2019-2020年高三第一次模拟考试(数学文)

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2019年湖北普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(文)试题

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题卷

注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上并在指定地方粘贴条形码。 2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。 3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. CBACBA)(7,3,5,4,2,6,4,2,1则已知集合( ) 4,3,2.A 7,4,3.B 7,4,3,2.C 7,4,3,2,1.D

2. i是虚数单位，则复数ii121的模为（）

10.A 10.B 410.C 2

10.D

3. 已知双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为4，焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（） A. xy43 B. xy34 C. xy21212

D.xy221 4. 《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、

坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）

81.A 41.B 83.C 21.D

5.设函数1,21),2(log21)(12xxxxfx，则)2019(log)2(2ff（）． A.1011 B.1010 C.1009 D.1012 6.等差数列na中，已知,35,973SS则5S( ) 20.A 30.B 15.C 10.D

甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |-1＜x ＜1}，B ={x |x 2-x -2＜0}，则（∁R A ）∩B =（）A. (−1,0]B. [−1,2)C. [1,2)D. (1,2]2. 已知命题p ：“∀a ＞0，有e a ≥1成立”，则￢p 为（）A. ∃a ≤0，有e a ≤1成立B. ∃a ≤0，有e a ≥1成立C. ∃a >0，有e a <1成立D. ∃a >0，有e a ≤1成立3. 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x>0)，则f[f(14)]的值是（） A. 9 B. 19 C. −19 D. −94. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A. p ∧qB. ￢p ∧￢qC. ￢p ∧qD. p ∧￢q5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A. y =x 3B. y =cosxC. y =1x 2D. y =ln|x| 6. 函数f （x ）=-1x +log 2x 的一个零点落在下列哪个区间（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7. 已知a =log 23，b =log 123，c =3−12，则（） A. c >b >aB. c >a >bC. a >b >cD. a >c >b 8. 曲线y =x x−2在点（1，-1）处的切线方程为（）A. y =x −3B. y =−2x +1C. y =2x −4D. y =−2x −3 9. 函数y =x 33x −1的图象大致是（）A. B.C. D.10. 若函数y =x 2-3x +4的定义域为[0，m ]，值域为[74，4]，则m 的取值范围是（） A. (0,4] B. [32,4] C. [32,3]D. [32,+∞)11.若函数f(x)=−12(x−2)2+alnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. .[−1,+∞)B. (−∞,−1]C. (1,+∞)D. .(−∞,1]12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2；当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（）A. 336B. 337C. 338D. 339二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（x2-2x-8）的单调递减区间是______．14.已知a＞0且a≠1，函数y=log a(2x−3)+√2的图象恒过定点P，若P在幂函数f（x）的图象上，则f（8）=______．15.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，若f（x-2）＞f（3），则x的取值范围是______．16.（理科）若函数f（x）满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求值(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8；（2）函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，求f（m）的值．18.设f（x）=x3-x．（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设x∈[-1，1]，求f（x）最大值．19.已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2-a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20.已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．21.已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．22.已知函数f（x）=2a ln x-x2+1．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤-1或x≥1}，（∁R A）∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：C．先求出集合A，B，从而求出∁R A，进而能求出（∁R A）∩B．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】B【解析】解：=f（log2）=f（log22-2）=f（-2）=3-2=，故选：B．因为，所以f（）=log2=log22-2=-2≤0，f（-2）=3-2=，故本题得解．本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．4.【答案】D【解析】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．5.【答案】D【解析】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．故选：D．分别判断每个函数的奇偶性和单调性．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和单调性．6.【答案】B【解析】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．7.【答案】D【解析】解：由对数函数y=log2x的图象与性质，得log23＞log22=1，∴a＞1；由对数函数y=x的图象与性质，得3＜1=0，∴b＜0；又∵c==，∴0＜c＜1；∴a＞c＞b．故选：D．利用对数函数的图象与性质，得a＞1，b＜0；利用幂的运算法则，得出0＜c＜1；即可判定a、b、c的大小．本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用对数函数的图象与性质以及1与0等数值比较大小，是基础题．8.【答案】B【解析】解：对于函数y=，∵y′=，∴y在点（1，-1）处的导数为-2，故y=在点（1，-1）处的切线斜率为-2，故y=在点（1，-1）处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1，故选：B．先求得y在点（1，-1）处的导数为-2，利用点斜式求得函数y在点（1，-1）处的切线方程．本题主要考查函数在某一点的导数的意义，求曲线在某一点切线的方程，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→-∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D，故选：C．根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．10.【答案】C【解析】解：y=x2-3x+4=x2-3x++=（x-）2+，定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大，即y最大=4，又值域为〔，4〕，根据二次函数的对称性，≤m≤3，故选：C．先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：函数，x∈（1，+∞），可得f′（x）=x-2+，函数在（1，+∞）上是减函数，可得-x+2+＜0，在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x2-2x在x∈（1，+∞）上恒成立，函数g（x）=x2-2x的对称轴为：x=1，在x∈（1，+∞）上是增函数，函数的最小值为：g（1）=1．可得a≤1．实数a的取值范围是：（-∞，1]．故选：B．求出函数的导函数，利用导函数的符号，得到a的不等式，然后求解实数a的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查计算能力以及转化思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，∵f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=336+f（1）+f（2）+f（3）=338．故选：C．根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．13.【答案】（-∞，-2）【解析】解：对于函数f（x）=ln（x2-2x-8），有x2-2x-8＞0，求得x＜-2，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜-2，或x＞4}，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得y=x2-2x-8在定义域内的减区间为（-∞，-2），故答案为：（-∞，-2）．由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质可得，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．14.【答案】2√2【解析】解：∵log a1=0，∴2x-3=1，即x=2时，y=，∴点P的坐标是P（2，）．由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=，f（8）=故答案为：2．由log a1=0，知2x-3=1，即x=2时，y=，由此能求出点P的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，然后求解函数值．本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．仔细解答，避免出错，15.【答案】（-1，5）【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，∴不等式f（x-2）＞f（3）等价为f（|x-2|）＞f（3），则|x-2|＜3，即-3＜x-2＜3，则-1＜x＜5，即不等式的解集为（-1，5）．故答案为（-1，5）．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．]16.【答案】(0，12【解析】解：①x∈[0，1]时，f（x）=x，g（x）=x-mx-m，要使g（x）有零点，则必须有g（0）g （1）＜0，即m（2m-1）＜0，∴0＜m＜，若m=0，g（x）=x，有一个零点0；若m=，g（x）=，有一个零点1，∴m∈[0，]②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=，g（x）=-mx-m，g（0）=-mg'（x）=m=0，g（x）单调减，g（0）=0，此时无零点若m＞0，则g′（x）＜0恒成立，x∈（-1，0）时，x→-1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=-m ＜0∴此时在（-1，0 ）上必然有一个零点若m＜0，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点，综上所述：0＜m故答案为：确定分段函数的解析式，分别研究它们的零点，即可得到结论．本题考查分段函数的解析式，考查函数的零点，解题的关键是确定分段函数的解析式．17.【答案】解：（1）根据题意，(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8=1+14×23−1 2log23×32log32=1+16−34=512，（2）根据题意，函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，则有m2-m=3+m，解可得：m=3或m=-1．当m=3，时f（x）=x-1在x=0无意义，舍当m=-1时f（x）=x3符合，则f（x）=x-1，故f（m）=f（-1）=（-1）3=-1．【解析】（1）根据题意，由指数幂的运算性质分析，计算即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得m2-m=3+m，解可得m的值，验证函数f（x）是否为奇函数可得m 的值，即可得函数的解析式，将m 的值代入解析式分析可得答案．本题考查幂函数的性质以及应用，（2）中关键是求出m 的值，属于基础题． 18.【答案】解：（1）f （x ）=x 3-x ，f ′（x ）=3x 2-1，切线斜率f ′（1）=2，∴切线方程y =2（x -1），即2x -y -2=0；（2）令f ′（x ）=3x 2-1=0，x =±√33，列表：故x =-√33，f （x ）max =2√39．【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，得到极值点，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值与端点值，即可得到函数的最大值．本题考查了导数的综合应用及函数的最值问题，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，令f （x ）=x 2-a ，根据题意，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可，也就是1-a ≥0，解得a ≤1，∴实数a 的取值范围是（-∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a ≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a ≤-2或a ≥1． ∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 必然一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，{−2<a <1a≤1⇒−2＜a ＜1，当命题p 为假，命题q 为真时，{a ≤−2或a ≥1a>1⇒a ＞1，综上：a ＞1或-2＜a ＜1．【解析】（1）由于命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a≥0”，令f （x ）=x 2-a ，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a 的取值范围．由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是[0，3]，所以{0≤x+2≤30≤2x≤3，解之得0≤x≤1．于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．（8'）∵x∈[0，1]，即2x∈[1，2]，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值-4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值-3．（12'）【解析】（1）由f（x）=2x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定义域．（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．由2x∈[1，2]，能求出函数g（x）的最大值和最小值．本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21.【答案】解：（1）f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，−b2=5，c2=0，解得b=-10，c=0，∴f（x）=2x2-10x；（2）f（x）+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立，∴2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0．设g（x）=2x2-10x+t-2≤0，则由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，∴g（x）max=g（-1）=10+t≤0，解得t≤-10．【解析】（1）由题意可得，0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，然后利用根与系数的关系列式求得b，c的最值，则f（x）的解析式可求；（2）把问题转化为2x2-10x+t-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）=2x2-10x+t-2在[-1，1]上的最大值小于等于0恒成立，由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，求其最大值后利用最大值小于等于0列关于t的不等式求解．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求二次函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2ln x-x2+1，f′(x)=2x −2x=−2(x2−1)x，x＞0．令f′(x)=−2(x2−1)x＜0，解得：x＞1或x＜-1，因为x＞0，所以x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）f′(x)=2ax −2x=−2(x2−a)x，x＞0．令f'（x）=0，由a＞0，解得x1=√a，x2=−√a（舍去）．当√a≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f'（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当√a＞综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f(√a)=alna−a+1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

