高考数学第一轮复习单元试卷12-椭圆

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最新高三理科数学一轮复习试题精选21椭圆(含解析)

高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆一、选择题1 ．（北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同地点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 地离心率地取值范围是（） A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322U【答案】D解：当点P 位于椭圆地两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。

，若点不在短轴地端点时，要使12F F P ∆为等腰三角形，则有1122PF F F c==或2122PF F F c==。

此时222PF a c=-。

所以有1122PF F F PF +>，即2222c c a c +>-，所以3c a >，即13c a >，又当点P 不在短轴上，所以11PF BF ≠，即2c a ≠，所以12c a ≠。

所以椭圆地离心率满足113e <<且12e ≠，即111(,)(,1)322U ，所以选 D ．二、填空题2 ．（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆22142x y +=地两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 地面积是______．解：由椭圆地方程可知2,a c ==，且12||||24PF PF a +==，所以解得12||3,||1PF PF ==，又12||2F F c ==，所以有2221212||||PF PF F F =+，即三角形21PF F 为直角三角形，所以△12PF F 地面积12211122SF F PF ∆==⨯=3 ．（北京东城区普通校高三12月联考理科数学）椭圆22192x y +=地焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠地小大为_____________.【答案】120o【解析】椭圆22192x y +=地 29,3aa ==，22222,7b c a b ==-=，所以c =.因为14PF =，所以1226PF PF a +==，所以2642PF =-=.所以22222211121212421cos 22422PF PF F F F PF PF PF +-+-===-⨯⨯，所以12120F PF∠=o三、解答题4 ．（北京东城区普通校高三12月联考理科数学）(本小题满分14分) 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地地一个端点与两个焦点构成地三角形地面积为3. (Ⅰ)求椭圆C 地方程;(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点地横坐标为12-，求斜率k 地值;②若点7(,0)3M -，求证:MA MB⋅u u u r u u u r 为定值.【答案】(本题满分14分)解:(Ⅰ)因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222ab c =+，3ca =，1223b c ⨯⨯=解得2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y +=(Ⅱ)(1)将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+因为AB 中点地横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得k =(2)由(1)知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++5 ．（北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题）已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>地左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 地面积为163. （Ⅰ）求椭圆C 地方程；（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径地圆是否经过点B ？并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 地方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y t x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F，所以EF =因为△AEF 地面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C地方程为22192x y +=. …………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R.…………………5分设1122(,),(,)E x y F x y ，则121222416,2929m y y y y m m --+==++，………………………………………………6分111x my =+，221xmy =+.又直线AE 地方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++u u u u r u u u r ，……………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++u u u u r u u u r12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0= (13)分所以BM BN⊥u u u u r u u u r ，所以以MN为直径地圆过点B. …………………………………14分6 ．（北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>地四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地菱形地四个顶点.(I)求椭圆M 地方程;(II)直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 地垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆ (O 为原点)面积地最大值. 【答案】解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b +=>>地四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地菱形地四个顶点，所以1a b ==，椭圆M 地方程为2213x y +=(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 地垂直平分线通过点1(0,)2-，显然直线AB 有斜率，当直线AB 地斜率为0时，则AB 地垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-=，所以AOB S ∆≤当且仅当1||x =时，AOBS ∆当直线AB 地斜率不为0时，则设AB 地方程为y kx t =+所以2213y kx t xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330kx kt t +++-=当224(933)0k t ∆=+->，即2231kt +>①方程有两个不同地解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314kt+=②代入①，得到04t << 又原点到直线地距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOBS ∆取得最大综上，AOB ∆面积地7 ．