质点动力学
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
第2章质点和质点系动力学
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
引入惯性力 (ma0 ) ，
T
拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后
牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动
a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立
f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
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第一章 质点运动学1．下列物理量是标量的为（ ） A ．速度B ．加速度C ．位移D ．路程2．下列物理量中是矢量的有（ ）A . 内能 B. 动量 C . 动能 D . 功 答案：1.D 2.B一、位矢、位移、速度、加速度等概念1.一质点作定向直线运动，，下列说法中，正确的是 （ ）A.质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向一定恒定 B.质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向一定恒定 C.质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向不一定恒定 D.质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向不一定恒定2．质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+，,R ω为正的常数，从/t πω=到2/t πω=时间内，该质点的位移是 （ ）A ．2Rj-B ．2RiC ．2j- D ．03．一质点以半径为R 作匀速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内, 其位移大小r ∆=_ _______，其位矢大小的增量r ∆=_________．4．质点在平面内运动，矢径 ()r r t = ，速度()v v t = ，试指出下列四种情况中哪种质点一定相对于参考点静止： （ ）A. 0dr dt = B ．0dr dt =C ．0dv dt =D ．0dv dt =5.质点作曲线运动，某时刻的位置矢量为r，速度为v ，则瞬时速度的大小是（ ），切向加速度的大小是（ ），总加速度大小是（ ）A.dt r dB. dt r dC. dt drD. dt v dE. dt v dF. dt dv6. 在平面上运动的物体，若0=dt dr ，则物体的速度一定等于零。
（ ）7. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v ，平均速率为v ,它们之间的关系应该是： （ ） A ．v = v ，v ≠v B ．v ≠v, v =v C ．v≠v,v≠v D ．v= v ,v=v8．平均速度的大小等于平均速率。
（ ） 9. 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动,每t 时间转一周,在2t 时间间隔中,其平均速度大小与平均速率大小分别为 （ ） A ．2πR/t, 2πR/t. B. 0, 2πR/t. C.0, 0. D.2πR/t, 0.10.质点作曲线运动,r表示位置矢量, s 表示路程, at 表示切向加速度,下列表达式中 , 正确的是 （ ） （1）dv/dt=a ； （2）dr/dt=v ； （3）ds/dt=v ； （4）dtv d=at.A. 只有(1)、(4)是正确的. B ．只有(2)、(4)是正确的. C ．只有(2) 是正确的. D ．只有(3)是正确的11．质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为（v 为任一时刻速率）： （ ）Ａ．dt dvＢ．R v 2Ｃ．R v dt dv 2+Ｄ．2/1242)]()[(R v dt dv +12.已知一质点在运动，则下列各式中表示质点作匀速率曲线运动的是（ ），表示作匀速直线运动的是（ ），表示作变速直线运动的是（ ），表示作变速曲线运动的是（ ） A. 0,0==n t a a ； B. 0,0≠≠n t a a ；C.0,0=≠n t a a ； D. 0,0≠=n t a a13.质点作直线运动的条件是： C.质点作曲线运动的条件是： B. 质点作匀速率运动的条件是： A.A.=ta； B.≠na； C.=na； D.≠ta答案：1.B 2.B 3.2R,0 4.B 5.B,F，E 6.×7.A 8. ×9.B10.D 11.D 12.D，A，C，B 13.C，B，A二．关于速度和加速度的关系：1.下列说法中正确的是（）A．加速度恒定不变时，质点运动方向也不变B．平均速率等于平均速度的大小C．当物体的速度为零时，其加速度必为零D．质点作曲线运动时，质点速度大小的变化产生切向加速度，速度方向的变化产生法向加速度2.一物体具有加速度，但速度可能为零．（）3．运动物体加速度越大，物体的速度也越大．（）4．物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小了．5．物体加速度的值很大，而物体速度可以不变．（）6．物体在运动时，加速度的方向不变而速度方向变化的情况可能发生。
（）7．运动物体速度越大，物体的加速度也越大．（）8．切向加速度改变物体速度的方向．（）9．若质点只有切向加速度，则一定作直线运动．（）10．物体作曲线运动时必有加速度．（）11.质点作曲线运动时，质点速度大小的变化是因为有切向加速度，速度方向的变化是因为有法向加速度。
（）12．物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。
