【精品】2017-2018年天津市河西区高三上学期数学期末试卷(理科)及答案
【精品】2017-2018年天津市河西区高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2017-2018学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2=0，则x，y都不为02．（3分）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（3分）准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）A．x2=16y B．x2=8y C．x2=﹣16y D．x2=﹣8y4．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B． C． D．5．（3分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件7．（3分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（3分）已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为．10．（4分）已知向量，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，cos＜，＞=﹣，则l与α所成的角为．11．（4分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同的渐近线，则C 的方程为．12．（4分）已知p：x，若p且q为真，则x的取值范围是．13．（4分）已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|=4，线段AB的中点到直线x=的距离为1，则p的值为．14．（4分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．三、解答题（本大题共6小题，共52分）15．（8分）已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（Ⅰ）若（k+）∥（﹣3），求实数k的值；（Ⅱ）若（k+）⊥（﹣3），求实数k的值．16．（8分）求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．17．（8分）命题p：设c＞0，c≠1，函数y=c x是R上的单调减函数，命题q：1﹣2c＜0，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．18．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|，求C的方程．19．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．20．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
天津河西2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
河西区2017-2018学年度第一学期高三年级期中形成性质量调查数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数32i i +的虚部是（ ）． A ．3i B ．3i - C ．3 D ．3-【答案】D 【解析】232i (32i)i i(32i)23i i i ++==-+=-，所以其虚部为3-． 故选D ．2．已知集合{}|2,0x M y y x ==>，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则M N = （ ）．A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>， {}{}22|lg(2)|20N x y x x x x x ==-=->{}{}2|20|02x x x x x =-<=<<，∴(1,2)M N = ．故选B ．3．设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数及充要条件的判断． 若ππ1212θ-<，则π06θ<<， 则10sin 2θ<<，充分性成立； 若1sin 2θ<，因为θ∈R ，所以7ππ2π,2π66k k θ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，必要性不成立． 故“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件． 故选A ．4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）．A ．1B ．0C ．3-D ．10- 【答案】C【解析】1k =，1S =，3k ≤，是，2111S =⨯-=，112k =+=，3k ≤，是，2120S =⨯-=，213k =+=，3k ≤，是，2033S =⨯-=-，314k =+=，3k ≤，否，3S =-．故选C ．5．设132a =，4log 3b =，8log 5c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A 【解析】解：∵1321a=>，24log 31log 3log log 2b >====28log 5log 5log log 3c ==== 可得b c >．∴a b c >>． 故选A ．6．已知函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移||ϕ个单位长度，所得的图象关于原点对称，则ϕ的一个值为（ ）．A ．3π4B ．3π8C ．5π16D ．3π16【解析】A 将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再把所得的图象向右平移||ϕ个单位长度，可得函数ππcos 4(||)cos 44||44y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象． 结合所得的图象关于原点对称，可得ππ4||π42k ϕ-=+， 即ππ||416k ϕ=--，k ∈Z ，则ϕ的一个值是3π16． 故选D ．7．设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且12AE AB = ，23BF BC = ，如果EF mAB nAC =+ （m ，n 为实数），则m n +的值为（ ）．A ．12- B ．0 C ．12 D ．