（北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>地离心率为22，且过点A .直线2y x m =+交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点.(Ⅰ)求椭圆C 地方程;(Ⅱ)△ABD 地面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)Θace ==22， 22211a b +=，222c b a+=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=(Ⅱ)设11(,)B x y ，22(,)D x y，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-=∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<，12,x x+= ① 2122x xm =-②12BD x =-=Q设d 为点A 到直线BD:=+2y x m 地距离，∴d =∴12ABD S BD d ∆==≤当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =ABD ∆地 8 ．（北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分) 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>地长轴为AB ，过点B 地直线l 与x 轴垂直，椭圆地离心率e =F 为椭圆地左焦点，且1AF BF=g .(I)求此椭圆地方程;(II)设P 是此椭圆上异于,A B 地任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 地中点，判定直线QN 与以AB 为直径地圆O 地位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由题意可知，(,0)A a -， (,0)B a ，(,0)F c -，()()1AF BF a c a c =+-=g 2221ac b ∴-== 又e =22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a=所求椭圆方程为2214x y +=(Ⅱ)设0(,)P x y ，则0(,2)Q x y 00(2,2)xx ≠≠- 由(2,0),A -得0022AQy kx =+所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为08(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 地坐标满足椭圆方程得到:2200+44xy = ，所以220044x y -=-000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 地方程:0002()2x y yx x y -=--化简整理得到:22000244x x yyx y +=+= 即024x x yy+= 所以点O 到直线NQ 地距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径地圆O 相切9 ．（北京市丰台区高三上学期期末考试数学理试题）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等地椭圆．点M 地坐标是（0，1），线段MN 是1C 地短轴，是2C 地长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C交于A ，D 两点（A 在D 地左侧），与2C 交于B ，C 两点（B 在C 地左侧）．（Ⅰ）当m= 2， 54AC =时，求椭圆12,C C 地方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 地取值范围．【答案】解：（Ⅰ）设C 1地方程为2221x y a+=，C 2地方程为2221x y b+=，其中1,01a b ><<．..2分ΘC 1 ，C 2地离心率相同，所以22211a b a -=-，所以1ab =，……………………….…3分∴C 2地方程为2221a xy +=．当m=时，A(2a -，C 1(2a ． (5)分又Θ54AC =，所以，15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分 ∴C 1 ，C 2地方程分别为2214x y +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-，m)，B(-，m) ． …………………………………………9分QOB ∥AN ，∴OBANkk =，∴1m =，∴211m a =- ． …………………………………….11分2221a e a-=，∴2211a e =-，∴221e m e-=． ………………………………………12分Q01m <<，∴22101e e-<<，∴12e <<．........................................................13分10．（北京西城高三二模数学理科）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<地左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 地任意一点，点P 与点A 关于点M 对称.(Ⅰ)若点P 地坐标为9(,55，求m 地值; (Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 地取值范围.【答案】(Ⅰ)解:依题意，M 是线段AP 地中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以点M 地坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以 41212525m+=，解得 47m =(Ⅱ)解:设00(,)M x y ，则2201y x m +=，且011x-<<. ①因为 M 是线段AP 地中点，所以 00(21,2)P xy +因为 OP OM ⊥，所以 200(21)20x xy ++=. ②由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+，当且仅当2x=-.所以 m 地取值范围是1(0,]24-11．（北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:2214x y +=地短轴地端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点M (m ，12) 满足0m ≠，且3m ≠±. (Ⅰ)求椭圆C 地离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E ，F 地坐标;(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积地 5倍，求m 地值.