度。
三、工程学中的一次函数应用在工程学中，一次函数用于描述一些电路、自动化控制、力学结构等问题。
以电路分析为例，我们可以通过一次函数来描述电路中电流和电压之间的关系。
根据欧姆定律，电流 i 和电压 v 的关系可以表示为i = rv + b，其中 r 表示电阻。
四、生物学中的一次函数应用生物学领域也广泛使用一次函数来进行各类模型分析。
以生物种群增长为例，我们可以用一次函数来描述种群数量随时间的变化。
假设某种生物种群的数量为 N，时间为 t，则可以使用一次函数 N = mt + c来表示种群数量的变化趋势。
五、教育学中的一次函数应用在教育学中，一次函数也有着重要的应用。
教育研究中经常使用一次函数来分析学生的学习成绩与时间的关系。
假设学生的学习成绩为G，学习时间为 T，则可以用一次函数 G = mT + b 来描述学习成绩的预测模型。
六、环境科学中的一次函数应用在环境科学领域，一次函数被广泛应用于各类环境参数的测量和分析中。
第十五讲 一次函数的应用
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∴①当10＜m≤20时，10＜n≤20，
w＝m(－2m＋180)＋120n＋300
＝m(－2m＋180)＋120(30－m)＋300 ＝－2m2＋60m＋3 900. ②当20＜m≤30时，0＜n≤10， w＝m(－2m＋180)＋150n
＝m(－2m＋180)＋150(30－m)
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解
(1)设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型(60
－x)个，
80x＋ 50（ 60－ x）≤ 4200， 则有 40x＋ 70（ 60－ x）≤ 3090，
解得37≤x≤40，
所以x＝37或38或39或40.
第一种方案：A种造型37个，B种造型23个； 第二种方案：A种造型38个，B种造型22个； 第三种方案：A种造型39个，B种造型21个． 第四种方案：A种造型40个，B种造型20个．
＝－2m2＋30m＋4 500. 所以w与m之间的函数关系式为
2 － 2m ＋ 60m＋ 3900（ 10＜ m≤ 20）， w＝ 2 － 2m ＋ 30m＋ 4500（ 20＜ m≤ 30） .
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1．根据题意建立一次函数关系式，利用待定系数法求一
示． (1)如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是
________元，小张应得的工资总额是________元，此
时，小李种植水果________亩，小李应得的报酬是 ________元； (2)当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
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一次函数的应用
一次函数的应用
一次函数可以应用于很多实际问题中，以下是一些常见的
应用示例：
1. 经济学：一次函数可以用来表示成本、收入、利润等经
济指标与产量或销量之间的关系。
特别是在线性需求模型中，一次函数可以用来表示价格和数量之间的关系。
2. 工程学：一次函数可以用来表示物理量之间的线性关系，比如运动的速度和时间的关系、电阻和电流之间的关系等。
在工程设计和控制中，一次函数可以用来建立系统输入和
输出之间的关系。
3. 计划和预测：一次函数可以用来预测未来的趋势或变化。
通过拟合历史数据，可以使用一次函数来预测未来的趋势，并进行计划和决策。
4. 统计分析：一次函数可以用来描述两个变量之间的关系，并进行回归分析。
通过最小二乘法可以得到一次函数的最
佳拟合线，从而可以用来解释和预测变量之间的关系。
5. 材料科学：一次函数可以用来描述材料的线性弹性特性。
材料的应力和应变之间的关系可以通过一次函数来表示，
并用来研究材料的应力-应变性能。
总之，一次函数在很多领域中都有着广泛的应用。
通过建
立变量之间的线性关系，可以帮助我们分析和理解问题，
并进行预测和决策。
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数是数学中的一种关系式，通常表示为y = kx + b，其中k和b是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
一次函数在实际生活中有很多应用，如下所述：1、物理学中的应用一次函数在物理学中的应用较为广泛，特别是在描述物理量之间的关系时。
比如牛顿力学定律中的F=ma，即力和质量和加速度之间的关系，可以表示为F = kx + b的形式，其中x表示质量，k表示加速度，b表示施加力的大小。
类似地，运动学中的速度和时间之间的关系也可以用一次函数来表示，即v = kt + b，其中v表示速度，k表示加速度，b表示初速度。
2、经济学中的应用一次函数在经济学中的应用也比较广泛，特别是在描述供需关系时。
例如，市场需求曲线可以表示为Qd = a - bP，其中Qd表示需求量，P表示价格，a和b是常数，分别表示消费者对价格的反应度和价格的弹性。
类似地，市场供应曲线也可以用一次函数来表示，即Qs = c + dP，其中Qs表示供应量，P表示价格，c和d是常数，分别表示生产者对价格的反应度和价格的弹性。
3、工程学中的应用一次函数在工程学中的应用也比较常见，特别是在描述物理量之间的比例关系时。
