平行线分线段成比例定理的_典型例题
初三数学平行线分线段成比例专题练习题
平行线分线段成比例专题练习题
3．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）
A.
AD CE BC DF = B. AD BC BE AF = C. AB CD CD EF = D. AD DF BC CE =
5．如图，已知EF CD AB ////，5:3:=AF AD ，12=BE ，那么CE 的长等于（ ）．
A ．536
B ．524
C ．215
D ．29
9．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若1
2AD
DB =，则下列结论中
正确的是（ ）
A ．1
2AE
EC = B ．1
2DE
BC =
C ．1
=3ADE ABC △的周长△的周长 D ．1
=3ADE ABC △的面积△的面积
11．如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，则
EC=_______.
14．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连结AE ．
E D
C
B A
（1）若AB=AE ， 求证：∠DAE=∠D ；
（2）若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ︰FA 的值．
16．如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD=4，DB=8，DE=3．
（1）求的值；
（2）求BC的长．
19．如图，梯形ABCD中，DC//EF//AB，AC交EF于G．若AE=2ED，CF=2cm，那么CB的长是多少？
20．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=3：2，BC=20㎝，求FC的长．
3。
平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用
平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用广西桂林市灌阳县新街初级中学541604唐荣保随着中学新课改的不断推进,数学教学上,也一改以往"记定理,解死题"的"传统",开始重视培养学生灵活运用熟知的数学定理解决日常生活中实际问题的能力.教学不再是套公式,死运算的陈旧芝麻,而是融生活性,趣味性,技巧性于一体.下面以平行线等分线段与分线段成比例这两个初中数学中常用的简单定理为例,看看它们在解决生活实际问题中的应用.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.如图1所示:即已知直线,:,,J,若AB=BC,则DE=E定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.平行线分线段成比例定理:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.如图1所示:图11,J2,J3即已知直线,J,,,J,,,贝0AB:BC=DE:EF.定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段成比例,可以等比例划分线段.上述两定理常用来解决近年出现的一些地形规划和均匀切割等要求学生利用尺规作图的生活实例题.正确理解和掌握定理,这一类题便迎刃而解,下面举例说明.例1正在修建的中山北路有一形状如图2所示的三角形空地需要绿化.拟从点A出发,将AABCB分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草.请你帮助规划出方案(保留作图痕迹,不写作法).点拨分析题意知应使以A为顶点,高为h的三角形面积相等,由三角形面积公式知应将底边BC三等分.过点作射线BM.BE:EF=FG.EEt}GCFFtGC,由平行线等分线段定理可得BE=EF=FC.作法:1.过点B作射线BM,在BM上顺次截取BE:EF=FG:2.连结GC;3.分别过点E,F作EE∥GC,FF∥GC,交BC于E,F;4.连结AE,AF;则△A的,/XAEF,AAFC为所求作的三角形.例2某工厂需将一块长50cm,宽40cm的长方形钢板ABCD精确地分成九个面积相等的小长方形,请用一把长60cm的刻度尺完成(保留作图痕迹),并说明理由.点拨由题意知须分别三等分钢板的长,宽,由平行线等分线段定理即可作出.作法:1.将一长60cm的直尺EF的两头分别放在4D,BC上;2.在钢板上分别点出EF的三等分点P,Q使EP=20ClTI,EQ=40cm;3.平移EF至EF,点出三等分点P,Q使EP=20cm,EQ:40cm;4.分别连结P,P,Q,Q作直线0,n;同理可作直线b,b.因此由直线n,o,b,b将长方形钢板精确地分成九等分(图3所示).例3两户人家分一块梯形稻田CABCD(如图4),一户两口人,另一户三口人,要求按人口数平均分配,并且所分得的稻田都要从与AD相邻的水渠引水灌溉,问应如何分./'/.,//,,/a',,譬≮Jp,lfD,,,a/?Q'i,,,,/6～,,,,b,,,图3,/,,,G,,^图中学数学杂志2010年第8期舅舅目缓蹴舅名舅舅配?要求精确作图(保留作图痕迹,不写作法),阐述分配方法的合理性.畏,,M',,.,～,CG图4点拨根据题意分析知两户人家所分得的田块是以AD为上底,BC下底,面积比为2:3的梯形, 由梯形的面积公式知在高为h的情况下需分别把AD,BC分成长度为2:3的两段,利用平行线分线段成比例定理即可作出.合理性:梯形ABCD的高为h,1,).s两口之家=÷×詈(AD+Bc)h,一1s三口之家=寺×÷(AD+Bc)h,.,故.s两口之家:S三口之家2:3.数学来源于生活,并且应用于生活.从上述三例可以看出,数学教学应朝着培养学生运用所学知识解决生活中实际问题的方向发展,而不应拘泥于繁琐的代数运算和几何证明.在大力提倡素质教育的今天,学生所学能为用,素质教育理念的真谛才能得到贯彻.作者简介唐荣保,男,广西桂林市人,1954年7月生, 中教一级.聚焦中考数学中的"课题学习"问题安徽蒙城县双涧中学233521张雷"课题学习"是全日制义务教育《数学课程标准(实验稿)》在"实践与综合应用"课程领域设置的全新的课程内容,帮助学生综合运用已有的知识和经验,经过自主探索和合作交流,解决与生活经验密切联系的,具有一定挑战性和综合性的问题,以发展学生解决问题的能力,加深学生对"数与代数", "统计与概率","空间与图形"内容的理解,体会各部分内容之间的联系.《课程标准》认为:数学本身就是一个过程,只有通过大量的数学活动,学生才能形成对数学的全面的认识.因此过程本身就是一个课程目标."课题学习"问题已经成为近年来各地中考命题的热点,值得关注.但实际教学中很多教师对这类问题却有无从下手之感,现结合近两年年中考试题举例说明一下这类问题的常见考查类型及解法,以期待对教学有实际帮助.1中考对"课题学习"的评价在中考中较为注重通过"重要数学活动经验" 和"数学基本思想"的考查来了解"课题学习"的教学情况.数学活动考查的主要方面包括:数学活动过程中所表现出来的思维方式,思维水平,对活动对象,相关知识与方法的理解深度;从事探究与交流的意识,能力和信心等;能否通过观察,实验,归纳,类比等活动获得数学猜想,并寻求证明猜想的合理性; 能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程.2中考对"课题学习"的考查呈现方式一般呈现的方式有:1.设置情境,探究结论,然后利用如探究出结论求解给出问题;2.设置多层次的问题,"暴露"数学活动过程;3.迁移活动过程中的思想方法,间接考查学生的数学活动过程;4.通过试题解答的结果,进行数学活动过程的考查;5.设计一些包含活动过程的问题,在活动中进行有关过程性目标的考查.2.1突出迁移应用《课程标准》强调"从学生已有的生活经验出49。
（完整版）平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含标准答案..