【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =，3=c ，23=∴e ; (Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ，M (m ，12)，且0m ≠， ∴直线AM 地斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m 23，∴直线AM 地方程为y=121+-x m ，直线BM 地方程为y=123-x m ，由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m xmx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()012922=-+mx xm ，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; (Ⅲ)Θ1||||sin 2AMFSMA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BMESMB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BMES S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =， ∴225,41219m mm mm m m m =--++Θ0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0mm --=，又Θm ≠∴230m-≠， 12=∴m，1m ∴=±为所求12．（北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 地两个焦点分别为21,F F ，且221=F F ，点P 在椭圆上，且21F PF ∆地周长为6.(I)求椭圆C 地方程;(II)若点P 地坐标为()1,2，不过原点O 地直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设线段AB 地中点为M ，点P 到直线l 地距离为d ，且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB+地最大值.【答案】解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ，解得1,2==c a ，又3222=-=c a b，所以椭圆C 地方程为13422=+y x(II)设()()2211,,,y x B y x A .当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆地对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合，显然P O M ,,三点不共线，不符合题设条件.故可设直线l 地方程为()0≠+=m m kx y . 由⎩⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得()0124843222=-+++m kmx xk .①则()()124434642222>-+-=∆m k mk ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122143124,438k m x x k km x x 所以点M 地坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-22433,434k m kkm.因为P O M ,,三点共线，所以22432433,k kmk m k kOP OM+-=+=，因为≠m ，所以23-=k ，此时方程①为33322=-+-m mx x ，则()1232>-=∆m ，⎪⎩⎪⎨⎧-==+33,22121m x x m x x所以()()2122122y y x x AB -+-=()()[]21221241x x x x k -++=()2121213m -=，又1342232822-=+-=m m d ，所以()()352344344121613131222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB ，故当()0,3234-∈-=m 时，2216131312d AB+地最大值为352 13．（北京东城高三二模数学理科）已知椭圆C:22221x y a b+=(0)a b >>地离心率e =，原点到过点(,0)A a ，(0,)B b -地直线地距离是5.(Ⅰ)求椭圆C 地方程; (Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=地对称点为()111,y x P ，求2211xy +地取值范围.(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同地两点E，F ，且E ，F 都在以B 为圆心地圆上，求k 地值.【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为c a =，222a b c -=，所以 2a b =.因为原点到直线AB :1x ya b-=地距离d ==，解得4a =，2b =. 故所求椭圆C 地方程为221164x y +=.(Ⅱ)因为点()0,P x y 关于直线x y 2=地对称点为()111,y x P ，所以0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 01435y xx -=，01345yx y +=.所以22221100xy x y +=+. 因为点()00,P x y 在椭圆C:221164x y +=上，所以22222011344x x y x y +=+=+.因为044x-≤≤，所以2211416xy ≤+≤.所以2211xy +地取值范围为[]4,16. (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k xkx ++-=.可知0∆>.设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 地中点是(,)MM M xy ，则2324214Mx x kxk +-==+，21114MM ykx k =+=+.所以21M BMM y kx k+==-. 所以20MM xky k ++=.即 224201414kkk kk -++=++. 又因为0k ≠，所以218k=.所以4k =±14．（北京市石景山区高三一模数学理试题）设椭圆C:2222x y a b +=1(a>b>0)地左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =u u u r u u u u r ，且AB ⊥AF 2.(I)求椭圆C 地离心率;(II)若过A 、B 、F 2三点地圆与直线l:x 3-=0相切，求椭圆C 地方程;(Ⅲ)在(II)地条件下，过右焦点F作斜率为k地2直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN地中垂线与x轴相交于点P(m，O)，求实数m地取值范围.【答案】15．（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆()11:222>=+a y ax C 地上顶点为A ，左焦点为F ，直线AF 与圆0726:22=+-++y x y xM 相切.过点⎪⎭⎫⎝⎛-21,0地直线与椭圆C 交于Q P ,两点. (I)求椭圆C 地方程;(II)当APQ ∆地面积达到最大时，求直线地方程. 【答案】解:(I)将圆M 地一般方程072622=+-++y x y x 化为标准方程()()31322=-++y x ，则圆M 地圆心()1,3-M ，半径3=r .由()()()10,,1,02-=-a c c F A 得直线AF 地方程为=+-c cy x .由直线AF 与圆M 相切，得3132=++--cc c ，所以2=c 或2-=c (舍去).当2=c 时，3122=+=c a，故椭圆C 地方程为1322=+y x(II)由题意可知，直线地斜率存在，设直线地斜率为k ，则直线地方程为21-=kx y . 因为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在椭圆内，所以对任意R ∈k ，直线都与椭圆C 交于不同地两点. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13,2122y x kx y 得()04933122=--+kx xk .设点Q P ,地坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则()22122122113149,313,21,21k x x k k x x kx y kx y +-=+=+-=-=，所以()()212212y y x x PQ -+-=()()[]21221241x x x xk -++=()()222314113k k k +++=.