§3.2 一元二次不等式及其解法(2)学案4
3.2 一元二次不等式及其解法(导学案)
§3.2 一元二次不等式及其解法 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格 二、例题 例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为 （其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为 （其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1） 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
§3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)教案.doc
教师课时教案备课人授课时间课题§3.2一元二次不等式及其解法（第2课时）课标要求巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；教学目标知识目标巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；技能目标培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力情感态度价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想重点熟练掌握一元二次不等式的解法难点理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤2.讲授新课[范例讲解]例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x=+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到21139.520180x x+>移项整理得：2971100x x+->显然0>V，方程2971100x x+-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x≈-≈。
所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x<->或在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.学生回答教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到222206000x x-+>移项整理，得211030000x x-+<因为1000=>V，所以方程211030000x x-+=有两个实数根1250,60x x==由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
教学设计6：§3.2 一元二次不等式及其解法
§3.2 一元二次不等式及其解法教学目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.教学知识总结知识点一 分式不等式的解法思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？ 【答案】 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式. 梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：(1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题思考 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？【答案】x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2,3]上的图象恒在x 轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x －1>0的解集的子集.梳理 一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方.区间[a ，b ]是不等式f (x )>0的解集的子集.恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：≥f (x )恒成立⇔ ≥f (x )max ；≤f (x )恒成立⇔ ≤f (x )min .知识点三 含参数的一元二次不等式的解法思考 解不等式－x 2＋3x －2<0第一步需要干什么？解ax 2＋3x －2<0呢？【答案】解－x 2＋3x －2<0，第一步先把二次项系数化为正数：x 2－3x ＋2>0. 解ax 2＋3x －2<0，由于不知道a 的正负，故需要分a >0，a ＝0，a <0讨论.梳理 解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.题型探究类型一 分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 跟踪训练1 解下列不等式.(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0. 解得⎩⎨⎧ x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0， 化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0， 解得－3<x <－12. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 类型二 不等式恒成立问题例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0. (2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 .【答案】(－∞，－5]【解析】构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5. 类型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}.当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解 当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解.综上，当a <0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，解集为∅.达标检测1.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2【答案】D【解析】由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.2.不等式x －1x －2≥0的解集为( ) A.[1,2] B.(－∞，1]∪[2，＋∞)C.[1,2)D.(－∞，1]∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1. 3.当不等式x 2＋x ＋z >0恒成立时，z 的取值范围为 .【答案】⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】由题意知Δ<0，即1－4 <0，得z >14，即 ∈⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 4.解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .因为函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以①当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}；②当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }.课堂小结1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.。
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
-1 0 1 答案：（-1，0）∪（1，+∞）
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 13
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
绝对值不等式的解法
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 11
解：原不等式可化为
2
2
3
4
1 x 5x 5 1 x2 5x 5 1 x 2 5 x 4 0 (1) 2 即 2 x 5 x 5 1 x 5 x 6 0 (2) 解不等式（1），得解集 x |1 x 4 , 解不等式（2），得解集 x | x 2, 或x 3 ,
∴原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的 交集，即 x |1 x 4 x | x 2, 或x 3
x |1 x 2, 或3<x<4
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§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
b {x|x≠ } 2a
R Φ
2
Φ
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§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
温故知新 解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 y 图象； ④得出不等式的解集． x ● x2 ● 1 o x 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0)
0 4
15
-1
