柱体、台体、椎体的体积
柱、锥、台体积
重 5.8 kg . 已知底面六边形边 长 是 12 mm ,高是10 mm,内孔 直径是 10 mm.那么约有毛坯 多少个? 铁的比重是7.8 g / cm 3
图1 2 18
分层训练 必做题
1、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形， 则这个三棱锥的体积为（ ）
2 4 2 ( A)2 2; ( B) 2 ; (C ) ; ( D) 3 3
h
S
S
图1 3 14
类似地, 底面积相等、高也相等 的两个锥体它们的体积 , 也相等图1 3 14.由于底面积为 , 高为h 的圆锥的体积 S 1 1 为V圆锥 Sh, 所以 V锥体 Sh . 3
3
x S` h S S S`
图1 3 15
台体 棱台、圆台 的体积可以转化为锥体 的体 积来计算 图1 3 15 .如果台体的上、下底面 积分别为 S `, S , 高是 h , 可以推得它的体积是
学习目标
理解并掌握柱、锥、台体积计算公式及 其简单应用.
自学指导
１、柱、锥、台的体积计算公式是什么？ ２、柱、锥、台的体积公式之间有什么关系？
h
h
S
S
S
图1 3 13
柱体 棱柱、圆柱 的体积等于它的底面积 S和高h的 积, 即 V柱体 S h .
思考：三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系．
2、用一张长12cm,宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形 的侧面，这个圆柱的体积是-------
选做题
一个正四棱台形油槽可以装煤油190升，假如它的 上下底面边长分别等于60cm和40cm，求它个几何体的三视图如图 （1）试画它的直观图；（2）并求出该几何体 的体积
1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.一、【学习目标】1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣；2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）1 在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？2 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？3 如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？4 联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？结论：1 正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 2 棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. 3 它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积s=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积s=πr2+πrl=πr(r+l). 4 圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即. 思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是 .。
柱体椎体台体球体的体积公式
柱体椎体台体球体的体积公式要说起这些几何体的体积公式，嘿，那可是个大事儿！咱们日常生活中，柱体、椎体、台体、球体都挺常见的，可能你没注意，但它们就像你生活中的小伙伴，默默地影响着你的日常。
比如，柱体嘛，想想水杯或者罐头，都是个柱子，对吧？要是把它的高度和底面半径拿出来，嘿，想知道它的体积吗？只需要个简单的公式：底面面积乘以高度，数学小白也能看懂。
简单吧？就像喝水一样自然，别说了，喝起来就对了！再说椎体，别小看它，像个锥子一样的东西。
你吃过的冰淇淋就长这样，咕噜咕噜的，怎么吃都不觉得腻。
计算它的体积有点小复杂，但也没那么可怕，底面面积乘以高度，最后还得除以三。
听起来复杂，但其实就像拆解一个谜语，慢慢来，跟着感觉走。
想象一下，一大堆冰淇淋，心里那个爽啊，体积公式其实就是在告诉你，想吃多少就得算算它的“体积”了！再聊聊台体，很多人对它可不太熟悉，台体就是上窄下宽的形状，像个倒着的茶杯。
想喝水吗？只要知道上面的和下面的半径，以及高度，运用公式就能轻松搞定。
可别以为这公式简单，先把上面和下面的面积算出来，然后相加再乘以高度，最后别忘了要除以三，简单的数学就像调皮的孩子一样，总想让你费点脑筋。
不过，一旦搞懂了，轻松得像个松鼠，随便玩耍。
然后是球体，嘿，这个可有趣了。
你在沙滩上看到的排球，或者篮球，都是球体。
说到球体的体积，公式又来了，得用到半径，三分之四乘以圆周率，再乘以半径的立方。
听起来像天书，其实没那么复杂。
想象你在玩泡泡，那个大大的泡泡就是球体，几何学就是教你如何把这些泡泡的大小弄得清清楚楚。
把这些公式记在心里，等到你需要的时候，随时拿出来用。
所以说，了解这些几何体的体积公式，就像攒下小秘密，未来某天用得着，特别是遇到那些数学问题，轻松对付它们就像吃块蛋糕。
无论是做饭还是打篮球，生活中的点点滴滴，几何体都无处不在，像那影子一样，伴随你左右。
把公式变得有趣，跟它们聊聊，生活的每一个瞬间都能感受到数学的乐趣，简直妙不可言。
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
图(1)
提示:相等.
