质点和质点系动力学习题课
质点和质点系动力学习题课
例：
1m ，2m ，l ，相互作用
符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时
V 2V
两质点的速度
1m 2/l 2m
解：02211=-V m V m
2/21212
122221121l m
m G V m V m l m m G -+=-
l m m G m V )(22121+=，l
m m G
m V )(22112+=
例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统
（A ）动量与机械能一定都守恒
（B ）动量与机械能一定都不守恒
（C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒
（D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒
例：恒力F ，1m 自平衡位置
由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A
解：A B 系统受水平方向合外力
k F x kx F /0=⇒=- k F Fx A F /2==
222121)(21kx V m m A F ++=， )
(21m m k F V += =T A 2
1212221222121m m m m k F kx V m ++=+
例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m
求：抛掷物体后，三艘船的速度？
解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =⇒+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统
1)()(V M m V u m MV +=++，m
M mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统
3)()(V M m V u m MV +=+-+，m
M mu V V +-=3
例：子弹射中A 后嵌入其中
求：（1）A V =？?=B V （2）?max =B V
解：（1）子弹射中A 后
子弹与A 组成的系统动量守恒
A V m m mV )21
21
(21
+=，2V
V A =，0=B V
（2）2/V V A =，B A m m =，2/max V V B =
例：光滑水平面上放一小车 车上放一木箱，恒力F 将木箱从小车一端拉致
另一端，第一次小车固
定，第二次小车不固定，
（1）两次F 作功相同
（2（3）两次木箱获得动能相同
（4）两次因摩擦产生热相同
解：（1）错，第一次F 作功Fl ，第二次F 作功)(s l F +
（2）错，第一次f 对箱子作功fl -，第二次)(s l f +-
（3）错，第一次合力对箱子作功l f F )(-，第二次)
)((s l f F +- （4）正确，第一次f 的总功fl -，第二次fl fs s l f -=++-)(
例：容器自O 点（平衡位置）左端
l 处
从静止开始运动，每经过一次从上方滴入一质量为m 的油滴
求：（1）滴到容器n 滴后，容器 运动到O 点的最远距离 （2）第n +1滴与第n 滴的时间
间隔
解：（1）从开始到O 点，机械能守恒 2202
121MV kl = 每次经过O 点，动量数值不变 V nm M MV '+=)(
滴入n 滴后到最远距离机械能守恒 222
1)(21kx V nm M ='+ 2222222202
1)(21)(2121kx V nm M MV V nm M V M kl ⋅'+⋅='+⋅⋅ 0)/(l nm M M x ⋅+=
（2）k nm M T t t n n n /)(2
11+==-+π 例：链条kg m 10=，cm l 40= l l m 32120l cm l l <==，kg m 101=
求：链条全部滑到桌面时 系统的速度及加速度
解：21111111
()222m gl mg l m m V -=+
m m =1，2/1l l =
s m gl V /21.183
==
a m m g m )(11+=，2/9.42/s m g a ==
已知m ，M ，H h ，θ 所有接触面光滑 求：m ，M 脱离接触时 M 的速度及m 对M 的速度 x
解：V v v r
+=
V v v r x -=θcos
θsin r y v v -=
0=-MV mv x
222
2221
)(2121
21
)(MV v v m MV mv h H mg y x ++=+=-
)sin )((cos )(222θθm M m M h H g m V ++-=，θ2sin )
)((2m M m M h H g v r ++-=
例：已知m ，M ，θ，
所有接触面光滑 求：M 的加速度a a
m 对M 的加速度a ' 及m M 之间的作用力
解：以M 为参照系
m 受一惯性力
m 相对M 只沿斜面运动
对m ： a m ma mg '=+θθcos sin （1）
0c o s s i n
=-+θθmg ma N （2） 对M ，以地面为参照系
Ma N =θsin （3）
θθθ2s i n c o s s i n m M mg a +=，θθ2s i n s i n )(m M g m M a ++='，θθ2s i n s i n m M M m g N +=。
质点运动学和动力学习题课共26页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
