(浙江专版)2020年高考数学一轮复习专题4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)

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4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商数关系（3）倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值（2）已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值（3）若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。

浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时174.2同角三角函数的基本关系和诱导公式课件

+cos230°+tan 60°tan 30°=- + +1= .
13 3 44 2
同角三角函数的基本关系
典例3 (1)(2017杭州四校高三上期中)已知- <α<0,sin α+cos α=1 ,则
2
5
1 的值为 ( B )
cos2α sin2α
A. 7 B. 25 C. 7
D. 24
5
7
5
5
故tan
α=
3 4
.
解法二:把等式平方得(3sin α+4cos α)2=25,即
9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25(sin2α+cos2α),
两边同时除以cos2α,整理得
16tan2α-24tan α+9=0,
解得tan α= 3 .
4
解法三:设4sin α-3cos α=x,则
3 2 2

3

3

θ

6

所以cos
5
6

θ
-sin2
θ

6

=-
3 - 2 =- 2
33 3
3.
◆探究
若本例(2)的条件不变,求sin

3
θ +sin
2
3
θ 的值.
解析
sin

3

θ

0°到360°
的角的三角函数
锐角三角函数
2.三角函数式化简的方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角. (3)用因式分解将式子变形,化为最简.

2020年高考数学(文)一轮复习专题4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)(原卷版)

专题4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．知识点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα≠kπ＋π2，k∈2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦，或者利用公式sinθcosθ＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝tanπ4表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ知识点二三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α考点一三角函数的诱导公式【典例1】（广东省实验中学2018-2019学年高一下学期期末）角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+--（）A ．13B ．1C ．3D ．1-【方法技巧】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.3．三角形中的三角函数关系式sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ；sin A 2＋B 2sin π2－C 2cos C 2；cos A 2＋B 2＝cos π2－C 2sin C 2.【变式1】（甘肃省武威第一中学2018-2019学年质量检测）已知()()sin 22sin 3cos 5πααα-=+-，则tan α（）A ．6-B ．6C ．23-D ．23考点二同角三角函数的基本关系及应用【典例2】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝()A.15 B.55 C.33 D.255【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(4)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.【变式2】（广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一下学期期中）α是第三象限角，且sin -2α=，则tan α=（）A ．BC ．-3D ．33考点三同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用【典例3】（广东省海珠区2018-2019学年期末）已知sin cos 5x x +=，则cos 2=2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（）A ．725B ．725-C ．45D ．45-【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos x c sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θtan π4＝….【变式3】（江西省吉安市2019届高三教学质量检测）已知()tan 2019πθ2-+=-，则ππθsin θ64⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2-B ．15+C ．35+D ．35。

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件高三数学一轮复习(1)

A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
C.cosπ2＋x＝－sin x
D.cos(x－π)＝－cos x
解析 sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
A.56
B.－56
C.34
D.43
解析由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝3a.
所以 sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝94－23a＝1，
解得 a＝－56.
1.sin 570°的值是( A)A.－12来自1 B.23 C. 2
解析 sin 570°＝sin(720°－150°)
第四章三角函数、解三角形
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_s_in_2_α_＋__c_o_s_2_α_＝__1_. (2)商数关系：csoins αα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式一
(2)已知 sin α＋cos α＝－51，且π2＜α＜π，则sin（π1－α）＋cos（π1－α）的值为 35
___1_2____.
解析由 sin α＋cos α＝－15，平方得 sin αcos α＝－1225， ∵π2＜α＜π，∴sin α－cos α
＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α＝75， ∴sin（π1－α）＋cos（π1－α）＝sin1 α－co1s α＝cosisnαα－cossinαα＝－－217552＝3152.

