§3.3 质点系的动力学方程(YBY
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点动力学优质获奖课件
由此拟定力 F 旳方向与矢径 相反，即力 旳方向恒指向椭
圆中心 ，称之为有心力
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
例题：摆动输送机由曲柄带动货架AB输送质量为m旳木箱。
已知两曲柄旳长度O1A O2B 1.5 m 、O1O2 AB；在 45 输 送机由静止开始开启，曲柄 O1A 旳初角加速度 0 = 5 rad/s 。 若开启时木箱与货架间没有相对滑动，试拟定木箱与货架间
静摩擦因数旳最小值。
O1
0
A
O2
m
B
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
O1
0
an
m
aτ
A
O2
a
B
解：该问题属于第一类问题。
1、研究木箱，视为质点。进行运 动分析
在开启瞬时，点A旳加速度:
v2
an
l
0
at l0
故该瞬时木箱加速度旳大小 a at l0
理论力学
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
例题：如图所示，从某处抛射一质量为m旳物体，已知初速度
为v0，抛射角即初速度对水平线旳夹角为α, 若不考虑空气阻 力旳影响，试求物体旳运动方程和轨迹方程。
y
v0
x
理论力学
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
解：本题属于动力学第二类问题，即已知力求运动。
第十一章
第三节 质点运动微分方程
质点动力学基本方程
解：2、对木箱进行受力分析
O1
0
an
高中物理奥林匹克竞赛专题--质点动力学的基本方程(共27页)
F
Fx
y d sin t
d2 y a y 2 d 2 sin t 2 y dt
作用在此质点上的力在轴上的投影为
Fx m ax m2 x Fy m ay m2 y
F Fxi Fy j m 2r
力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作 椭圆运动.
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10.1 牛顿定律
10.1.2 惯性参考系
如果只限于地球表面及其邻近范围的机械运动，对
于绝大多数的工程问题来说，研究对象的加速度一
般都要比地球自转而使之产生的附加的加速度大很
多，倘若要求的精度不很高，为了计算简便，可选
择地面参考系。忽略掉地球自转，选择地球参考系
为惯性参考系。地球参考系有时也叫地面参考系。
矢径形式 直 角 坐 标 形 式
d2x m 2 Fx dt 2 d y m 2 Fy dt 2 d z m 2 Fz dt
m
d2r dt
2
F
F v2 m Fn 0 Fb dv m dt
ma F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
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10.1 牛顿定律
10.1.1 牛顿定律
第三定律 任何两个质点间的相互作用力 总是大小相等，方向相反，沿着同一直线， 且分别作用在这两个质点上。该定律也称 为作用与反作定律。
a LT
2
F M LT
2
量纲与其单位是物理量的两个方面，物理量的量纲
是一定的，它的大小却可以用不同的单位来度量
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10.2 质点的运动微分方程
4章 质点系动力学
135
0
4.1.3 质心和质心运动定理
p mi vi mvc （1） 若令 其中 m mi m1 m2 …… 为质点系的总
质量，则可看出： 质点系中总是存在着一个特殊的点C，该点的 运动代表着质点系整体的平动。
1、质心
如何确定这个特殊 点的位置？
y
解：该系统可看成由质量分 布均匀的大、中、小三个球体 组成，它们可 视为质量各自集 中在质心（球心）处的三个质 点，中球的质量为负。
o
x
y
设小球质量为 m0 则 它们的质量和坐标分别为：
o
m1 64m0 , x1 0, y1 0 . 中球： m2 8m0 , x2 R / 2, y2 0 . 小球： m3 m0 , x3 R / 2, y3 R / 4 .
