“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
初中数学最值问题六种模型
初中数学最值问题有六种模型，包括将军饮马模型、一箭穿心模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型和瓜豆原理模型。
1. 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
可以理解为两点之间线段最短。
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。
2. 一箭穿心模型：在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。
将点A向右平移d个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l 于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。
3. 费马点模型：在三角形ABC中，若D、E分别是AB、AC 上的点，则DE的延长线与BC的延长线交于费马点处，此时三角形周长最小。
4. 阿氏圆模型：以给定点A为圆心，给定距离r为半径画圆，与已知直线l相交于两点B、C，连接两点B、C并延长交于D。
则D点的轨迹是以A为圆心，r为半径的圆。
这个圆被称为阿氏圆。
5. 胡不归模型：在直角三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，AD为BC边上的高。
若点P在BC边上，问是否存在点P使得DP垂直于BC边？如果存在，求出点P的位置；
如果不存在，请说明理由。
6. 瓜豆原理模型：在一条直线上有若干个点，每个点都有一个到直线的距离，问如何选择若干个点使得这些点到直线的距离之和最小？瓜豆原理告诉我们，选择任意两个相邻的点并连接它们与直线的交点，然后选择第三个点与前两个点的距离之和最小即可。
以上是初中数学最值问题的六种模型，希望对解决这类问题有所帮助。
“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆
“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-084-02【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点，如2019年天津中考的第25题的第3问考察到“a·PA+b·PB”的形式，可用提公因式的方法将“a·PA+b·PB”的形式转化为“PA+k·PB”模型。
于是，我们可以把这类问题分为以下几类：当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以通过作轴对称来处理。
当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，可借助三角函数值或相似的相关内容进行思路转换。
此类问题除上述k值不同的分类外，还需注意动点P轨迹不同带来的分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【关键词】胡不归；阿氏圆；最值问题；数学模型【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；一、“胡不归”模型1、问题初探点P在直线上运动，即“胡不归”问题如图1所示，已知sin∠MBN=k，点P为∠MBN一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”的最小时，点P的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的长度，可以通过转化的思路找到与“k·PB”对应相等的线段，具体方式为过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,此时，“PA+k·PB”的最小值转化为“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小，进一步计算出线段AQ即为所求的最小值。
a+kb最值问题
“PA+k·PB”型的最值问题当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。
例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。
例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ．例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ；当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。
变式：“造桥选址”模型例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB 的值为 。
例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A （4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD 的周长最小，并求出这个最小值。
二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
胡不归和阿氏圆
课题：胡不归和阿氏圆最短路径模型“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当 k 值为 1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型而当 k 取任意不为 1 的正数时：其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
（一）点 P 在直线上运动 -“胡不归”问题如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?2.（相似题巩固）如图，ABC 在平面直角坐标系中，AB=AC ，A(0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为 。
如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形是。
（1）求证：四边形是菱形。
（2）连接，若，。
求的值。
若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动。
当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间。
【胡不归与二次函数结合考点】 1.如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）。
（1）抛物线的函数关系式为 ，tan ∠BAC= 。
（2）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出所有符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。
专题02求最值中的几何模型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