湖南省三湘名校2019届高三第一次大联考数学(文)试卷含答案

三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为A. (-3,-2]B. (-2,3]C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λA.-3B. -1C.1D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 16 6.设Z a ∈，函数 a x e x f x -+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C.3个D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x =+2有交点的概率为21，则a = A. 41 B. 21 C. 1 D.29.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

2019-2020年江苏省高三模拟考试数学试卷

高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．圆锥侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{－1，0，2，3}，则A ∩B ＝________．2. 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________．3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________．5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．6. 抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为________．7. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．8. 已知函数f(x)＝12x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．9. 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 10. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．11. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n}也为公差为d 的等差数列，则d ＝________．12. 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1x ＋4y，则x ＋y 的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式xf ′(x )－af (x )≤2对一切x ∈R 恒成立，则b ＋c a的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.(1) 求cos B 的值；(2) 若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N.(1) 求证：BC ⊥平面VCD ； (2) 求证：AD ∥MN.17. (本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A ，B ，C ，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D ，规划要求楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值；(2) 当楼宇D 与楼宇B ，C 间距离相等时，拟在楼宇A ，B 间建休息亭E ，在休息亭E 和楼宇A ，D 间分别铺设鹅卵石路EA 和防腐木路ED ，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a ，2a(单位：元/千米，a 为常数)．记∠BDE ＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程； (3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k′.求证：k·k′为定值．19. (本小题满分16分)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64，数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b 1＋a 1b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围；(3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m .使得T m ＝2 019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a ln x －bx(a ，b ∈R )．(1) 若a ＝1，b ＝1，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2) 若a ＝1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(3) 若b ＝1，已知函数y ＝f (x )在其定义域内有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2.不等式a <(1－m )x 1＋mx 2(m >0)恒成立，求实数m 的取值范围.2019届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象在x ＝5π12处的切线方程．22. (本小题满分10分)已知定点A(－2，0)，点B 是圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0上一动点，求AB 中点M 的轨迹方程.23. (本小题满分10分)在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点． (1) 求直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1DC 1A 1的余弦值．24. (本小题满分10分)已知x ，y 为整数，且x>y>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，n 为正整数，cos θ＝x 2－y 2x 2＋y 2，sin θ＝2xyx 2＋y 2，记A n ＝(x 2＋y 2)n cos nθ，B n ＝(x 2＋y 2)n sin nθ.(1) 试用x ，y 分别表示A 1，B 1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n ，A n 均为整数．2019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1. {0，2}2. {x|x ≤2}3. 154. 85. 3π36. 657. 128. (2，3)9. －78 10. 13 11. 12 12. 313. [－2，2] 14. ⎣⎡⎭⎫－16，＋∞ 15. (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，(1分)且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)则3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A ，(5分) 又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分) 则cos B ＝13.(7分)(2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.(9分)因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝c ＝2，(10分) 又S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223＝22，解得a ＝3.(12分)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b ＝3.(14分)故边b 的值为3.16. (1) 在四棱锥V ABCD 中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分)因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分) 又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)(2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，(8分) 又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC ，(11分)又平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ，AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB ＝AC ＝BC ＝2，(1分)因为楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，所以∠BDC ＝120°，(2分)在△BDC 中，因为BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD·DC·cos ∠BDC ，(3分)所以22＝BD 2＋CD 2－2BD·CD·cos 120o ＝BD 2＋CD 2＋BD·CD ≥2BD·CD ＋BD·CD ＝3BD·CD ，则BD·CD ≤43，(4分)当且仅当BD ＝CD 时等号成立，此时∠DBC ＝∠DCB ＝30°，BD ＝CD ＝1cos 30°＝233.区域最大面积S ＝S △ABC ＋S △BCD ＝12×2×2×sin 60°＋12BD·CD·sin 120°＝433(平方千米)．(7分)(或者：因为直角三角形△ABD ，△ACD 全等，区域最大面积S ＝S △ABD ＋S △ACD ＝2S △ABD ＝2×12AB·BD ＝433(平方千米)．(7分))(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y 元，在Rt △BDE 中，由(1)知，∠BDE ＝θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，(8分) 则DE ＝233cos θ，BE ＝233tan θ，AE ＝AB －BE ＝2－233tan θ，(9分)所以y ＝2a·ED ＋a·AE ＝2a ⎝⎛⎭⎫233cos θ＋a·⎝⎛⎭⎫2－233tan θ＝23a 3⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋2a ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，令f′(θ)＝－1＋2sin θcos 2θ＝0，解得θ＝π6∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(11分) 当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数．所以当θ＝π6时，f(θ)取最小值，此时y min ＝4a(元)．(12分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值为433平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a 元．(14分) 18. (1)由长轴长2a ＝4，准线间距离2×a 2c ＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分) 则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.