数学建模案例

允许决策
~ 移动1格或2格（k奇,左下移；k偶,右上移）
d1 ,..., d11 给出了安全
渡河方案。
5、模型评价
规格化的方法，通俗易懂，易于推广。
思考题
1．考虑4名商人各带一名随从的问题。
建模示例四：函数模型(交通问题模型)
【问题背景】
温州七中高一段学生到人民路天桥下的十字路口，
对十字路口红绿灯开设时间及车流量进行调查，经学生分组 观察，并把数据平均，得到下面一组数据：东西方向 绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方 向红灯的时间为39秒；所以红绿灯变换一个周期的时间为88
Y 模型应用
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际
对象的特征。 有时需查资料或到有关单位了解情况等。
2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模
型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失
进一步分析：从定性分析的角度讨论模型的性质. 单位货物量的成本c ( )随货物增加的下降率为 dc ( ) q 4/3 r ( ) , d 3 它也是货物量的减函数.因而当包装比较大时单位重量 货物的成本的减低将越来越慢. 我们来计算总的节省率，即购买单位包装的商品的 花费随着包装的增大而改变的速率r ( ) ( q / 3) 1/3 , 它 仍然是的减函数.这说明总的节省率也是随着所包装的 货物总量的增加而减少的. 因此，当我们购买货物时并不一定越大的包装越合 算，一般人不一定了解这一点.
1、问题分析：多步决策过程
决策----每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。 要求----在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）， 经有限步使全体人员过河。
2、模型建立
x --第k 次渡河前此案的商人数 k yk --第k次渡河前此案的随从数 sk ( xk , yk )过程的状态 u --第k 次渡船上的商人数 k vk --第k次渡船上的随从数 d k (uk ,vk )决策 x , y 0，2， 1， 3 k k k 1,2, S --允许状态集合 u , v 0，2 1， k k k 1,2, D--允许决策集合
二、建模的方法
机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。
F ma
统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分
析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。
系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把
定性的思维和结论用定量的手段表示出来。
如：层次分析法。
三、建模的步骤
模型准备 N 模型检验 模型分析 模型求解 模型假设 模型建立
数量经济学模型、数学社会学模型等。
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。 6）按对模型结构的了解程度分
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问
题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各
个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步
工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，
尽量将问题均匀化、线性化。
3）模型建立：
•分清变量类型，恰当使用数学工具；
•抓住问题的本质，简化变量之间的关系；
S {( x, y ) | x 0, y 0,1, 2, 3; x 3, y 0,1, 2, 3; x y 1, 2}
D {(u, v) | u v 1, 2} 允许决策集合 sk 1 sk (1) d k 状态转移律
k
3、数学模型
多步决策
三个建模示例、建模的方法、步 骤、特点、分类，及建模竞赛的相 关知识
• 一、建模示例三、四、五
• 二、建模的方法
• 三、建模的一般步骤 • 四、数学建模的特点 • 五、数学建模的分类 • 六、数学建模竞赛的相关知识
一、建模示例三：安全渡河问题
问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳 二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦 随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大 权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？
88 30 当t 48.8889时,ymin 587(秒). 30 24 由此可见,我们计算所得的结果和同学们实际观测 到的数据是比较接近的.这也说明此路口红灯与绿灯设 置的时间比较合理. 评 注: 由上述结果可知,两个方向绿灯时间之比恰好等于 两个方向车流量之比时,车辆在此路口的滞留总时间最 少.这也：一包、一罐等）该 产品的成本，用b表示包装一件该产品的成本， 表示 每件产品所包装的货物量. 由假设1可知产品的成本a正比于产品的货物量， 即a k1 . 用b1 , b2分别表示包装时劳力投入和材料成本.显然， 劳力投入正比于产品的货物量，即b1 k2 .由假设 3可知， 材料成本b2正比于货物的表面积S , 而货物的表面积S与它 的体积V 有比例关系S k3V 2/3 , 而货物的体积又正比于所 包装的货物量，于是我们有b2 k4 2/3 , b b1 b2 k2 k4 2/3 .
每一件产品单位货物量的成本c ( )为 c ( ) ( a b ) / p q 1/3 . 其中p，q为正数.这就是包装量为时单位货物量总成本 的数学模型.不难看出，它是包装量的减函数，表明 包装增大时每件产品的单位货物量的成本将下降，与我 们平时观察到的数据是一致的.
在一个周期中,从南北方向到达路口的车辆数为V,该 周期中南北方向亮红灯的比率是t/T,需停车等待的车辆 数是V t/T.这些车辆等待时间最短为0(刚停下,红灯就转 换为绿灯),最长为t(到达路口时,绿灯刚转换为红灯),由假 设2"车流量均匀"可知,它们的平均等待时间是t/2.由此可 知,南北方向车辆在此路口滞留的时间为 V t t V y1 t2 T 2 2T 同理,南北方向车辆在此路口滞留的时间为 H y2 (T t ) 2 . 2T V H 2 所以, y y1 y2 t (T t ) 2 . 2T 2T
离散模型
确定性模型 线性模型
单变量模型
连续模型
随机性模型 非线性模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、
水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、
生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、
建模示例五：轮廓模型
轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量 的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。 因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓 模型。 （货物的包装成本）在超市中可以看到许 多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装 的形式出售，同一种商品的包装也经常有大 小不同的规格，出售的价格也高低不同。下 表是一些例子。
【模型求解】
V H 2 函数 y t (T t ) 2 2T 2T TH 是关于t的二次函数,容易求得当t= 时,y取得最小值. H V
【数值模拟】
取"问题背景"中调查的数据,即T=88,H=30,V=24, 24 2 30 则 y= t ( 88)(88 t ) 2 2 88 2 3 2 15 2 t 15 88 30t t 22 88 15 88 2 27 2 882 (t 15 ) (15 2 ) 15 88 88 27 88 27
商品 高露洁牙膏 诗芬洗发液 富丽饼干 奇宝饼
商品量 190克
价格 15.7元
单价 0.83元/10克
60克
400毫升 200毫升 450克 150克
5.8元
35.9元 23.1元 8.8元 3.0元
0.97元/10克
0.89元/10毫升 1.15元/10毫升 0.19元/10克 0.20元/10克
问题假设：
面对错综复杂的商品生产过程和包装形 式，为使问题简化，假设如下： 1不考虑利润及其他因素对商品价格的影响； 2所讨论的商品的生产和包装过程的工作效率 是固定不变的； 3商品包装的成本只由包装的劳力投入和包装 材料的成本构成； 4商品包装的形状大小是相似的，不同大小包 装所用的材料是相似的至少在价格上没有太大 差异。
【问题分析】
所谓的合理，应该就是从整体上看，在 红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的 滞留总时间最少。
【模型假设】
1.黄灯时间忽略不计，只考虑机动车，不考 虑人流量和非机动车辆；只考虑东西、南北 方向，不考虑拐弯的情况。 2.车流量均匀。 3.一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯的 时间相等；东西与南北周期相同。
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。
5）模型分析：结果分析、数据分析。
秒。在绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平
均为30辆，南北平均为24辆。这组数据说明了什么问题？ （红绿灯时间设置合理与否）
【问题抽象】
在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东 西方向到达十字路口的车辆数为H，从南北方 向到达十字路口的车辆数为V，问如何确定十 字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合 理？
250克
150克 200克 100克
5.9元