又因为点()1,0A 到直线21-=kx y 地距离1232+=k d ，所以APQ ∆地面积为()2231441921k k d PQ S ++=⋅=设2311kt +=，则10≤<t 且31312-=t k ， ()34231493344931344922+--=-=-⋅=t t t t t S .因为10≤<t ，所以当1=t 时，APQ ∆地面积S 达到最大，此时13112=+k，即0=k .故当APQ ∆地面积达到最大时，直线地方程为21-=y 16．（北京高考数学（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上地三个点，O 是坐标原点.(I)当点B 是W 地右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形地面积;(II)当点B 不是W 地顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=地右顶点B 地坐标为(2，0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m )，代入椭圆方程得2114m+=，即m =. 所以菱形OABC 地面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 地顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 地方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠. 由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k xkmx m +++-=.设A 1,1()x y ，C 2,2()xy ，则1224214x xkm k +=-+，121222214y yx x mk m k ++=⋅+=+.所以AC 地中点为M(2414km k -+，214mk+). 因为M 为AC 和OB 地交点，所以直线OB 地斜率为14k -.因为1()14k k ⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 地顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.17．（年高考（北京理））已知椭圆G:2214x y +=.过点(,0)m 作圆221xy +=地切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.(Ⅰ)求椭圆G 地焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB|表示为m 地函数，并求|AB|地最大值.【答案】【命题立意】本题考查椭圆地标准方程和性质以及直线被椭圆截得地弦长地求法，运用基本不等式求解函数地最值问题.考查学生地运算能力和综合解答问题地能力. 【解析】(Ⅰ)由已知得2,1a b ==，c =所以椭圆G 地焦点坐标为(，，离心率为2c e a ==(Ⅱ)由题意知，||1m ≥.当1m =时，切线l 地方程为1x =，点A ，B 地坐标分别为，(1,，此时||AB =当1m =-时，同理可得||AB =当||1m >时，设切线l 地方程为()y k x m =-，由22()14y k x m xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(14)8440k xk mx k m +-+-=设A 、B 两点地坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2221212228441414k m k m x x x x k k -+=⋅=++又由l 与圆221x y +=1=，即2221k mk =+所以||AB=由于当1m =±时，||AB =||(,1][1,)AB m ∈-∞-+∞U因为||2||||AB m m =≤+，当且仅当m =||2AB =所以||AB 地最大值是218．（北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>地右焦点为F (1,0)，短轴地端点分别为12,B B ，且12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r.(Ⅰ)求椭圆C 地方程;(Ⅱ)过点F 且斜率为k (0)k ≠地直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 地垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN地中点为P ，试求DPMN 地取值范围.【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--u u u r，2(1,)FB b =-u u u u r.由12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r，得21ba-=-.又因为221ab -=，解得2,a b ==. 所以椭圆C 地方程为22143x y +=(Ⅱ)依题直线l 地方程为(1)y k x =-. 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k xk x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+所以弦MN 地中点为22243(,)3434k k P k k -++所以MN ===2212(1)43k k +=+直线PD 地方程为222314()4343k k y x k k k +=--++，由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<.所以DP MN地取值范围是1(0,)419．（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e(Ⅰ）求椭圆C 地方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同地两点NM ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径地圆经过椭圆C 地右顶点A. 求证：直线l 过定点，并求出定点地坐标.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c (1)分解得 1,2==b a ………2分所以椭圆地方程为：1422=+y x ……3分（II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422448)k 41222=-+++m kmx x 得（…4分 0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km 整理得1422>+-m k (5)分设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+ …….6分由已知，ANAM ⊥且椭圆地右顶点为)0,2(A ………7分)2)(2(2121=+--∴y y x x (8)分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k也即04418)2(4144))1(22222=+++-•-++-•+m kkmkm k m k …… 10分整理得：1216522=++k mk m (1)1分解得562km k m -=-=或均满足1422>+-m k ……12分当km 2-=时，直线地 l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当56k m -=时，直线地 l 方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56( 故直线l过定点，且定点地坐标为)0,56( …….14分20．（北京市东城区普通高中示范校高三12月综合练习(一)数学理试题）椭圆T 地中心为坐标原,,OM ON OP地斜率之和为0，求证.