2020高考数学课后作业 4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2020·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32 [答案] A[解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，故选A.2．(文)(2020·山东淄博一模)已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α＝( )A ．－15B.15 C ．－75D.75[答案] B[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝125，又α∈(－π4，0)，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.(理)(2020·河北石家庄一模)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝22，则sin α－cos α的值为( )A ．－ 2B ．－62C. 2D.62[答案] D[解析] ∵sin α＋cos α＝22，0<22<1,0<α<π，∴π2<α<π，∴sin α－cos α>0. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12，∴2sin αcos α＝－12；∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝32，∴sin α－cos α＝62. 3．(文)(2020·杭州二检)若a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° [答案] C[解析] 依题意得32×13－sin αcos α＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.(理)已知向量a ＝(tan α，1)，b ＝(3，－1)，α∈(π，2π)且a ∥b ，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，sin π－α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴tan α＝－3， ∵α∈(π，2π)，∴α＝5π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 13π6＝cos π6>0， sin(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－sin 2π3<0，∴点P 在第四象限．4．(2020·绵阳二诊、长春模拟)已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( )A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.5．(2020·河南南阳调研)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.6．(文)(2020·湖北联考)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( )A.－1±52B.3＋12 C.5－12 D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C. (理)(2020·重庆诊断)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32C ．1 D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即21－cos 2αcos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.7．(文)(2020·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案] －33[解析] 由已知得sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，所以cos α＝1－sin 2α＝32，因此tan α＝sin αcos α＝－33.(理)(2020·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos (π12－α)＝________.[答案] － 223[解析] ∵－π<α<－π2，∴－7π12<5π12＋α<－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]＝sin(5π12＋α)＝－223.8．设a ＝12cos16°－32sin16°，b ＝2tan14°1＋tan 214°，c ＝1－cos50°2，则a 、b 、c 的大小关系为________(从小到大排列)．[答案] a <c <b[解析] a ＝sin14°，b ＝2sin14°cos14°cos 214°＋sin 214°＝sin28°， c ＝sin25°，∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴a <c <b .9．(2020·江西上饶四校联考)对任意的a ∈(－∞，0)，总存在x 0使得a cos x 0＋a ≥0成立，则sin(2x 0－π6)的值为________．[答案] －12[解析] 若对任意的a ∈(－∞，0)，总存在x 0使得a cos x 0＋a ≥0成立，则cos x 0＋1≤0，又cos x 0＋1≥0，所以cos x 0＋1＝0，所以cos x 0＝－1，则x 0＝2k π＋π(k ∈Z)，所以sin(2x 0－π6)＝sin(4k π＋2π－π6)＝sin(－π6)＝－sin π6＝－12.10．(文)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求证：cos 2α＝38.[解析] 由题设知，sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β， ② ①②，得9cos 2α＝4cos 2β， ③ ①＋③，得sin 2α＋9cos 2α＝4，即1－cos 2α＋9cos 2α＝4，∴cos 2α＝38.(理)(2020·南充市)已知三点：A (4,0)，B (0,4)，C (3cos α，3sin α)． (1)若α∈(－π，0)，且|AC →|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝0，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．[解析] (1)由题得AC →＝(3cos α－4,3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4) 由|AC →|＝|BC →|得，(3cos α－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sin α－4)2⇒sin α＝cos α∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. (2)由AC →·BC →＝0得，3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0，解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.11.