频域指标
自控理论 4-6频域指标与时域指标的关系
2 −40
ω
作业
4 - A -14、 4 -B - 4 、
K s(Ts + 1)
c(t)
例：已知最小相位系统的开环对数幅频特 性曲线，试求： 性曲线，试求：
L(ω)
(1) 开环传递函数 开环传递函数G(s)； ； (2) 剪切频率 ωc ； (3) 相角裕量 γ(ωc)； (4) r(t)=(1/4)t2 时的 ess 。
6 0
−40 −20 0.5
ωc
令 G ( jω c ) = 1,
解得
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
0 −1
(4 − 30)
(4 − 31)
求γ
2ζω n
ωc
将式(4-30)代入式 代入式(4-31)得 将式 代入式 得
求γ
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
2.
r(t)
25 s( s + 6)
c(t)
ωn2 =25 得 ζ =0.6 ωn=5
2ζ = 59.2 0
γ = tg
−1
− 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1 = 3.58
3.
Mr =
1 2ζ 1 − ζ
2
= 1.04
ω r = ω n 1 − 2ζ 2 = 2.65
结论
8 t sω c = tgγ
(4 − 36)
( 2) ω c与ζ、ω n 都有关,当ζ 一定，ω c ↑→ ω n ↑→ t s ↓ 一定，
频域特征指标
频域特征指标频域特征指标是指在频域上对信号进行分析和描述的一些指标和特征。
频域特征分析是信号处理领域中常用的方法之一，通过对信号进行傅里叶变换或其他频域变换，可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的分布情况。
频域特征指标可以用来描述信号的能量分布、频率成分、频谱形状等信息，对于信号的分析和处理具有重要意义。
1. 能量集中度（Energy Concentration）能量集中度是指信号在频域上能量分布的集中程度。
对于集中度较高的信号，能量主要集中在少数几个频率上；而对于集中度较低的信号，能量分布相对均匀。
能量集中度可以通过计算信号的能量集中度指标来衡量，常用的指标有能量集中度指数（ECI）和能量集中度比（ECR）等。
2. 频率峰值（Frequency Peak）频率峰值是指信号在频域上具有最高能量的频率分量。
通过寻找信号的频率峰值可以确定信号的主要频率成分，对于声音信号的识别和音频处理具有重要作用。
常用的方法有峰值检测法、自相关法和功率谱法等。
3. 频谱宽度（Spectral Width）频谱宽度是指信号在频域上能量分布的范围。
对于宽带信号来说，频谱宽度较大；而对于窄带信号来说，频谱宽度较小。
频谱宽度可以通过计算信号的频谱宽度指标来衡量，常用的指标有频谱宽度、频带宽度和3dB带宽等。
4. 频域平坦度（Spectral Flatness）频域平坦度是指信号在频域上能量分布的均匀程度。
对于平坦的信号来说，各个频率分量的能量相对均匀；而对于不平坦的信号来说，某些频率分量的能量较高，而其他频率分量的能量较低。
频域平坦度可以通过计算信号的频域平坦度指标来衡量，常用的指标有频谱平坦度（SF）和频谱倾斜度（SS）等。
5. 频域相干性（Frequency Coherence）频域相干性是指信号在频域上不同频率分量之间的相关性。
对于相干的信号来说，各个频率分量之间存在一定的相关关系；而对于非相干的信号来说，各个频率分量之间不存在相关关系。
频域性能指标和时域性能指标的关系
5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。
常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。
虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。
5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。
图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。
令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。
图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。