【答案】解:(1)设椭圆T地由题意知:左焦点为'(2,0)F -2b =. 故椭圆T 地方法2、待定系数法)(2)设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)M s t N s t P s t ，由:221128xy +=，28x y +=，两式相减，得到12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=,,OM ON OP 地斜率之和为0，方法2:设直线AB :111()y t k x s -=-，代入椭圆2228xy +=，得到22211111111(12)4()2()80k x t k s k x t k s ++-+--=以下同21．（北京市东城区普通校高三3月联考数学（理）试题）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 地离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 地距离为,2求椭圆地方程；（II ）设过椭圆地右焦点且倾斜角为︒45地直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 地值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μλ+=，求实数μλ,满足地关系式.【答案】解：（I ）222=∴==b b d Θ323622=∴==ac a c e Θ22222324a a c b a =-∴=-Θ 解得.4,1222==b a椭圆地方程为.141222=+y x (4)分（II ）（i ）∵e .232,3,36222222b a c b a c===∴=Θ椭圆地方程可化为：22233b y x =+ ①易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：bx y 2-= ②由①，②有：0326422=+-b bx x③设),(),,(2211y x B y x A ，33424244872)11()()(||222222212212==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB1=∴b ………………………8分（2）（ii ）显然OA 与OB 可作为平面向量地一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内地向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OM μλ+=成立. 设M （x ，y ），,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=Θ又点M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④由③有：43,22322121b x x b x x ==+则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y xx ++-=--+=+693222=+-b b b ⑤又A ，B 在椭圆上，故有222222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑥，⑤代入④可得：.122=+μλ ……………………14分22．（北京市海淀区高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆22:143x y C +=地左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点地点P ，点Q . (Ⅰ)求椭圆地离心率和右焦点F 地坐标; (Ⅱ)(i)证明,,P F Q 三点共线; (Ⅱ)求PQB ∆面积地最大值. 【答案】解:(Ⅰ)24a=，23b=，所以，2221ca b =-=.所以，椭圆地离心率12c e a ==. 右焦点()1,0F .(Ⅱ)(i)()2,0A -，()2,0B .设()4,M m ，显然0m ≠.则():26m MA y x =+，():22m MB y x =-. 由()222,6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得222542,2718.27P P m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由()222,2143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22226,36.3Q Q m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩当29m =时，1PQ x x ==，,,P Q F 三点共线.当29m≠时，22018612739P FPP y m mkx m m -===---，22066199Q FQ Q y m mk x m m --===---，所以，FPPQkk =，所以，,,P Q F 三点共线.综上，,,P Q F 三点共线.(Ⅱ)因为,,P Q F 三点共线，所以，△PQB 地面积()()()22212912327P Q m m S FB y y m m +=⨯⨯-=++2912912m m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭设9u m m =+，则21212uS u =+ 因为()()22246'12u S u-=+，且96u m m =+≥，所以，'0S ≤，且仅当6u =时，'0S =，所以，21212uS u =+在[6,)+∞上单调递减. 所以，212636122S ⨯≤=+，等号当且仅当6u =，即3m =±时取得. 所以，△PQB 地面积地最大值为32.23．（北京市海淀区高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地离心率为12，且经过点3(1,)2A .(Ⅰ)求椭圆C 地方程;(Ⅱ)设,M N 为椭圆C 上地两个动点，线段MN 地垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 地取值范围.【答案】解: (Ⅰ)椭圆C 地方程为:221.43x y +=(Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=. 依题意有||||PM PN ==，整理得 22221212012()()2()0x x y y y y y -+---=.将2211443y x =-，2222443y x =-代入上式，消去2212,x x ，得 2212012()6()0yy y y y -+-=.依题意有 12y y-≠，所以126y y y+=-.注意到1||y ≤，2||y≤，且,M N 两点不重合，从而12y y -+<所以(y ∈.24．（北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题）已知椭圆地中心在原点，焦点在x 轴上，(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同地两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆地方程；（Ⅱ）求m 地取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、地斜率互为相反数．【答案】（Ⅰ）设椭圆地方程为22221x y a b +=，因为e =所以224ab =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20ba ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200xmx m ++-=，22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 地斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．。