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >90°，∴B >90°－A ，∴cos B <sin A ，sin B >cos A ，故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，选B.12．(2020·安徽铜陵一中)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且a ＋c ＝3，tan B ＝73，则△ABC 的面积为( ) A.74 B.54 C.72 D.52[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∵tan B ＝73，∴sin B ＝74，cos B ＝34， ∵a ＋c ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝74.13．(文)(2020·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A.15 B ．－15 C ．－75D.75[答案] A[解析] 由于cos α＝45，α∈(－π4，0)，所以sin α＝－35，所以sin α＋cos α＝15，故选A.(理)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( ) A ．－ 195 B.195C.113 D ．－ 113[答案] A[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x x ≤2000x －102 x >2000，则f [f (2020)]＝________.[解析] 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x x ≤2000x －102 x >2000得，f (2020)＝2020－102＝1910，f (1910)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1910＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2020)]＝－1.15．已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)，求cos A .[解析] 解法一：∵π4<A <π2，∴π2<A ＋π4<3π4，∵sin(A ＋π4)＝7210，∴cos(A ＋π4)＝－1－sin2A ＋π4＝－210. ∴cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210×22＋7210×22＝35.解法二：∵sin(A ＋π4)＝7210，∴sin A ＋cos A ＝75，∴sin A ＝75－cos A ，代入sin 2A ＋cos 2A ＝1中得 2cos 2A －145cos A ＋4925＝1，∵π4<A <π2，∴0<cos A <22，∴cos A ＝35.16.(2020·潍坊质检)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. (1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．[解析] (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45·45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·35＝725.1．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋α)，其中a ，b ，α∈R ，且ab ≠0，α≠k π (k ∈Z)．若f (2020)＝5，则f (2020)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5[答案] C[解析] ∵f (2020)＝a sin(2020π＋α)＋b cos(2020π＋α)＝－a sin α－b cos α＝5， ∴a sin α＋b cos α＝－5.∴f (2020)＝a sin α＋b cos α＝－5.2．(2020·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B[解析] sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos2－80°＝1－k 2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.3．(2020·山东济南模考、烟台市诊断)已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( )A.1213 B.513C ．－513D ．－1213[答案] D[解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213，故选D. [点评] 学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tan A ＝－512，A 为三角形内角，即知A 为钝角，∴cos A <0，排除A 、B ；又由勾股数组5,12,13及tan A ＝sin A cos A 知，|cos A |＝1213，故选D.4．(2020·山东临沂一模)已知cos(π2－φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 [答案] D[解析] cos(π2－φ)＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.5．(2020·福建省福州市)已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1 [答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°[答案] C[解析] ∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°，又∵y ＝cos x 在[0°，90°]上单调递减，90°>79°>78°>10°，∴cos79°<cos78°<cos10°，∴sin11°<sin168°<cos10°，选C.7．化简sin k π－α·cos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]·cos k π＋α＝______(k ∈Z)．[答案] －1[解析] 对参数k 分奇数、偶数讨论．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，原式＝sin 2n π＋π－α·cos 2n π－αsin 2n π＋2π＋α·cos 2n π＋π＋α＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1.当k ＝2n (n ∈Z)时，原式＝sin 2n π－α·cos 2n π－π－αsin 2n π＋π＋α·cos 2n π＋α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1.所以sin k π－α·cos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]·cos k π＋α＝－1.。