1【答案】C 【解析】如图所示，F ECB AD EF EA AC CF =++1123AB AC BC =-+- 11()23AB AC BA AC =-+-+ 1263AB AC =-+ ∴16m =-，23n =． ∴12m n +=． 故选C ．8．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式e ()e 5x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）．A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．(3,)+∞【解析】本题主要考查导数在函数中的应用．由题可知e ()e 5x x f x >+，设()e ()e 5x x g x f x =--，因为()e ()e ()e e [()()1]0x x x x g x f x f x f x f x '''=+-=+->，所以函数()g x 在定义域上单调递增，又因为(0)0g =，所以()0g x >的解为0x >．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．命题“0x ∀>，ln(1)0x +>”的否定是__________．【答案】00x ∃>，ln(1)0x +≤【解析】全称命题的否定要用存在量词，再否定其性质，所以为00x ∃>，ln(1)0x +≤．10．已知向量b 为单位向量，向量(1,1)a = ，且||a ，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】π3【解析】∵||a∴22(||)6a == ，∴22|||||cos ,|6a a b a b +⋅+= ，∵b 为单位向量， ∴||1b = ，又∵(1,1)a = ，∴||a∴221cos ,216a b +⋅+⨯= ， ∴1cos ,2a b = ． ∴夹角为π3．11．在ABC △中，若1a ，1b ，c =，则在ABC △的最大角的度数为__________．【答案】120︒【解析】根据题意可知c a b >>，所以ABC △中最大的角为C ∠，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=12==-， 且C ∠为三角形内角，所以120C ∠=︒．12．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】79【解析】解：∵π1sin cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴ππsin cos cos sin cos 66ααα--1cos 2α=- πsin 6α⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 13=， ∴π1sin 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴2ππcos 212sin 36αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21123⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 79=．13．设函数()f x 是定义在实数上不恒为0的偶函数，且(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【答案】0【解析】解：由(1)(1)()xf x x f x +=+可得35532222f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13312222f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又∵1(11)(11)(1)f f -⨯-+=--，∴(0)0(1)0f f -=-=，即(0)0f =， ∴5(0)02f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 14．已知函数3()log ,x a f x x x a=>⎪⎩≤≤，其中0a >，若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是__________．【答案】[4,9)【解析】若函数()2y f x =-有两个零点，即3()log ,x a f x x x a=>⎪⎩≤≤与2y =交于两点，因为y =3log y x =在定义域内均为单调递增函数，2=时4x =，当3log 2x =时9x =，所以49a <≤，则a 的取值范围是[4,9)．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数2π()sin 22cos 1(0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． （1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间．（2）求()f x 在区间7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）1ω=，单调递增区间πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ． （2）最大值为1，最小值为． 【解析】（1）∵2π()sin 22cos 16f x x x ωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ππsin2cos cos2sin cos266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω+ πsin 26x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴2ππ2T ω==， ∴1ω=．在πππ2π22π262k x k -+++≤≤中， 即ππ|ππ36x k x k ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭≤≤为单调递增区间．（2）由（1）得π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵7π012x ≤≤， ∴ππ4π2663x +≤≤， ∴当ππ262x +=时，即π6x =时，max ()1f x =，当π4π263x +=时，即7π12x =时，min ()f x =．16．（本小题满分13分）在ABC △中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC = ，()AE AC AB λλ=-∈R ，且4AD AE ⋅=- ．（1）求向量AB 在向量CA 方向上的投影．（2）求实数λ的值．【答案】（1）32-．（2）311．