专题02求最值中的几何模型题型解读｜模型构建｜通关试练模型01将军饮马模型将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识.模型02建桥选址模型建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.模型03胡不归模型胡不归PA+k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.模型01将军饮马模型考｜向｜预｜测将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.｜｜｜（1）点A、B在直线m两侧两点连线，线段最短∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．（2）点A、B在直线同侧例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q 分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（）A．6B．C．3D．【答案】D【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，模型02建桥选址模型考｜向｜预｜测建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．｜｜｜（1）两个点都在直线外侧：辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.例1．（2022·湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．求PD+PQ+QE的最小值为．【答案】4．【详解】如图，连接,PA QB ，BCE Q V 和ADC 都是等边三角形，60BCE ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，1302ACE ACB BCE ACD ∴∠=∠-∠=︒=∠，CE ∴垂直平分AD ，PA PD ∴=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE ∴=，PD PQ QE PA PQ QB ∴++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．（2）一个点在内侧，一个点在外侧：辅助线：过点B 作关于定直线n 的对称点B’，连接AB’交直线m 、n 于点P 、Q ，则PA +PQ +QB 的最小值为AB’.例2．（2023·山东）如图，在ABC 中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC 中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC △的周长的最小值为_________．【答案】10【详解】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．（3）如图3，两个点都在内侧：辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’、B’，连接A’B’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’B’.例3．（2023.浙江）如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．点P、Q分别是OA、OB 上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是．【答案】4【详解】解：如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP＝N′P，作点M关于OB的对称点M′，则MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，当N′M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°则∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射线ON'与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直OM'的延长线交于点E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，则EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，则N′M＝＝＝4．故答案为：4．模型03胡不归模型考｜向｜预｜测胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.｜｜｜第一步：构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；第二步：借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；第三步：利用“垂线段最短”原理构造最短距离；第四步：数形结合解题例1．（2023·江苏）如图，ABCD Y 中，45DAB ∠=︒，8AB =，3BC =，P 为边CD 上一动点，则22PB PD +的最小值等于．【答案】42【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB CD ∥，∴∠EDP =∠DAB =45°，∴2sin 2EP EDP DP ∠==，∴22EP PD =，∴22PB PD PB PE +=+，∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵2sin 2BE A AB ∠==，∴22=8=4222BE AB =⨯，故答案为：42．1．（2023·江苏扬州）如图所示，军官从军营C 出发先到河边（河流用AB 表示）饮马，再去同侧的D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：由选项D 中图可知：作D 点关于直线AB 的对称点D ¢，连接CD '交AB 于点N ，由对称性可知，DN D N '=，CN DN CN D N CD ∴+=≥''+，当C 、N 、D ¢三点共线时，CN DN +的距离最短，故选：D2．（2023.浙江）如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF=.【答案】∠ECF ＝30º【详解】过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，如图所示：∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60º，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝30º.故答案为30°3．（2022·安徽）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝30°，P （5，0），在OB 上找一点M ，在OA 上找一点N ，使△PMN 周长最小，则此时△PMN 的周长为．【答案】5【详解】作点P 关于OB 的对称点C ，作P 点关于AO 的对称点D ，连接CD 交OA 于N ，交OB 于M ，连接MP ，NP ，OC ，OD ，∴CM ＝MP ，NP ＝DN ，∴PM +PN +MN ＝CM +MN +DN ≥CD ，∴当C 、M 、N 、D 点共线时，△PMN 的周长最小，∵∠BOA ＝30°，OP ＝OC ＝OB ，∴∠COD ＝60°，∴△OCD 是等边三角形，∴CD ＝OP ，∵P （5，0），∴OP ＝5，∴CD ＝5，∴△PMN 的周长最小值为5，故答案为：5．4．（2023·广东）如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC ∠的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是．【答案】365【详解】解：如图，作Q 关于AP 的对称点O ，则PQ=PO ，所以O 、P 、C 三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ ，此时PC+PQ 有可能取得最小值，∵当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO ∴PC+PQ 的最小值即为CM 的长度，∵1115922ABC S AB CM AC CB CM =⨯=⨯∴=⨯ ，∴CM=91236155⨯=，即PC+PQ 的最小值为3655．（2023·江苏）如图，高速公路的同一侧有A ，B 两城镇，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AC =，4km BD =，8km CD =．要在高速公路上C ，D 之间建一个出口P ，使A ，B 两城镇到P 的距离之和最小，则这个最短距离为．【答案】10km【详解】解：如图所示：作A 点关于直线MN 的对称点A '，再连接A B '，交直线MN 于点P ，则此时AP PB +最小，过点B 作BE CA ⊥交延长线于点E ，∵2km AC =，4km BD =，8km CD =．∴m 422k AE =-=，4km AA '=，A．42B8．（2023·四川）如图，在的最小值是（）A ．6B 【答案】D 【详解】解：过点C 作射线在t R DFC △中，DCF ∠∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=在t R ABC 中，90A ∠=9．