①(4分)(2) 若直线l 的斜率不存在，则EF ＝6， △AEF 的面积S ＝12AD·EF ＝362不合题意；(5分)若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，②代入①得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，③因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则x 1，2＝4k 2±223k 2＋22（1＋2k 2），④(6分)EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x1－x 2|＝1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2.(7分)点A 到直线l 的距离d 为3|k|1＋k 2，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，(9分)解得k ＝±1.综上，直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.(10分) (3)设直线AE ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得点N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，5y 12（x 1＋2）＋5y 22（x 2＋2）.(12分)所以直线QD 的斜率为k′＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分)而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝ k ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.(14分)由(2)中③得，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分)y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k . 则k′＝－56k，所以k·k′＝－56为定值．(16分)19. (1) 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1，(2分)当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，① a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2，② 由①－②得，a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)(2)不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n <12n ＋1，因为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n >0，当λ≤0时，不等式显然成立；(5分)当λ>0时，则不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1λ，设f(n)＝(1－12)(1－14)…(1－12n )2n ＋1，则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12…⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3⎝⎛⎭⎫1－12…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1＝2n ＋1·2n ＋32n ＋2＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以1λ>f(n)max ＝f(1)＝32，则0<λ<233，综上λ<233.(8分)(3) 在数列{c n }中，从b 1至b k (含b k 项)的所有项和是：(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k －1)×2＝k （k ＋1）2＋2k ＋1－4.(10分)当k ＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，当k ＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分) 又因为2 019－1 065＝954＝477×2，(14分)所以当m ＝9＋(2＋22＋…＋28)＋477＝996时，T m ＝2 019. 即存在m ＝996，使得T m ＝2 019.(16分) 20. 当a ＝1，b ＝1时，f(x)＝ln x －x ，(1分) 则f′(x)＝1x －1，则f′(1)＝11－1＝0.(3分)又f(1)＝－1，则所求切线方程为y ＝－1.(4分)(2) 当a ＝1时，f(x)＝ln x －bx ，则f′(x )＝1x －b ＝1－bx x，(5分)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，①若b ≤0，则f′(x)>0恒成立，则函数f(x)的增区间为(0，＋∞)；(6分) ②若b>0，则由f′(x)＝0，得x ＝1b，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1b 时，f′(x)>0，则函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1b ；(7分) 当x ∈⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞时，f′(x)<0，则函数f(x)单调减区间为⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞.(8分) 综上，当b ≤0时，函数f(x)单调递增，增区间为(0，＋∞)；当b>0时，函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. (3) 因为x 1，x 2分别是方程a ln x －x ＝0的两个根，即a ln x 1＝x 1，a ln x 2＝x 2. 两式相减a(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1，则a ＝x 2－x 1ln x 2x 1，(9分)则不等式a<(1－m)x 1＋mx 2(m>0)，可变为x 2－x 1ln x 2x 1<(1－m)x 1＋mx 2，两边同时除以x 1得，x 2x 1－1ln x 2x 1<1－m ＋mx 2x 1，(10分)令t ＝x 2x 1，则t －1ln t <1－m ＋mt 在t ∈(1，＋∞)上恒成立．因为1－m ＋mt>0，ln t>0，所以ln t －t －11－m ＋mt>0在t ∈(1，＋∞)上恒成立，(11分)令k(t)＝ln t －t －11－m ＋mt ，则k′(t)＝（t －1）[m 2t －（m －1）2]t （1－m ＋mt ）2＝m 2（t －1）⎣⎡⎦⎤t －（m －1）2m 2t （1－m ＋mt ）2，①当（m －1）2m 2≤1，即m ≥12时，k′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立，则k(x)在(1，＋∞)上单调递增，又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒成立；(13分) ②当（1－m ）2m 2>1，即0<m<12时，当t ∈⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2时，k′(t)<0，则k(x)在⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2上单调递减，则k(x)<k(1)＝0，不符合题意．(15分) 综上，m ≥12.(16分)21. 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以y′＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，(4分) 所以函数图象在x ＝5π12处的切线斜率k ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝－6.(6分) 当x ＝5π12时，y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝0，(7分) 所以所求切线方程为y －0＝－6⎝⎛⎭⎫x －5π12，即y ＝－6x ＋5π2.(10分)22. 设点M(x ，y)，点B(x 0，y 0)．因为M 为AB 的中点，所以x ＝x 0－22，y ＝y 0＋02，(4分) 所以x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.(6分)将点B(x 0，y 0)代入圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0得(2x －2)2＋4y 2＝4，化简得(x －1)2＋y 2＝1. 即点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分)23. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，有AB ⊥AC ，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，故可以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分) 因为AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)．所以DC 1→＝(－1，2，3)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面A 1B 1D 的法向量，因为A 1B 1→＝(2，0，0)，B 1D →＝(－1，2，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n 1＝0，B 1D →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，－x 1＋2y 1－3z 1＝0，令y 1＝3，则x 1＝0，z 1＝2，所以平面A 1B 1D 的一个法向量为n 1＝(0，3，2)．(3分) 设直线DC 1与平面A 1B 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos DC 1→，n 1|＝1213×14＝618291，所以直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值为618291.(5分) (2) 由(1)知DC 1→＝(－1，2，3)，B 1C 1→＝(－2，4，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面B 1DC 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DC 1→·n 2＝0，B 1C 1→·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2y 2＋3z 2＝0，－2x 2＋4y 2＝0，令x 2＝2，则y 2＝1，z 2＝0，所以平面B 1DC 1的一个法向量为n 2＝(2，1，0)．(7分) 同理可以求得平面A 1DC 1的一个法向量n 3＝(3，0，1)，所以cos n 2，n 3＝610×5＝325，(9分) 由图可知二面角B 1DC 1A 1的余弦值为325.(10分)24. (1) A1＝(x2＋y2)cosθ＝(x2＋y2)·x2－y2x2＋y2＝x2－y2，(1分)B1＝(x2＋y2)sinθ＝(x2＋y2)·2xyx2＋y2＝2xy.(2分)(2) ①当n＝1时，由(1)得A1＝x2－y2，B1＝2xy.因为x，y为整数，所以A1，B1均为整数，所以结论成立；(4分)②当n＝k(k≥2，k∈N*)时，假设A k，B k均为整数，则当n＝k＋1时，A k＋1＝(x2＋y2)k＋1cos (k＋1)θ＝(x2＋y2)(x2＋y2)k(cos kθcos θ－sin kθsin θ)＝(x2＋y2)cos θ·(x2＋y2)k cos kθ－(x2＋y2)k sin kθ·(x2＋y2)sin θ＝A1·A k－B1·B k.(9分)因为A1，B1，均为整数，所以A k＋1也为整数，即当n＝k＋1时，结论也成立．综合①②得，对一切正整数n，A n均为整数．(10分)。

