正弦余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
三角函数正弦余弦正切的定义与性质
三角函数正弦余弦正切的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。
本文将对正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与性质进行详细介绍。
一、正弦函数的定义与性质1. 正弦函数的定义正弦函数（Sine Function）是一个周期函数，可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
2. 正弦函数的性质正弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。
（2）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
（4）单调性：在一个周期内，正弦函数是先递增后递减的，且在[0,π]上为递增函数，在[π,2π]上为递减函数。
二、余弦函数的定义与性质1. 余弦函数的定义余弦函数（Cosine Function）也是一个周期函数，可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。
余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
2. 余弦函数的性质余弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
（2）周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
（3）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
（4）单调性：在一个周期内，余弦函数在[0,π/2]上为递减函数，在[π/2,2π]上为递增函数。
三、正切函数的定义与性质1. 正切函数的定义正切函数（Tangent Function）可以表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正切函数的定义域为全体实数，但在其周期的特殊点（如π/2）处无定义。
2. 正切函数的性质正切函数有以下几个重要的性质：（1）周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
正弦函数余弦函数的性质
D .x0
2、求 yco2sx()函数的对称轴和对称中心。
3
小结
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在上都x∈是[2增kπ函- 数π2, 2kπ+
(1)yco2xs
(2)y2sin 1x()
23
想一想：你能解决这个问题吗？
求函数 ysin(1xx)) ，
23 23
x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
小结
求单调区间 y A s i n ( x ) y A s i n z （1）化未知为已知 （2）负号：sin提出来；cos消去
正弦函数、余弦函数的性质（四）～最值
（ 2 ） s in 3 0 1 2 0_ =_ _ s in 3 0
能 否 说 1 2 0 是 函 数 f x s i n x , x R 的 周 期 ？
正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性
（观察图象） y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
正弦曲 线
4
5 6 x
正弦函数 f(x)sinx性质如下：
2
2
-
o 2
2
3 2
2 5 2
3
7 2
4
-1
对称中ห้องสมุดไป่ตู้k（ ,0)
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦、余弦函数的性质
2k ,2 2k k Z 递增
2k , 2k k Z 递减
x 2k , k Z
x 2k , k Z
ymax 1
ymin 1
奇函数
偶函数
对称中心:k ,0, k Z
x k , k Z
对称轴：
2
对称中心:
k
2
,0 ,
k
Z
x k , k Z
对称轴：
课堂小结
2、新课程导学P66 3,4
,k
Z
函数y
3sin
2x最大值是-3.
因为有负 号，结论 要相反呀！
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合， 并写出最大值、最小值各是多少。
（教材P39页例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1) sin( )与sin( )
18
10
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出它们取最大值、 最小值的自变量的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？
(1) y cosx 1, x R;
(2) y 2sin 3x, x R;
解：(1)使函数y cos x 1, x R取得最大值的x的集合， 就是使函数y cos x, x R
2
最小值：当x 2k , k Z时，有最小值y 1.
2
知识点二、余弦函数的对称性与奇偶性
y
y cos x的图像
1
3 5
2
2 3
2
2
O 1
2
3 2
2
5 3
2
x
单调性：
在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数 最大值：当x 2k , k Z时，有最大值 y 1; 最小值：当x 2k , k Z时,有最小值y 1.
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
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§3.1.1两 角 差 的 余 弦 公 式（数学必修4）
李雁纯
一、教学目标
1. 引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的
结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2. 通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3. 在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生
学会合作交流的能力。
特别是使学生经历了发现
猜想 论证的数学化的过程。
并体验到了数学学习的严谨 、求实的科学态度。
二、教学重点、难点
重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
三、教学情景设计
1．创设情境，揭示课题
针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15 （2）0000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？
2.公式推导
以求cos()αβ-为切入点，让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法。
（1）三角函数线法（只作简略的引导）
X
（2）向量法
让学生经历怎样利用向量知识作出探索的过程：
（a）结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
（b）怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
（c）对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。
）
由向量数量积的概念,有 由向量数量积的坐标表示,有 因为α、β、都是任意角,所以αβ
-也是任意角,但由诱导公式以总可找到一
个[0,2)
θπ
∈，使得cos cos()
θαβ
=-。
于是对于任意角α、β都有称为差角的余弦公式，Cαβ-（）简记公式特点：左边是角α-β的余弦,右边是角α、β的余弦积与正弦积的和. 3．两角差的余弦公式的应用（1）已知四个单角函数值求差角的余弦x
如图,建立单位圆O
例1．利用差角余弦公式求0
cos15的值
解法1
：0000000
cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin304
=-=+=…=
解法2
：0
cos15cos(6045)cos60cos 45sin 60sin 45=-=+=…=4
注：差角余弦公式适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。
练一练：求 cos105°的值.
（2）已知两个单角函数值求差角的余弦
（让学生结合公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
）
653313125413553sin sin cos cos )cos(13
12
)135(1cos 1sin ,13
5
cos 5
3
)54(1sin 1cos ),,2
(,54sin 2222-
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=--
=---=--=-=-
=--=--=∈=βαβαβαββββααππ
αα是第三象限角，得
得
解：由 （以上例题的设计意图：通过基础题目的练习，加强学生对公式的理解和应用，注意了角的灵活拆分，并使学生体会到思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。
）
（3）公式的逆用
4．巩固强化
1．求值 0000
cos75cos30sin 75sin30+
(
2
2．化简cos()cos sin()sin αββαββ+++ (cos )α
）的值。
（是第三象限角，求，），，（，：已知例βαββππαα--=∈=cos 13
5cos 254sin 2的值：求例︒︒+︒︒15sin 45sin 15cos 45cos 3cos(15)cos sin(15)sin x x x x +︒++︒求的值。
1583.sin cos 17334
πθθθ=
-已知，是第二象限角，求（）的值 （）
14.cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 1
2
（）
提示：利用拆角思想cos cos[()]βαβα=+-的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、
逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。
）
5.课堂小结
回顾公式 C αβ-（） 的推导过程，
观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 6．作业
P152 2 ，3，4。