2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件文

(2)∵f(α)=(1-+2ssiinn��2��)��(+-csoisn��)-+cocos2s��
=
57.
-21-
考点1
考点2
考点3
(方法二)联立
sin��
+
cos��
=
-
1 5
,①
sin2�� + cos2�� = 1,②
由①得,sin α=-15-cos α,将其代入②,
整理得 25cos2α+5cos α-12=0.
因为-π2<α<0,所以
sin��
(1)求 sin2�� + cos�� 的值;
sin��-cos�� 1-tan��
(2)求m的值; (3)求方程的两根及此时θ的值. 思考sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子之间有怎样的关系?
-16-
考点1
考点2
2 5
关闭
解析
关闭
解析答案
知识梳理双基自测
12345
-10-
自测点评 1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中α≠ +kππ2,k∈Z. 2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角α的范围确定. 3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
050°)=
.
(2)设 f(α)=1+2ssiinn2(π��++��c��o)csos32(ππ+-��)--csoisn(2π+π2+��)�� (1+2sin α≠0),则

高三数学一轮复习课件第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝－1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于

2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式【课件】

(3)常见的互余和互补的角
互余的角
π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－ α等
互补的角
π3＋θ 与23π－θ；4π＋θ 与34π－θ 等
考点二同角三角函数基本关系式的应用
角度 1：“知一求二”问题【例 1】 (1)已知 sinα＝13，且 α 为第二象限角，求 tanα. (2)已知 sinα＝13，求 tanα. (3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα.
易错易混 5．已知 θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝ 32－1，则 tanθ 的值为__－___3___．
【解析】解法一：将 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方，得 1＋2sinθcosθ＝1－ 23，即
sinθcosθ＝－ 43，易知 θ≠π2.
故 sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝－ 43，解得 tanθ＝－
cosα
－cosα □10 sinα □11 －sinα
□14 －tanα □15 －tanα
提醒：(1)诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
『基础过关』思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若 α∈R，则 tanα＝csoinsαα恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sinα＝13.( × )

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第02节同角三角函数的基本关系及诱导公式
【考纲解读】
考点
考纲内容
5年统计分析预测
同角三角函
数基本关系式
理解同角三角函数的
基本关系
2015浙江理16
2016浙江文16 2017浙江14
2018浙江18
1.公式的应用.
2. 高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式有小题或在大题中应用为主．应注意两个方面的内容：（1）同角的三个函数值中
知一求二；（2）
能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系． 3.备考重点： (1) 掌握诱导公式；
(2) 掌握同角三角函数基本关系式.
诱导公式
掌握正弦、余弦、正
切的诱导公式
2015浙江理16
2016浙江文16 2018浙江18
【知识清单】
1．同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝cos αsin α，k ∈Z π
. 2．利用诱导公式化简求值六组诱导公式角函数 2k π＋α(k ∈Z )
π＋α
－α π－α
2π
－α
2π
＋α
正弦
sin_α －sin_α －sin_α
sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α
－cos_α sin_α
－sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α
－tan_α
对于角“2kπ
±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶
不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
3．特殊角的三角函数值（熟记）
【重点难点突破】
考点1 同角三角函数的基本关系式
【1-1】若为第三象限，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为第三象限，所以．因此
，故选择B．
【1-2】【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知，，则的值为（）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【1-3】【2018届陕西省咸阳市一模】已知
为第二象限角，且，则
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，
所以，
所以，又因为
为第二象限角，则
，所以
，
所以，故选A.
【领悟技法】
1.利用sin 2α＋cos 2
α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用cos αsin α＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2
α＋cos 2
α，sin 2
α＝1－cos 2
α，cos 2
α＝1－sin 2
α. 3. 三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2
x
等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2
-2sin θcos θ=tan 等.
(3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2
=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2
+(sin θ-cos θ)2
=2的关系进行变形、转化. 【触类旁通】
【变式一】若，，则（）
A ．
B ．
C ．
D ．2
【答案】C
【解析】，因此得
，由于，
，因此，
，由于，，又由于，
，得
，故答案为C.
【变式二】【2017安徽马鞍山二模】已知，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【变式三】【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．【答案】-3
【解析】
考点2 利用诱导公式化简求值
【2-1】【2018届贵州省贵阳市适应性考试（二）】已知,且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题设条件可得，再根据同角三角函数关系式可得，，然后根据诱导公式化简，即可得解.
详解：∵
∴
∵
∴，则.
∵
∴
故选A.
【2-2】【2018届江西省六校第五次联考】已知，，则
__________.
【答案】
【解析】∵，∴cosα<0.
∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴，
则.
【2-3】化简
【答案】当时，原式
当时，原式
【解析】（1）当时，
原式；
（2）当时，
原式.
【领悟技法】
1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+
θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.
4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
【触类旁通】
【变式一】若，是第三象限的角，则（）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，
因此.
【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则_____，_____．
【答案】
【变式三】已知，求
【答案】18
【解析】由题有，，
原式
【易错试题常警惕】易错典例：,那么( )
A. B. - C. D. -
易错分析：(1)k值的正负一撮；（2）表达式符号易错
正确解析：
温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化
思想的应用.
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________.
【答案】(2－sin2，1－cos2)。