质点运动学和动力学习 题课
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
质点运动学和动力学习题课26页PPT
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 质点运动学及动力学习题
X1 一物体从某一确定高度以v0的速度水平抛出， 已知它落地时的速度为vt，那么它运动的时间 是（ C ） 2 2 12 2 2 12 vt v0 vt v0 A． B. C. (vt v0 ) D. (vt v0 )
g 2g
g
2g
vt v// v 2 2 v vt v0 v// v0
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
x 65 cos 22 . 5 t 解得，t=7s， x=420m 1 70 65 sin 22.5 t gt 2 2
(2) 速度 v
x y
2 x
2 y
式中
v x v0 cos 22.5, v y v0 sin 22.5 gt
T1 一物体以初速度v0从某点开始运动，在Δt时间 内，经一长度为s的曲线路径后，又回到出发 点，此时速度为-v0，则这段时间内，物体的平 均速率是（ s ）；物体的平均加速度是 （ 2v0 ）。 t t
s ★平均速率v t t 2v0 v v0 v0 ☆平均加速度 a t t t
5l 3
v甲 v乙
kl A甲 kxdx 0 2 5l 5l 1 2 3 8 2 3 A乙 kxdx k x kl l l 2 9
l
2
X6 一石块静止地悬挂在弹簧秤上，称得重量为W， 如果把石块挂在弹簧秤上（此时弹簧未伸长） 让他自行下坠，则弹簧秤的最大读数可达到W1， 那么W1和W的关系是（ B ）。 A.W1 =W; B.W1 =2W; C.W1 =3W; D.W1 =4W.
习题课
概念：质点、参照系； 定义：位置矢量、位移、速度、加速度； dr v r r r dt
质点运动学和动力学习题课
2 t SI）沿直线运动。设滑块初速度 2-7 一滑块以加速度 a sin （ 2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（） 1 dv a 2 sin t， dt 2 v 2 cos d v 2 sin
二、填空题 1. 在光滑的水平面上 , 一根长 L=2m 的绳子 , 一端固定于 O 点,另一端系一质量为m=0.5kg的物体,开始时,物体位于 位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态 ,现在使物 体以初速度vA=4m· s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设以 后的运动中物体到达位置 B,此时物体速度的方向与绳垂 1kg· m2/s 直,则此时刻物体角动量的大小为 。速率 为 1m/s 。
解：（）因 1 a 3m s 2 为常量，故由任一时刻的速率v a t，得 v 2 a2t 2 an R R 当总加速度a与径向成450时，an a，即 a2t 2 a R t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为 1 2 s a t 1.50 m 2
4
5. 如图，一弹簧劲度系数为 k ，一端固定在 A 点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为 AB ，在切向变力 F 的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。 解：积分法 F mg cos kR
功能原理
2 2 2 2 2
2
可知质点作半径 R 3m
的圆周运动，故切向加速度 a 和法向加速度an分别为
2 dv v2 （ 12） a 0 an 48 （m s 2 ） dt R 3 2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
质点运动学和动力学习题课26页PPT
15、机会是不守纪律的。——雨果Leabharlann 谢谢！质点运动学和动力学习题课
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
大学物理质点运动学、动力学习题
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CONTENTS
目录
contents
质点运动学基础 动力学基础 质点运动学习题解析 动力学习题解析 综合习题解析
质点运动学基础
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PART.01
质点速度矢量随时间的变化率，记作a=dv/dt。
加速度
在研究物体运动时，如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响很小，可以忽略，则物体可视为质点。
实际应用问题解析
这类问题涉及实际生活中常见的物理现象，如抛体运动、弹性碰撞、摩擦力和流体动力学等。
总结词
这类问题通常要求运用质点运动学和动力学的知识解决实际问题，如分析投篮过程中篮球的运动轨迹、研究碰撞过程中动量和能量的变化等。解题时需要将实际问题抽象为物理模型，运用相关物理原理进行分析，得出符合实际情况的结论。
详细描述
这类习题通常涉及到质点系的整体机械能守恒，需要应用机械能守恒定律建立数学模型，进而求出质点系的势能和动能。
举例
一质量为m的质点在重力作用下沿竖直方向做匀加速运动，求质点的势能和动能。
