2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1单元优选卷：11生活中的优化问题举例
高中数学新人教A版选修1-1课堂测试生活中的优化问题举例
课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例层级一学业水平达标1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位：C ）为f （x ）= 3X 3— X 2 + 8（0< X W 5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ）320 A . 8 B.亍 C . — 1D . — 8解析：选C 瞬时变化率即为f ' (x) = x 2— 2x 为二次函数，且 f ' (x)= (x — 1)2— 1,又 x € [0,5]，故 x = 1 时，f ' (x)min = — 1.2.某城市在发展过程中， 交通状况逐渐受到大家更多的关注， 据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出： y =—丸—3t 2+ 36t — 629，则在这段时间内，通过该路段8 4 4 用时最多的时刻是（)A . 6时B . 7时C . 8时D . 9时解析：选C y '32 3=—8t —尹36—3-尹+ 12)(t — 8)令 y ' = 0,得 t = 8 或 t =— 12（舍去）,则当 6< t<8 时，y ' >0，当 8<t w 9 时，y ' <0, 所以当t = 8时，通过该路段所用的时间最多. 3•把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角C . 3 2 cm 2解析：选D 设一段为x ，则另一段为12— x （0 v x v 12）, 令 S ' (x)= 0，得 x = 6, 当 x € (0,6)时，S ' (x)v 0, 当 x € (6,12)时，S ' (x)> 0, •••当x = 6时，S(x)最小.形面积之和的最小值是（）B . 4 cm 2则S(x)=] ••• S••• S = -4 2 X 9X 62 - 3 X 6+ 16 = 2 3（cm 2）. 4.某公司生产某种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 的关系是R （X ）=!40°X —仝乂三40080 000 X >400 ,年生产的产品是（A . 100C . 200D . 300解析：选D 由题意，总成本为： C = 20 000 + 100X , 所以总利润为X 2300X — — 20 000, 0< X < 400,P = R — C = 260 000 — 100X , X>400 ,300 — X , 0< X < 400,P ' = t —100, X >400,令 P ' = 0，当 0< X W 400 时，得 X = 300;当X >400时，P ' <0恒成立，易知当 X = 300时，总利润最大. 5.某工厂要建造一个长方体的无盖箱子， 其容积为48 m 3,高为3 m ,如果箱底每1 m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为（ ）A . 900 元B . 840 元C . 818 元D . 816 元解析：选D 设箱底一边的长度为 X m ,箱子的总造价为1元，根据题意得箱底的面积为48= 16（m 2），则长为X m 的一边的邻边长度为16 m ,3 X l = 16X 15 + 2 X 3X + 2 X 3X 16 X 12 =240 + 72 X + 16，所以 I ' = 72 1 — 令I ' = 0,解得X = 4或X =— 4（舍去）, 当 0 V X V4 时，I ' V 0;当 x >4 时，I ' >0.故当X = 4时，I 有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816元.6•某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1 = 5.06X — 0.15X 2和L 2= 2X ,其中X 为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售 15辆车，则能获得的最大利润为 ________ 万元.则总利润最大时，每B . 15016X 6.解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15 — x)辆. 总利润 L = 5.06X — 0.15x 2+ 2(15 — x) =—0.15x 2+ 3.06x + 30(x 》0).令 L ' =— 0.3x + 3.06= 0,得 x = 10.2. •••当x = 10时，L 有最大值45.6. 答案：45.6 7.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为 解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ,则 R 2= (h — R)2+ r 2,「. r 2= 2Rh — h 2, 1 2 n 2 2 2 n 3二 v = 3%r h = §h(2Rh — h ) = ^%Rh — , 4 24 V ' = 3冗Rh — di 2.令 V ' = 0 得 h = 3R. 4R 4R当 0<h<"3-时，V ' >0;当"3-<h<2R 时，V ' <0. 4因此当h = 3R 时，圆锥体积最大.答案：|R数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为 50元，总利润最大时，产量应定为 _______________ 件.解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x = k ,由题知a = 5°0.V x总利润 y = 500 . x - Wx 3- 1 200(x>0),75y ' >0, x € (25,+)时，y ' <0,所以 x = 25 时, y 取最大值. 答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域， 周边及绿化区域之间是道路 (图中阴影部分)，道路的宽度均为2m •怎样 设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最 大面积.8.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x) = 1 200+ 7^x 3, 又产品单价的平方与产品件2 225x ，=0,得 x = 25, x € (0,25)时, /y250解：设休闲广场的长为x m ,则宽为2 400 m ，绿化区域的总面积为S(x) m 2.=2 424 — 4 x + , x € (6,600) ••…41—嚟=宀=令 S ' (x)>0，得 6 v x v 60;令 S ' (x) v 0，得 60v x v 600. ••• S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数, •••当x = 60时，S(x)取得极大值，也是最大值, --S(x)max = S(60) = 1 944.•当休闲广场的长为 60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面积最大， 最大面积为1 944 m 2.10 •统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 的函数为 y = 1281000x 3 — 80x + 8(0vx<120) •(1) 当x = 64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2) 若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：⑴当x = 64千米/小时时，要行驶100千米需要100=弩小时,64 16 要耗油 蟲 ％ 643-詁64 + 8 X 釣"95(升)• (2)设22.5升油能使该型号汽车行驶 a 千米，由题意得，128 000x — 80x + 8 X 22.5，22.5_1—8 — 3_128 000x 十 x 80则当h(x)最小时，a 取最大值， , _J_ 8 x 3— 803 h (x)= 64 000x — x 2= 64 000x 2，令 h ' (x)= 0? x = 80, 当 x € (0,80)时，h ' (x)<0, 当 x € (80,120)时,h ' (x)>0,故当x € (0,80)时，函数h(x)为减函数， 当x € (80,120)时，函数 h(x)为增函数，•••当x = 80时，h(x)取得最小值，此时 a 取最大值为则 S(x)= (x — 6) ^Y 0-4 = 2 424— 4x + 6X2 400y(升)关于行驶速度x(千米/小时)设 h(x) = -^x 2 + 8-彳128 000 x 80层级二应试能力达标1•已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y = — |x 3 + 81x — 234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A . 