这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。
系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。
当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。
此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。
matlab频域特征
matlab频域特征
在MATLAB中，频域特征指标可以用于描述信号在频谱中的分布情况，常见的频域特征指标有以下几种：
- 重心频率：能够描述信号在频谱中分量较大的信号成分的频率，反映信号功率谱的分布情况。
换句话说，对于给定的频带范围，低于重心频率的频率范围内包含的能量是信号总能量的一半。
- 均方根频率：是均方频率的算数平方根，它也有一个辅助理解的物理含义，如果把功率谱曲线围起来的区域看作一块木板，那么当这块木板围绕y轴旋转时，均方根频率所在位置到原点的距离就是旋转体的惯性半径。
- 均方频率：是均方根频率的平方。
与重心频率不同，均方频率是信号频率平方的加权平均，同样以功率谱的幅值为权。
- 频率标准差：是重心频率为中心的惯性半径。
若重心附近的频谱幅值较大，则频率标准差较小；若重心附近的频谱较小，则频率标准差较大。
频率标准差描述功率谱能量分布的分散程度。
- 频率方差：是频率标准差的平方，是衡量功率谱能量分散程度的另一个度量维度。
这些频域特征指标可以通过MATLAB 提供的相应函数进行计算和提取，以帮助分析和处理信号。
自动控制原理-5-2频域性能指标
Im
A(x)
-1 c
0 Re
h 的含义：若闭环稳定系统 的开环幅频特性增大h 倍 （上移h(dB)），则系统将 处于临界稳定状态。
的含义：若闭环稳定系统
的开环相频特性滞后（减小）
(T2 )2 ) [(T1
T2 )
j 1 2T1T2 ]
令虚部=0，得
2 x
1 T1T2
代入得
Re(
x
)
KT1T2 T1 T2
14
系统的开环极坐标图如右图：
若 KT1T2 1
T1 T2
=0-
R=2 Z=PR=2
KT1T2
T1 T2
1
40dB/dec
（T1 >T2）
1/T1 c
1/T2
20dB/dec
()/(°)
0
90
180
x
270
27
(1) 当x < c 时，即A(x) > 1，N = 1，N =1/2
R = N N = 1/2 Z = P 2R = 0
此时系统稳定。
(2) 当x > c 时，即A(x) < 1，N = 0，N =1/2
（逆时针为正，顺时针为负），则系统在s 右半平面的闭
环极点数为Z，且有
Z=PR 若 Z = 0，闭环系统稳定，否则不稳定。
应用奈氏判据的几种常见情况：
(1) 开环系统稳定，开环奈氏曲线不包围( 1，j0)点时，则闭环 系统稳定 (即P = R = 0)。 (2) 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线逆时针包围 (1，j0)点 P圈时，闭环系统稳定 (即P = R > 0)。 (3) 若开环奈氏曲线穿过( 1，j0)点，闭环系统可能临界稳定。
振动信号频域指标 -回复
振动信号频域指标-回复振动信号频域指标主要用于分析和描述振动信号在频域上的特征和属性。
通过频域分析，可以获得一些重要的振动信号频域指标，如频谱图、峰值频率、主频、谱带宽等。
本文将一步一步回答关于振动信号频域指标的相关问题，以帮助读者更好地理解和应用这些指标。
首先，我们需要了解什么是振动信号。
振动信号是在时间和空间中传播的波动现象，通常由多个频率和振幅不同的正弦波组成。
在工程和科学领域中，振动信号广泛应用于机械、结构、电子设备、地震等领域中的故障诊断、性能评估和信号处理等方面。
接下来，我们来介绍频谱图这一重要的振动信号频域指标。
频谱图是振动信号在频域上的表示，可以展示信号在不同频率上的分量强度。
常见的频谱图有幅频谱图和相位谱图。
幅频谱图表示不同频率上的振幅大小，而相位谱图表示不同频率上的相位差。
通过分析频谱图，我们可以了解振动信号在不同频率上的能量分布，从而判断是否存在特定频率的异常或问题。
然后，我们来讨论峰值频率和主频这两个与频谱相关的指标。
峰值频率是指频谱图中振幅最大的频率值，它代表了振动信号中占主导地位的频率成分。
峰值频率常用于分析振动信号中的故障特征和异常情况。
主频是指在频谱图中的主峰对应的频率值，它表示振动信号中能量最集中的频率成分。
主频对于诊断机械设备故障和评估结构性能非常重要。
