玩转费马点,巧解最短距离
玩转费马点，巧解最短距离。
玩转费马点，巧解最短距离。
今天为大家带来线段和差最值系列之一（费马点模型），希望大家喜欢并能运用到实践中去。
变式训练----再探模型
挑战中考----展望高分
简单解答---自我提炼
解题套路：费马点问题是指解决从同一顶点出发的三条线段和即“PA+PB+PC”的最小值问题，通常的处理套路是：旋转60°---构造等边三角形---三“折”转一“直”---利用两点之间线段最短---解决问题。
学生在处理时如果教师对线段最短问题只研究到“将军饮马”这一层面（对称问题，后续文章将写到），学生在考试中遇到时将无从下手，白白丢失分数。
做位一名一线教师一定要让学生在处理几何问题时有模型意识，力争让学生达成数学玩模型，解题靠套路的最高境界。
旋转，两点之间线段最短，勾股定理3个知识点就可以解费马点问题
旋转，两点之间线段最短，勾股定理3个知识点就可以解费马点问题皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。
之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。
费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
著名的数学史学家贝尔在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。
贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。
托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
1. 若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
2. 若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
最短路径(八年级最短路径问题归纳)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！2019年中考数学大结局分析——最短路径问题4:费马点费马点问题一个等边三角形是在三角形的三条边的每一条边上向外形成的。
三个等边三角形的外接圆相交于一点T，称为托里切利点，而三个等边三角形的外接圆称为托里切利圆。
在一定条件下，托里切利点与等中心和费马点相同。
托里切利点是意大利物理学家托里切利发现的。
这个问题是费马(1601-1665)向意大利物理学家托里切利(1608-1647)提出的，作为一个著名的“寻找一个点使它到三角形三个顶点的距离最小”的极值问题，托里切利解决了这个问题。
当三角形的内角都小于120时，K为期望点，所以K称为托里切利点，也称为费马点。
后来德国的施泰纳(1796-1863)独立提出并推广，所以也叫施泰纳问题。
本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。
平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。
很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。
除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。
话不多说，直接上题。
【题1】(武汉，2019)问题背景：如图1所示，绕a点逆时针转动ABC，得到ADE，其中DE和BC在p点相交，可以推导出结论：paPC=PE。
解题：如图2，在MNG中，Mn=6，m=75，mg=42。
如果点o是MNG中的一个点，则从点o到MNG三个顶点的距离之和的最小值为。
回答之前，可以先看一下前面的文章：旋转结构的几何最大值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。
上辅助线先。
怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如MOG绕点M 逆时针旋转60度得MOG，连接OO。
易得四点共线时距离和最小。
点G是定点，所以NG的长度为定值。
NMG为135，所以容易求得NG为229。
（备注：过点G作MN的垂线即可解得。
）下面是菁优网的答案。
29。
下面是陕西省的中考压轴题【题2】(2018陕西)问题提出(1)如图所示，在ABC中，a=120，ab=AC=5，那么ABC的外接圆半径r为。
费马点问题知识点
费马点问题知识点费马点问题是一个深奥而有趣的数学难题，涉及到费马大定理的相关内容。
费马大定理是说：对于任何大于2的整数n，不存在任何整数a、b、c，使得a^n +b^n = c^n成立。
这个问题最初由法国数学家费马在17世纪提出，并直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马点问题是针对这个定理的一个特殊情况展开的。
费马点问题是指在三维空间中，给定一系列点，找出其中距离其他点最近的点。
换句话说，对于给定的点集合，找出其中的一个点，使得该点到其他点的距离最小。
这个问题在计算几何学中被广泛讨论和应用。
解决费马点问题的方法可以通过一步一步的思考来完成。
下面将介绍一种常见的解决方法：第一步：确定问题首先，我们需要明确问题的描述和要求。
费马点问题要求找到一个点，使得该点到其他点的距离最小。
第二步：理解问题在解决问题之前，我们需要理解问题的背景和相关知识。
费马点问题涉及到距离的计算和最小值的确定。