例如，电阻器中电流与电压的关系可以表示为V = IR，即电压V等于电流I乘以电阻系数R，其中R是常数。
类似地，声学中的强度和距离之间的关系也可以用一次函数来表示，即I = k/d2，其中I表示声音强度，d表示距离，k是常数。
综上所述，一次函数作为数学中的基础概念，在实际生活中有着广泛的应用。
无论是物理、经济还是工程学，都可以用一次函数来描述与测量物理量之间的关系，从而帮助我们更好地理解和解决实际的问题。
一次函数的应用
一次函数的应用
一次函数的应用通常包含三种类型：文字型、图像型和图表型。
文字型通常与分段函数有关，分别表示出不同情况下的关系式；图像型的一般与行程相关，但并非固定，分析各段线段的关系及特征是解题的关键；图表型的需要先读懂表格，从中获取信息，进行分析和解答。
函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键。
这类题目的考查方式相对固定，完全可以在短时间内通过强化训练得以提升和突破，如果在这一块还存在问题，建议做专题训练。
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数是代数学中的一种基础函数形式，也是最简单的线性函数。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
本文将介绍一次函数的应用，探讨其在实际生活和工作中的实际用途。
1. 财务管理中的一次函数应用在财务管理中，一次函数可以用来描述收入和支出之间的关系。
例如，假设一个公司的每月支出是固定的，可以用一次函数来表示该月的总支出。
这样，通过控制一次函数中的常数项，我们可以计算出不同支出情况下的预计收入。
在财务规划、预算编制和经营决策中，一次函数的应用非常重要。
2. 管理学中的一次函数应用在管理学中，一次函数可以用来描述两个变量之间的线性关系。
例如，企业的销售量与广告费用之间的关系可以用一次函数表示。
通过研究一次函数的斜率和截距，我们可以确定最佳的广告投入策略，从而最大化销售量。
一次函数在市场营销、供应链管理等领域中具有广泛的应用。
3. 物理学中的一次函数应用在物理学中，一次函数可以用来描述运动物体的位移与时间的关系。
例如，一个以匀速运动的汽车，可以用一次函数表示其位移与时间的关系。
一次函数在物理学中的应用帮助我们理解物质的运动规律，为工程设计和科学研究提供基础。
4. 经济学中的一次函数应用在经济学中，一次函数可以用来描述供求关系、市场需求曲线和供应曲线等。
例如，根据市场定价规律，一次函数可以用来表示商品需求量与价格的关系。
通过分析一次函数的相关参数，我们可以进行市场预测和市场调控。
一次函数在经济学中的应用为经济决策和政策制定提供了依据。
5. 工程学中的一次函数应用在工程学中，一次函数可以用来表示工程中的各种线性关系。
例如，在电子电路设计中，一次函数可以描述电流和电压之间的关系。
在建筑设计中，一次函数可以用来表示材料的强度和应力之间的关系。
一次函数在工程学中的应用帮助我们分析和解决实际工程问题。
总结：一次函数作为一种基本的函数形式，广泛应用于各个学科和领域。
无论是财务管理、管理学、物理学、经济学还是工程学，一次函数都扮演着重要的角色。
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第15讲 │ 归类示例
类型之二 利用一次函数解决资源收费问题
1．利用一次函数解决个税收取问题 2．利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题 [2011· 黄石] 今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱， 为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题： 为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生 活用水收费作如下规定：
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第15讲 │ 归类示例
月用水量(吨) 单价(元/吨)
不大于10吨部分
大于10吨不大于m吨部分 (20≤m≤50) 大于m吨部分
1.5
2
3
(1)若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
(2)设该户六月份用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的 函数式；
(3)若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为
解： (1)y＝50000＋200x. (2)设软件公司至少要售出 x 套软件才能保证不亏本， 则有 700x≥50000＋200x.解得 x≥100. 答：软件公司至少要售出 100 套软件才能确保不亏本．
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第15讲 │ 考点随堂练
考点2 一次函数的图象与性质
图象与坐标轴 利用直线与坐标轴的交点求图形面积. 交点的应用 图象上点的坐 利用直线上点的坐标的实际意义解决实际问 标的应用 题． 图象交点坐标 利用直线交点坐标的意义解决实际问题. 的应用
[解析] 由题意可列式为：y＝24＋0.15x，当 y＝38.7 时， 24＋0.15x＝38.7，解得 x＝98.