1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图 第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图 第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。
平行线分线段成比例定理基础练习
《平行线分线段成比例》练习3．填空题（1）如图8， 则 ＝________， ＝________； （2）如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________；（3）如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝___ ___，EG ＝________；（4）如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________，DB ＝________；4．如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值.5、如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB6、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．6、如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：A F ·BD ＝ AD ·F D(如图2-2)已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点 且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB.图形的相似练习OPN M C B A 21//l l DE AD ACAB图11 图10 图9 图81．两地实际距离是3500米，画在图上距离是5厘米，则比例尺为______． 若在地图上量得为6厘米，实际距离为______米． 2．已知：,346xy z 那么3242x yz x＝______． 3．若a 、b 、c 表示三条线段，且a ＝2511, b ＝25+11, c 是a 、b 的比例中项，则c ＝______．4．若(a －b ) : b ＝2 : 3. 则a : b ＝______．5．如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于D ，BC ＝6，AB ＝9，求DE ．6．已知：如图，若AB ∥A ′B ′, BC ∥B ′C ′． 求证：AC ∥A ′C ′．（1）成比例线段。
平行线分线段成比例定理的_典型例题
平行线分线段成比例的一些学习技巧平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知，则=（2）如果，那么的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10分析本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比例式或，从，又能求出，也得到比例式等等.例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解过D作DG∥CA交BF于G，则中点，DG∥AF，例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求的值.解设则三式相加，得当时，有时，则，这时原式=例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.证明DE∥AC，∥，..BF∥AE.。
初三数学平行线分线段成比例专题习题
7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．AB=l，BC=3，DE =2，那么EF'的长为〔〕
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图， ∥ ∥ ，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F． ，那么 的值为〔〕
考点：平行线分线段成比例．
20．8．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，AD：DB=3：2，得到 ，再由EF∥AB， ，可设BF=3k，FC=2k，得到BC=BF+FC=5k=20cm，解出k的值即可得到FC的长．
试题解析：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴ ，∵EF∥AB， ，设BF=3k，FC=2k，∴BC=BF+FC=3k+2k=5k，又BC=20cm，∴5k=20，k=4，∴FC=2k=8．
求证：〔1〕△ACE≌△BCD；
〔2〕 .
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3．
〔1〕求 的值；
〔2〕求BC的长．
17．如图，a∥b∥c，
〔1〕假设AC=6cm，EC=4cm，BD=8cm，那么线段DF的长度是多少厘米？
〔2〕假设AE：EC=5：2，DB=5cm，那么线段DF的长度是多少厘米？
〔3〕∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面积的比= ，
可得： ．
考点：相似形综合题．
19．6cm．
【解析】
试题分析：由平行线的性质可得 ， ，进而再由题中条件即可求解BC与GC的长．
试题解析：∵DC∥EF∥AB，∴ =2，又AG=5cm，∴GC=2．5cm． ，CF=2cm，
∴BC=6cm．CB的长是6cm．
平行线分线段成比例练习题
平行线分线段成比例练习题
1．选择题：
(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( )
A．B．C．D．
(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值
为( )
A．2 B．3C．D．
(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )
A．B．C．D．
(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )
A．B．C．D．
(5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )
A．B．C．D．
(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )
A．B．C．D．
2．已知：如图，△ABC中，DE∥BC.
(1)若AD=3，DB=5，AE=2.25，求EC的长；
(2)若AB=5，AD=2，AC=4，求EC的长；
(3)若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD与DB的长.
3．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE 的长.
4．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC的面积的，
求EC的长.
1．(1)D (2)B (3)D (4)C (5)D (6)C
2．(1)EC=3.75；(2) EC=2.4；(3)6，9
3. 0.6a
4. 0.5。
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平行线分线段成比例的一些学习技巧
上海金山初级中学庄士忠 201508 平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知，则=
（2）如果，那么的值是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
分析本考题主要考查比与代数式比的互换.
第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化
成比的形式，便有
对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.
例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .
分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、
、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的
第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比
例式或，从，又能求出，也得到比
例式等等.
例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.
分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线. 解过D作DG∥CA交BF于G，
则中点，DG∥AF，
例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：
分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.
证明AC∥EF∥BD，
.
说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.
例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求
的值.
解设
则
三式相加，得
当时，
有
时，则，这时
原式=
例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行
线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.
证明DE∥AC，
∥，.
.
BF∥AE.。