13万件D . 7万件解析：选 C y ' =— x 2+ 81,令 y ' = 0,解得x = 9或x =— 9(舍去)，当0 v x v 9时，y ' >0; 当x > 9时，y ' v 0.所以当x = 9时，y 取得最大值. 2.某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁， 其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 ( )=0，得 x = ±16.■/ x > 0 ,••• x = 16.当x = 16时，L min = 64,二堆料场的长为512 = 32(m).16 3.某商品一件的成本为30兀，在某段时间内若以每件 x 兀出售，可卖出(200 — x)件,要使利润最大每件定价为 ()A . 110 元B . 115 元C . 120 元D . 125 元解析：选B 设每件商品定价 x 元，依题意可得利润为 S(x)= (x — 30)(200 — x)=— x 2 + 230x — 6 000(0<x<200),…a =22.51128000 x 802 + 8803 80=200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶 200千米.B . 11万件C . 9万件A . 32 m,16 mB . 30 m,15 mC . 40 m,20 mD . 36 m,18 m如图所示，设场地宽为 x m ,则长为 512x m ,因此新墙总长度 L = 2x +512x(x > 0),S' (x) =—2x+ 230，令—2x + 230 = 0,得x= 115.因为在(0,200)内S(x)只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大.4•若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )2 2A • 2 nB .曲 2 1 2C . 4 nD.Q n 解析：选A 设内接圆柱的底面半径为 冷，高为t ,则 S = 2 n i t = 2 n i 2 r 2 — r 2 = 4 n i r 2 — r 1.••• S = 4 n r 2r 2— r 1.令(r 2r 2— r 4)' = 0 得 r i =¥「.5.某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = ________ 吨.•总运费与总存储费之和f(x) = 4n + 4x = 1 600 + 4x ,令 f ' (x)= 4 — 1x 00= 0,解得 x = 20, x =— 20(舍去), x = 20是函数f(x)的最小值点，故当 x = 20时，f(x)最小. 答案：20 6. —个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点 O 到底面中心 O i 的距离为 __________ m 时，帐篷的体积最大.解析：设OO 1为x m ,底面正六边形的面积为 S m 2,帐篷的体积为则由题设可得正六棱锥底面边长为 .32— x — 1 2= 8 + 2x — x 2(m),于是底面正六边形的面积为■j 3 2 2 3 ■■■ 3 2S = 6X^( 8+ 2x — x ) = 丁(8 + 2x — x ).帐篷的体积为1 3 3 23 3 2V = 3x 2 (8 + 2x — x )(x — 1) + 2 (8 + 2x — x )-J 13 2 3 3 y(8 + 2x — x )[ x — 1 + 3]=牙(16 + 12x — x ),解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则400V' =_23(12 —3x2).令V' = 0，解得x= 2或x = —2(不合题意，舍去).当 1 v X V 2 时，V > 0;当 2v X V 4 时，V v 0. 所以当x = 2时，V 最大.答案：2会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 正比•已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.(1) 将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； ⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降彳氐x 元，则一个星期多卖出的商品为 kx 2件.由已知条件，得 k 22 = 24,解得k = 6. 若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有f(x)= (30 — x — 9)(432 + 6x 2)=-6x 3 + 126x 2— 432x + 9 072, x € [0,21].2(2) 由(1)得,f (x) = — 18x + 252x — 432. 令 f ' (x)= 0，得 x = 2 或 x = 12.当x 变化时，f ' (x), f(x)的变化情况如表所示：因为 f(0) = 9 072 , f(12) = 11 664, f(21) = 0,所以定价为30 — 12= 18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.8. 两县城 A 和B相距20 km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一 点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城 A 与对城B 的影响度之和•记 C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃 圾处理厂对城 A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响 度为0.065.(1) 将y 表示成x 的函数f(x);(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对7.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将 x(单位：元，0w x < 21)的平方成城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.解：⑴根据题意/ ACB= 90 ° , |AC|= x km , |BC|= 400 —x2 km，且建在4 k圾处理厂对城A的影响度为艾，对城B的影响度为—— ,x 400 —x因此，总影响度戸寺+ 亠(0v x v 20).又垃圾处理厂建在 A B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065,4 k故有+ = 0.065故有：102+ 102 2 400 - 102+ 102 2，4 9解得k = 9,故y= f(x)=子+ do。
人教A版选修1-1教案：生活中的优化问题举例(1)(含答案)
§1．4．1生活中的優化問題舉例(1)
【學情分析】：
導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：
1、與幾何有關的最值問題；
2、與物理學有關的最值問題；
3、與利潤及其成本有關的最值問題；
4、效率最值問題。
【教學目標】：
1.掌握利用導數求函數最值的基本方法。
2.提高將實際問題轉化為數學問題的能力.提高學生綜合、靈活運用導數的知識解決生活中問題的能力
3．體會導數在解決實際問題中的作用.