此外，我们还需要了解谱带宽这一振动信号频域指标。
谱带宽表示频谱图中振幅超过谱峰幅值的频带的宽度。
谱带宽可以反映振动信号的频率分布范围，较大的谱带宽意味着信号分布范围广泛，而较小的谱带宽则表示信号分布范围较窄。
谱带宽在机械设备故障诊断和结构健康监测中具有重要意义。
最后，我们需要了解如何进行频谱分析和使用相关工具。
频谱分析是将时域信号转换为频域信号的过程，常用的频谱分析方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）、小波变换等。
这些方法可以通过计算机软件或硬件设备来实现。
在实际应用中，常用的频谱分析工具有MATLAB、Python 中的SciPy和NumPy库等。
论述模拟低通滤波器的频域指标
模拟低通滤波器的频域指标引言模拟低通滤波器在信号处理中扮演着重要的角色。
它可以滤除高频成分，仅保留低频信号，常被应用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。
频域指标是用来表征滤波器在频域上的性能指标，是评估滤波器性能的重要依据。
本文将详细论述模拟低通滤波器的频域指标，包括截止频率、幅频特性、相频特性和群延迟等。
1. 截止频率截止频率是模拟低通滤波器最重要的频域指标之一。
对于低通滤波器而言，截止频率是指滤波器对信号频率的限制。
低通滤波器会将高于截止频率的信号部分滤除，只保留低于截止频率的信号。
截止频率通常以Hz为单位表示。
在频域中，低通滤波器的截止频率可以通过振幅频率特性的-3dB点来确定。
当滤波器的振幅频率特性的幅值降低到原来的根号二分之一（约等于0.707）时，对应的频率即为截止频率。
2. 幅频特性幅频特性是描述滤波器在不同频率下的幅度变化的指标。
它是滤波器的输出信号幅度与输入信号幅度之间的关系。
在频域中，幅频特性可以用滤波器的幅度响应来表示，常用的表达形式为幅度-频率曲线或者简称为Bode图。
幅频特性可以展示滤波器在不同频率下的增益或衰减程度，反映出滤波器对不同频率的信号的响应情况。
对于低通滤波器而言，幅频特性在截止频率前具有较高的增益，截止频率后则呈现衰减的趋势。
幅频特性的斜率取决于滤波器的阶数，阶数越高，衰减越陡峭。
3. 相频特性相频特性描述滤波器对信号的相位响应。
它是指滤波器在不同频率下输出信号与输入信号之间的相位差。
在频域中，相频特性可以用滤波器的相位响应来表示。
相频特性对于一些特定的应用非常重要，比如在通信系统中，准确的相位响应是保证信号的传输质量的重要因素。
低通滤波器的相频特性通常是线性的，即相频特性与频率呈线性关系。
因此，在低通滤波器中，相位随频率增加而线性递增。
4. 群延迟群延迟是指滤波器对不同频率分量的延迟时间的变化。
群延迟反映了信号在滤波器中传输的时延。
在频域中，群延迟可以通过滤波器的群延迟频率响应来表示。
振动信号频域指标 -回复
振动信号频域指标-回复振动信号频域指标是一种用于分析和描述振动信号特征的方法。
频域指标通过将信号转换到频域，即将信号从时域表示转换为频域表示，以便更好地理解信号的频率特性和振动行为。
在这篇文章中，我将一步一步回答关于振动信号频域指标的问题，解释其基本原理和应用。
1. 什么是振动信号频域指标？振动信号频域指标是在信号的频域表示下，通过计算一系列指标来描述振动信号的特征。
振动信号的频域表示可以通过傅里叶变换或其他变换方法获得。
频域指标通常包括频率分量、频率振幅、相位等。
2. 如何将信号转换到频域？信号的频域表示可以通过傅里叶变换实现。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学技术。
它将信号分解为一系列基本频率分量，得到每个频率分量的振幅和相位信息。
傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法高效地计算得到。
3. 频域指标有哪些常用的？在振动信号的频域表示下，有多种常用的频域指标。
其中包括：- 频率分量：指信号中存在的基本频率分量，可以通过傅里叶变换得到。
- 频率振幅：指每个频率分量的振幅，反映了该频率分量在信号中的能量。
- 相位：指每个频率分量的相对相位，描述了不同频率分量之间的时间关系。
- 谱密度：指信号在频率域上的能量分布情况，可以通过功率谱密度计算得到。
- 峰值频率：指具有最大振幅的频率分量，通常用于检测信号中的主要振动模态。
- 调谐比：指信号中存在的主要频率与其他频率之间的比例关系。
以上仅是一些常见的频域指标示例，实际应用中还有其他更多的指标可以根据需要进行计算和分析。