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重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(2)(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法(二)自主学习知识梳理1．解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔____________； (2)f (x )g (x )≤0⇔________________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 2．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c>0 (a ≠0)恒成立⇔____________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔____________.(2)一般地，若函数y ＝f(x)，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________； a<f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________.自主探究对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？(1)两个正根⇔____________； (2)两个负根⇔____________； (3)一正一负根⇔____________； (4)两根都小于k ⇔____________；(5)一根大于k ，一根小于k ⇔____________. (注：答案不唯一)对点讲练知识点一 分式不等式的解法例1 解分式不等式： (1)x ＋12－x ≥－2；(2)x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.总结 简单的分式不等式在求解时多化为f (x )g (x )>0，f (x )g (x )<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如f (x )g (x )≥0应⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )<0但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点．变式训练1解不等式：x＋2x2＋x＋1>1.知识点二恒成立问题例2设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．总结含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．变式训练2若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．知识点三一元二次方程根的分布例3 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．总结 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．变式训练3 若方程4x ＋(m －3)·2x ＋m ＝0有两个不相同的实根，求m 的取值范围．1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.课时作业一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≥－2或x ＝1}2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}3．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)．5．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．已知关于x 的不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >3}，则a 的值是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式：f (x )<(k ＋1)x －k2－x.10．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围．§3.2 一元二次不等式及其解法(二)知识梳理1．(1)f (x )·g (x )>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0 2．(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0(2)a >f (x )max a <f (x )min自主探究(1)⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<0x 1x 2>0(3)⎩⎨⎧Δ>0x 1x 2<0(4)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<2k (x 1－k )(x 2－k )>0 (5)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0(x 1－k )(x 2－k )<0对点讲练例1 解 (1)x ＋12－x ≥－2⇔x ＋12－x ＋2≥0⇔5－x2－x ≥0⇔x －5x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0x －2≠0 ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．(2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0 ①x 2－x －6>0 ② ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0 ③x 2－x －6<0 ④由①解得{x |x <－3或x >1}； 由②解得{x |x <－2或x >3}．∴不等式组(1)的解集是{x |x <－3或x >3}． 由③解得{x |－3<x <1}； 由④解得{x |－2<x <3}．∴不等式组(2)的解集是{x |－2<x <1}．综上，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 变式训练1 解 因为x 2＋x ＋1>0， 所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1， 即x 2－1<0，解得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 例2 解 (1)要mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ∴－4<m ≤0.(2)要f (x )<－m ＋5，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0，x ∈[1,3]． 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]， 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)，∴7m －6<0，得m <67.∴0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数． ∴f (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6.∴m <0.综上所述，m <67.方法二 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又∵m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67.∴只需m <67即可．变式训练2 解 不等式变为m (x 2－1)－(2x －1)<0，即f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)<0在{m |－2≤m ≤2}上恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)<0，f (－2)<0.解得7－12<x <1＋32，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，1＋32. 例3 解 设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2. 因为x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 且0<x 1<1,1<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3⇒－2<a <－1或3<a <4.所以a 的取值范围是{a |－2<a <－1或3<a <4}．变式训练3 解 令2x ＝t ，则原方程变为t 2＋(m －3)t ＋m ＝0， ∵t >0.∴关于t 的二次方程有两不同正根的充要条件为：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m >0x 1＋x 2＝－(m －3)>0x 1·x 2＝m >0，解得0<m <1.∴所求m 的取值范围为(0,1)． 课时作业1．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 2．A [原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2 ⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．]3．D [－b <1x <a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >01x <a 或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－b⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0x >1a或⎩⎪⎨⎪⎧x <0bx <－1⇔x >1a 或x <－1b .]4．A [f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)．] 5．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3 ⇔x <1或x >3.] 6．0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.7．