【教學重點】：
利用導數解決生活中的一些優化問題．
【教學難點】：
將生活中的問題轉化為用函數表示的數學問題，再用導數解決數學問題，從而得出問題的最優化選擇。
【教學突破點】：
利用導數解決優化問題的基本思路：
【教法、學法設計】：
482x
-
∴<<
x
024求导数得
()
V x。
2019-2020学年人教A版数学选修1-1课时达标检测(十九)生活中的优化问题举例含解析
________cm.
则底面半径为 202 － x2 cm，
1
1
V＝ πx(202－x2)＝ π(400x－ x3)(0< x<20) ，
3
3
1 则 V′＝ π(400－ 3x2)．
3
20 3
20 3
令 V′＝ 0，解得 x1＝
， x2＝－
(舍去 )．
3
3
20 3
20 3
20 3
当 0<x<
时， V′ >0；当
5
5 所以当 x＝ R时， l 取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为
5
5 45
R，
R.
5
5
4．某公司生产一种产品，固定成本为 20
x3
000元，每生产一单位的产品，成本增加 100元，若总收入 R与年产量 x(0≤ x≤ 390) 的关系是 R(x)＝－
900
＋ 400x,0≤ x≤ 390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是
5
R
D．以上都不对
解析 ：选 B
设矩形一边的长为 x，则另一边的长为 2 R2 － x2 ，则 l＝ 2x＋ 4 R2 － x2
4x
(0＜ x＜ R)， l′＝ 2－
，
R2 －x2
5
5
ห้องสมุดไป่ตู้
令 l′＝ 0，解得 x1＝ R， x2＝－ R(舍去 )．
5
5
5 当 0＜ x＜ R时， l′＞ 0；
5
5 当 R＜x＜ R时， l′＜ 0.
或 x＝ 0(舍去 )，又当 0< x<0.032 时，y′ >0 ；当 0.032<x<0.048 时， y′ <0，所以当 x＝ 0.032 时，y 取得最大值．
2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1同步练习：3.4 生活中的优化问题举例 Word版含答案
3.4 生活中的优化问题举例1、已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元2、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为31812863y x x =-+-,则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元 3、内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为（ ） A. R B. 2R C.43R D. 34R 4、把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( ) A.1:2B.1:πC.2:1D.2:π5、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。
各以其广乘之，并，以高乘之，六而一。
”其计算方法是:将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（ ） A.392 B.752 C.39 D.60186、若一球的半径为r ,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A. 22r π B. 2r π C. 24r π D. 212r π7、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30海里/小时, 当速度为10海里/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为( ) A. 30海里/小时 B. 25海里/小时 C. 20海里/小时 D. 10海里/小时8、国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为%p ;超过280万元的部分按(2)%p +征税.现有一家公司的实际缴税比例为(0.25)%p +,则该公司的年收入是( ) A. 560万元 B. 420万元 C. 350万元 D. 320万元9、做一个圆柱形锅炉,容积为V ,两个底面的材料每单位面积的价格为a 元,侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( )A. a bB. 2a bC. baD. 2b a10、现要做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其容积为27π且用料最省,则水桶底面圆的半径为( ) A.32B. 3?C. D. 611、如图, ,OA OB 为扇形湖面OAB 的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域Ⅰ和区域Ⅱ,点 C 在弧AB 上, ,//COA CD OA θ∠=,其中弧AC ,半径OC 及线段CD 需要用渔网制成若π,13AOB OA ∠==,则所需渔网的最大长度为__________.12、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30海里/小时,当速度为10海里/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为__________.13、如图所示,等腰△ABC 的底边AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于,B D 的动点.点F 在边BC 上,且EF AB ⊥.现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE AE ⊥.记(),BE x V x =表示四棱锥P ACFE -的体积.则()V x 取得最大值为__________.14、北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(30天计算)里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进__________份,才能使每月所获得利润最大.15、甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)之间的关系为x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格),1.将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;2.甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额为20.002t 元,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s 是多少?答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：C解析：设圆锥高为h ,底面半径为r ,则()222R h R r =-+,∴222r Rh h =-,∴()2223π12π2π3π333V r h h Rh h Rh h ==-=-,24'ππ3V Rh h =-, 令0V '=,得43h R =.当403h R <<时, 0V '>;当423Rh R <<时, 0V '<.因此当43h R =时,圆锥体积最大.故应选C.4答案及解析： 答案：C解析：设圆柱高为()06x x <<，即长方形的宽为x ， 则圆柱底面周长即长方形的长为12262xx -=-， ∴圆柱底面半径6R 2x-=π， ∴圆柱的体积322261236R ()24x x x xV h x --+=π=π=ππ， ∴2324363(2)(6)'44x x x x V -+--==ππ， 当02x <<时，'0V >，函数单调递增； 当26x <<时，'0V <，函数单调递减；当6x >时，函数无实际意义. ∴2x =时，体积最大， 此时底面周长为624-=，该圆柱底面周长与高的比为4:22:1=.5答案及解析： 答案：B解析：设下底面的长为992x x ⎛⎫≤<⎪⎝⎭，则下底面的宽为18292x x -=-.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积()()()2117393322239622x V x x x x =⨯⨯⨯+⨯++-=-++⎡⎤⎣⎦，故当92x =时，体积取得最大值，最大值为29917397522222⎛⎫-+⨯+=⎪⎝⎭，故选B 。