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；(2)几何拓展：如图3，ABC 中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．由勾股定理得，BA BA '=∵E 是AB 的中点，∴122BE BA ===，∵90C ∠=︒，2AC BC ==则2C A CA '==，C AB '∠60C AC '∴∠=︒∴C AC '△为等边三角形，∴30AC N '∠=︒，11AN C A '==10．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．问题提出：(1)如图1所示，已知A ，B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P ，并连接AP 与BP ，使PA PB +的值最小．问题探究：(2)如图2所示，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接EP 和BP ，则PB PE +的最小值是___________；问题解决：(3)某地有一如图3所示的三角形空地AOB ，已知45AOB ∠=︒，P 是AOB 内一点，连接PO 后测得10PO =米，现当地政府欲在三角形空地AOB 中修一个三角形花坛PQR ，点Q R ，分别是OA OB ，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求PQR 周长的最小值．（2）解：如下图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由题意易得：PB PE +当D 、P 、E 共线时，在由轴对称性质可得，OM ∴2MON AOB ∠=∠=在Rt MON △中，MN 即PQR 周长的最小值等于A ．22B ．4【答案】A 【详解】解：连接CD ，设,CD∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∴当CG 取得最小值时，CD ∵()05E ,，()5,0F -，∴OE ∴此时CGE 是直角三角形，且∵2EG =,∴2CG =，∴ 故选：A ．2．（2023·上虞市）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【详解】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．115．（2023·湖北）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为．【答案】18【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM =PC ，∴满足PC +PB 最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC +PB 最小，如图所示，此时，P 点与D 点重合，PC +PB =BC ，∴△PMB 周长最小值即为BC +BM ，此时，作DS ⊥AB 于S 点，DT ⊥AC 延长线于T 点，AQ ⊥BC 延长线于Q 点，由题意，AD 为∠BAC 的角平分线，∴DS =DT ，∵1122ACD S AC DT CD AQ == ，1122ABD S AB DS BD AQ == ，∴11221122ABD ACD AB DS BD AQ S S AC DT CD AQ == ，即：AB BD AC CD =，∴763AB =，解得：AB =14，∵AM =AC =6，∴BM =14-6=8，∴△PMB 周长最小值为BC +BM =3+7+8=18，故答案为：18．PMN【答案】3【详解】如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．∵点P 关于OA 的对称点为C ，∴PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【答案】229Rt Rt CEF ADC ∽ ，且CE 282,CF AC EF DC ∴===，∴BE EF BF +≥ ，∴当B 、E 、90FCA ∠=︒ ，90ACG ∴∠=︒4BG AC ∴==，2GC AB ==，2222410BF BG FG ∴=+=+【答案】18【详解】作BB '垂直于河岸，使河岸，过点A 作⊥AC 则MN BB '∥且MN BB =当AM MB AB '+=时，∵12AC =（米），BC ∴在Rt AB C '△中，AB ∴AM MN NB ++的最小值为：11．（2023·广东）如图所示，已知O 为坐标原点，矩形ABCD （点A 与坐标原点重合）的顶点D 、B 分别在x 轴、y 轴上，且点C 的坐标为()4,8-，连接BD ，将ABD △沿直线BD 翻折至A BD ' ，交CD 于点E ．(1)求点A '坐标．(2)试在x 轴上找点P ，使A P PB '+的长度最短，请求出这个最短距离．由折叠知，8A B OA '==，OG ∴11··22OBD S BD OG OD OB == ∴22·4848OD OB OG BD ⨯===+1653216,55A ⎛⎫∴--' ⎝'⎪⎭，(0,8)B ，∴2232168855A B ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''故A P PB '+的长度的最短距离为12．（2023·吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰∵4,120AB AC BAC ==∠=︒，30ABC ∴∠=︒，122AP AB ∴==，故答案为：（2）根据小致的思路作出图形，可知当PN AB ⊥时PE EF +的值最小，如图：∵30ABC ∠=︒，122AP AB ==，∴23BP =，∵1122BP AP AB PN ⋅=⋅，∴AC =，连接CK ，DK ．13．（2023·河南）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河旁边的P 点饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如图1，从B 出发向河岸引垂线，垂足为D ，在BD 的延长线上，取B 关于河岸的对称点B '，连接AB '，与河岸线相交于P ，则P 点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到P ，饮马之后，再由P 沿直线走到B ，所走的路程就是最短的．(1)观察发现如图2，在等腰梯形ABCD 中，2,120AB CD AD D ===∠=︒，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP AP +最短．作点B 关于EF 的对称点，恰好与点C 重合，连接AC 交EF 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP AP +的最小值为_______．(2)实践运用如图3，已知O 的直径1MN =，点A 在圆上，且AMN ∠的度数为30︒，点B 是弧AN 的中点，点P 在直径MN 上运动，求BP AP +的最小值．(3)拓展迁移如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，且抛物线经过()()1,00,3A C --、两点，与x 轴交于另一点B ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线1x =上找到一点M ，使ACM △周长最小，请求出此时点M 的坐标与ACM △周长最小值．则AM DN ∥，∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AD BC ∥，BAD ADC ∠=∠∵A 关于MN 的对称点A ∴点A '在O 上，∵30AMN ∠=︒，∴260AON AMN ∠=∠=∵点A 关于MN 的对称点∵点A 、B 关于直线1x =对称，∴AM BM =，∴AM CM CM BM +=+，∵两点之间线段最短，∴CM BM +最小，即AM CM +∴点M 的坐标为()12-，．。
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“PA+k·PB”型的最值问题 当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处
理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