高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案

高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。

2022届高考数学一轮复习课时作业椭圆及其性质

椭圆及其性质1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2＋ky 2＝1的焦距为2，则( )A ．k ＝2B ．k ＝2或k ＝23C ．离心率e ＝22D ．离心率e ＝22或e ＝332．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为8，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 216＋y 215＝1 B ．x 28＋y 27＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝14．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹可能是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．不存在5．(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)的椭圆上，若△PF 1F 2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A ．x 220＋y 24＝1 B ．x 24＋y 220＝1 C ．x 232＋y 216＝1D ．x 210＋y 26＝16．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C ：x 2＋y 2n ＝1(n >0)的离心率为32，则n 的值可能是( )A ．4B ．14C ．2D ．127．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．9．(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．10．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．能力提高1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1； ②椭圆C 的短轴长可能为2；③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12； ④若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17.则上述结论正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 23．(2020·豫州九校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，求OP →·PF→的取值范围．扩展应用1．(2020·北京模拟)已知椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是________．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a的取值范围．椭圆及其性质1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2＋ky 2＝1的焦距为2，则( )A ．k ＝2B ．k ＝2或k ＝23C ．离心率e ＝22D ．离心率e ＝22或e ＝33BD [将椭圆方程化为标准方程x 2＋y 21k ＝1,2c ＝2，∴c 2＝12.当焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1k ，那么c 2＝1－1k ＝12，∴k ＝2，此时e ＝c a ＝22.当焦点在y 轴上时，a 2＝1k ，b 2＝1，那么c 2＝1k －1＝12，∴k ＝23，此时e ＝ca ＝1232＝33.故选项BD 正确．]2．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C[由题意得⎩⎨⎧2－k ＞0，2k －1＞0，2k －1＞2－k ，解得1＜k ＜2.故选C.]3．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为8，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 216＋y 215＝1 B ．x 28＋y 27＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝1C [根据椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝8， ∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.]4．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹可能是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．不存在AC [当a >0时，由基本不等式得a ＋9a ≥2a ×9a ＝6，当且仅当a ＝3时等号成立．当a ＋9a ＝6时，点P 的轨迹是线段F 1F 2，当a ＋9a >6＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆．故选AC.]5．(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)的椭圆上，若△PF 1F 2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A ．x 220＋y 24＝1 B ．x 24＋y 220＝1 C ．x 232＋y 216＝1D ．x 210＋y 26＝1C [由题意，2c ＝8，即c ＝4，∵△ PF 1F 2面积的最大值为16，∴12×2c ×b ＝16，即4b ＝16，b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝16＋16＝32. 则椭圆的标准方程为x 232＋y 216＝1.故选C.]6．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C ：x 2＋y 2n ＝1(n >0)的离心率为32，则n 的值可能是( )A ．4B ．14C ．2D ．12AB [当椭圆C 的焦点在x 轴上时，0<n <1，所以a 2＝1，b 2＝n ，所以c 2＝a 2－b 2＝1－n ，此时，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝1－n ＝32，解得n ＝14；当椭圆C的焦点在y 轴上时，n >1，所以a 2＝n ，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝n －1，此时，椭圆C 的离心率e ＝ca ＝n －1n ＝32，解得n ＝4.因此，n ＝14或n ＝4.故选AB.]7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．(－5,0) [∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋4)2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．]9．(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．6＋2 6－2 [椭圆方程可化为x 29＋y 25＝1. 设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，连接AF 1，PF 1， ∴|AF 1|＝2，易知|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1三点共线时等号成立)， ∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2.]10．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．[解] 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|＝2，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3，所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． [解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎨⎧2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提高1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1； ②椭圆C 的短轴长可能为2；③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12； ④若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17. 则上述结论正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④C [因为|F 1F 2|＝2，所以F 2(1,0)，|PF 2|＝1，所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时，取等号，故①正确；若椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 21＝1，12＋11＞1，则点P 在椭圆外，故②错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a ＋1b ＜1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a ＋1a －1＜1，即a 2－3a ＋1＞0，解得a ＞3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a ＞1＋52，所以e ＝1a＜5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12，故③正确；若PF 1→＝F 1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故④正确．故选C.]2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 2BC [对于A ，因为在椭圆中，a ＋c 是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以A 错误；对于B ，因为在椭圆中，a －c 是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以a 1－c 1＝a 2－c 2，所以B 正确；对于C ，D ，因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，所以椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大，所以D 是错误的，C 正确．]3．(2020·豫州九校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，求OP →·PF→的取值范围． [解] 因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2a ＋2c ＝4b ，即a ＋c ＝2b . F (3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c ＝3. 在椭圆中，a 2＝c 2＋b 2，所以⎩⎨⎧a 2＝c 2＋b 2a ＋c ＝2bc ＝3，解方程组得⎩⎨⎧a ＝5b ＝4c ＝3，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1. 设P (m ，n )(0＜m ＜5)，则m 225＋n 216＝1，则n 2＝16－1625m 2.所以OP →·PF →＝(m ，n )(3－m ，－n )＝3m －m 2－n 2 ＝3m －m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1625m 2 ＝－925m 2＋3m －16＝－925⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2562－394. 因为0＜m ＜5，所以当m ＝256时，OP →·PF →取得最大值为－394，当m 趋近于0时，OP →·PF→的值趋近于－16. 所以OP →·PF →的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－16，－394. 扩展应用1．(2020·北京模拟)已知椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是________．①② [椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1(6－b 2，0)和F 2(－6－b 2，0)，短轴的两个端点分别为B 1(0，－b )和B 2(0，b )，设P (x ，y )，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，由椭圆定义可得，|PB 1|＋|PB 2|＝2a ＝26＞2b ，即有P 在椭圆y 26＋x 26－b 2＝1上，对于①，将x 换为－x 方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确；对于②，由图象可得，当P 满足x 2＝y 2，即有6－b 2＝b 2，即b ＝3时，|OP |取得最小值，可得x 2＝y 2＝2时，即有|OP |＝x 2＋y 2＝2＋2＝2取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜6，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故③不正确．故答案为①②.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围．[解](1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2 a2＋y2b2＝1. ③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4 c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4 2. 当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．。