4. 频域指标的应用有哪些？振动信号频域指标广泛应用于振动分析、故障诊断和结构健康监测等领域。
通过分析信号的频域特征，可以识别故障模式、评估结构的健康状态，并提供可靠的故障诊断依据。
频域指标还可以用于分析信号的谱密度、频率分布和频率特性，帮助工程师了解信号的频率特性和振动行为。
例如，在机械故障诊断中，可以通过分析振动信号的频域指标来判断机械部件的健康状态。
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若z=p-2N’中p=0,则G(jω)过(-1,j0)点时， 系统临界稳定，见下图：
j
-1 G(jω) 1 0
特点： G(jω)曲线过(-1,j0)点时，
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
Kg G(jωg)
j
=1
G(jωg) -1 γ
ωg
∠G(jωc) – γ = –180o
1 % 0.16 0.4( 1) 100 % sin 1 1 2 ts 2 1.5( 1) 2.5( 1) c sin sin
(35 90 )
结论：随着γ值的上升，超调 量和调整时间都明显下降。
二、闭环频域指标和时域指标的关系 闭环系统的频域指标：谐振峰值Mr和频带宽度ωb 。 闭环系统的时域指标：超调量σ%和调整时间ts 。
二阶系统
2 n ( s) 2 2 s 2 n s n 2 n G( s) s( s 2 n )
(0 1)
2 n
闭环系统的频率特性为： ( j ) (1) Mr和σ%的关系
M ( )
2 n
2 (n 2 ) j 2n
2 (n 2 ) 2 (2 n ) 2
dM ( ) 0 可求得 令 d
r n 1 2 2
(0 0.707)
Mr
1 2 1 2
5.5 5 4.5 4
5.5 5 4.5 4
对于给定的谐振峰值Mr，调节时间ts与带宽ωb成反比，频带 宽度越大则调节时间越短。
(2) Mr、ωb与ts的关系
根据通频带的定义：
M (b )
2 n 2 (n b ) (2 nb ) 2 2 2
0.707
解出ωb与ζ和ωn的关系为
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
bt s
3
1 2 2 2 4 2 4 4
(1) γ与σ%的关系
开环幅频和相频特性为：
A( )
2 n
2 (2 n ) 2
2 n
( ) 90 arctan 2 n
在ω=ωc处，A(ωc)=1，即
A( )
c (2 n )
2 c
2
1
2 4 c4 4 2n c2 n 0
Mr
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Mr
3.5 3 2.5 2 1.5
ζ
1 0
20
σ%
40
60
80
ζ>0.707时，不存在谐振峰值 Mr=1.2～1.5时，σ%=20% ～ 30% ζ=0.707时， Mr=1 动态特性有适度的振荡 ，平稳性 ζ→0时， ωr→ωn， Mr→∞。 的快速性较好。
若ω1、ω2不变， 令ω2=h ω1 ,h表示中频段的宽度。
c c arctan( ) arctan( ) 1 h1 找出ωc变化为何值时，γ出现最大值。
d 0 c d 1
1 c 1 1
2
1h c 1 h 1
L(ω)/dB
[-40]
0 K
1
ω1
[-60]
[-40]
20lgK
ω
0dB
20lgK
ω1
0 K
1
[-60]
ω
二、L(ω)中频段斜率与系统稳定性之间的关系。 中频段：剪切频率ωc附近的频率段。 在ωc处， L(ω)曲线的斜率对相角裕度γ的影响最大， 远离ωc处的对数幅频特性对γ的影响很小。 例：系统的开环频率特性为
-180o
g
相角裕度: γ=180+ ∠ G(jωc)
稳定裕度的定义续2
§5.5
利用开环频率特性分析系统性能
一、L(ω)低频渐近线与系统稳态误差之间的关系。 • 开环传递函数中积分环节的数目(系统的型别) 决定了低频渐近线的斜率。 • 低频渐近线的高度决定了开环传递系数(静态误 差系数)。 1. 0型系统 L(ω)/dB K 20lgK G ( j ) 0dB jT 1 ω1 ω 则低频渐近线为
2 4 1 2
4 2
100 90 80 70 60
% e
1 2
100%
γ
50 40 30 20
σ% 40
30 20 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
50
10 0
0
γ ζ γ越小(即ξ越小)σ%越大，γ越大，σ%就越小，通常为是 使二阶系统在阶跃函数的作用下振荡不至于过于剧烈， 以及调节时间不至太长，通常取30°<γ<60°。