一、“将军饮马”模型
“将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称
点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是
将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。
例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线
交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小
值是 。
例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝
31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ．
例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动
点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ；
当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。
变式：“造桥选址”模型
例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a
的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找
一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度
和最短，则此时AM+NB 的值为 。
例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A
（4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD
的周长最小，并求出这个最小值。
二、“胡不归”模型
有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回
家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”
早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A 是出发地，
B 是目的地；A
C 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择
了直线路程AB 。
但是，他忽略了在驿道上（V 1）行走要比在砂土地带（V 2）行走快的这一因素。
如果他
能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
解题步骤：
①将所求线段和改写为“BD ＋12V V AD”的形式（0＜1
2V V ＜1）； ②在AD 的一侧，BD 的异侧，构造一个角度α，使得sinα＝1
2V V ； ③过B 作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．
例6. 如图，△ABC 中，BC=2,∠ABC=30°，则2AC+AB 的最小值为 。
例7. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线
BD （不含B 点）上任意一点,则 AM+
21BM 的最小值为 。
例8. 如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为
射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运
动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=
时，运动时间最短为 秒。
[中考真题]
1. （2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像经过点
A （-1，0），
B （0，- 3）、
C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点
D 。
若P 为y 轴
上的一个动点，连接PD ，则
PD PB +2
1的最小值为 。
2. （2014.成都）如图，已知抛物线()()429
38y -+=x x 与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33433+-
=x y 与抛物线的另一个交点为 D （-5，33）。
设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出
发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速
度运动到D 后停止，当点F 的坐标为 时，点M 在整个运动过程中用时最少？
三、“阿氏圆”模型
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A 、B ，则所有满足PA=kPB
（k ≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，
故称“阿氏圆”。
如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知 r=k ·OB.连接 PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？
图 2-1-1 图 2-1-2 图 2-1-3
本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k ·PB=PC 。
∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共
线时最小（如图 2-1-3），本题得解。
“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接），则
连接OP 、OB ；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OB 长度；
第三步：计算这两条线段长度的比
k OB
OP =； 第四步：在OB 上取点C ，使得k OB OP OP OC ==； 第五步：连接AC ，与圆O 交点即为点P ．
例9. 如图，点A 、B 在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点
C 是OA 的中点，点
D 在OB 上，且OD=4，动点P 在⊙O 上，
则2PC+PD 的最小值为 ．
例10. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，
AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点，求
2
2PC+PD 的最小值为 ．
例11. （1）【问题提出】：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求BP AP 2
1+
的最小值为 ． （2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，BP AP +31的最小值为 ．
（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，
点P 是CD 上一点，则2PA ＋PB 的最小值为 ．
【模型类比】
① “胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数
起点构造所需角（k=sin ∠CAE ）---过终点作所构角边
的垂线---利用垂线段最短解决
② “阿氏圆”构造共边共角型相似
构造△PAB ∽△CAP 推出PA 2= AB •AC
即：半径的平方=原有线段×构造线段
拓展：“费马点”问题
背景资料：
在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时
∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此时，PA+PB+PC的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时
△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。