例4.1.2 爆炸前后总动量守恒 一个静止的物体 炸裂成三块，其中两块具有相等的质量，且以相同 速率30 m/s 沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量 为前两块的总和，求第三块的速度。 解：物体的动量原 等于零，根据动量守恒 定律知道，物体分裂为 m3 v3 三块后，这三块碎片的 动量的动量总和仍然等 于零。
对于任一质点 mi ：
Ai
(e)
Ai
(i )
1 1 2 mi vi 2 mi vi2 1 2 2
对于质点系整体 ： （求和）
A
(e)
i
Ai
(i )
1 2 1 2 mi vi 2 mi k1
质点系动能定理
上式表明：质点系所 有外力和内力功的总和 等于质点系动能的增量。
注意
内力能改变系统的总动能， 但不能改变系统的总动量。
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第11页
本章作业
P242 9－7 9－9
第12页
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第13页
若已知初速度、一 定时间间隔后飞离甲 板时速度，则需要弹 射器施加多大推力， 或者确定需要多长跑 道。
第8页
工程实际中动力学问题
v1
F v2
棒球在被球 棒击打后，其 速度大小和方 向发生了改变 。假如已知这 种改变即可确 定球与棒 相互作用力。
第9页
例１．已知：车厢质量为m, 其运动方程为 x=Asinωt。其中A、ω为常量。求：弹簧作用在
sin t 1 x A
车厢在最高位置
N Nmin mg mA 2
第10页
例2.已知：吊车吊重P，匀速v0，绳长l，空气阻力不计。
求：小车突然刹车后，绳子拉力改变。 解： 研究对象：重物
v0
受力分析： P , T 运动分析：圆周运动
应用理论：自然轴形式
l T
n v
P g
dv dt
P sin
积分问题 积分常数由初始条件决定
常力 力是时间函数 力是位置坐标函数 力是速度函数
F = 常数 重力
F = f(t)
电磁力
F = f(x) 弹性力，万有引力
F = f(v)
介质阻力
第6页
工程实际中动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
第7页
工程实际中动力学问题
若已知推力和跑道可 能长度，则需要多大初 速度和一定时间隔后才 能到达飞离甲板时速度。
工程力学(II)
第三篇 动力学
第1页
第三篇 动力学
引论
任务－研究物体受力和运动关系 研究对象(模型)
质点和质点系、 刚体 内容 • 点动力学
质点动力学的基本方程
30
R m
R
( F N P cos )
当 FN=0
n
cos
当 最高位置 =0
n
30
g R
例5：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为 u , = 0。试求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。
解：
ma
Fi
运动微
分方程
v0 k
e
- kt
d ( - kt )
x
x
Fy
x
v0 k
(1 - e
)
g ) | 0 - kt ln( k y
y
- ky - g y
g ge ky
y h- kt
kdy
g ky
- kt
dy g
(e
- kt
- 1)
g k
t
g k
(1 ) (2)
mg
由（2）式解得： 代入（1）式得：
2 F N mr mg sin
Fd f d F N
mg cos - f ( mr 2 mg sin ) mr d
数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律
f s 0 .1
F ma
质量是物体惯性的度量
适用于惯性参考系 第三定律 作用与反作用定律
两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿 同一作用线，且同时分别作用于两个物体上 。
动力学主要研究两类基本问题
1.已知运动求力(逆问题)
a P
2.已知力求运动(正问题 )
质点动力学的基本方程
动力学引言动力学是研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。
工程中的许多问题，如高速转动机械的动力计算、结构的动力计算。
宇宙飞行器和火箭轨道的计算等等，都需要应用动力学的理论。
在动力学中，物体的抽象模型有质点和质点系。
质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
如研究人造地球卫星的轨道时，卫星形状和大小对所研究的问题不起主要作用，可以忽略。
顾客警卫星抽象唯一的质量集中在重心的质点。
刚体作平动时，也可以抽象为一个质点系来研究。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，或刚体不作平动，则应抽象为质点系。
所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。
我们常见的固体、流体、气体以及由几个物体组成的机构，都是质点系。