[精品]新人教A版选修1-1高中数学强化训练3.4生活中的优化问题举例和答案
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§3.4生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ．33 cmB ．1033 cmC ．1633 cmD ．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2xx，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．3007．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计1．B [V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43V a ， S ′＝3a －43Va 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ， 体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ， 所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 x60 000－100x x，p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x －x，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，p ′<0恒成立， 易知当x ＝300时，总利润最大．]7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：极小值，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2， 令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21， 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值． 所以产量q 为84时，利润L 最大．。
2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1单元优选卷：11生活中的优化问题举例
单元优选卷（11）生活中的优化问题举例1、某工厂要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边需要砌新的墙壁,若使所用的材料最省,则堆料场的长和宽应分别为( ) A.32m,16mB.30m,15mC.64m,8mD.36m,18m2、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件3、把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( ) A. 1:2B. 1:πC. 2:1D. 2:π4、正三棱柱的体积是V ，当其表面积最小时，底面边长为( ) 3V32V34VD.32V 5、把一个周长为12cm 的长方形纸片围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( ) A.1:2B.1:πC.2:1D.2:π6、方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( ) A.4B.6C.4.5D.87、路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以2m/s 的速度从路灯在地面上的射影点C 开始沿某直线在地面上行走，那么人影长度的变化速度v 为( ) A.7m /s 20B.7m /s 24C.7m /s 22D.1m /s 28、已知表面积为100π的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为( ) A.4000243π B.400081π C.400027π D.40009π 9、甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法： ①前四年该产品年产量增长速度越来越快； ②前四年该产品年产量增长速度越来越慢； ③第四年后该产品停止生产； ④第四年后该产品年产量保持不变. 其中说法正确的有( )A.①④B.②④C.①③D.②③10、如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A. 3131255y x x =- B. 3241255y x x =-C. 33125y x x =-D. 3311255y x x =-+11、如图,内接于抛物线21y x =-的矩形ABCD ,其中,A B 在抛物线上运动,,C D 在x 轴上运动,则此矩形的面积的最大值是________.12、若曲线()1y x R αα=+∈在点()1,2处的切线经过坐标原点,则α=__________.13、已知某物体的运动方程是23s t t=+(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则物体在4t =时的加速度a =____________.14、在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为__________m .15、如图,两个工厂,A B 相距0.6?km ,变电站C 距,A B 都是0.5km ,计划铺设动力线,先由C 沿AB 的垂线至D ,再与,A B 相连, D 点选在距AB __________km 处时,动力线最短.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：要使材料最省,则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场宽为m x ,则长为512m x,因此新墙总长512()2(0)L x x x x =+>,则2512'()2L x x=-.令'()0L x =,解得16x =(16x =-舍去).故当16x =时,()L x 取得最小值,此时长为51232(m)16=.2答案及解析： 答案：C解析：2'81y x x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去). 当()0,9x ∈时,0y '>, 当()9,x ∈+∞时,0y '<, 则当9x =时,y 有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.3答案及解析： 答案：C 解析：4答案及解析： 答案：C解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ， 则21sin 602V x l =⋅︒⋅，∴23l x =， ∴223432sin 603VS S S x x l =+=⋅︒+⋅⋅=+表底侧. 令43'=30VS x =表，∴34x V =，即34x V 又当34)x V ∈时，'0y <；当3(4,)x V ∈+∞时，'0y >. ∴当34x V =.5答案及解析： 答案：C解析：设圆柱高为cm x ，底面半径为cm r ，则62x r -=π，圆柱体积23261(1236)(06)24x V x x x x x -⎛⎫=π⋅=-+<< ⎪ππ⎝⎭， 3'(2)(6)4V x x =--π，当2x =时，V 最大. 此时底面周长为4，底面周长：高4:22:1==.6答案及解析： 答案：A解析：设底面边长为x ，高为h ，则2()256V x x h =⋅=， 所以2256h x =，所以表面积22222561024()44S x x xh x x x x x=+=+⋅=+， 所以21024'()2S x x x =-.令'()0S x =，解得8x =，所以225648h ==.7答案及解析： 答案：D解析：如图，设人从点C 运动到点B 的路程为m x ，时间为s t ，AB 为人影长度，AB 长为m y .由于//DC BE ， 则AB BEAC CD=，即 1.6185y y x ==+. 又2x t =，∴1142y x t ==，∴1'm /s 2v y ==.8答案及解析： 答案：B解析：设球的半径为R ，内接圆锥的底面半径为r ，高为h ， 由题意知，24100R π=π，解得5R =，5)r <≤，所以5h =所以该圆锥的体积21(53V r =π.