解析过程
根据机械能守恒定律，质点的势能和动能之和保持不变。通过求解，可以得到质点的势能和动能。
综合习题解析
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PART.05
质点运Байду номын сангаас学与动力学的结合习题
这类习题通常要求分析质点的运动轨迹、速度和加速度的变化，以及力对质点运动的影响。解题时需要综合考虑运动学和动力学的原理，建立质点运动的动力学方程，并求解方程得出结果。
这类习题涉及质点运动学和动力学的综合知识，需要运用速度、加速度、力和动量等概念进行解析。
物理质点力学习题课11
Fx ax vx x
Fy a y v y y Ft at v s Fn an
(2)自然坐标系（轨迹已知，如平面圆周…）
(3) 角坐标系（平面圆周 转动一维）
M
(4) 相互关系 a.直角与自然坐标系
y
y
vy
ay
at ax v x
(C) a g (D) a 4 g 2 (1 cos ) 2 g 2 sin 2
[D]
7. 图示质点 m 在水平面上作半径为R 的匀 速圆周运动, 速率为 v , 从 A 点逆时针运动 到 B 点的半圆周内 (1) 小球的动量变化 (2)向心力的平均值为
(B) mvj
(A) 0
v
b.自然与角坐标系
v a
o
at
ω
x
an
a
o x ds 2 2 v vx v y dt
o
an ρ
x
s = r
ds = rd
2 2 2 2 a ax a y at an
v = r a at = r ， n = r 2
3.相对运动（参考系变换） RMG RMG RMT RTG 矢量图 RTG RMGx RMTx RTGx 分量式 RMGy RMTy RTGy RMT 4. 注意问题
[ D ]
计算题
1、如图所示,一条轻绳跨过摩擦可忽略的轻滑轮,在 绳的一端挂一质量为m1的物体,在另一侧有一质量为 m2 的环,求当环相对于绳以恒定加速度a2沿 绳向下滑动时, 物体和环相对地面的加速度 各是多少? 环与绳间的摩擦力多大? a
解: 设物体和环相对地面的加速度各为a1 、 . a m2 (m1 m2 ) g m2 a2 m1 a1 o m1 m2 FT Ff (m1 m2 ) g m2 a2 m1a1 a a1 a2 a1 m1 m2 a2 a1 m a m1m2 (2 g a2 ) y 2 1 Ff FT m1 g m2 g m1 m2
第2章质点和质点系动力学题解
第2章 质点和质点系动力学2.1 一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时,求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间.解：设斜面得摩擦系数为μ。
对m 分别处于倾角为α，β得斜面上，列出牛顿运动方程为α角： 1sin 0f mg α-=1cos 0N mg α-= 11f N μ=β角：2sin 0f mg β-=2cos 0N mg β-= 22f N μ= 联立解得sin cos a g g tg ββα=- 又物体从高为h 的斜面下滑的运动方程为 21sin 2h at β= 解得t ==2.2 用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求：（1）要推动木箱, f 最小为多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值.解：（1）当f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mgf μαμα≥-0min 0cos sin mgf μαμα=-使木箱做匀速运动，则()cos sin k f mg f αμα=+0cos sin k mgf μαμα=-（2）当下式成立，则无论f 多大，都不能推动木箱，即 0cos sin f f αμα< 01tg αμ>， 01arctgαμ>2.3 质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2的加速度上升, 求：（1）空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：（1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()f M m g M m a -+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 46.8910f N =⨯ （2）对物体m 进行受力分析，得 T mg ma -= 解得吊绳中的张力为()4150010.6 1.5910T m g a N =+=⨯=⨯2.4 质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关闭发动机后, 求：（1）速率v 随时间的变化关系. （2）路程x 随时间的变化关系. （3）证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x mke v v -=0．（4）若200=v m/s, 经过15s 后, 速率降为10=t v m/s, 则k 为多少？ 