河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试文科数学试卷及解析

…………○………：___________班级：_____…………○………河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试文科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.1+3i2−4i =（） A. −12+12i B. 12−12i C. 12+12i D. −12−12i2.已知集合A ={x|2x >4}，B ={x|0<x −1≤5}，则(C R A)∩B=（）A. {x|2<x ≤5} B. {x|x ≤5} C. {x|1<x ≤2} D. {x|x >1}3.某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（）A. 10B. 12C. 18D. 204.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（） A. 39200m B. 39300m C. 39400m D. 39500m5.从区间[0,π]内任取一个实数x ，则sinx +√3cosx >1的概率为（）A. 13B. 12C. 23D. 346.设函数f(x)=e −x −e x −5x ，则不等式f(x 2)+f(−x −6)<0的解集为（）A. (−3,2)B. (−∞,−3)∪(2,+∞)C. (−2,3)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）答案第2页，总13页……线…………○……线…………○A. 28B. 30C. 36D. 428.设不等式组{x −4≤0x +y ≥3y −1≥0，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点P(x,y)∈N ，则z =2x +y的最小值为A. -9B. 9C. -7D. 7 9.若函数f(x)=ae x +sinx 在[−π2,0]上单调递增，则a 的取值范围为（）A. [−√22e π4,+∞) B. [−1,1] C. [−1,+∞) D. [0,+∞)10.已知点M(x,y)是抛物线y 2=4x 上的动点，则√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2的最小值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11.将函数f(x)=sin 4x +cos 4x 的图像向左平移π8个单位长度后，得到g(x)的图像，则g(x)=（） A.34−14sin4x B. 14−34sin4x C. 34−14cos4x D. 14−34cos2x 12.设a =log 23，b =log 34，c =log 58，则（）A. a>b >c B. a >c >b C. c >a >b D. c >b >a第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.若向量a ⃑⃑ ,b ⃑⃑ 满足|a |=3，且(a +b ⃑ )·(a −b⃑ )=4，则|b ⃑ |=__________． 14.设P 为曲线2x =√4+y 2上一点，A(−√5,0)，B(√5,0)，若|PB|=2，则|PA|=__________．15.在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA =√3AB ，E 为棱BC 上的动点，若PE+DE 的最小值为2√10，则PB =__________．16.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，(n +1)a n+1=(n −1)S n ，则S n =__________．…………外…………装…………○………○………姓名：___________班级：_____…………内…………装…………○………○………三、解答题（题型注释）17.ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知4csinC =(b +a)(sinB −sinA).（1）证明：b 2≥4ac ；（2）若b=3c ，且ΔABC 的周长为4+√5，求ΔABC 的面积.18.某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程y ∧=b ∧x +a ∧；（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额. （参考公式：b ^=∑x i y i −nxyn i=1∑x i2ni=1−n(x)2，^a =y −^bx ）19.如图，三棱柱ABC−A 1B 1C 1的所有棱长均为4，∠A 1AC =600，且A 1B =2√6.（1）证明：平面AA 1C 1C⊥平面ABC ；（2）求三棱锥C 1−A 1BC 的体积. 20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，|F 1F 2|=2，过点F 1的直线与椭圆C 交于A,B 两点，延长BF 2交椭圆C 于点M ，ΔABF 2的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；答案第4页，总13页（2）试问：是否存在定点P(x 0,0)，使得PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值？若存在，求x 0；若不存在，请说明理由. 21.已知函数f(x)=x 3−(a +2)x 2lnx +(a +3)x(a >0).（1）若a=2，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若f(x)>0，证明：0<a <e 2−3.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22t y =2+√22t，(t 为参数)，以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P(−1,2)，求|PA|⋅|PB|．23.已知函数f(x)=|x −1|+|x +2|．(1)求不等式f(x)<13的解集；(2)若f(x)的最小值为k ，且1m +k2n=1(m >0)，证明：m +n ≥16．参数答案1.A【解析】1.运用复数的除法运算法则求解1+3i 2−4i=(1+3i)(2+4i)(2−4i)(2+4i)=(1+3i)(1+2i)10=−12+12i故选A2.C【解析】2.先求解出集合A，然后再计算出C R A，最后计算出(C R A)∩B因为A={x|2x>4}={x|x>2}，∴C R A={x|x≤2}，又B={x|1<x≤6}，所以(C R A)∩B={x|1<x≤2}故选C3.B【解析】3.由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果设样本中的老年教师人数为x人，由分层抽样的特点得：30x=50%20%，所以x=12，故选B4.A【解析】4.将实际问题转化为数学中的数列问题，然后求出结果依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000×7+7×62×200=39200m.故选A5.B【解析】5.化简sinx+√3cosx>1得sin(x+π)>1，然后求解不等式，继而得到结果答案第6页，总13页由sinx+√3cosx >1，得sin(x +π3)>12，因为x ∈[0,π]，所以x ∈[0,π2]，由几何概型可知所求概率P =π2π=12，故选B6.D【解析】6.先判断函数是奇函数，结合函数单调性，转化求解不等式由f (x )=e −x −e x −5x ，得f (−x )=e x −e −x +5x =−f(x)则f(x)是奇函数，故f(x 2)+f(−x −6)<0 ⇔f(x 2)<−f(−x −6)=f(x +6).又f(x)是减函数，所以f(x 2)<f(x +6)⇔x 2>x +6，解得x <−2或x >3，故不等式f(x 2)+f(−x −6)<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，故选D7.D【解析】7.由几何体的三视图还原几何体，然后求出几何体的表面积该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以S 前后=12+12=24，S 左右=3+3=6，S 上下=6+6=12，从而S 表面=24+6+12=42.故选D8.C【解析】8.由不等式组表示出可行域，然后得到区域N ，继而求出结果作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线z =2x +y 经过点(−4,1)时，z 取得最小值-7故选C9.D【解析】9.由函数是增函数，求导后分离参量，再次运用导数求出最值依题意得：f′(x)=ae x +cosx ≥0，即a ≥−cosx e x 对x∈[−π2,0]恒成立，设g(x)=−cosx e ，g′(x)=√2sin(x+π4)e ，当x∈[−π2,−π4)时，g′(x)<0；当x∈(−π4,0]时，g′(x)>0，故g(x)max =max{f(−π2),f(0)}=0，则a ≥0.故选D 10.A【解析】10.将√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2转化为点到点的距离，运用几何意义求解因为√(x −1)2+y 2表示点M(x,y)到点F(1,0)的距离，即点M(x,y)到抛物线y 2=4x 的准线x =−1的距离，因为√(x −2)2+(y −1)2表示点M(x,y)到点A(2,1)的距离，所以√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2的最小值为点A(2,1)到抛物线y 2=4x 的准线x =−1的距离3，即(√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2)min=3.故选A 11.A【解析】11. 先化简f (x )=sin 4x +cos 4x =34+14cos4x ，然后再向左平移π8个单位长度，求出g(x)∵f(x)=(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2xcos 2x =1−2×1−cos2x2×1+cos2x2=34+14cos4x ，∴g(x)=f(x +π8)=34+14cos(4x +π2)=34−14sin4x .故选A 12.B【解析】12.利用对数的性质可将b,c 分别变形为lg64lg27,lg64lg25，从而可得b <c ，又log 23>32>log 58，从而可得a >c ，因此a>c >b ．