人教A版选修1-2之2.1.1类比推理

P
P
VP A'B 'C ' VP ABC
PA'PB'PC ' PA PB PC
例1：已知 ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则
2S ABC内切圆半径r= ___________ . abc
分析：面积法
1 由2r(a+b+c)=S 2S r= a+b+c
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
n=1时, n=2时, n=3时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
3V S1 S2 S3 S4
O
O B
D
C
a1+a2+„+an 1.已知数列{an}是等差数列，则{ } n 是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是 等比数列，类比上述等差数列，则 是 等比数列？
例2.
答：数列{
n
a1a2„an}是等比数列.
再 见
不等式 或，且，非运算
交集，并集，补集
1、进行类比推理的步骤： (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想. 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 2、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） ’ 所以B类事物可能具有性质d .
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
例题5：传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和 套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列 规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过 渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
n=1时, n=2时, n=3时, 归纳:
f (n) 2 1
n
n1 1, f (n) 2 f (n 1) 1, n 2
S PA 'B' PA'PB' B' 2．由上图（左）有面积关系： S PAB PA PB
B
B'
则由上图（右），则类似的结论是：
A' A
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
单位元
a+0=a
应用类比推理常常要先寻找合适的类比对象
探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以 作为四面体的类比对象？
四面体 由最少的4个面围成 三角形 平面内最少的3条线围城
由 两类对象具有 某些类似特征 和其中 一类对象的某些已知特征 ,推出另一类对象也
具有这些特征的推理称为类比推理.
例3 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
2
1
3
n=1时,
f (1) 1
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n
2n 1 个数是_______.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满 了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上 爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智， 急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑 到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。 鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛， 沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁 班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪， 叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。 鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。 鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件 边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁 班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班 做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又 快又省力。锯子就这样发明了。
变式： 已知 ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则 2S ABC内切圆半径r= . abc 根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的 A 面积分别为S1 , S2 , S3 , S4 , 体积为V ，
则四面体的内切球半径 R ________________ .
S2△PEF =S2△PED+S2△PFD+S2△DEF 猜想:
几何中常见的类比对象 平面图形（二维） 立体图形（三维） 点或线
点
线
线或面
空间直角坐标系
平面直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标系
几何中常见的类比对象
圆
三角形 四边形
球
四面体（各面均为三角形） 六面体（各面均为四边形） 代数中常见的类比对象 复数 向量
方程
函数
试将平面上的圆与空间的球进行类比
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
截面圆 大圆 表面积 体积
球
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与 与球心距离相等的两截面圆面 圆心距离不等的两弦不等,距圆 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 心较近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 圆的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2. 的球的方程为2 (x-x0)2+(y-y0) +(z-z0)2=r2.
长方体呢？
长方形
例题:4：类比平面内直角三角 形的勾股定理，试给出空间中 四面体性质的猜想。
B
P S1 S2 D S3 F
C
A
E
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四 面体性质的猜想．
直角三角形
3个面两两垂直的四面体
∠C＝90° ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 3个边的长度a，b，c 4个面的面积S1，S2，S3和S 2条直角边a，b和1条 3个“直角面” S1，S2，S3和1 斜边c 个“斜面” S