【解析】（1）13||cos 322AB A ⋅=⨯= ，∴AB 在CA 方向上投影为32-．（2）AD AC CD AC DC =+=- ，因为2BD DC = ， 所以11()22DC BD BC DC ==-， 所以13DC BC =， 所以11()33AD AC BC AC AC AB =-=--， 整理得：2133AD AC AB =+，因为AE AC AB λ=- ， 所以21()433AD AE AC AB AC AB λ⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪⎝⎭①，因为3AB =，2AC =，60A ∠=︒，所以||3AB = ，||2AC = ，1cos 2A =，代入①式，解得311λ=．17．（本小题满分13分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若23b c =，120C =︒． （1）求cos A 的值．（2）若6c =，求ABC △的面积．【答案】（1．（2）42-【解析】（1）∵23b c =，∴2sin sin 3B C ==， ∵0πB <<，∴cos B =， cos cos[π()]A B C =-+cos()B C =-+cos cos sin sin B C B C =-+12⎛⎫=- ⎪⎝⎭=． （2）∵23b c =，6c =， ∴4b =，∵0πA <<，cos A ，∴sin A =∴1sin 422S bc A ==-△18．（本小题满分13分）已知函数2()e ()x f x x a x bx =+-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =-． （1）求a ，b 的值．（2）求()f x 的单调区间及极值．【答案】（1）2a =-，2b =．（2）()f x 的增区间为(,ln 2)-∞与(1,)+∞，减区间为(ln 2,1)． 极大值为2(ln2)(2ln2)f =--，极小值为(1)e 1f =-+．【解析】解：（1）由2()e ()x f x x a x bx =+-+， 求导，()e (1)2x f x x a x b '=++-+，由已知可得(0)2f a ==-，由0k =，∴(0)11f a b '=++=，计算得出2a =-，2b =．（2）由（1）可以知道：2()e (1)2x f x x x x =+-+， 求导()(e 2)(1)x f x x '=--，令()0f x '>，计算得出ln 2x <或1x >，令()0f x '<，计算得出ln 21x <<，∴()f x 的增区间为(,ln 2)-∞与(1,)+∞，减区间为(ln 2,1)，∴()f x 的极大值为2(ln2)(2ln2)f =--，极小值为(1)e 1f =-+．19．（本小题满分14分）已知函数22()1,0()()1,0x a x f x x b x ⎧--⎪=⎨--+<⎪⎩≥，其中a ，b ∈R ． （1）当0a <时，且()f x 为奇函数，求()f x 的解析式． （2）当0a >时，且()f x 在(1,1)-上单调递减，求b a -的值．【答案】（1）22(1)1,0()(1)1,0x x f x x x ⎧+-⎪=⎨--+<⎪⎩≥． （2）2-．【解析】解：（1）因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =， 即210a -=，结合0a <得1a =-，所以当0x ≥时，2()(1)1f x x =+-，所以当0x <时，2()()[(1)1](1)f x f x x x =--=--+-=--，所以1b =，综上：22(1)1,0()(1)1,0x x f x x x ⎧+-⎪=⎨--+<⎪⎩≥． （2）因为()f x 在(1,1)-上单调递减，则有221111a b a b⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≤≤， 解得1a =，1b =-，所以2b a -=-．20．（本小题满分14分）已知函数2()(23)e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值． （2）设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-．（2）[e 2,0)--．【解析】解：（1）由2()(23)e x f x x ax a =+--可得22()(2)e (23)e [(2)3]e x x x f x x a x ax a x a x a '=+++--=++--， ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=，∴2(5)e 0a +=，计算得出5a =-．代入()(3)(1)e (2)(1)e x x f x x a x x x '=++-=--， 当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，∴2x =是()f x 的极值．∴5a =-．（2）当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方， 等价于[1,2]x ∈，()e x f x ≤恒成立，即[1,2]x ∈，max ()e x f x ≤恒成立，由（1）知，()(3)(1)e x f x x a x '=++-，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，当5a -≤时，32a --≥，∴()f x 在[1,2]x ∈单调减，2max ()(1)(2)e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去． 当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在(1,3)x a ∈--上单调递减，在(3,2)x a ∈--上单调递增， ∴max ()f x 在(1)f 或(2)f 处取到，(1)(a 2)e f =--，2(2)e f =，∴只要2(1)(2)e e f a =--≤，计算得出e 24a --<-≤．当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[1,2]x ∈上单调增，max ()(2)e x f x f ==，符合题意， ∴实数a 的取值范围是[e 2,0)--．。