b =log 34=log 2764=lg64lg27，c=log 58=log 2564=lg64lg25，因lg64>0,0<lg25<log27，故b <c ．又log 23−32=log 23232，因3>232，故3232>1，所以log 23−32>0．又log 58−32=log 53532，因8<532，故0<8532<1，所以log 58−32<0．答案第8页，总13页所以log 23>log 58，故a >c >b .选B ．13.√5【解析】13.由已知条件(a ⃑⃑ +b ⃑⃑ )·(a ⃑⃑ −b ⃑⃑ )=4，代入求出结果由 (a +b ⃑ )·(a −b ⃑ )=a 2−b ⃑ 2=9−|b ⃑ |2=4，|a |=3则|b⃑ |=√5. 14.4【解析】14. 化简曲线方程2x =√4+y 2，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果由2x=√4+y 2，得4x 2=4+y 2(x >0)，即x 2−y 24=1(x >0)，故P 为双曲线x 2−y 24=1(x >0)右支上一点，且A,B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA|−|PB|=2a =2，|PA|=2+2=4.15.4【解析】15.由已知条件将立体图形进行转化到共面，然后求解最小值时的结果易证：BC⊥平面PAB ，则BC ⊥PB ，将ΔPAB 沿棱BC 翻折至与底面ABCD 共面，如图所示，设AB =x ，则PB =2x ，当P′,D,E 三点共线时，PE +DE 取得最小值，故√x 2+3x 2=2√10，解得x =2，则PB =4.16.2n−1n【解析】16. 化简(n +1)a n+1=(n −1)S n 得(n+1)S n+1nS n=2，即{nS n }是等比数列，然后求出S n 的值∵(n +1)a n+1=(n −1)S n ，∴na n+1+S n+1=nS n ，∴n(S n+1−S n )+S n+1=nS n ，∴(n+1)S n+1nS n=2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n =2n−1，∴S n=2n−1n.17.（1）见解析；（2）√114.【解析】17.由正弦定理边角的互化，得到4c 2=b 2−a 2，再用基本不等证明结果由4c 2=b 2−a 2，b =3c ，代入化简求出c =1，再利用面积公式求出结果（1）证明：∵4csinC =(b +a)(sinB −sinA)，∴4sin 2C =sin 2B −sin 2A ，∴4c 2=b 2−a 2.从而b2=a 2+4c 2≥√2a 2×4c 2=4ac .（2）∵4c 2=b 2−a 2，b =3c ，∴a 2=5c 2，则a =√5c ，则a+b +c =(4+√5)c =4+√5，即c =1.从而cosA =32+12−52×1×3=56，则sinA=√116.故ΔABC 的面积S=12bcsinA =√114.18.（1）y ∧=5.8x +8.4；（2）164.4万元.【解析】18. (1)先计算出x =2+3+4+5+65=4，y =19+25+35+37+425=31.6，代入公式求出∑x i y i 5i=1=690，结合线性回归方程的表达式求出结果 (2)由线性回归方程计算出x =7、x =8、x =9时y 的值，然后计算出结果（1）由题意得：x =2+3+4+5+65=4，y =19+25+35+37+425=31.6， ∑x i y i 5i=1=2×19+3×25+4×35+5×37+6×42=690，b ^=∑x i y i −5xy5i=1∑x i25i=1−5(x)2=690−5×4×31.6(22+32+42+52+62)−5×42=5810=5.8，^a =y −^bx =31.6−5.8×4=8.4答案第10页，总13页………○………※※请※※不………○………故每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程y ∧=5.8x +8.4. （2）因为每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程y ∧=5.8x +8.4，所以当x =7时，y =5.8×7+8.4=49；当x =8时，y =5.8×8+8.4=54.8；当x=9时，y =5.8×9+8.4=60.6，则该药企今年第三季度这种新药的销售总额预计为49+54.8+60.6=164.4万元.19.（1）见解析；（2）8.【解析】19.（1）取AC 的中点D ，连接A 1D,BD ，然后解三角形证得BD ⊥AC ，A 1D ⊥BD ，A 1D ⊥平面ABC ，由面面垂直判定方法证明（2）由V C 1−A 1BC=V B−A 1C 1C ，计算出底面面积和高求出体积（1）证明：取AC 的中点D ，连接A 1D,BD . 因为AC=4，AA 1=4，∠A 1AC =600，所以ΔA 1AC 为等边三角形，A 1D ⊥AC ，A 1D =2√3，同理可证：BD⊥AC ，BD =2√3.因为A 1B =2√6，所以A 1D 2+BD 2=A 1B 2，则A 1D ⊥BD .因为BD∩AC =D ，所以A 1D ⊥平面ABC ，又A 1D ⊂平面AA 1C ，所以平面AA 1C 1C⊥平面ABC .（2）解：由题意得：A 1C 1=CC 1=4，∠A 1C 1C =600，则ΔA 1C 1C 的面积为12A 1C 1·CC 1·sin∠A 1C 1C =12×4×4×√32=4√3.由（1）易证，BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD =4×√32=2√3.故V C 1−A 1BC=V B−A 1C 1C =13S ΔA 1C 1C ·BD =13×4√3×2√3=8第11页，总13页20.（1）12,x 24+y 23=1；（2）存在点P ，且x 0=118.【解析】20. （1）由已知条件得c=1，a =2，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点P ，分别求出直线BM 的斜率不存在、直线BM 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果（1）由题意可知，|F 1F 2|=2c=2，则c =1，又ΔABF 2的周长为8，所以4a =8，即a =2，则e=c a=12，b 2=a 2−c 2=3.故C 的方程为x 24+y 23=1. （2）假设存在点P ，使得PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值. 若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为x =1，B(1,32)，M(1,−32)，则PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 0−1)2−94. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为y=k(x −1)，设点B(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，根据韦达定理可得：x 1+x 2=8k24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，由于PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2−x 0,y 2)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−x 0,y 1)，则PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2−(x 1+x 2)x 0+x 02+y 1y 2=(k 2+1)x 1x 2−(x 0+k 2)(x 1+x 2)+k 2+x 02=(4x 02−8x 0−5)k 2+3x 02−124k +3因为PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值，所以4x 02−8x 0−54=3x 02−123，解得x 0=118，故存在点P ，且x 0=118. 21.（1）y =4x +2； (2)见解析【解析】21. (1) 将a=2代入，求出曲线在点(1,f(1))处的切线方程的切线方程答案第12页，总13页(2)f(x)>0转化为x −(a +2)lnx +a+3x>0，构造新函数，求导后其最小值满足题意，代入求解出a 的取值范围（1）∵f′(x)=3x 2−4(2xlnx +x)+5，∴f′(1)=4，又f(1)=6，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −6=4(x −1)，即y =4x +2.（2）证明：∵f(x)>0，x ∈(0,+∞)，∴x −(a +2)lnx +a+3x>0.设ℎ(x)=x −(a +2)lnx +a+3x，ℎ′(x)=(x+1)(x−a−3)x 2(a >0)，当0<x <a +3时，ℎ′(x)<0；当x >a +3时，ℎ′(x)>0.从而ℎ(x)min =ℎ(a +3)=a +4−(a +2)ln(a +3)>0，即ln(a +3)<a+4a+2.∵a >0，∴a+4a+2=1+2a+2<2，∴ln(a +3)<2，则0<a +3<e 2，又a>0，∴0<a <e 2−3.22.（1）x+y-1=0, y =x 2；（2）2.【解析】22.(1)运用消参方法求出直线l 的普通方程，结合公式代入求出曲线C 的直角坐标方程 (2)运用参量代入计算，求出|PA|·|PB|的结果（1）直线l 的普通方程为：x +y −1=0.由ρcos 2θ=sinθ，得ρ2cos 2θ=ρsinθ，则y=x 2，故曲线C 的直角坐标方程为y =x 2.（2）将{x =−1−√22t y =2+√22t代入y=x 2，得t 2+√2t −2=0，则t 1t 2=−2，故|PA|·|PB|=|t 1t 2|=2.23.（1）(−7,6)；（2）见解析.【解析】23. (1)分类讨论x>1、−2≤x ≤1、x <−2三种情况下的解集(2)先求出f(x)的最小值为3，代入后运用基本不等式证明不等式成立（1）由f(x)<13，得|x −1|+|x +2|<13，第13页，总13页则{x >12x +1<13 或{−2≤x ≤13<13或{x <−2−2x −1<13 ，解得：−7<x <6，故不等式f(x)<13的解集为(−7,6).（2）证明：因为f(x)=|x −1|+|x +2| ≥|x −1−(x +2)|=3，所以k=3，因为1m +k 2n =1m +9n=1(mn >0)，所以m >0,n >0，m +n =(m +n)(1+9)=(10+n +9m)≥10+2√9=16当且仅当nm =9mn ，即m=4,n =12时取等号，故m +n ≥16.。