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型

高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型下面是编辑教员整理的2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆几何概型，希望对您高考温习有所协助. 【变式训练1】 (1)(2021镇江调研)设函数f(x)=log2x，那么在区间(0,5)上随机取一个数x，f(x)2的概率为________.(2)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，假定在该圆周上随机取一点B，那么劣弧的长度小于1的概率为________. [解析] (1)由log2x2，从而02S2的概率是________.[解析] 由S12S2，AP2PB，即S12S2的概率为.[答案]2.设A为圆周上一点，在圆周上等能够地任取一点与A连结，那么弦长超越半径倍的概率是________.[解析] 如下图，作等腰直角三角形AOC和CAM，B为圆上任一点，那么当点B在上运动时，弦长|AB|R，P=.[答案]3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，那么△PBC的面积大于的概率是________.[解析] 如图，要使S△PBCS△ABC，只需PBAB.故所求概率为P==.[答案]4.在区间[0，]上随机取一个数x，那么事情sin x+cos x发作的概率为________.[解析] 由sin x+cos x1，得sin，由于0，那么，由几何概型概率公式得，所求概率P==.[答案]5.正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC[解析] 当点P究竟面ABC的距离小于时，VPABC由几何概型知，所求概率为P=1-3=.[答案]6.函数f(x)=log2x，x，在区间上任取一点x0，使f(x0)0的概率为________.[解析] 由f(x0)0，得log2x00，x01，因此使f(x0)0的区域为[1,2]，故所求概率为P==.[答案]7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，使四棱锥MABCD的体积小于的概率是________.[解析] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，那么SABCD，又SABCD=1，h，即点M在正方体的下半局部，所求概率P==.[答案]8.(2021连云港清华园双语学校检测)假定在区间(-1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，那么直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为________.[解析] 直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足1，即4a3b，在平面直角坐标系aOb中，-13b的区域为图中ODCE 的外部，由E，可求得梯形ODCE的面积为，而矩形ABCD的面积为2，由几何概型可知，所求的概率为.[答案]二、解答题9.如图105所示，在单位圆O的某不时径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超越1的概率. [解] 弦长不超越1，即|OQ|.因Q点在直径AB上是随机的，记事情A={弦长超越1}.由几何概型的概率公式得P(A)==.弦长不超越1的概率为1-P(A)=1-.10.在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率.[解] 如下图，不等式组表示的平面区域是△ABC的外部及其边界.又圆x2+y2=1的圆心(0,0)到x+y-=0与x-y+=0的距离均为1，直线x+y-=0与x-y+=0均与单位圆x2+y2=1相切，记点P落在x2+y2=1内为事情A，∵事情A发作时，所含区域面积S=，且S△ABC=2=2，故所求事情的概率P(A)==.[B级才干提升练]一、填空题1.(2021辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长区分等于线段AC，CB的长，那么该矩形面积小于32 cm2的概率为________.[解析] 设AC=x，CB=12-x，所以x(12-x)=32，解得x=4或x=8.所以P==.[答案]2.(2021盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.[解析] 此题为几何概型，设D为正方形OABC的面积，d为到坐标原点距离大于2的面积，那么P====1-.[答案] 1-二、解答题3.向量a=(2,1)，b=(x，y).(1)假定x{-1,0,1,2}，y{-1,0,1}，求向量ab的概率;(2)假定x[-1,2]，y[-1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率.[解] (1)设ab为事情A，由ab, 得x=2y.基身手情空间为={(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，(2，-1)，(2,0)，(2,1)}，共包括12个基身手情;其中A={(0,0)，(2,1)}，包括2个基身手情.那么P(A)==，即向量ab的概率为.(2)由于x[-1,2]，y[-1,1]，那么满足条件的一切基身手情所构成的区域(如图)为矩形ABCD，面积为S1=32=6.设a，b的夹角是钝角为事情B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2x+y0，且x2y.事情B包括的基身手情所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2=2=2，那么P(B)===.即向量a，b的夹角是钝角的概率是.2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆几何概型曾经呈如今各位考生面前，希望同窗们仔细阅读学习，更多精彩尽在高考频道!。