第三步：分析问题接下来，我们需要对问题进行分析。
费马点问题可以通过计算每个点到其他点的距离，并找到最小距离对应的点来解决。
这个过程可以使用数学公式和计算方法来完成。
第四步：解决问题在分析完问题之后，我们可以开始解决费马点问题。
首先，我们需要计算每个点到其他点的距离，可以使用欧几里得距离公式来计算。
然后，找到最小距离对应的点，并将其作为费马点。
第五步：验证解决方案解决问题之后，我们需要验证解决方案的准确性。
可以通过重新计算费马点到其他点的距离，并验证其是否是最小距离。
第六步：总结最后，我们需要总结问题的解决过程和结果。
费马点问题是一个有趣且复杂的数学难题，通过分析和计算，我们可以找到最佳解决方案。
这篇文章介绍了费马点问题的基本知识点和解决方法。
通过一步一步的思考和分析，我们可以解决这个有趣的数学难题。
费马点问题在计算几何学中有广泛的应用，对于理解和掌握相关知识具有重要意义。
希望本文对读者有所帮助，引起大家对数学问题的兴趣和思考。
费马点算法详解
费马点算法详解费马点算法是一种寻找图形中最短路径的算法。
它是以数学家费马的名字命名的，因为费马曾提出了一个著名的问题，即如果有两个点和一个固定的目标点，如何使途径两点的路径最短。
费马点算法正是为解决这个问题而设计的。
费马点算法的基本原理是寻找离两个点最近的第三个点，这个点叫做费马点。
费马点和两个点之间的距离是一条最短路径。
具体来说，费马点是满足下列条件的点：1、费马点到两个点的距离相等；2、费马点是由两个点之间相邻直线段垂直平分线的交点。
从这个定义可以看出，费马点算法需要一个图形中的三个点才能计算出两点间的最短路径。
因此，在实践中，费马点算法会花费额外的时间来寻找第三个点。
虽然费马点算法在某些情况下可以计算出最短路径，但它并不是每个案例都适用。
具体而言，当两个点之间有阻碍时 (例如，建筑物或其他障碍) ，费马点算法可能无法计算出最短路径。
此外，费马点算法需要图形中的三个点才能计算出最短路径。
这意味着，如果没有足够的点来计算费马点，则无法使用算法。
因此，当我们需要计算两个点之间的最短路径时，我们需要考虑什么样的数据和什么样的算法最适合我们的项目。
要使用费马点算法来计算两点间的最短路径，需要采取以下步骤：1、确定起始点和终点。
2、从起始点绘制一条直线并延伸到终点。
这条直线代表两点之间的最短路径。
3、从起始点绘制另一条直线，并在终点处与上一条直线相交。
4、从终点绘制一条直线，并在起点处与第二条直线相交。
5、从第二条直线和第三条直线的交点开始，绘制直线并与第一条直线相交。
6、重复第三步和第四步，直到第二条直线和第三条直线之间有足够的距离。
7、从最后一条直线和最近的交点开始绘制最短路径。
综上所述，费马点算法是一种简单而强大的算法，可以计算两个点之间最短路径，但它需要图形中的三个点才能计算。
在实践中，费马点算法可能无法计算出最短路径，但在某些场景中，它仍然是最优的算法选择之一。
最后，当我们需要计算两点之间最短路径时，我们应该考虑数据和算法的复杂性，以便选择最合适的方法。
费马点定理最短距离证明过程
费马点定理最短距离证明过程
费马点定理是一个基本几何定理，它指出如果有一个点，该点到平面上三角形的三个顶点的距离之和最短，那么这个点就是三角形的
费马点。
证明过程如下：
假设我们有一个平面上的三角形ABC。
要找到费马点F，我们可
以从点F开始，画三个线段FA，FB，FC，它们分别连接F和三角形的三个顶点A、B、C。
我们要证明的是，如果F是最短路径的起点，那么F就是费马点。
观察三角形中的两个角：∠AFB和∠BFC。
这两个角加起来等于
∠ABC。
因为我们假设F是最短路径的起点，所以AF + FB小于或等于AC + CB，FB + FC小于或等于AB + AC。
我们可以把AF和CB相加，FB和AC相加，FC和AB相加，得到：AF + FB + CB ≤ AC + CB + AB + AC - AF
FB + FC + AC ≤ AB + AC + AB + CB - FC
FC + AF + AB ≤ CB + AB + CB + AC - AF
如果我们将这三个式子相加，可以得到：
2(AF + FB + FC) ≤ 2(AB + AC + CB)
也就是说：
AF + F B + FC ≤ AB + AC + CB
这表明，如果F是最短路径的起点，则AF + FB + FC等于三角
形三个顶点之间的距离和。
当且仅当∠AFB、∠BFC和∠CFA的内角为120度时，这个不等式是恒成立的。
这种情况下，点F就是费马点。
所以，只要确保三角形内所有角的度数小于或等于120度，F就是费马点。
2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题4：费马点
2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题4：费马点费马点问题在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli's point ），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。
在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。
托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的。
该问题是费马(1601-1665)作为“求一点，使它至一三角形三顶点的距离和最小'这一著名的极值问题而向意大利物理学家托里拆利(1608-1647)提出，并为托里拆利所解决的，当三角形内角均小于120°时点K即为所求，故称K为托里拆利点，也称费马点。