刚体是一种特殊的质点系，其中任意两个质点间的距离保持不变，也成为不变质点系。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学。
我们以后各章都以质点动力学入手，然后再研究质点系问题。
第十章质点动力学的基本方程§10-1 动力学的基本定律质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果的基础上提出的，称为牛顿三大定律：第一定律（惯性定律）不受力的指点，将永远保持静止或做匀速直线运动。
即：不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是永远保持其原有的速度不变。
这种性质称为惯性。
第一定律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。
由此可知，质点如受到不平衡力系作用时，其运动状态一定改变。
则作用力与物体的运动状态改变的定量关系将由第二定律给出。
第二定律（力与加速度之间关系定律）质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小。
加速度方向与力的方向一致，即：am=F此式建立了质点的的质量、加速度与力之间的关系。
该式表明：1．加速度矢a与力矢F的方向相同。
2．力与加速度之间的关系时瞬时关系。
即：只要其瞬时有力作用于质点，则在该瞬时质点必有确定的加速度。
3．如在某段时间内没有力作用于质点，则在该段时间内质点没有加速度，质点做惯性运动。
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st 0
k( st x)
st
st
O
x
mg
x
x
O
mg
x
第16页
质点系运动微分方程 内力 外力 质点系内力系主矢和对任一点主矩都等于零。
设质点系由 n 个质点所组成，将每一个质点 所受力分为外力协力 ，内Fi 力协力 。 Fi 对于每一个质点
矢量形式质点系运动微分方程。
第17页
d
( mi i ) Fi
A
A
B
C
O
b
c
FN
FT
x
M
o
G
h h
第15页
例9-5卷扬机钢丝绳绕过固定滑轮后悬吊着质量m=15t重物匀速下
降，速度0=20m/min。因为滑轮发生故障，钢丝绳上端突 然被卡住。这时，因为钢丝绳含有弹性，重物将发生上下
振动。设钢丝绳悬垂段弹簧刚度系数k=5.78MN/m, 试求因 为重物振动所引发刚丝绳最大拉力。
F ma
质量—— 质点惯性量度。
Ma
F
重力加速度g——物体仅受重力作用而自由降落。
表示了质点加速度、所受力以及质量之间关系。
第4页
第三定律（作用与反作用定律） ——两质点间相互作用力，总是大小相等，方向相反， 沿着两点连线分别作用在两质点上。
第5页
第四定律（力独立作用定律） ——若质点同时受到几个力作用，则其加速度等于各 力分别作用于该质点时所作用各加速度矢量和。
d
( mi i ) Fi
Fi
( i 1,2,,n )
dt
本章小结
第18页
提议
用MATLAB求解理论力学问题。
第19页
9-24 9-26 9-29
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§3.3 质点系的动力学方程 一、质点组的动力学方程。 1、质点系的动力学方程为简单计，研究两个质点构成的质点系
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
zc
m z m
i i
（4）
（3）或（4）式所确定的空间点和质点系密切关连，叫作质 点系的质量中心，简称质心。
引入质心的概念后，（2）式可写为： 2 d rC F Fi m 2 maC dt aC 称质心加速度。质点系的质心运动定理。
图3.2 刚体的平动 （7）
基本特征： 平动刚体中所有点的运动轨迹形状都保持完全相 同．在运动过程中，刚体上各点在任一时刻都具有相同的速度 和加速度．因此，刚体做平动时，刚体上各点运动都相同，可 用其上任何一点的运动来代表整个刚体的运动．
平动刚体的动力学方程
mi ai mi a ma F
也就是说，研究质点B相对于质点A运动时，只要将质点B的质量m2用约 化质量代替，则质点B相对于质点A的运动微分方程，就和质点A静止不动 时的微分方程形式完全一样。类似地，将质点A的质量m1用约化质量代替， 则质点A相对于质点B的运动微分方程就和质点B静止不动时的微分方程形 式完全一样。从而将二体问题转化为一个等效的单质点问题来处理，可以 直接运用质点动力学的方法简单求解。
2
d r M m ˆr G e 2 2 dt r
2
质心坐标：
mr 2 r 3.8105 km 3 rc 4.7 10 km RE M 80 m M m 3
ydV , dV
zc
zdV dV
（10）
若刚体均匀
xc
xdV , V
yc
ydV , V
zc
zdV V
（11）
可以证明： （1）质量均匀分布而且形状对称的刚体的质心，就在它的对 称中心（或几何中心）。
（2）若刚体由几部分组成，要确定其质心，应先求每一部分 的质心，并认为每一部分的质量集中在其各自的质心上，再将 各部分看作质点系，求其总质心． （3）一般情况下，刚体的质心和重心（刚体所受重力的作 用点）相重合。 （4）由于构成刚体的任意两质点之间的距离保持不变，所以 刚体质心的位置在刚体中位置不变。