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷试题及答案(解析版)(文科)

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，0，2，3} 2．若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱5．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，均为单位向量，|+|＝，则（2+）•（﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．8．要得到函数的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．设a＝log43，b＝log86，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则＝（）A．﹣1B．C．D．111．设函数，若关于x的方程f（x）+m＝0对任意的m∈（0，1）有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为．14．已知向量，，且，则＝．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，，，则当S n 取最大值时，n的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝19，S5＝55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求A；（2）若D是BC边上一点，且BD＝3DC，，求tan C．19．设函数．（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．20．已知数列{a n}满足a n＞1且＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．设函数f（x）＝x2﹣ax+2+lnx．（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝3时，f（x）在[e n，+∞）（n∈Z）上存在两个零点，求n的最大值．22．已知函数f（x）＝e x+ax+a+2．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≤0时，f（x）≥2，求实数a的取值范围．2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，0，2，3}【解答】解：A＝[0，2]，∁U A＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），（∁U A）∩B＝{﹣1，3}．故选：B．2．若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，得z＝，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第三象限．故选：C．3．“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由log2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得﹣1＜x＜1，则“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，故选：A．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，∴在这个问题中，丙所得为1钱．故选：D．5．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x，则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，设g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sin x，则g′（x）＝2﹣2cos x≥0，即g（x）为增函数，排除D故选：C．6．已知，均为单位向量，|+|＝，则（2+）•（﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵，均为单位向量，且|+|＝，∴3＝，∴＝，则（2+）•（﹣）＝＝，故选：B．7．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．8．要得到函数的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数＝cos2x﹣＝＝sin（2x+），要得到f（x）的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位即可得到．故选：A．9．设a＝log43，b＝log86，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由指数函数y＝2x在R上单调递增，得20.1＞20，即c＞1，由对数函数y＝log4x，y＝log8x在（0，+∞）上单调递增，得：log41＜log43＜log44，log81＜log86＜log88，即0＜a＜1，0＜b＜1，∴c最大，又∵a＝log43＝log23＝log2，b＝log86＝3log26＝log2，且，∴a＜b，∴c＞b＞a，故选：D．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则＝（）A．﹣1B．C．D．1【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1﹣x）＝f（1+x），则f（x+1）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣3），则有f（x）＝f（x+4），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有；故选：A．11．设函数，若关于x的方程f（x）+m＝0对任意的m∈（0，1）有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：当x≤0时，∀m∈（0，1），e x﹣1＝﹣m有一根，∴当x＞0时，x2﹣ax＝﹣m有两根，作图可知，解得a≥2．故选：B．12．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：构造函数，则，∴F（x）在R上为增函数，又∵F（1）＝＝1，∴原不等式f（x）﹣e x＜0可化为F（x）•e x﹣e x＜0，∴e x[F（x）﹣1]＜0，∴F（x）＜1，∴F（x）＜F（1），又∵F（x）在R上为增函数，∴x＜1，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3），必有x2+2x﹣3＞0，解可得x＜﹣3或x＞1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），设t＝x2+2x﹣3，则y＝lgt，又由t＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而y＝lgt在区间（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故答案为：（﹣∞，﹣3）14．已知向量，，且，则＝．【解答】解：∵向量，，且，∴，∴sinα＝2cosα，∴sin2α+cos2α＝sin2α+α＝1，解得sin2α＝，∴＝﹣sinα（﹣sinα）＝sin2α＝．故答案为：．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝2．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即＝ln（e ax+1）﹣ax+bx＝ln（e ax+1）﹣bx，∴ax﹣bx＝bx，∴ax＝2bx，∴a＝2b，且b≠0，∴．故答案为：2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，，，则当S n 取最大值时，n的值为674．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，，，可得a n＝S n﹣S n﹣1＝S n S n﹣1，则﹣＝﹣1，可得＝﹣（n﹣1）＝，则S n＝，当1≤n≤674时，S n＞0；n≥675时，S n＜0．且1≤n≤674时，S n递增，当S n取最大值时，n的值为674．故答案为：674．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝19，S5＝55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设公差为d，则，解得，∴a n＝3+4（n﹣1）＝4n﹣1；（2），∴＝（﹣）＝．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求A；（2）若D是BC边上一点，且BD＝3DC，，求tan C．【解答】解：（1）∵由已知及余弦定理可得2（a2﹣b2）＝a2+c2﹣b2+bc，∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）∵，，可得∠DAC＝，可得sin∠DAC＝，∴在△ACD中，，在△ABD中，，∵BD＝3DC，∴3sin B＝2sin C，即，化简得．19．设函数．（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．【解答】解：（1）＝＝，∴f（x）的最小正周期T＝π，当，即时，f（x）取最大值为．（2）x∈，，结合正弦函数图象可得f（x）在区间上单调递增，在区间与上单调递减．20．已知数列{a n}满足a n＞1且＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由a n＞1，当n＝1时，，a1＝2，当n≥2时，＝，∴＝n2，∴，∵n＝1也适合，∴；（2），∴，，两式相减得＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴．21．设函数f（x）＝x2﹣ax+2+lnx．（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝3时，f（x）在[e n，+∞）（n∈Z）上存在两个零点，求n的最大值．【解答】解：（1）∵定义域为（0，+∞），，∵f（x）在其定义域上是增函数，∴f'（x）≥0，，∵，∴实数a的取值范围是．（2）当a＝3时，，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴f（x）在处取得极大值，在x＝1处取得极小值f（1）＝0，∴x＝1是一个零点，当x＞1，f（x）＞0，故只需且f（e n）≤0，∵，，∴n的最大值为﹣2．22．已知函数f（x）＝e x+ax+a+2．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≤0时，f（x）≥2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝e x+2，f（1）＝e+2．f'（x）＝e x，f'（1）＝e，∴切线方程为y﹣（e+2）＝e（x﹣1），即y＝ex+2．（2）当x≤0时，e x+ax+a+2≥2，即e x+ax+a≥0，令h（x）＝e x+ax+a，则h（0）≥0，a≥﹣1，当a＝0时，h（x）＝e x＞0，满足题意；当a＞0时，h'（x）＝e x+a＞0，∴h（x）在（﹣∞，0]上递增，由y＝e x与y＝﹣a（x+1）的图象可得h（x）≥0在（﹣∞，0]上不恒成立；当﹣1≤a＜0时，由h'（x）＝e x+a＝0，解得x＝ln（﹣a），当x＜ln（﹣a）时，h'（x）＜0，当ln（﹣a）＜x≤0时，h'（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，0]上的最小值为h（ln（﹣a）），∴h（ln（﹣a））＝aln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．综上可得实数a的取值范围是[﹣1，0]．。