图(2)
一
二
三
2.棱柱、棱锥、棱台的展开图是怎样的?如何求棱柱、棱锥、棱 台的表面积? 提示:如下图所示,首先需求出各个展开图中的每部分平面图形 的面积,然后求和即可.
一
二
三
3.填空: 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开 图的面积.
一
二
三
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 【问题思考】 1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱 的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表 =2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的体积 【例2】 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20和30的正 三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积 之和,求棱台的高和体积. 思路分析:侧面面积等于上、下底面面积之和→侧面等腰梯形的 高→三棱台的高→三棱台的体积 解:如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中 点,D,D'分别是BC,B'C'的中点,则DD'是等腰梯形BCC'B'的高,
答案:(1) (2) (3)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的表面积 【例1】 如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90° , AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体 的表面积.
思路分析:分析几何体的形状
求表面积
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
D. 30π
答案: B
● (4)台体的表面积 ● ①台体的侧面展开图
台体 侧面展开图
棱台 由若干个梯形拼接而成, 如图(5)
圆台
扇环, 两弧长分别等于上、下底面圆周 长, 母线长等于大扇形的半径与小扇形 的半径之差, 如图(6)
②台体的表面积公式
台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底. 特别地, 圆台的上、下底面半径分别为r′、r, 母线长 为l, 则侧面积S侧＝_π_(_r_＋__r′__)_l ____, 表面积S 表＝___π_(_r_2＋__r_′__2＋__r_l＋__r_′__l)_________ .
352 A. 3
cm3
320 B. 3
cm3
224 C. 3cm3Βιβλιοθήκη 160 D. 3cm3
【解析】 此几何体为正四棱柱与正四棱台的
组合体, 而 V 正四棱柱＝4×4×2＝32(cm3),
V 正四棱台＝13(82＋42＋ 82×42)×2＝2324(cm3),
所以 V＝32＋2324＝3320 (cm3).
(2)柱体的表面积 ①柱体的侧面展开图
柱体 侧面展开图 棱柱 平行四边形, 一边是棱柱的侧棱, 另一边
等于棱柱的底面周长, 如图(1) 圆柱 矩形, 一边是圆柱的母线, 另一边等于圆
柱的底面周长, 如图(2)
②柱体的表面积公式 S表＝S侧＋2S底 特别地, 若圆柱的底面半径为r, 母线长为l, 则 圆柱的侧面积S侧＝___2_π_rl____ , 表面积 S表＝2πr(r＋l).
做一做 1.圆柱OO′的底面直径为4, 母线长为6, 则 该圆柱的侧面积为_____, 表面积为_____. 答案: 24π 32π
● (3)锥体的表面积 ● ①锥体的侧面展开图
柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案)
柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一 多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.题型一 空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二 空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三 与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析 本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析 利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ， 则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析 设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析 设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析 由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析 由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。
柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
柱体、锥体、台体的表面积和体积 课件
初中我们已学过正方体和长方体的表面积以及它们的 展开图，你知道它们的展开图与表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图 平面图形面积
引入新课
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的 表面积？
长15 cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取
3.14，结果精确到1 cm2 ）？
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
2 2
2 2
999(cm2 )
答：花盆的表面积约是999 cm 2．
柱体的体积
V Sh （其中S为底面面积，h为高）
锥体的体积
锥体
练一练
已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个 半圆，求这个圆锥的底面直径.
答案
4a
3
a h
正六棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
棱台的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h' h'
正四棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什 么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？