设5)t t =≤<，则23211(25)(5)(525125)(05)33V t t t t t t =π-+=π--++≤<.所以211'(31025)(35)(5)33V t t t t =π--+=-π-+，当503t ≤<时，'0V >，当553t <<时，'0V <. 所以当53t =时，max 400081V =π，故选B.9答案及解析： 答案：B解析：增长速度是年产量对时间的导数，即图像中切线的斜率.由图像可知，②④是正确的.10答案及解析： 答案：A解析：根据题意,知所求函数在(5,5)-上单调递减,对于A ,3131255y x x =-, ∴22333'(25)1255125y x x =-=-∴(5,5)x ∀∈-,0y '<, ∴3131255y x x =-在(5,5)-内为减函数, 同理可验证B,C,D 均不满足此条件,故选A.11答案及解析：解析：设CD x =，则点2,0,,1224x xx C B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴矩形ABCD 的面积231()1,(0,2)44x S x x x x x ⎛⎫=⋅-=-+∈ ⎪⎝⎭.由23'()104S x x =-+=，得x ，此时，()S x12答案及解析： 答案：2 解析：1y x αα-'=,∴1|x y α='=.曲线在点()1,2处的切线方程为()21y x α-=-, 将点()0,0代入方程,得2α=.13答案及解析： 答案：67m /s 32解析：路程关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是加速度， 所以2336'2,'2v s t a v t t ==-==+. 当4t =时，236672(m /s )432a =+=.14答案及解析： 答案：20解析：设矩形花园的宽为y m , 则404040x y -=, 所以40x y +=,所以面积24002x y S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭,当且仅当20x y ==时等号成立, 即当20x =时面积最大.15答案及解析：解析：设 CD AB ⊥,垂足为E ,DE 的长为xkm . 由0.6,0.5AB AC BC ===,得0.3AE EB ==.∴0.4CE ===.∴0.4CD x =-.∴AD BD ====∴动力线总长220.090.4l AD BD CD x x =++=+-. 令2220.09'2120.090.09x l xx+=-=++,即220.09=0x x +.解得3x =.(∵0x >) 当3x <时, '0l <;当3x >, '0l >. ∴l 在310x =时有最小值.。
2019-2020学年人教A版选修1-1 3.4生活中的优化问题举例 教案
§3. 4 生活中的优化问题举例教学目标：1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。
教学方法：尝试性教学教学过程：前置测评：（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程.（2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例1.汽油的使用效率何时最高材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。
现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。
众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。
如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v表示经过原点与曲线上点（v,g ）的直线的斜率。
继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h ，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f ’(90),约为0.67L.例2.磁盘的最大存储量问题【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。
2019_2020学年高中数学综合测评新人教A版选修1_1
综合测评(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x 0∈R ，e x 0<ln x 0，则( ) A ．(﹁p )∨q 为真命题 B ．p ∧(﹁q )为假命题 C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：∵y ＝2x是增函数，∴a >b ⇔2a>2b，∴p 为真命题． ∵y ＝e x与y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，没有交点， 不存在x 0∈R ，使e x 0<ln x 0，∴q 为假命题， ∴p ∨q 为真命题，故选D. 答案：D2．(2019· 全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 答案：B3．(2019·黄冈月考)若双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的焦点到渐近线的距离是4，则m 的值是( )A ．2B ． 2C ．1D ．4解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1的一个焦点为(1＋m 2，0)，渐近线方程为y ＝mx ，∴|m 1＋m 2|1＋m2＝4，∴m ＝4，故选D.答案：D4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(1)的值等于( )A.14 B ．－14C ．－34D ．34解析：∵f (x )＝3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝3f ′(2)＋12，∴f ′(2)＝－14，∴f ′(x )＝－34＋1x ，∴f ′(1)＝14，故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线 C 上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( )A ．1B ．3C ．1或9D ．3或7解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±1ax ，由题意，得1a ＝12，∴a ＝2.∵c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴c ＝5，即2c ＝25， ∵||PF 2|－|PF 1||＝4，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝9，经检验，均满足题意，故选C. 答案：C6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为( )A.54 B ．52 C.23D ．54解析：依题意得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14.故双曲线的离心率为e ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝52.故选B.答案：B7．(2019·石家庄模拟)已知当m ，n ∈[－1,1]时，sin πm 2－sin πn 2<n 3－m 3，则以下判断正确的是( )A ．m >nB ．|m |<|n |C ．m <nD ．m 与n 的大小关系不确定解析：令f (x )＝sin πx 2＋x 3，x ∈[－1,1]∴f ′(x )＝π2cos πx 2＋3x 2≥0在[－1,1]上恒成立，∴f (x )在[－1,1]上单调递增， ∵sin πm 2－sin πn 2<n 3－m 3，∴sin πm 2＋m 3<sin πn 2＋n 3，即f (m )<f (n )．∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴m <n ，故选C. 答案：C8．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的增区间是( ) A ．(0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2C ．