2019届江西省新余市第一中学高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

2019届江西省新余市第一中学高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及。

【详解】由题意得，，∴，∴．故选C．【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。

2．欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由欧拉公式,可得=cos2+isin2，表示的复数在复平面中的象限.【详解】解：由欧拉公式，可得=cos2+isin2，此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，可得此点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查复数几何意义的应用，灵活运用所给条件求解是解题的关键.3．已知向量，，条件p：，条件q：，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】求出两向量平行的充要条件，再判断．【详解】，即，∴是的必要不充分条件．故选B．【点睛】向量，则，．4．函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解．【详解】由题意，由得，因此是一个零点，是一个对称中心．故选D．【点睛】对函数，由，，即对称中心为（），由，，即对称轴为（）．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（）A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，74【答案】C【解析】执行程序：,故输出的分别为故选：C6．已知数列的首项，满足，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.【详解】,,两式相加有；且，，，故答案为C.【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.7．已知满足约束条件，若的最小值为，则（）A．B．C．1 D．2【答案】A【解析】最值一定在可行域的顶点处取得，作出直线，作出可行域．分析最小值点的位置．【详解】由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，故选A．【点睛】本题考查简单和线性规划问题，解题关键是作出可行域，分析最优解在何处．可通过目标函数对应的直线分析可行域的形状、位置．8．函数y=sin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使最小，则为函数的最小正周期．【详解】由题意，．故选A．【点睛】本题考查的图象与性质．考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合．此类题常常与正弦函数的性质联系得解．10．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为A．B．C．D．【答案】D【解析】观察图像可得的图像与原函数的图像，结合图像可得满足的x 的取值范围.【详解】解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可得满足的x 取值范围为.，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.11．已知点n A （n ，n a ）（∈n N ）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是A ．37a a +＞52aB ．37a a +＜52aC ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关【答案】A 【解析】略12．P 是双曲线的右支上一点，M 、N 分别是圆和上的点，则的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M 、三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大，可得答案. 【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P 与M 、三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大是解题的关键.二、填空题13．已知命题：，命题：幂函数在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是_________。

江西省南昌市2019届高三数学(文科)第一次模拟测试卷

— 高三文科数学(一模)第1页(共4页) —NCS20190607项目第一次模拟测试卷文科数学本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水笔写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回．一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|40}M x x ，2{|log 1}N x x ，则M NA. B.)2,0( C.)2,2( D.)2,2[2.已知复数i(12i)z ，则||zD.33.已知抛物线方程为22x y ，则其准线方程为A.1yB. 1yC. 12yD. 12y 4.设函数22,(0)()(3),(0)x x x f x f x x ，则(5)f 的值为 A.7 B. 1 C. 0 D. 125. 已知平面向量,a b ，||2a ，||1b ，则||a b 的最大值为A.1B.2C.3D.56. 已知25ln 52a ，ln e e b （e 是自然对数的底数），ln22c ，则,,a b c 的大小关系是 A. c a b B. a c b C. b a c D. c b a7．已知0,,R r x y ，:p “222x y r ”，:q “||||1x y ”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数r 的取值范围是A.(0,]2B.(0,1]C.[,)2D.[1,)— 高三文科数学(一模)第2页(共4页) —8.如图所示算法框图，当输入的x 为1时，输出的结果为A.3B.4C.5D.69. 2021年广东新高考将实行312 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为 A.12 B. 13C. 16D.19 10．函数13)1ln()(22 x x x x x f 的图象大致为11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b的左焦点1F 作圆222x y a 的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段1PF 的中点(M 点在切点T 的右侧)，若OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线的方程为A. 34y xB. 43y xC. 35y xD. 53y x 12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n ，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5, ，则此数列的前55项和为A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 已知{}n a 为等差数列，若2321a a ，4327a a ，则3a ．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为．15.已知锐角A 满足方程3cos 8tan 0A A ，则cos 2A ．16.若对任意[1,2]t ，函数22()(1)f x t x t x a 总有零点，则实数a 的取值范围是______．— 高三文科数学(一模)第3页(共4页) —三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)函数()2sin()(0,||)22f x x的部分图象如下图所示，A ，(2,0)C ，并且//AB x 轴．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求ACB cos 的值．18．(本小题满分12分) 如图，四棱台1111D C B A ABCD 中，底面ABCD 是菱形， 1CC 底面ABCD ，且 60 BAD ，42111 D C CC CD ，E 是棱1BB 的中点．（Ⅰ）求证：BD AA 1；（Ⅱ）求三棱锥E C A B 111 的体积．19．(本小题满分12分) 市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时．经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为75.0元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．（用频率估计概率）（Ⅰ）根据频率直方图估算B 型节能灯的平均使用寿命；（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p ，那么n 支灯管估计需要更换np 支．若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．— 高三文科数学(一模)第4页(共4页) — 20．(本小题满分12分)如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b与圆O ：221x y 相切，并且椭圆E 上动点与圆O上动点间距离最大值为22. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(N 作两条互相垂直的直线21,l l ，1l 与E 交于B A ,两点，2l 与圆O 的另一交点为M ，求ABM 面积的最大值，并求取得最大值时直线1l 的方程．21．(本小题满分12分)已知函数)(ln e )(b a ax x x f x （e 为自然对数的底数），R , b a ，直线x y 2e 是曲线)(xf y 在1 x 处的切线．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）是否存在Z k ，使得)(x f y 在)1,( k k 上有唯一零点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,1x t y （t 为参数），曲线C 的参数方程为sin 23cos 24y x （为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）设点)1,2(M ，直线l 与曲线C 相交于点B A ,，求||||MA MB 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2()|||23|f x x m x m ．（Ⅰ）求证：()2f x ；（Ⅱ）若不等式(2)16f 恒成立，求实数m 的取值范围．。