k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解， 把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2. 8.23解析 原不等式化为axx －1－1＝(a －1)x ＋1x －1<0，其等价于(x －1)[(a －1)x ＋1]<0.∵不等式的解集为{x |x <1或x >3}，∴x ＝11－a＝3，解得a ＝23.9．解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x 2ax ＋b－x ＋12＝0 得⎩⎨⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可转化为x 2－(k ＋1)x ＋k2－x<0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)>0，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； ③当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 综上知，当1<k <2时，不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}； 当k ＝2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； 当k >2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 10．解 (1)当a 2－1≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 得a <－1或a >53.又a 2－1＝0时，得a ＝±1.a ＝－1时，满足题意．a ＝1时，不合题意．∴实数a 的取值范围为a ≤－1或a >53.(2)只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ， 故当a 2－1≠0时， 有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ≥0，得1<a ≤53.又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意．a ＝－1时不合题意．∴实数a 的取值范围为1≤a ≤53.。
一元二次不等式及其解法学案
3.2一元二次不等式及其解法主讲人：于锋 备课日期：2012-9-26【学习目标】：1、掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系， 能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：对一元二次方程的根进行讨论，解决实际问题. 【学习重点】： 解一元二次不等式 【学习难点】：三个“二次”之间的关系. 【学习过程】：一、 创设情境，引入课题▲引例（预习作业）你能表示这里的不等关系吗？ 板书(因特网网费)：设一次上网时间为x 小时。
_____为公司Ａ的收取费用， _________ 为公司B 的收取费用。
_____________ (学生独立完成）整理得： ___________ （学生独立完成）▲⑴解方程270x -=（2）()27f x x =-画出函数图像（3）观察图像，270,270x x ->-<解不等式1、 一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式，称为一元二次不等式.一般表达形式：2200ax bx c ax bx c ++>++<和 2、作出函数)(x f =25x x -的图象，回答下列问题：（1） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？ （3） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？二、交流探究，发现规律：三、启发引导，形成结论变式1.解不等式:232x x -->2200(0)-1ax bx c ax bx c a ++>++<<★对于和解集，可首先将不等式两边同乘以，再求解。
变式2.求解不等式 ：()1()0x x a -∙-<探究：已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{x ︱x ＜-2或x ＞1}（1）试找出关于a ，b ，c的关系式.（2）一元二次不等式与一元二次方程的根的关系如何？四、练习小结，深化巩固 课本：1、80P 习题 A 2、42、若不等式210ax bx +->的解集是)4,3(，则实数=a ，=b2.关于x 的不等式21mx mx m ++<对R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.21.10R .x x ax a -+>若关于的不等式的解集为求实数的取值范围课后作业：1.P 81 B 组 第2题2.已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为)21,31(-，求220cx x a -+->的解集.。
3.2一元二次不等式及其解法(2)
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
例3：已知 ax2 (1 a)x 1 0 恒成立，
求a的取值范围。
y
解：不等式恒成立，即解集为R
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得： 3 2 2 a 3 2 2
又a 0
解 （1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 即当x> 1 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分
2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
⊿>0
y
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实 有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2
ax2+bx+的c>解0（集a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
3,2一元二次不等式及其解法(导学案)
3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 有两相异实根有两相等实根。
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§3.2 一元二次不等式及其解法（2）（必修5第三章 不等式 学案4） 撰稿： 修订：高一备课组 姓名：__________第 小组
一、学习目标 心中有数：
1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法.
二、自主学习 体验成功：教材77～78
复习1：一元二次不等式的解法步骤是 1._________ ____ 2.______ _______3.______ ________ 4._ 复习2： 解不等式.
（1）23710x
x -≤； （2）2250x x -+-<.
三、合作探究，共同进步
例1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180
s x x =+.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于49.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（备注：8910=90×99）
例2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
四、 课堂小结
本课进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．
（1）连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y 是否大于零等价于为P (,)x y 是否在x 轴的上方.
（2）三个“二次”关系的实质是数形结合思想：20ax bx c ++=的解2y ax bx c ⇔=++图象上的点(,0)x ；
20ax bx c ++>的解2y ax bx c ⇔=++图象上的点(,)x y 在x 轴的上方的x 的取值范围.
五、理论迁移，过手训练。
1. 求下列不等式的解集：
（1）2
3100x x --+>； （2）(9)0x x ->.
2. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .
3. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足2
10240d d -+<，则两圆的位置关系为 .
4. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B =（ ）.
A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤
B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤
C ．{1，2，3，4}
D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤
5. 函数2112y x x =
+-的定义域是（ ）. A ．{|4x x <-或3}x > B ．{|43}x x -<< C ．{|4x x ≤-或3}x ≥ D ．{|43}x x -≤≤
6. 不等式2223931711()()33
x x x x --+-≤的解集是（ ）. A ．[2，4] B ．(,2][4,)-∞+∞ C ．R D ．(,2][4,)-∞-+∞
6． 在一次体育课上，某同学以初速度012/v m s =竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点4 m 以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间x 满足关系2012
h v t gt =-，其中g=10m/2s ）
7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
8. 据气象部门预报，在距离某码头O南偏东45 方向600km处的热带风暴中心A 在以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？。