解：由题意得 2dvkv m dt-= 当0t =时， 0v v = 两边分离变量020vtv dv k dt v m =-⎰⎰积分得011kt v v m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即00001v mv v k m kv t v t m ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由上式两边积分得 000xtmv dx dt m kv t =+⎰⎰即 0ln m kv t m x k m +⎛⎫=⎪⎝⎭（3）由（1）中得 00mv kv t m v=- 代入（2）中的结果，得00ln ln mv m m v m m v x k m k v ⎛⎫+- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭即0k x mv v e-=（4）020m v s =,15t s =,10t m v s=代入（1）中得结果，解得300m k =2.5 质量为m 的质点以初速度0v 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速率成正比, 比例系数为0>k ．试求：（1）质点运动的速度随时间的变化规律. （2）质点上升的最大高度. 解：（1）对上升过程，列出牛顿方程，得 dvmg kv m dt--= 即 mdvdt mg kv-=+积分得00tvv mdvdt mg kv-=+⎰⎰即k mg e k mg v v t m k-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-0 对下降过程，列出牛顿方程，得 dvmg kv m dt-=即 mdvdt mg kv=-积分得 00tvv mdvdt mg kv=-⎰⎰即1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1）中方程得 dv dv dy dy mg kv m m mv dt dy dt dt--=== 即 ()mg kv mg mvdv m dy dv mg kv k mg kv+--==-++积分得()2020ln m m g mg kvy v v k k mg kv +=-++当0v =时，有 20max02ln mg kv m m g y v k k mg ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2.6 自动枪以每分钟发射120发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为9.7g, 出口速率为735m/s. 求射击时枪托对肩部的平均压力. 解：设肩部所受的平均作用力为F ，由动量定理得 Ft mv =∑即31207.91073511.660mv F N t-⨯⨯⨯==≈∑2.7 质点在x 轴上受x 方向的变力F 的作用．F 随时间的变化关系为：在刚开始的0.1s内均匀由0增至20N ，又在随后的0.2s 内保持不变，再经过0.1s 从20N 均匀地减少到0. 求：（1）力随时间变化的t F -图. （2）这段时间内力的冲量和力的平均值. （3）如果质点的质量为3kg, 初始速度为1m/s, 运动方向与力的方向相同. 当力变为零时, 质点速度为多少？ 解：（1）由题意得（2）由上图得11200.1200.2200.1622I N s =⨯⨯+⨯+⨯⨯=⋅ 0.5200.1200.20.5200.1150.4I F N t ⨯⨯+⨯+⨯⨯===（3）由动量定理得 0t Ft mv v =- 即 063133t Ft mv m v s m ++⨯===2.8 子弹脱离枪口的速度为300m/s, 在枪管内子弹受力为5400410/3F t =-⨯（SI ）, 设子弹到枪口时受力变为零. 求：（1）子弹在枪管中的运行的时间. （2）该力冲量的大小. （3）子弹的质量.解：（1）由541040003tF ⨯=-=得3310t s -=⨯即子弹在枪管中的运行的时间为s 3103-⨯。
大学物理第二章习题课
6
作业. 两块并排的木块A和B，质量分别为m1和m2，静止地放置在光滑的水 平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为t1 和t2，木块对子弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度为______， 木块B的速度大小为_______.
F t1 m1 m2
F t1 F t2 m1 m2 m2
u dt
l
船岸
0
M m 0 狗船
M m
S
狗离岸的距离为 S S0 S
S
L l
S
S0
S
S0
M M
m
l
S l L l(1 m ) M l M m M m 17
17
作业. 有两个自由质点，质量分别为 m1和m2 ，他们之间只有万有引 力作用，开始时，两质点相距为 l ,处于静止状态。求当它们相距 l /2
[ C]
(A) ①、②是正确的。
(B) ②、③是正确的。
(C) 只有②是正确的。
(D) 只有③是正确的。
势能与保守力作功的一般关系： W Δ E p
物体沿闭合路径运动一周时, 保守力对它所作的功等于零。 l F保 d r 0
功不仅与力有关，还与位移有关！
5
2.填空题
教材、作业. 质量为m的小球，用轻绳AB、
L1
Δ
L
质点系的角动量定理（积分形式）：作用于质点组的合
外力矩的冲量矩等于质点组角动量的增量。
4
教材. 对功的概念有以下几种说法：
① 保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
② 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
③ 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的