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤，则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径，所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立，所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =，故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即22a =，所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______．【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤，设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增，故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增，故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-，所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<，所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ．故答案为：2xy =-()22-<<x ．例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程；（2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ，又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ，故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-，故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =，所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△，所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==．综上，||||4PA PB ⋅=．【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

2024年高考数学题源追溯专题12 椭圆(解析版)

专题12 椭圆目录一览2023真题展现考向一椭圆的性质考向二直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一椭圆的性质考向二直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C 1：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），C 2：x 24+y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a ＝（）A ．233B ．2C ．3D ．6【答案】A解：由椭圆C 2：x 24+y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2=4−1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4（a 21−b 21）＝4（a 21−1），∴a =233或a =−233（舍去）．考向二直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C ：x 23+y 2=1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x +m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝（）A ．23B ．23C ．−23D ．−23【答案】C解：记直线y ＝x +m 与x 轴交于M （﹣m ，0），椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点分别为F 1（−2，0），F 2（2，0），由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|−2−x M |＝2|2−x M |，解得x M =23或x M ＝32，∴﹣m =23或﹣m ＝32，∴m =−23或m ＝﹣32，y 2=1x +m可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0，∵直线y ＝x +m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝﹣32不符合题意，故m =−23．【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MF MF F F +=，M 的轨迹为线段21F F ；②若1212||||||MF MF F F +<，M 的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质x 2y 2y 2x 2椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)余弦定理：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .重要结论：S △PF 1F 2=2tan2b θ推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||+||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=-+2122||||1cos b PF PF θ=+由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin tan 21cos 1cos 2cos 2b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===++注：S △PF 1F 2=2tan2b θ=||p y c =r c a )(+（r 是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中,F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意的一点，当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大.四、点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.五、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立Error!消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.y考向一椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【解答】解：F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号，所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9．故选：C ．4．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l +＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2，则l 的方程为．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为E ，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则k OE •k AB ＝•＝＝﹣，设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，k ＜0，m ＞0，M （﹣，0），N （0，m ），∴E （﹣，），∴k OE ＝﹣k ，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．考向二直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案为：13．根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。

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第十二单元椭圆、双曲线、抛物线一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5(2) 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m= ( )Ｂ32 Ｃ83 Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF ( )A 1或5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是 ( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞-D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 ( )A1716 B 17174 C 54 D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( ) A23 B23 C 26 D 332 (8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为 ( )A43B53 C (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )AB C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21+=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补.(Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题: 1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a则a 的取值范围是(]1，∞-6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y p y y y y x x k k OBOA则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅= ∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a cac a 2122222=-∴=-故椭圆的离心率e 1二填空题:11. 1922=-y x [解析]：因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错∵),(21+=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。

故②错三解答题(15) 解:由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> (16) (Ⅰ)证: 易知点P 在抛物线C 上, 设PA 的斜率为k, 则直线PA 的方程是y-4=k(x-2).代入y=-21x 2+6并整理得x 2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根x A 及2, 由韦达定理得:2x A =-4(k+1) , ∴x A =-2(k+1). ∴y A =k(x A -2)+4.=-k 2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k 2-4k+4). 由于PA 与PB 的倾斜角互补, 故PB 的斜率为-k. 同理可得B(-2(-k+1), -k 2+4k+4) ∴k AB =2.(Ⅱ) ∵AB 的方程为y=2x+b, b>0.代入方程y=-21x 2+6消去y 得21x 2+2x+b-6=0. |AB|=2)216(52]624[212b b -=--+）（）（. ∴S=21|AB|d=21·252165bb ⋅-）（9364)3216()216(3=++-≤⋅⋅-b b b b b b . 此时方程为y=2x+316.(17) 解:直线l 的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =22)1(ba ab +-.同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d 2 =22)1(ba ab ++.s= d 1 +d 2=22b a ab+=cab2. 由s ≥54c,得cab 2≥54c,即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2.即4e 2-25e+25≤0.解不等式,得45≤e 2≤5.由于e>1>0, 所以e 的取值范围是525≤≤e(18) 解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为 ∴抛物线方程为y 2= 4x .（2）∵点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=-解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即为,04)4(4=---m y m x 圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交.。