根据两体相对运动的动力学运动微分方程，求出相对运动规律 2 d r 2 f (r ) r2 (t ) r1 (t ) r (t ) （17） dt 第三：根据质心运动规律（13）式 ，两体相对运动的规律（17） r ( t ) r 式 ，求出 1 和 2 (t )
（8）
即平动刚体的运动可简化为质点的运动。
2、刚体的质心。对质量连续分布的刚体的质心
xc xdm , dm yc ydm , dm zc zdm dm
（9）
积分遍及刚体的整个体积V 引入体密度
( x, y, z ), dm dV
yc
xc
xdV , dV
由此可得：
m1 y1 m2 y2 yc m1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
x2 xc m1 , xc x1 m2
由此可知，质心必位于m1，m2的联线上， 且质心与各质点距离与质点质量成反比。
三、两体的运动问题 1、两体运动问题的解决方案
第一：根据质心运动的动力学方程，求解质心运动规律 2 d rc F m 2 mac rc (t ) （12） dt
B相对于A的位置矢量
r2 r1 r
图3.3 两体相对运动
定义约化质量
m1m2 m1 m2
（15）
则（3.17）式变为： 2 d r （16） 2 f (r ) dt (19)说明了两体的相对运动规律。它相当于一个质量等于 的 单质点在固定力心的有心力场 f (r ) 中的运动。
特殊情况：不受外力作用的两体的质心的运动
2 d r1 d r2 d 2 m1 2 m2 2 2 (m1r1 m2 r2 ) dt dt dt 2 d m1r1 m2 r2 ( m1 m2 ) 2 dt m1 m2 d 2 rc ( m1 m2 ) 2 0 dt
【例1】有一刚体，由二质点用一根长为的刚性轻杆连接而成， m1 , m2 试求质心。 质量各为
xA1m1 xA2 m2 m2 xc l m1 m2 m1 m2
【例2】计算一个由两质点组成的最简单的质点系的质心。 【例2解】根据质心的定义
m1 x1 m2 x2 xc , m1 m2
2
（13）
不受外力作用的两体的总动量守恒，质心作匀速直线运动
第二：求出相对运动规律。 现求特殊情况下，既不受外力作用的两体的相对运动 两体的相对运动动力学微分方程 质点A
两个不受外力作用的质点在已 知内力作用下的相对运动。
d r1 m1 2 f (r ) dt
2
2
d r2 质点B m2 2 f (r ) dt 2 1 d ( r2 r1 ) 1 f ( r ) （14） 2 dt m1 m2 m1m2 d 2 ( r2 r1 ) f (r ) 2 dt m1 m2
（18）
行星绕太阳运动、人造卫星绕地球运动、电子绕原子核运动、 带电粒子在核场中的散射等，都属于两体运动问题。两体运 动是质点系理论能够精确求解的一个问题。因为三体运动就 不可求解。
2、人造地球卫星的运动 d 2r Mm 2 f (r ) G 2 dt r 地球质量远大于卫星质量M >> m， Mm m M m
二、刚体的平动动力学方程 刚体的一般运动=刚体的质心的运动+绕质心转动
1、平动刚体的动力学方程 刚体平动时，连接刚体上任意两点的直线 的方向始终不变．或者说，刚体内任意两 点间的连线总是平行于它们的初始位置间 的连线．
刚体的平动的基本特征：
A
A
A
B B
B A
B
ai a,
vi v
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
d r Mm ˆr m G 2 e 2 dt r
2
质心坐标
Mx1 mx 2 xc M m
My1 my 2 yc M m
图3.4 地球卫星系统
地球质量远大于卫星质量M >> m， ---卫星相对于地心的单质点运动问题x Nhomakorabea x1
yc y1
3、地月系统
3 R 6.4 10 km 地球半径为 E
r
地球
月地质量比： m / M 1/ 80
月球
地月相距约： r 3.8 10 km 月球相对于地心运动的动力学方程为
5
图3.5 地球月球系统
2 d r Mm d r Mm ˆr 2 2 G 2 e dt r M m dt
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
zc
m z m
i i
（4）
（3）或（4）式所确定的空间点和质点系密切关连，叫作质 点系的质量中心，简称质心。
引入质心的概念后，（2）式可写为： 2 d rC F Fi m 2 maC dt aC 称质心加速度。质点系的质心运动定理。
图3.2 刚体的平动 （7）
基本特征： 平动刚体中所有点的运动轨迹形状都保持完全相 同．在运动过程中，刚体上各点在任一时刻都具有相同的速度 和加速度．因此，刚体做平动时，刚体上各点运动都相同，可 用其上任何一点的运动来代表整个刚体的运动．
平动刚体的动力学方程
mi ai mi a ma F