(π，2π)D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 解析：∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 经检验，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2时，f ′(x )>0，∴f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2.故选D.答案：D9．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2D ． 5解析：设PQ 与x 轴的交点为D ，连接OP ，如图所示， ∵|PQ |＝|OF |，∴PQ 也为圆的直径，则|PO |＝22c ，∴△OPF 是等腰直角三角形，又|OP |＝a ，|OF |＝c ，∴2a 2＝c 2，∴e ＝2，故选A. 答案：A10．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 解析：∵y ′＝3x 2－3≥－3， ∴tan α≥－3，∴0≤α<π2或2π3≤α<π，故选B.答案：B11．若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( )A.12<a <32 B ．12≤a ≤32 C ．a <12或a >32D ．a ≤12或a ≥32解析：不等式(x －a )2<1成立的充要条件是－1<x －a <1，即a －1<x <a ＋1. 由题意知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <32是B ＝{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤12，a ＋1≥32，∴12≤a ≤32.经检验a ＝12或a ＝32时是成立的．故选B.答案：B12．(2019·罗源月考)函数g (x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (2)＝0，当x >0时，x ·g (x )－f (x )<0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－2,0)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：令h (x )＝f (x )x，g (x )＝f ′(x )．∵f (x )为奇函数，∴h (x )为偶函数， ∴当x >0时，h ′(x )＝x ·g (x )－f (x )x 2<0，∴h (x )在(0，＋∞)上为减函数，h (2)＝f (2)2＝0，∴当x >2时，h (x )<0，∴f (x )<0.∵h (x )为偶函数，∴h (x )在(－∞，0)上为增函数， ∴当－2<x <0时，h (x )>0，f (x )<0，∴使f (x )<0成立的x 的取值范围为(－2,0)∪(2，＋∞)，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．(2019·天津卷)曲线y ＝cos x －x2在点(0,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－sin x －12，∴y ′|x ＝0＝－12，∴曲线y ＝cos x －x 2在点(0,1)处的切线方程为y －1＝－12(x －0)，即x ＋2y －2＝0.答案：x ＋2y －2＝014．已知命题p ：|x －1|<c (c >0)；命题q ：|x －5|>2，且p 是q 的既不充分也不必要条件，则c 的取值范围是________．解析：由|x －1|<c ，得1－c <x <1＋c ，∴命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}， 同理命题q 对应的集合B ＝{x |x <3或x >7}， 若p 是q 的充分条件，则1＋c ≤3或1－c ≥7， ∴c ≤2或c ≤－6，又c >0， ∴0≤c ≤2.∴如果p 是q 的既不充分也不必要条件，应有c >2. 答案：(2，＋∞)15．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则椭圆的标准方程为__________________．解析：由题意知，椭圆中半焦距c ＝2，即有m －n ＝4，又c a ＝12，∴a ＝4，即m ＝16，∴b 2＝a 2－c 2＝12，即n ＝12，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝116．有下列命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点；②“－12<x <0”是“2x 2－5x －3<0”的必要不充分条件；③“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的逆命题是真命题；④∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0.其中是真命题的有________(把你认为正确的命题都填上)．解析：对于①，双曲线与椭圆有相同的焦点(±34，0)，所以①正确；对于②，2x 2－5x －3<0的解集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <3，记B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0，显然B A ，所以②不正确；对于③，逆命题是：“若x ，y 中至少有一个为0，则xy ＝0”是真命题，所以③正确；对于④，Δ＝(－3)2－4×3＝－3<0，所以x 2－3x ＋3≠0，④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：“∀x ∈[1,3]x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵当x ∈[1,3]时，1≤x 2≤9. 又∀x ∈[1,3]x 2－a ≥0，∴a ≤1，由q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”， 可知Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0， 得a ≤－2或a ≥1.又p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ＝1或a ≤－2.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ＝1}．18．(12分)已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：由x 2－8x －20>0，得x <－2或x >10，∴p ：A ＝{x |x <－2或x >10}． 由x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，得x <1－a 或x >1＋a ， ∴q ：B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB .∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a ≥－2，1＋a ≤10，∴0<a ≤3，经检验当a ＝3时是成立的．∴正实数a 的取值范围是(0,3]．19．(12分)已知点P (2,0)，点Q 在曲线C ：y 2＝2x 上． (1)若点Q 在第一象限内，且|PQ |＝2，求点Q 的坐标； (2)求|PQ |的最小值．解：设Q (x ，y )(x >0，y >0)，则y 2＝2x . (1)由已知条件，得|PQ |＝(x －2)2＋y 2＝2，将y 2＝2x 代入上式，并变形得，x 2－2x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝2. ∴当x ＝2时，y ＝2. 所以点Q 的坐标为(2,2)．(2)由(1)得，|PQ |＝ (x －2)2＋y 2，其中y 2＝2x .所以|PQ |2＝(x －2)2＋2x ＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3(x ≥0)． 所以当x ＝1时，|PQ |有最小值 3.20．(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，∴g ′(x )＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 又g (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点． 