ωr ω b 表明系统对某个频率的正弦信号反 应强烈，有谐振的趋势，反映 闭环幅频特性 系统的相对稳定性和阶跃响应 超调量。 3. 谐振频率ω 。 ω 较高时，t 值可能较小。
r r p
0
ω
4.频带宽度(截止频率)ωb 指衰减到0.707M(0)所对应的频率，也叫通频带。
带宽较宽，表明系统能通过较高频率的输入信号， 通频带较宽的系统一方面复现输入信号的能力较强， 另一方面抑制输入端高频干扰的能力较弱。 带宽和调节时间也有着密切的关系，ωb越大，调节 时间越短。
(4)L(ω)的高频段应有较大的斜率，以增强系统的抗干扰 能力。
§5.6 利用闭环频率特性分析系统性能
一、闭环频率特性的几个性能指标
1. 直流增益(零频振幅比)M(0)
M(ω)
Mr 直接反映了系统的稳态精度。 M(0)越接近于1表示系统的稳 M(0)=1 0.707M(0) 态误差越高。
2. 谐振峰值Mr
[-20]
0dB
20lgK
20lgK
ω1
0 K
1
[-40] ω
3. Ⅱ型系统
K G( j ) ( j ) 2 ( jT 1)
0 K 时，L(ω)=0
ω=1时，L(ω)=20lgK
低频渐近线方程为
L( ) 20 lg
L(ω)/dB 0dB
K
2
20 lg K 20 lg 2
0dB
ωc
ωc较大时，γ由高频段频率特性决定，如ωc T1=100 时，φ(ωc)=-90.6°,γ=89.4°。 在中频段，则同时受这两种曲线斜率影响。 例：设系统的开环传递函数为
K (T1s 1) G( s) 2 , T1 T2 s (T2 s 1)
L(ω)/dB
[-40]
(c ) (180 ) ωc ω2=1/T2 0dB arctan( cT1 ) arctan( cT2 ) ω [-20] ω1=1/T1 c c arctan( ) arctan( ) [-40] 1 2 若ωc、ω2不变， ω1↓，γ↑； ω1↑，γ↓。
K ( jT1 1) G( j ) ( j ) 2
L(ω)/dB
ωc处的相角为 ω ω1=1/T1 (c ) 180 arctan( cT1 ) (c ) (180 ) arctan( cT1 ) ωc较小时，γ由低频段频率特性决定，如ωc T1=0.001 时， φ(ωc)=- 179.94 °, γ≈0.06°
1 G( j ) L(ω)特性高频段的幅值，反映出系统对输入端高频信号的抑制 能力，高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用 越大，即系统的抗干扰能力越强。
所以
( j)
G( j )
G( j )
希望得到的开环对数幅频特性应具有如下的性质：
(1) 为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的分贝数。 如果要求具有一阶或二阶无差度．则L(ω)特性的低频段应 具有-20 dB/dec或-40 dB/dec的斜率。 (2) L(ω) 应以-20dB/dec的斜率穿过零分贝线，且具有一定 的中频段宽度。这样系统就有足够的稳定裕度，以保证闭 环系统具有较好的平稳性。 (3) L(ω)特性应具有尽可能高的ωc，以提高闭环系统的快 速性。
解得： c
4 4 1 2 2 n
当ω=ωc时，
相角裕度为：
c (c ) 90 arctan 2 n
180 (c ) 90 arctan
c 2 n arctan 2 n c
arctan
80 70 60
四、L(ω)的高频段对系统性能的影响
若L(ω)的高频段特性是由小时间常数的环节构成的，其转折 频率均远离截止频率ωc，所以对系统的动态响应影响不大。 对于单位反馈系统，开环频率特性和闭环频率特性的 关系为： G ( j ) ( j ) 1 G( j )
在高频段： 20lg G( j) 0 即： G( j) 1
开环频率特性的特征量(开环频域指标)： γ和ωc。 系统动态性能的时域指标：σ%、ts。
它们之间的关系是什么？
2 n 闭环传函为 s 2 2 s 2 n n
1. 二阶系统
2 n 开环传函为 G(s) s( s 2 n )
2 n 开环频率特性为 G( j) j ( j 2 n )
2
0
c h 1
2
h 12
2 c 2 1
c 12
lg c 1 2 (lg1 lg 2 )
此时h越大，γ也越大。
ωc在ω1、ω2的几何中心处，具有最大的相角裕度γm。
1 m arctan h arctan h
三、开环频率特性和系统动态性能的关系
1
0
ωc幅值裕度 Kg=1 NhomakorabeaG(jωg)