2020江苏高考数学一轮复习学案：第45课__直线与圆的位置关系 含解析

第45课 直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝＋1上的一点向圆(－3)2＋y 2＝1解析：由直线y ＝＋1上的一点向圆(－3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆2＋y 2－2－2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或7Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(－1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为，所以直线l ：y ＋2＝(＋1)，即－y ＋－2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得＝1或＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：2＋y 2＝5，直线l ：cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为，则实数＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即＝4.4. 已知曲线C ：(－1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－4)∪(4，＋∞) .解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝(＋2)，即－y ＋2＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(＋2).当＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞).范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(－1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(－1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ， 所以直线l 的斜率为＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(－1)，即2－y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(－2)，即＋2y －6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝－2，即－y ＝0， 则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12. 又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(＋1)，即＋y －1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为OP ＝－2，所以AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(＋1)，即－2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系Oy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－17，所以直线CD 的方程为y ＝－17(－5)，即＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ， 则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为2＋y 2＋D ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎨⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为2＋y 2－(5m ＋4)－(10m ＋3)y ＝0， 整理得2＋y 2－4－3y －5m(＋2y)＝0.令⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程.解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(－t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得2－2t ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，＝0或2t ，则A (2t ，0)； 当＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎪⎫0，4t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分MN . 因为MN ＝－2，所以OC ＝12，所以OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2＋4的距离d ＝55<5，所以圆C 与直线y ＝－2＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(－2)2＋(y －1)2＝5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3－4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切， 所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15， 所以所求直线方程为4＋3y ＋15＝0或4＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2； 当点P 为圆C 与轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA 为一常数.设P(，y)，则y 2＝9－2，所以PB 2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(，y)，所以(－t)2＋y 2＝λ2[(＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－2代入，得2－2t ＋t 2＋9－2＝λ2(2＋10＋25＋9－2)，即2(5λ2＋t)＋34λ2－t 2－9＝0对∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎨⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎨⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)，故存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系Oy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2－4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上. (1) 若圆心C 也在直线y ＝－1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2－4和y ＝－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得＝0或＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2－4上，所以设圆心C(a ，2a －4)， 所以圆C 的方程为(－a)2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M(，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得2＋y 2＋2y －3＝0， 即2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(，y)也在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125，所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(－3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 ＝2或4＋3y －17＝0 Ｗ.解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为，则切线的方程为y －3＝(－2)，即－y ＋3－2＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以＝－43，切线方程为4＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为＝2或4＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝＋1被圆C ：2＋y 2－2－3＝0截得的弦最短，则实数＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(－1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又CM ＝－1，所以＝1.3. 在平面直角坐标系Oy 中，若直线a ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(－1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 －1 .解析：圆(－1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线a ＋y －2＝0与圆(－1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线a ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 4. 在平面直角坐标系Oy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P解析：设点P 坐标为(，y)，则PA →＝(－12－，－y)，PB →＝(－，6－y)，则PA →·PB →＝2＋y 2＋12－6y ≤20.又因为2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝2＋y 2＋12－6y －20＝50＋12－6y －20≤0，即2－y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2－y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[C ，D ].由题意得C ＝－52，联立⎩⎨⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得2＋4－5＝0，解得1＝－5，2＝1，即D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下;：。