质点动力学习题解答

作业05（质点动力学3）
1..21t t >。

2. 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ，用L 和K E 分别表示卫星对地心的角动量及动能，则应有[ ]。

A ． K
B KA B A E E L L >>, B. KB KA B A E E L L >=,
C. KB KA B A E E L L <=,
D. KB KA B A E E L L <<,
答：［B ］
解：人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动时，它们之间的引力沿着径向，因此角动量守恒
B A L L =
同时，由角动量的定义
B B A A v r v r =
由于B A r r <，所以B A v v >
因此
KB B A KA E mv mv E =>=222
121 3. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮绳子两端。

忽略滑轮和绳子的质量。

当它们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是
[ ]。

A ． 甲先到达 B. 乙先到达 C. 同时到达
答：［C ］
解：由于此二人受到的力相同，质量相同，则加速度就相同。

同时到达。

4. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F ρρρ+=作用在质点上，该质点从坐标原点运动到)2,0(R 位置的过程中，此力F ρ对它做的功为_____。

答： 202R F A =
解：如图首先进行坐标变换，即将坐标原点移到圆周轨道的圆心/o
处，实际上，就是将x 轴平移R 。

在新的坐标系中，圆周轨道θ角处（矢径r ρ），质点受到的力为 ]
)1(sin [cos ])([)(0//00j i R F j R y i x F j y i x F F ρρρρρρρ++=++=+=θθ 在新的坐标系中，矢径为 j R i R r ρρρθθsin cos += θθθRd j i r d )cos sin (ρρρ+-=
元功表示为 θθθθθθθd R F Rd j i j i R F r d F dA cos )cos sin (])1(sin [cos 200=+-⋅++=⋅=ρρρρρρ 所以，质点从坐标原点运动到)2,0(R 位置的过程中，F ρ对它做的功为
2022
/2/02cos R F d R F dA A ===⎰⎰-θθππ
5. 一个半径为R 的水平圆盘以恒定角速度ω作匀速转动，一质量为m 的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处，圆盘对他做的功为_______。

答： 222
1ωmR A -= 解：人在从圆盘边缘走向圆盘中心处的过程中，尽管他的角速度不变，但圆周半径减小，线速度变小，动能变小。

由动能定理，得到人在dr r r +→的过程中，圆盘对他做的元功为
dr mr dr m rdr m r m dr r m mv dv v m dA 22222
22222)(2
121)(2121)(21ωωωωω=+=-+=-+= 因此，在O R →的过程中，圆盘对他做的功为
220221ωωmR dr mr dA A R
-===⎰⎰ 6. 今有劲度系数为k 的弹簧（质量忽略不计）竖直放置，下端是一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程外力做功为________。

答： k g m A 2/2
2=
解：过程结束，弹簧伸长量为
k mg x /=∆
以小球和弹簧为系统，它们之间的作用力是弹力（保守力），拉力是外力，没有非保守内力，根据功能原理，外力做功为 k
g m x k E E A 20)(212
2212=-∆=-= 也可以由变力作功来求。

弹簧伸长x 时，加的外力为
kx F =
所以，元功为
kxdx dA =
弹簧伸长量为k mg x /=∆，所以
k g m k mg k x k kxdx dA A x 2)(21)(212
2220==∆===⎰⎰∆
7. 地球绕日公转轨道是椭圆。

设椭圆的长、短半轴分别为a 和b 。

求地球位于近日点和远日点时离太阳的距离。

设地球位于近日点时的速率为1v ，求它在远日点时的速率。

解：如图，太阳在椭圆转轨的一个焦
点上。

太阳到椭圆质心O 的距离为
2
2b a c -=
由图中的几何关系，得到地球位于近
日点和远日点时离太阳的距离分别为 2
21b a a r --= 222b a a r -+=
地球绕太阳的角动量守恒
2211v r v r =
1222
21212v b
a a
b a a v r r v -+--== 8. 一陨石从距地面高h 处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，
求：（1）陨石下落过程中，万有引力做的功是多少？
（2）陨石落地时速度多大？（设陨石质量为m ，地球质量为M ，地球半径为R ） 解：陨石受到地球的引力为 r r
Mm G F ˆ2-=ρ （1）如图，建立OL 坐标系，则 L L h R Mm G F ˆ)
(2-+=ρ 引力做的元功为 dL L h R Mm G dL L L L h R Mm G
L d F dA 22)
(ˆˆ)(-+=⋅-+=⋅=ρρ 陨石下落到地球表面，万有引力做功为
)()
(02h R R Mmh
G dL L h R Mm G
dA A h +=-+==⎰⎰
（2）根据动能定理，地球引力对陨石所作的功等于陨石动能的增量
02
1)(2-=∆==+mv E A h R R Mmh G K )
(2h R R GMh v += 注意：本题中，我们使用的计算变力做功的办法很特别，但概念非常清晰。

在一般的
教材中，力F ρ对质点做功，表示为r d F dA ρρ⋅=，但一定要注意“r d ρ”是质点在力F ρ作用下的位移。

由于做功与路经有关，在有些情况下，路经与矢径的方向相反（比如本题），会引起概念上的混淆。

因此，在本题中，我们建立了新的坐标系OL ，使得坐标系的方向与路经的方向一致，这样，“L d ρ”是质点沿路经方向的位移，元功L d F dA ρρ⋅=，概念非常清晰，准确。

当然，也有一定的麻烦，就是必须将其他变量都用这一个坐标系来表示。

但换来的是，清晰的物理概念，在解决实际问题中，是非常实用的办法。

当然，在路经与矢径方向相同的问题中，没有必要因入这一坐标系，如，物体远离地球，求地球引力做功。

请仔细品读本题的做法。

9. 一链条总长为L ，质量为m ，放在桌面上靠边处，并使其一端下垂的长度为a ，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ，链条由静止开始运动。

求：（1）到链条离开桌边的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌边的速率是多少？
解：（1）如图，以链条为研究对象。

建立坐标系。

再下滑x 长度时，情况如图所示。

受摩擦力为 i g x a L L
m x f ρρμ)()(---= 摩擦力做元功 dx g x a L L
m i dx x f dA μ)()(---=⋅=ρρ 全部下滑完毕，摩擦力做功
⎰
⎰---=---==a L a L L
mg dx g L m x a L dA A 02)(2)(μμ
（2）以链条和地球为系统，摩擦力为外力。

取全部下滑完毕时的最低点为重力势能零点。

由功能原理，得到
)]2()(0[]221[)(222a L ag L m gL a L L m L mg mv a L L mg -+-+-+=--μ 21
222])()[(a L a L L g v ---=μ。