立体几何中锥体,柱体,台体的性质
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且长度相等。
若侧棱垂直于底面，则为直棱柱；若底面是正多边形，则为正棱柱。
2) 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
3) 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
上下底面平行且是相似的多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆台。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇环形。
7) 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积1) 几何体的表面积为各个面的面积之和。
2) 特殊几何体表面积公式：直棱柱侧面积=底面周长×高圆锥侧面积=π×底面半径×母线正棱台侧面积=(上底+下底+侧棱)×高/2圆柱侧面积=2π×底面半径×高正棱锥侧面积=(底面周长1+底面周长2+侧棱)×高/2圆台侧面积=(上底半径+下底半径)×母线×π/2圆柱表面积=2π×底面半径×(底面半径+高)圆锥表面积=π×底面半径×(底面半径+母线)圆台表面积=π×(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径×(上底半径-下底半径)/母线)3) 柱体、锥体、台体的体积公式：直棱柱体积=底面积×高圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高圆锥体积=底面积×高/3=π×底面半径²×高/3圆台体积=底面积×高/3=(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径)×高/3圆台的体积公式为V=(S+S'+√(SS'))h/3，其中S和S'分别为圆台的上下底面积，h为圆台的高。
高中数学台体的体积公式
高中数学台体的体积公式高中数学中，台体是常见的几何体之一，其体积公式用于计算该几何体的体积。
下面是关于台体及其体积公式的相关内容：一、什么是台体？台体，也称为棱台或梯形柱体，是一种具有两个平行且相似的多边形为底面的立体。
台体的高是两个底面平行的平行面之间的距离，台体的侧棱是连接两个底面对应的顶点的线段。
二、台体的特点和性质：1. 台体的底面均为多边形，且两个底面是相似的。
2. 台体的侧面由若干个梯形组成。
3. 台体的两个底面平行，台体为平行四边形的特例。
三、台体的体积公式推导：设台体的上底面积为S1，下底面积为S2，高为h，根据立体几何的性质，可以推导台体的体积公式。
1. 取平行于底面的切面，将台体分割成无数个横截面积相等的薄片。
2. 由于切面的截面是平行于底面的多边形，它们与上底面和下底面的对应边分别相交于一点。
3. 这些相交的点将上底面和下底面分别分割成相似的小多边形。
4. 根据相似多边形的性质，可以得到每个切面的面积为S=s1^2/S2^2，其中s1和s2分别是切面与上底面和下底面对应边的长度。
5. 假设切面的厚度为Δh，那么每个切面的体积可以近似为ΔV=s1^2/S2^2 * Δh。
6. 将所有的切面体积累加起来，即可得到整个台体的体积：V = ∑ΔV ≈ ∑s1^2/S2^2 * Δh7. 当切面的数量无限增多，即Δh趋近于0时，上面是求和转化为定积分：V = ∫(S1^2/S2^2) dx (x∈[0,h])四、台体的体积公式：根据台体的体积公式的推导过程，可以最终得到如下的台体的体积公式：V = ∫(S1^2/S2^2) dx (x∈[0,h])其中，S1和S2分别是上底面和下底面的面积，x表示高所在的坐标轴。
五、总结：台体是高中数学中常见的几何体之一，其体积公式的推导过程涉及到立体几何的性质和数学的积分概念。
了解台体及其体积公式对于解决与台体相关的实际问题和数学计算非常重要。
以上就是关于高中数学台体的体积公式的相关参考内容，希望对您有所帮助！。
高中数学必修二立体几何知识点梳理
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
' 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'ABCDE A B C D E 或用对角线的端点字母，如五棱柱AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P A ' B ' C ' D ' E '几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等'表示：用各顶点字母，如五棱台P A ' B C D E' ' '几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
柱体锥体台体的公式大全
柱体锥体台体的公式大全
柱体、锥体和台体都是几何体的一种，它们都具有不同的特性和公式。
1.柱体公式：
柱体是一个具有平行且相等的圆面底部和顶部的几何体。
下面是柱体
的一些重要公式：
-表面积公式：S=2πr(h+r)，其中r是底部圆的半径，h是柱体的高度。
-体积公式：V=πr²h，其中r是底部圆的半径，h是柱体的高度。
2.锥体公式：
锥体是一个具有一个圆形底部和一个顶点的几何体。
下面是锥体的一
些重要公式：
-表面积公式：S=πr(r+√(r²+h²))，其中r是底部圆的半径，h是
锥体的高度。
-体积公式：V=(1/3)πr²h，其中r是底部圆的半径，h是锥体的高度。
3.台体公式：
台体是一个具有两个平行且相等的圆面底部和顶部的几何体。
下面是
台体的一些重要公式：
-表面积公式：S=2π(R+r+l)，其中R是底部圆的半径，r是顶部圆
的半径，l是台体的斜高。
-体积公式：V=(1/3)π(R²+r²+Rr)h，其中R是底部圆的半径，r是顶部圆的半径，h是台体的高度。
这些公式是计算柱体、锥体和台体的表面积和体积时的基本公式。
在实际问题中，还可以根据具体情况进行一些衍生的计算。
例如，通过给定柱体、锥体或台体的表面积或体积，可以计算其他相关参数，如半径或高度。
《柱体锥体台体的表面积和体积》课件
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。
高中数学必修二立体几何立体几何总知识点
顶点侧而C 底而下底面1ABCDE -A'B C'D'E ADp - A'BC'D'E3p -A'B'C'D'E（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
3二chS =2 rh=3 ch' S二二 rl 21二 2(C i C 2)h'S二(r R)： l =2 r r lS八r r 1八 r 2rlRl R 2c hhl2SSSS S3VVV451Sh Vr 2h—JIr 2h3(S 'S 'S*(SA.B.S)h+② 平面的表示：通常用希腊字母a 、 B 、丫表示，如平面a (通常写在一个锐角内)；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC③点与平面的关系：点A 在平面:-内，记作A 二:;;点A 不在平面〉内，记作A ':-点与直线的关系： 点A 的直线I 上，记作：A € I ； 点A 在直线I 夕卜，记作 A I ； 直线与平面的关系：直线I 在平面a 内，记作I a ；直线I 不在平面a 内，记作I 二a 。
柱体、锥体、台体的表面积和体积
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面 积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、 特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算： 总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。
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（数学2必修）第一章 空间几何体
一、填空题
1．棱长都是1的三棱锥的表面积为__________。
2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在
同一球面上，则这个球的表面积是__________。
3.正方体的内切球和外接球的半径之比为__________。
4．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，
则所形成的几何体的体积是__________。
5．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长
分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是__________。
6．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
7．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.
二、解答题
1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3） 哪个方案更经济些？
2．将圆心角为0
120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
一．填空题
1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0
45，腰和上底均为1的等腰梯形， 那么原平面图形的面积是____________。
2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为____________。
3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是____________。
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π， 则圆台较小底面的半径为____________。
5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ____________
6．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成060, 则圆台的侧面积为____________。
7．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成
的几何体的体积为____________。
8．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个
端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。
9．若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的
直径为_______________。
二、解答题
1.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度为多少cm ？
2．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,
求该圆台的母线长.
一、填空题 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的_______。
A B C D
2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为_______。
3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，
剩下的几何体的体积是_______。
4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =_______。
5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为_______。
6. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。
7.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 .
8．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
9．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米
则此球的半径为_________厘米.
10．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。
二、解答题
1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，
求圆柱的表面积
2．如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，
2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.。