以后，德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它，故又称斯太纳问题。
本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。
平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。
很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。
除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。
话不多说，直接上题。
【题1】（2019·武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．解答之前，大家可以先看之前的文章：旋转构造几何最值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。
上辅助线先。
怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如△MOG绕点M逆时针旋转60度得△MO′G′，连接OO′。
易得四点共线时距离和最小。
点G′是定点，所以NG′的长度为定值。
∠NMG′为135°，所以容易求得NG′为2√29。
2020年中考数学专题突破七：最短路径——费马点问题
1专题七；最短路径一一费马点问题【导例引入】耳例：如團，拒形Ara 中.AB=2yβ9 Bc=& P 为矩形內一点，连接％ PB. PC 、则【方法指引】费尔刃法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，也罡解析几何的发明者N —・≡5 点一一就定到三角形的三个顶点的距蔑之和最小的点〈如图；点的点F 〉・费尔马偉论:（1）对于一个各甬不超过120°的三角形，费勻点是对各边的张角都是120°的点，<2）对于有一个角超过120°的三角形，费勻点就足这个內鸽的顶点•下面筒亘说明如何找点P 使ΘJ∆ABC 三个顶点的艇冉之和PA+豚PC 悬小？这颈杲所i 胃的费尔T 问题・指引：如图2,把△佃绕/点逆时针旋转60°得到△护「，连接歹•则△/加为 等边三角形,Ap= PP , , P' C' =PC,所以丹+/+应=PP ■ F 班P ，C .点L 可看成是独段M 绕/点逆时什施转60°而得的定点，BC i 为定长，所咲当易P ）F , C f 四点在同一直结上时，PA^PB^最小• 这时Z^=ISO Q -OPF =iεθ"-03^=120" , ∆APOΛA P f C =IEo Q -AAP 孩 180°- 60° =120φ > /5^360° -Z^-厶怒360° -120" -120° =120° 费2点的轨点：费巳点与3个顶点连成的线段是:勾通3点的最短路线，【导例解析分折】将△陀绕点C 逆时针旋转60° ,得到△陀，连接彤，屁,AC,则D- 4≠PA 畑PC 的最小值是（的长即为所求•庄旋传为性质可知△阮罡等丈三角形、：∙PC=PF∙•:际EF, ：.PA\PB\PC=PA^FF\EF.••・当人P f F, 0共线时，刊+砂ZT的誉最小•AB 0T四边形ABCD^^->> ：. ZABC=^・・・・询1厶0=荒=丁・：.ZACB=30Q, AC=2AB=4∖^.'.,Z SCF= 60o, .∙.Z用疋=90°・.∙∕5=J (“)： + 6： =20.故选：B.【例题精讲】类型一；与二角形有关的费巧点例1.如團，在中，P为平面內一点、，连结必，PB, FC,分别以兀和祐为一边向右作等丈三角形HFQf^ACD.【探究】求证：Bf=PC' AO=PA【应用】若Be=SAC=E Z⅛g=60>，W l I PA^PB^的最小值罡 _ (用②0表示)【分析】【探究】生竽边三隹形的性话得出砂处AC=CD. FC=W ZPOif=A^CD=60° ,得出Z◎二上竝力证明△/加M血得^MD=PAi【应用】连接由全等三角形的性原得出AACP^ZJX2!> AC=CD-O,求出NEQ=ZZ^Zra120°、作 DFLBC 于 F ，则Z 胞=90°，在 RtAQV 7 中，由直角三1 1 yβ 1角形的性庚得出CF=2A C=⅝, DF=V 3CF=Nb,求出BF=α+⅝,由勾股定理求出M= λIBF T TEF=√α2 + αb + b∖ ,即可得出结论.类型二：与四边形有关的费耳点倂2 .已知正万形辺内一动点£到儿B t C 三点的距區之和的最小背为√7+.B,求此正方形的边长•【分析】:连按AC,发现点£到儿B f 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
玩转费马点，巧解最短距离。
今天为大家带来线段和差最值系列之一（费马点模型），希望大家喜欢并能运用到实践中去。
变式训练----再探模型挑战中考----展望高分简单解答---自我提炼解题套路：费马点问题是指解决从同一顶点出发的三条线段和即“PA+PB+PC”的最小值问题，通常的处理套路是：旋转60°---构造等边三角形---三“折”转一“直”---利用两点之间线段最短---解决问题。
学生在处理时如果教师对线段最短问题只研究到“将军饮马”这一层面（对称问题，后续文章将写到），学生在考试中遇到时将无从下手，白白丢失分数。
做位一名一线教师一定要让学生在处理几何问题时有模型意识，力争让学生达成数学玩模型，解题靠套路的最高境界。