所以f ′(x )在(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知，f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0. 由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点， 设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减． 又f (0)＝0，f (π)＝0，所以，当x ∈[0，π]时，f (x )≥0.又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax . 因此，a 的取值范围是(－∞，0]．21．(12分)(2019·海口月考)已知F 1(－1,0)和F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (m >0)与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．解：(1)∵F 1(－1,0)和F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，∴依题意得，c ＝1. 又2a ＝(1＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋32＝4，故a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知， Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 整理得m 2＝4k 2＋3.由条件可得，k ≠0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0，N (0，m )．∴S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12|m |·|m k |＝m 22|k |.①将m 2＝4k 2＋3代入①，得S △OMN ＝12·4k 2＋3|k |＝12⎝⎛⎭⎪⎫4|k |＋3|k |.∵|k |>0，∴S △OMN ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4|k |＋3|k |≥23，当且仅当|k |＝32，即k ＝±32 时等号成立，所以S △OMN 有最小值2 3.∵m 2＝4k 2＋3，∴m 2＝6.又m >0，解得m ＝6， 故所求直线方程为y ＝32x ＋6或y ＝－32x ＋ 6.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋1，g (x )＝2a ln x ＋1(a ∈R )． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)当a ＝e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g (x )≤kx ＋m ≤f (x )恒成立？若存在，请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－2a ln x (x >0)， ∴h ′(x )＝2(x 2－a )x.当a ≤0，h ′(x )>0，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值； 当a >0时，由h ′(x )>0，即x 2－a >0，解得x >a 或x <－a (舍去)， 由h ′(x )<0，即x 2－a <0，解得0<x <a ，∴h (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， ∴h (x )的极小值为h (a )＝a －2a ln a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)当a ＝e 时，由(1)知h (x )min ＝h (a )＝h (e)＝e －eln e ＝0， ∴f (x )－g (x )≥0，即f (x )≥g (x )，当且仅当x ＝e 时，取等号； ∵f ′(e)＝g ′(e)＝2e ，∴以(e ，e ＋1)为公共点，y ＝f (x )与y ＝g (x )有公切线， 切线方程为y ＝2e x －e ＋1，构造函数h (x )＝f (x )－(2e x －e ＋1)＝(x －e)2，显然h (x )≥0， ∴2e x ＋1－e≤f (x )，构造函数k (x )＝(2e x ＋1－e)－g (x )＝2e x －2eln x －e(x >0)， ∵k ′(x )＝2e ·x －ex， 由k ′(x )>0解得x >e ，由k ′(x )<0解得0<x <e ， ∴k (x )在(0，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增， ∴k (x )min ＝k (e)＝0，即有2e x ＋1－e≥g (x )， 从而g (x )≤2e x ＋1－e≤f (x )， 此时k ＝2e ，m ＝1－e.。
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单元优选卷（11）生活中的优化问题举例
1、某工厂要围建一个面积为的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长),2512m 其他三边需要砌新的墙壁,若使所用的材料最省,则堆料场的长和宽应分别为( )
A.32m,16m
B.30m,15m
C.64m,8m
D.36m,18m
2、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为
,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )31812343
y x x =-+-A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
3、把一个周长为的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高12cm 的比为(
)A. B. C. D. 1:21:π2:12:π
4、正三棱柱的体积是，当其表面积最小时，底面边长为( )
V D.3V 32V 34V 32V
5、把一个周长为12cm 的长方形纸片围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A. B. C. D.1:21:π2:12:π
6、方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( )
A.4
B.6
C.4.5
D.8
7、路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以2m/s 的速度从路灯在地面上的射影点开始C 沿某直线在地面上行走，那么人影长度的变化速度v 为( )
A. B. C. D.7m /s 207m /s 247m /s 221m /s 2
8、已知表面积为的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为( )
100πA. B. C. D.4000243π400081π400027π40009
π9、甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法：①前四年该产品年产量增长速度越来越快；
②前四年该产品年产量增长速度越来越慢；
③第四年后该产品停止生产；
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有( )
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③
10、如图,某飞行器在千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离千米处开始下降,已4A 10知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
A. 3131255
y x x =
-B. 3241255
y x x =-C. 33125
y x x =-D. 3311255y x x =-+11、如图,内接于抛物线的矩形,其中在抛物线上运动,在x 轴上运21y x =-ABCD ,A B ,C D 动,则此矩形的面积的最大值是________.
