复变函数与积分变换课程3-3
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复变函数与积分变换第3章
y
Z
C z n −1
zk
z0
把曲线C分割为n个小段. (如图)
o
z1 z2
zk −1
x
在每个小弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,⋯ , n ) 上任取 一点 ζ n ( k = 1, 2,⋯ , n ), 做和数
n
S n = ∑ f (ζ k )∆zk ,
k =1
其中， ∆zk = zk − zk −1
∫
C
f ( z )dz 存在，并且
n k =1
n k =1
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ k ,ηk )∆yk ]
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
∫C f ( z )dz = ∫C udx − vdy + i ∫
其中C是圆周: z − z0 = r ( r > 0) 的正向. 解 积分路径的参数方程为
y
z
θ ⋅ z r
0
θ
z = z0 + re iθ
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
o
x
∫C
2π 1 ire iθ dz = ∫ n+1 i ( n+1)θ dθ n+1 0 r ( z − z0 ) e i 2π − inθ = n ∫ e dθ , r 0
C
∫
C
zdz 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分
路径的关系? 注意2 一般不能将函数f (z)在以α为起点, 以β 为终点的曲线C上的积分记成
∫
β
α
f ( z )dz , 因为
复变函数与积分变换-第3章
第三章
第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式
复合闭路定理
上述Cauchy定理都是考 虑的单连通区域内解析 函数的积分，如果换成 多连通区域会有什么样 的结果呢？我们该怎么 处理呢？
D
C
C
第三章
第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式
复合闭路定理
C C正向： D 逆时针 方向
K
C
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
第三章
第三节 Cauchy积分公式
f ( z ) f ( z0 ) | f ( z ) f ( z0 ) | dz | dz | z z0 | z z0 | K K
dS 2 R R R
C C C
C2
f ( z )dz =
C1 C2
f ( z )dz
第三章
第一节 复变函数的积分
积分计算
x x(t ), y y (t ), 则合成z (t ) x(t ) iy (t ), z (t ) x(t ) iy(t )
b
C
f ( z )dz = {u ( x(t ), y(t )) x(t )dt v( x(t ), y (t )) y(t )dt}
C C
因此
f ( z )连续
C
f ( z )dz存在
第三章
第一节 复变函数的积分
(1) kf ( z )dz =k f ( z )dz (2) f ( z ) dz = f ( z ) dz
C C C C
积分性质
(3) f ( z )dz
C1
(完整版)复变函数与积分变换课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换课程代码：ELEA3035英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第3学期适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪大纲执笔人：周纯大纲审核人：余雷一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
复变函数与积分变换课件 3.3
4
由牛顿-莱布尼兹公式知,
b
z
3dz
1
z4
b
1 (b4 a4 ).
a
4a 4
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8
例2 求 i z cos zdz 的值. 0
i
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z)
[z sin z]0i
i
sin zdz
0
[z sin z cos z]0i e1 1.
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
D
z0 •
z z z
K
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4
因为 f (z) 在 D 内解析, 所以 连续, 故 0, 0, 使得 z 时, 即 z 时, 有
从而
f ( ) f (z) ,
F (z z) F (z) f (z) z
证 因为 z f ( )d 也是 f (z) 的原函数, z0
所以 z f ( )d (z) c, z0
当 z z0 时, 得 c (z0 ),
所以
z z0
f ( )d
(z) (z0 ).
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7
例1
求
b 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z4 ,
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
1 z .
z
即 F(z) f (z).
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5
原函数和不定积分的定义: 设函数f (z)在区域D内连续，若D内的一个函数 (z)满足
(z) f (z), z D
则称(z)为f (z)的一个原函数，f (z)的所有原函数的 集合称为函数f (z)的不定积分.
由牛顿-莱布尼兹公式知,
b
z
3dz
1
z4
b
1 (b4 a4 ).
a
4a 4
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8
例2 求 i z cos zdz 的值. 0
i
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z)
[z sin z]0i
i
sin zdz
0
[z sin z cos z]0i e1 1.
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
D
z0 •
z z z
K
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4
因为 f (z) 在 D 内解析, 所以 连续, 故 0, 0, 使得 z 时, 即 z 时, 有
从而
f ( ) f (z) ,
F (z z) F (z) f (z) z
证 因为 z f ( )d 也是 f (z) 的原函数, z0
所以 z f ( )d (z) c, z0
当 z z0 时, 得 c (z0 ),
所以
z z0
f ( )d
(z) (z0 ).
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7
例1
求
b 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z4 ,
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
1 z .
z
即 F(z) f (z).
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5
原函数和不定积分的定义: 设函数f (z)在区域D内连续，若D内的一个函数 (z)满足
(z) f (z), z D
则称(z)为f (z)的一个原函数，f (z)的所有原函数的 集合称为函数f (z)的不定积分.
复变函数与积分变换-第3章
0 0 2π n i nt
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
复变函数3-3PPT课件
故 f (z)dz 0,
f (z)dz 0.
AEBBEAA
︵ ︵ ︵AAFBBFA
︵
︵ ︵ AEBBEAA A︵EB BB B︵EA AA,
AAF BBFA AA AF B BB BFA,
C
F
F
A A
D
D1 C1 E
E
B B
5
由 f (z)dz f (z)dz 0,
由例3可知, c (z )ndz 0.