也就是说，研究质点B相对于质点A运动时，只要将质点B的质量m2用约 化质量代替，则质点B相对于质点A的运动微分方程，就和质点A静止不动 时的微分方程形式完全一样。类似地，将质点A的质量m1用约化质量代替， 则质点A相对于质点B的运动微分方程就和质点B静止不动时的微分方程形 式完全一样。从而将二体问题转化为一个等效的单质点问题来处理，可以 直接运用质点动力学的方法简单求解。
2
d r M m ˆr G e 2 2 dt r
2
质心坐标：
mr 2 r 3.8105 km 3 rc 4.7 10 km RE M 80 m M m 3
ydV , dV
zc
zdV dV
（10）
若刚体均匀
xc
xdV , V
yc
ydV , V
zc
zdV V
（11）
可以证明： （1）质量均匀分布而且形状对称的刚体的质心，就在它的对 称中心（或几何中心）。
（2）若刚体由几部分组成，要确定其质心，应先求每一部分 的质心，并认为每一部分的质量集中在其各自的质心上，再将 各部分看作质点系，求其总质心． （3）一般情况下，刚体的质心和重心（刚体所受重力的作 用点）相重合。 （4）由于构成刚体的任意两质点之间的距离保持不变，所以 刚体质心的位置在刚体中位置不变。
根据两体相对运动的动力学运动微分方程，求出相对运动规律 2 d r 2 f (r ) r2 (t ) r1 (t ) r (t ) （17） dt 第三：根据质心运动规律（13）式 ，两体相对运动的规律（17） r ( t ) r 式 ，求出 1 和 2 (t )
（8）
即平动刚体的运动可简化为质点的运动。
2、刚体的质心。对质量连续分布的刚体的质心
xc xdm , dm yc ydm , dm zc zdm dm
（9）
积分遍及刚体的整个体积V 引入体密度
( x, y, z ), dm dV
yc
xc
xdV , dV
由此可得：
m1 y1 m2 y2 yc m1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
x2 xc m1 , xc x1 m2
由此可知，质心必位于m1，m2的联线上， 且质心与各质点距离与质点质量成反比。
三、两体的运动问题 1、两体运动问题的解决方案
第一：根据质心运动的动力学方程，求解质心运动规律 2 d rc F m 2 mac rc (t ) （12） dt
B相对于A的位置矢量
r2 r1 r
图3.3 两体相对运动
定义约化质量
m1m2 m1 m2
（15）
则（3.17）式变为： 2 d r （16） 2 f (r ) dt (19)说明了两体的相对运动规律。它相当于一个质量等于 的 单质点在固定力心的有心力场 f (r ) 中的运动。
特殊情况：不受外力作用的两体的质心的运动
2 d r1 d r2 d 2 m1 2 m2 2 2 (m1r1 m2 r2 ) dt dt dt 2 d m1r1 m2 r2 ( m1 m2 ) 2 dt m1 m2 d 2 rc ( m1 m2 ) 2 0 dt
【例1】有一刚体，由二质点用一根长为的刚性轻杆连接而成， m1 , m2 试求质心。 质量各为
xA1m1 xA2 m2 m2 xc l m1 m2 m1 m2
【例2】计算一个由两质点组成的最简单的质点系的质心。 【例2解】根据质心的定义
m1 x1 m2 x2 xc , m1 m2
2
（13）
不受外力作用的两体的总动量守恒，质心作匀速直线运动
第二：求出相对运动规律。 现求特殊情况下，既不受外力作用的两体的相对运动 两体的相对运动动力学微分方程 质点A
两个不受外力作用的质点在已 知内力作用下的相对运动。
d r1 m1 2 f (r ) dt
2
2
d r2 质点B m2 2 f (r ) dt 2 1 d ( r2 r1 ) 1 f ( r ) （14） 2 dt m1 m2 m1m2 d 2 ( r2 r1 ) f (r ) 2 dt m1 m2
（18）
行星绕太阳运动、人造卫星绕地球运动、电子绕原子核运动、 带电粒子在核场中的散射等，都属于两体运动问题。两体运 动是质点系理论能够精确求解的一个问题。因为三体运动就 不可求解。
2、人造地球卫星的运动 d 2r Mm 2 f (r ) G 2 dt r 地球质量远大于卫星质量M >> m， Mm m M m
二、刚体的平动动力学方程 刚体的一般运动=刚体的质心的运动+绕质心转动
1、平动刚体的动力学方程 刚体平动时，连接刚体上任意两点的直线 的方向始终不变．或者说，刚体内任意两 点间的连线总是平行于它们的初始位置间 的连线．
刚体的平动的基本特征：
A
A
A
B B
B A
B
ai a,
vi v
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
d r Mm ˆr m G 2 e 2 dt r
2
质心坐标
Mx1 mx 2 xc M m
My1 my 2 yc M m
图3.4 地球卫星系统
地球质量远大于卫星质量M >> m， ---卫星相对于地心的单质点运动问题x Nhomakorabea x1
yc y1
3、地月系统
3 R 6.4 10 km 地球半径为 E
r
地球
月地质量比： m / M 1/ 80
月球
地月相距约： r 3.8 10 km 月球相对于地心运动的动力学方程为
5
图3.5 地球月球系统
2 d r Mm d r Mm ˆr 2 2 G 2 e dt r M m dt