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第15讲 │ 考点随堂练
2．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣 传费用共 50000 元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装 调试费用 200 元． (1)试写出总费用 y(元)与销售套数 x(套)之间的函数关系式； (2)如果每套定价 700 元，软件公司至少要售出多少套软件才能确 保不亏本．
图 13－2
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第15讲 │ 考点随堂练
解：(1)y＝0.4x(x≥0)； (2)y＝0.15x＋200(x≥0)； (3)由图象可知，当每月复印页数在 1200 左右，应选择乙复 印社更合算．
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第15讲 │ 考点随堂练
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第15讲 │ 归类示例 归类示例
类型之一 利用一次函数进行方案选择
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第15讲 │ 归类示例
此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问 题的关键，一般应从如下几方面入手： (1)寻找分段函数的分段点； (2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式； (3)利用已知条件求未知问题．
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第15讲 │ 归类示例
类型之三 利用一次函数解决其他生活实际问题
命题角度： 1．求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大或最小值 2．利用一次函数进行方案选择 [2011·凉山州] 我州特产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为 了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织 21 辆汽车装运这 三种土特产共 120 吨，参加全国农产品博览会．现有 A 型、B 型、C 型 三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运 2 种土特产，且每辆 车必须装满．根据下表信息，解答问题．
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第15讲 │ 归类示例
结合函数图象及性质， 弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作 用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思 路． “图形信息”题是近几年的中考热点考题， 解此类问题应做到三 个方面：(1)看图找点，(2)见形想式，(3)建模求解．
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布置作业：
1、 课堂作业： 2、（家庭作业）巩固与提高36--38页
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第15讲 │ 归类示例
(1)方案比较问题，一般都有两个一次函数式，且随着自变量 取值的不同，其函数值也不同．利用它们的这种变化过程，找到界 点，便可加以比较． (2)销售或调运问题，数据较多，通过列表分析，使数量关系 清晰明朗，易得函数表达式，再根据实际问题有意义的条件确定自 变量的取值范围， 利用一次函数的性质可求其最值来解决实际问题 中的最值问题．
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第15讲 │ 归类示例
(1)求 s2 与 t 之间的函数关系式； (2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们 距离家还有多远？
图13－1 ·新课标
第15讲 │ 归类示例
解：(1)2400÷ 96＝25(min)， ∴点 E、F 的坐标分别为(0,2400)、(25,0)． 设 EF 的解析式为 s2＝kt＋b，则有 2400＝b， k＝－96， 解得 0＝25k＋b， b＝2400， ∴解析式为 s2＝－96t＋2400. (2)B、D 点的坐标分别为(12,2400)、(22,0)． 由待定系数法可得 BD 段的解析式为 y＝－240t＋5280， 与 s2＝－96t＋2400 的交点坐标为(20,480)． 所以小明从家出发，经过 20 分钟后在返回途中追上爸爸， 这时他们距离家 480 m.