12、若曲线在点处的切线经过坐标原点,则__________.()1y x R α
α=+∈()1,2α=13、已知某物体的运动方程是(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则物体在时的加23s t t
=+4t =速度____________.
a =
14、在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长为__________.
x m
15、如图,两个工厂相距,变电站距都是,计划铺设动力线,先由,A B 0.6 km C ,A B 0.5km 沿的垂线至,再与相连, 点选在距__________处时,动力线最短.C AB D ,A B D AB km
答案以及解析
1答案及解析：
答案：A
解析：要使材料最省,则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场宽为,则长为
,因此新m x 512m x 墙总长,则.令,解得(舍去).故当512()2(0)L x x x x =+>2512'()2L x x
=-'()0L x =16x =16x =-时,取得最小值,此时长为
.16x =()L x 51232(m)16=
2答案及解析：
答案：C
解析：,令得或(舍去).
2'81y x x =-+0y '=9x =9x =-当时,,
()0,9x ∈0y '>当时,,
()9,x ∈+∞0y '<则当时,y 有最大值.
9x =即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.
3答案及解析：
答案：C
解析：
4答案及解析：
答案：C
解析：设底面边长为x ，侧棱长为，
l 则，∴，21sin 602V x l =⋅︒⋅2
3l x =∴223432sin 603V S S S x x l x =+=⋅︒+⋅⋅=
+表底侧令，∴，即43'=30V S -=表34x V =34x V =又当时，；当时，.
34)x V ∈'0y <3(4,)x V ∈+∞'0y >∴当时，表面积最小.
34x V =
5答案及解析：
答案：C
解析：设圆柱高为，底面半径为，
cm x cm r 则，圆柱体积，62x r -=π2
3261(1236)(06)24x V x x x x x -⎛⎫=π⋅=-+<< ⎪ππ⎝⎭
，当时，V 最大.3'(2)(6)4V x x =--π2x =此时底面周长为4，底面周长：高.
4:22:1==
6答案及解析：
答案：A
解析：设底面边长为x ，高为h ，则，
2()256V x x h =⋅=所以，所以表面积，2256h x =22222561024()44S x x xh x x x x x
=+=+⋅=+所以.令，解得，所以.21024'()2S x x x =-
'()0S x =8x =225648h ==
7答案及解析：
答案：D
解析：如图，设人从点运动到点的路程为，时间为，为人影长度，长为C B m x s t AB AB .由于，
m y //DC BE 则，即.AB BE AC CD
= 1.6185y y x ==+又，∴，∴.2x t =1142y x t =
=1'm /s 2v y ==
8答案及解析：
答案：B
解析：设球的半径为R ，内接圆锥的底面半径为r ，高为h ，
由题意知，，解得，
24100R π=π5R =
，
5)r <≤
所以，
5h =+
所以该圆锥的体积.21(53
V r =π+
设，
5)t t =≤<则.23211(25)(5)(525125)(05)33
V t t t t t t =π-+=π--++≤<
所以，211'(31025)(35)(5)33
V t t t t =π--+=-π-+当时，，503
t ≤<'0V >当时，.553
t <<'0V <所以当时，，故选B.53t =
max 400081
V =π 9答案及解析：
答案：B
解析：增长速度是年产量对时间的导数，即图像中切线的斜率.由图像可知，②④是正确的.
10答案及解析：
答案：A
解析：根据题意,知所求函数在上单调递减,
(5,5)-对于,,A 3131255
y x x =-∴22333'(25)1255125y x x =-=-∴,,
(5,5)x ∀∈-0y '<∴在内为减函数,3131255
y x x =-(5,5)-同理可验证B,C,D 均不满足此条件,故选A.
11答案及解析：
解析：设，则点，CD x =2,0,,122
4x x x C B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴矩形的面积.ABCD 231()1,(0,2)44x S x x x x x ⎛⎫=⋅-=-+∈ ⎪⎝
⎭由，得，23'()10
4S x x =-+=x
此时，()S x
12答案及解析：
答案：2
解析：,
1y x
αα-'=∴.1|x y α='=曲线在点处的切线方程为,
()1,2()21y x α-=-将点代入方程,得.
()0,02α=
13答案及解析：答案：67m /s 32
解析：路程关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是加速度，所以.23
36'2,'2v s t a v t t ==-==+当时，.4t =236672(m /s )432a =+
= 14答案及解析：
答案：20
解析：设矩形花园的宽为,
y m 则,404040
x y -=所以,
40x y +=所以面积,2
4002x y S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭当且仅当时等号成立,
20x y ==即当时面积最大.
20x =
15答案及解析：
解析：设,垂足为,的长为.
CD AB ⊥E DE xkm 由,得.0.6,0.5AB AC BC ===0.3AE EB ==
∴.
0.4CE ===∴.
0.4CD x =-
∴.
AD BD ====∴动力线总长.
20.090.4l AD BD CD x x =++=+-令,22220.09'2120.090.09x x l x
x -+=-=++即.解得∵)220.09x x -+3x =0x >当时, ;当, .3x <'0l <3x >'0l >∴在.l 3x =。