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2019-2020年高三第一次模拟考试（数学文）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小匙分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在题后括号内。）

1．已知集合NMxxxNxxM则集合},032|{},4|{22= （）

A．}2|{xx B．}3|{xx C．}21|{xx D．}32|{xx 2．已知cot,223,54cos则且的值是（） A．43 B．－43 C．35 D．－34 3．已知函数)(,21)(,11log)(afafxxxf则若（） A．21 B．21 C．－2 D．－2 4．在等差数列daaaan则公差中,3,8,}{231 （） A．1 B．－1 C．±1 D．±2 5．对于两条直线a,b和平面，若////,abab是则的（） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．若把一个函数的图象按)2,3(a平移后，得到函数xycos的图象，则原图象的函数解析式是（） A．2)3cos(xy B．2)3cos(xy

C．2)3cos(xy D．2)3cos(xy

7．在平面直角坐标系中，不等式组,040axyxyx（a是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（） A．223 B．－223 C．－5 D．1 8．设a,b是两个不共线向量，若bkakba与8共线，则实数k的值为（） A．22 B．－22 C．±22 D．8 9．已知函数)(,]3,1(,2]1,0[,2)(1xfxxxxfx则的最大值是（） A．8 B．6 C．3 D．23 10．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（） A．40 B．48 C．52 D．56

11．设P为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（） A．36 B．12 C．312 D．24 12．已知二次函数0)0(),()(2fxfcbxaxxf的导数为，对任意实数x，有

0)(xf，则)0()1(ff的最小值为（）

A．2 B．3 C．23 D．25

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中的横线上） 13．二项式xxx1)22(9展开式中的系数为。

14．半径为25的球面上有A、B、C三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到平面ABC的距离为。 15．已知抛物线)0,4(,42Pxy过点的直线与抛物线相交于两点),(),,(2211yxByxA，则

2111xx的最小值为。

16．已知ayayaax3|2|,10与函数且的图象有两个交点，则a的取值范围是。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知△ABC，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.2coscoscabCB （1）求角B的大小；（2）设.,4,13acab求

18．（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口试考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对两道题才算合格。（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

19．（本小题满分12分）如图长度为2的线段AB夹在直二面角l的两个半面内，BA,，且AB与平面,

所成的角都是30°，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足

为D。（1）求直线AB与CD所成角的大小；（2）求二面角C—AB—D的平面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）设34211,1,}{,}{baababann

为等比数列为等差数列

342abb，分别求出}{}{nnba与的前10项和S10及T10。

21．（本小题满分12分）已知函数),()(2为常数babaxxxf，且方程012)(xxf有两个实根为.4,321xx （1）求函数)(xf的解析式；（2）设.2)1()(:,1xkxkxfxk的不等式解关于时

22．（本小题满分14分）已知圆.01:,5)1(:22mymxlyxC直线（1）求证：当Rm时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；（2）设l与圆交于A、B两点，若lAB求,17||的倾斜角；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线。广西北海市2008届高中毕业班第一次质量检测

数学试题（文科）参考答案

一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．A 简答与提示：

1． }31|{},22|{xxNxxM，

}21|{xxNM故选C。

2．,53sin,223,54cos且 ,34sincoscot

故选D。

3．21)(11lg11lg)(afaaaaaf故选B。 4．.3,82)2(121211131daadaadaaaa解得1d，故选C。 5．由babaabaabab与或所以不充分或////,;,////,异面，所以不必要，故选D。 6．将函数)2,3(cosaxy的图象按量平移即得原图象，所以原函数解析式是

2)3cos(xy，故选D。

7．画出区域，表示平面区域面积为2,9)2()4(21aaaaS且，解得a=1，故选D。 8．考查向量共线的充要条件)(8,8bkakbabkakba则共线与，

22.,8kkk解之得

，故选C。

9．本题考查分段函数的反函数问题，分段函数的反函数求法是在每一段分别求，注意求反函数的量值时利用互为反函数的两个函数间的关系，求反函数的最大值即求原函数定义

域上x的最大值，所以)(1xf的最大值为3，故选C。

10．（解法1）从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成38C个三角形，其中非直角三角形有两类： ①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共构成4个非直角三角形； ②下底面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的对角线构成4个非直角三角，故所求直角三角形共有38C－4－4=48（个）。（解法2）在正方体中三个点为顶点构成直角三角形，则此三点必在正方体的同一表面或其对角面上，而正方体表面与对角面共有12个，每个面内的三个点均可构成直角三

角形，故共有12×34C=48（个），故选B。

11． 2:3||:||,13,12,121PFPFcba由 ① 又,22||||21aPFPF② 由①、②解得.4||,6||21PFPF ,52||,52||||2212221FFPFPF 为21FPF直角三角形，

.124621||||212121PFPFSFPF故选B。

12．).0(2)(abaxxf ,0,0)0(bf又0,0)(2cbxaxxf即恒成立恒成立，

0402acba且恒成立，.0c2211)0()1(bacbcbabcbaff

0,242122cabb当时等号成立，故选A。

二、填空题：每小题4分，满分16分。 13．－252 14．5 15．21 16． )32,0( 简答与提示： 13．.5,129,)21()2()2()2(2999991rrxCxxCTrrrrrrrr

.252)21()2(4559C系数为 14．∵△ABC为Rt△，∴球心O在平面ABC内的射影O′是△ABC的外心，即AC中点。 ∴.55)25(22OO 15．设,016)48(4)4(:22222kxkxkxyxkylAB并整理得代入

.214121164811222212121kk

xxxxxx 当k不存在时，.2111.42121xxxx 综上所述：.211121的最小值为xx 16．由函数|2|xay图象可知，当130a满足题意，即)31,0(a 三、解答题（满分74分） 17．本小题考查和角公式正余弦定理

解：（1）由,2coscoscabCB

,sinsin2sincoscosCABCB（4分）

,0cossincossincossin2CBBCBA ,0)sin(cossin2CBBA ,0sincossin2ABA ,0)1cos2(sinBA（5分）

0sinA，

,01cos2B

120,21cosBB （7分）

（2）由余弦定理，得,cos2222Bacab 即,13,120cos2132222accaacca （9分） .3,4,13)(2accaacca又（10分）

.31aa或（12分）

18．本小题考查基本的概率问题解：（1）甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

.321202060)(310361426CCCCAP （3分）

.15141205656)(310381228CCCCBP （6分）

（2）由（1）知.1514)(,32)(BPAP事件A、B相互独立。