17
总结（计算积分的方法）：
(1)在单连通区域中的解析函数，沿区域内 任一闭合曲线的积分为零；（柯西-古萨定 理） (2) 在复连通区域中的解析函数， 按逆时针方向沿外边界的积分 等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和． （复合闭路定理） (3)在复连通区域中的解析函数，沿所有边 界线构成的复合闭路的正方向积分为零； 其中外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向 （复合闭路定理）
7
由 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
得 f (z)dz 0
那末 f (z)dz 0
C C1
若把这两条简单闭曲线 C 及 C1
看成一条复合闭路 , C C1 ,
的正方向为:
外面的闭曲线按逆时针进行, 内部的闭曲线按顺时针进行,
C
C1
即沿 的正向进行时,
的内部总在 的左手边,
第三节 基本定理的推广
复合闭路定理
一、问题的提出 二、复合闭路定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的提出
B
C
B
C
B
C
B
C
2
二、闭路变形原理
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变积分值，只要在变形 过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.
复变函数与积分变换第三章
1
tdt
o
C
0
0
x
(3 4i)2 . 2
另解：因为Czdz C ( x iy)(dx idy)
y
C zdz C xdx ydy iC ydx xdy
A
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点3 4i 的 o
x
曲线,
zdz (3 4i)2 .
1到1+i直线段的参数方程为 z(t) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt, y
1
1
i
C Re zdz 0 tdt 0 1 idt
1 i.
2
o
1 i
y x2 x
1
积分路径不同,积分结果也可能不同.
例3.2
计算积分
z z
x
C
(z
1 z0
)n1
dz
2π 0
ire i r n1ei(n1)
d
i rn
2π ein d ,
0
当 n 0时,
C
(z
1 z0 )n1
dz
i rn
2π ein d ,
0
y
z
C
1 (z z0 )n1 dz i
2π d
0
2i;
当 0时，均是
n
n
实函数的曲线积分.
i[ v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
k 1
f (z)在C上连续, u( x, y), v( x, y)在C上连续
复变函数与积分变换第3章积分PPT课件
0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方 向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章 复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义 设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习 计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in
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dz
C2
f (z) z z0
dz
2
if
(z0 )
或
1 f (z)
1 f (z)
f (z0 ) 2 i C1 z z0 dz 2 i C2 z z0 dz.
13
例1 求下列积分
(1) 1 sin z dz; (2) 1 2 dz.
2i z 4 z
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
7
二、柯西积分公式
定理
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为C 内任一点, 那末
的积分为零: c f (z)dz 0.
C
此定理也称为柯西古萨定理. B
复合闭路定理
设 C 为多连通域 D内的一条简单闭曲线,
C1, C2 ,, Cn 是在 C 内部的简单闭曲线,它们
互不包含也互不相交, 并且以C , C1, C2 ,, Cn
为边界的区域全含于D,
如果 f (z) 在 D内解析, 那么
C
z0 R
K
D
9
f (z) f (z0 )dz f (z) f (z0 ) ds
K
z z0
K
z z0
R K
ds
2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就
可以任意小,
根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,
所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.
C
C1
C2 C3
n
D
(1) f (z)dz
f (z)dz,
C
k1 Ck 其中C 及 Ck 均取正方向;
(2) f (z)dz 0.
这里 为由C, C1, C2 ,, Cn 组成的复合闭路
(其方向是: C 按逆时针进行, C1, C2 ,, Cn按
顺时针进行).
C
z z0 R全在 C 的内部,
则
f (z) dz f (z) dz
C z z0
K z z0
f (z0 )dz f (z) f (z0 )dz
K z z0
K
z z0
2if (z0 )
K
f (z) f (z0 )dz z z0
f
(z0 )
1 2π
i
C
f (z) z z0
dz.
证 因为 f (z) 在 z0 连续,
C z0
D
则 0, ( ) 0,
8
当 z z0 时, f (z) f (z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R (R ) 的正向圆周K :
12
f (z) dz f (z) dz
C1 z z0
C2 z z0
f (z) dz AA z z0
f (z)
dz
AA z z0
f (z)
dz
BB z z0
BB
f (z) z z0
dz
2
if
(z0
)
即
C1
f (z) z z0
根据闭路变形原理知,
该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
6
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C1
D
C2 C3
第三节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、最大模原理
一、问题的提出
设 B 为一单连通域, z0 为 B中一点.
如果
f
(z) 在 B内解析, 那末
f (z) z z0
在
z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 B 内围绕 z0 的闭曲线.
f
(z0 )
1 2i
f (z) dz
C z z0
柯西积分公式
[证毕]
柯西介绍
10
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
值表示.
(这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分
表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
f (z)
dz 0,
AEBBEAA z z0
AAF BBFA
f (z) z z0
dz
2
if
(z0
)
C1 F A A F
B
D E C2 B
E
︵︵ ︵ ︵ ︵ ︵ AEBBEAA ︵AEB BB B︵EA AA,
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy
C
f
( z )dz
f [z(t)]z(t)dt
1
zz0 r (z z0 )n1 dz
2i, 0,
n 0, n 0.
柯西积分定理
如果函数 f (z) 在单连通域 B 内处处解析, 那么函数 f (z) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C
z 4 z 1 z 3
解 (1) 1 sin z dz
2i z 4 z 因为 f (z) sin z 在复平面内解析,
z 0 位于 z 4内,
14
由柯西积分公式
1
2i
sin z dz z 4 z
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz
2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
15
例2
计算积分
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz.
2
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,教材67页
1
f (z0 ) 2π
2π 0
f (z0
R ei
)d .
推论1
11
为了讨论方便, 添加字符 E, E, F , F,
教材69 页推论2
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.