2 解得 5≤x≤7 . 3
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第15讲 │ 归类示例
∵x 为正整数，∴x＝5,6,7. 故车辆安排有三种方案，即 方案一：A 型车 5 辆，B 型车 12 辆，C 型车 4 辆； 方案二：A 型车 6 辆，B 型车 9 辆，C 型车 6 辆； 方案三：A 型车 7 辆，B 型车 6 辆，C 型车 8 辆． (3)设总运费为 W 元，则 W＝1500x＋1800(－3x＋27)＋2000(21－x ＋3x－27)＝100x＋36600. ∵W 随 x 的增大而增大，且 x＝5,6,7， ∴当 x＝5 时，W 最小＝37100 元． 答：为节约运费，应采用(2)中方案一，最少运费为 37100 元．
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第15讲 │ 考点随堂练
3.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供 电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月 用电量 x(度)与相应电费 y(元)之间的函数图象如图 13－1 所示．
图 13－1 60 (1)若月用电量为 100 度时，则应交电费_____元； 1 y＝2x＋10 (2)当 x≥100 时，则 y 与 x 之间的函数关系式____________； 140 (3)月用电量为 260 度时，应交电费__________元．
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第15讲 │ 归类示例
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第15讲 │ 归类示例
(1)设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数
关系式； (2)如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？
并写出每种方案；
(3)为节约运费，应采用(2)中哪种方案？并求出最少运费．
·新课标
第15讲 │ 归类示例
1 所以 y＝2x＋10； 当 x＝260 时，y＝130＋10＝140(元)．
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第15讲 │ 考点随堂练
考点3 一次函数与二元一次方程和不等式的综合应用
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第15讲 │ 考点随堂练
4.[2011· 乐山]某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收 费 y(元)与复印页数 x(页)的关系如下表： x(页) 100 200 400 1000 … y(元) 40 80 160 400 … (1)若 y 与 x 满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式； (2)现在乙复印社表示：若学校先按每月付给 200 元的承包费，则 可按每页 0.15 元收费， 则乙复印社每月收费 y(元)与复印页数 x(页) 的函数关系为________________； (3)在给出的坐标系内画出(1)(2)中的函数图象，并回答每月复印页 数在 1200 左右应选择哪个复印社？
70≤y≤90，试求m的取值范围．
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第15讲 │ 归类示例
解：(1)10× 1.5＋(18－10)× 2＝31(元)； (2)①当 x≤10 时，y＝1.5x； ②当 10<x≤m 时，y＝10× 1.5＋(x－10)× 2＝2x－5； ③当 x＞m 时，y＝10× 1.5＋(m－10)× 2＋(x－m)× 3＝3x－m－5. (3)①当 40 吨恰好是第一档与第二档时，40＜m≤50， 10× 1.5＋(40－10)× 2＝75，符合题意； ②当 40 吨恰好是第一档、第二档与第三档时，m＜40， 70≤10×1.5＋(m－10)× 2＋(40－m)×3≤90， 70≤－m＋115≤90,25≤m≤40. 综上，m 的取值范围是 25≤m≤50.
解：(1)法一：根据题意得 4x＋6y＋721－x－y＝120， 化简得 y＝－3x＋27. 法二：根据题意得 2x＋4y＋2x＋21－x－y＋2y＋621－x－y＝120， 化简得 y＝－3x＋27.
x≥4， x≥4， (2)由y≥4， 得－3x＋27≥4， 21－x－y≥4， 21－x－－3x＋27≥4，
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第15讲 │ 考点随堂练
[解析] 从图象中看出当 x＝100 时， y＝60； y 与 x 之间的函 设 数关系式为 y＝kx＋b，直线过两点(100,60)，(200,110)．由题
100k＋b＝60， 意得 200k＋b＝110.
b＝10， 解之得 1 k＝2.
第15讲 │ 一次函数的应用
第15讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 一次函Biblioteka 性质的应用·新课标第15讲 │ 考点随堂练
1.某地的电话月租费 24 元，通话费每分钟 0.15 元，则每月话 y＝24＋0.15x 费 y(元)与通话时间 x(分钟)之间的关系式是____________，某 居民某月的电话费是 38.7 元，则通话时间是______分钟． 98
命题角度： 函数图象在实际生活中的应用 [2011· 泰州] 小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400 m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以 96 m/min 的速度 从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留 2 min 后沿原路以原 速返回，设他们出发后经过 t min 时，小明与家之间的距离为 s1 m， 小明爸爸与家之间的距离为 s2 m，图 13－1 中折线 OABD、线段 EF 分别是表示 s1、s2 与 t 之间函数关系的图象．