（）13．物体作曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒等于零，因此法向加速度也一定等于零。
（）14．一质点作抛体运动，其加速度不变。
（）15. 在匀速圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心。
（）16.在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心。
（）17．试指出下列哪一种说法是对的 （ ） A ．在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心 B ．匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变C ．物体作曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒等于零，因此法向加速度也一定等于零D ．物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零18.速率逐渐减小，则下图中表示了在C 处加速度的是（）答案：1.D 2. √ 3.× 4.× 5. × 6.√ 7.× 8.√ 9.√ 10.√ 11.√ 12.√ 13.× 14.√ 15.√ 16.× 17.D 18.C 三、利用运动方程求轨迹方程、速度、加速度等；1．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量）, 则该质点作 （ ） A ．匀速直线运动 B ．变速直线运动 C ．抛物线运动 D ．一般曲线运动.2.质点在xoy 平面内运动，任意时刻的位置矢量为j t i t r)sin(3)cos(3ωω+=，其中，ω是正常数，速度= ，速率= ，运动轨迹方程为 。
3．已知质点的运动方程：22(2)r ti t j =+- (SI 制)，则t=1s 时质点的位置矢量为__________，速度矢量为____________，加速度矢量为___________。
4. 已知某一质点的运动学方程：k t j t i t r 32444++=，则t=1s 时质点的位置矢量为__________，速度为___________，加速度为___________，轨道方程为__________________。
A A.AB. A D.C. C5.质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为32653t t t x -++=（SI ），则质点在0=t 时刻的速度=0v ，加速度为零时，该质点的速度v 为 。
6．一小球沿斜面向上运动, 其运动方程为s=5+4t -t2 (SI), 则小球运动到最高点的时刻是 （ ） A ．t=4s B ．t=2s C ．t=8s A ．t=5s7．一质点沿直线ox 做加速运动，它离开O 点的距离随时间t 的变化关系为x=5+2t3，其中x 的单位是m ，t 的单位是s ，它在t=2s 时的速度为： （ ）A. 12m/s ；B. 23m/s ；C. 24m/s ；D. 4m/s 。
8. 质点由静止出发作半径为R 的匀加速圆周运动，角加速度为β，求当总加速度与切线加速度成45o 角时，质点转过的角度θ （ ） A. 1/2. B ．1/3. C ．1/4. D ．1/6.答案：1.B 2. )cos sin (3j t i t ωωω+-,ω3,922=+y x 3. j i r+=2,j i v 22-=,j a 2-= 4. )(4k j i r++=,)32(4k j i v ++=,)3(8k j a +=5.s m /5,s m /176.B7.C8.A 四、匀加速直线运动、抛体运动：1. 从塔顶自由落下一石块，它在最后1秒钟内所通过的路程等于塔高的259，求下落的总时间为 ，塔的高度为 。
(g =10m/s2)。
2．以10 m/s 的速度将质量是m 的物体竖直向上抛出，若空气阻力忽略，g = 10 m/s2，则能上升的最大高度为 （ ） A. 1ｍ； B. 2ｍ； C. 2.5ｍ； D. 5ｍ。
3．一抛射体的初速度为v0=20m/s,抛射角为θ=60︒,抛射点的法向加速度,最高点的切向加速度以及最高点的曲率半径分别为: （ ） A ． 4.9m/s2, 0 , 10.2m. B ． 4.9m/s2, 8.49m/s2 , 0. C ． 8.49m/s2, 0, 40.8m. D ． 9.8 m/s2 , 9.8 m/s2 , 30.6m.4．从同一高度以不同的初速度将质量不同的物体同时水平抛出，则 （ ）A. 质量大的物体先落地；B. 质量小的物体先落地；C. 速度大的物体先落地；D. 同时落地。
答案：1. 5s ，125m 2.D 3.A 4.D 五、由加速度求速度、位置等：1.质点以初速度s m /4 沿x 方向作直线运动，其加速度和时间的关系为t a 43+= ，则s t 3= 时的速度大小为 。
答案：1. s m /31 第二章 质点动力学 一、牛顿运动定律1．速度大的物体，惯性大。
（ ） 2. 在空中做平抛运动的物体受重力和向前运动的力。
（ ） 3. 一个质点沿半径为0.1m 的圆周做匀速圆周运动，当质点的速度大小为5m/s 时，加速度的大小等于 ，质点所受的合力的方向指向 。
4. 线的一端系一个重物，手执线的另一端使重物在光滑水平面上做匀速圆周运动，当转速相同时，线 （填长或短）易断。
5．摆长为L ，质量为M 的物体以角速度ω 在水平面内沿半径R 作匀速圆周运动，则M 的切向加速度at =__________，法向加速度an=___________，绳子的张力大小T=____ _ 。
6. 质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。
比例系数为k ，k 为正常数。
该下落物体的收尾速度将是： （ ）A ．k mgB ．k g2C ．gkD ．gk7．一对平衡力必须同时存在，同时消失．（ ）8．关于静摩擦力的说法，正确的是（ ）A ．两个相对静止的物体间一定有摩擦力的作用B ．受静摩擦作用的物体一定是静止的C ．静摩擦力一定是阻力D ．在物体间压力一定时，静摩擦力的大小可以变化，但有一个限度9. 物体所受摩擦力与物体运动方向相反，且可以产生加速度。