2017-2018学年天津市河西区高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合A={x|3x1 2-4x+1w 0} , B={x|y=：・「}，则A H B=（）A. [ ', +-）B. [ ：；, 1]C. [ 1, 1]D. [0, 1]4 4 32. （5分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）31A. y= - 2x+1B. y=xC. y=lgxD. y=—x3. （5分）设a€ R, i是虚数单位，则“a=1”竺^为纯虚数”的（）a-iA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4. （5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）/t = 1 f S —2Ar = jt + 1A. 2B.- 3C.D.2 35. （5分）已知a>b>0,则下列命题成立的是（）A. sina>sinbB. log2a<log2bC. a ：D. ^ ）a v「）b2 26. （5分）已知双曲线C:亠丄r-：（a> 0, b > 0）与抛物线y2=4的准线相a b交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为y=「：'，点F是抛物线的焦点，且2 2 2 2 2 2A：' 一- B. X2「1 」-D.' ‘ -2 y 2 4 2 2 47. （5分）如图所示，在梯形ABCD中，/ B=，汁匚，BC=2点E为AB的厶中点，若向量I在向量.1二上的投影为亠，则；・「=（）2A.- 2B.C. 0D.匚28. （5分）已知函数——「；，：''：，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. v_：】B•―叮一:〕C.[:D. —■二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. （5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取____________ 件.10. ______________________________________________________________ （5分）已知x，y满足约束条件x+y-3>0，则z字丄的最大值是________________ .11. （5分）若正四棱锥P-ABCD内接于球0,且底面ABCD过球心0,设正四棱锥P-ABCD的高为1,则该正四棱锥的体积为_________ .12. ________________________________________________ （5分）已知x> 1,且x-y=1，则:「的最小值是_____________________________ .y13. （5分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,设SABC的面积，S卑（孑+b2- c2）,则角C= _______ .14. （5分）若函数f （x）=alnx-x在区间（1, 2）上单调递增，则实数a的取值范围是_______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分■解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (13分)已知函数f (x) =Asin (A>0, 0,—nV ©V0, x€ R) 的部分图象如图所示.(I)求函数f (x)的解析式；(U)求函数f (x)在区间［-2n, 0］上的最大值和最小值.16. (13分)甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达4次为止.若甲击中目标的概率为二，乙击中目标的概率为-.3 2(I)求甲在他第二次射击时击中目标的概率；(U)求比赛停止时，甲、乙两人射击总次数X的分布列和期望.17. (13分)如图，在空间几何体ABCDPQ中，底面ABCD是直角梯形，AB丄AD，AD// BC,四边形APQD为矩形，且平面APQD丄平面ABCD PA=AB=BC=，AD=4, 点M为AB中点.(I)求证：AC丄平面CDQ(U)求直线QC与平面PCD所成角的正弦值；(川)已知点H在线段PA上，使得MH//平面PCD,求'的值.18. (13分)已知数列｛昇的前n项和为且S^= + '.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足b n=a n+2 - a.+ ,且数列｛b n｝的前n项和为T n,求证:a n+2 ・a nT n< 2n+ •122 219. (14分)已知椭圆C:务耳=1 (a>b>0)过点(2, 0),且椭圆C的离心『b2率为1 .2(I)求椭圆C的方程；(U)若动点P在直线x=- 1上，过P作直线交椭圆C于M , N两点，且P为线段MN中点，再过P:作直线I丄MN •求直线I是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由.20. (14 分)已知函数f (x) =x3- aX^+10.(I)若a=1时，求函数y=f (x)的单调递增区间；(U)在区间［1, 2］内至少存在一个实数x,使得f (x)< 0成立，求实数a的取值范围.20仃-2018学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合A={x|3x2—4x+1w 0} , B=（x|y=pK}，则A H B=（）3 3 1A. [ ' , +-）B. [- , 1]C. [ 1, 1]D. [0, 1]【解答】解：•集合A={ x| 3/ - 4x+1 < 0} ={x| 一…i },B=（x|y^^' ：?}={x|x>--AH B={x l .・.1} =[T].故选：B.2. （5分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）3 1A. y= - 2x+1B. y=xC. y=lgxD. y=【解答】解：函数y=- 2x+1，则y' -2,在定义域上单调递减；数y=x3,则y' =3好0恒成立，在定义域上单调递增；函数y=lgx,则y' —> 0恒成立，在定义域上单调递增；InlO's函数yJ，则y' =_，在（-X, 0）和（0, +x）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；故选：D.3（5分）设a€ R, i是虚数单位，则“a=1”竺^为纯虚数”的（）a-iA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2【解答】解：•二二J•丄,••• “二为纯虚数” “ a±1”，a-i故“a=1是習为纯虚数”的充分不必要条件,a-i故选：A.4. （5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）2 3【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1, S=2满足条件k< 2018，执行循环体，S=- 3, k=2满足条件k< 2018，执行循环体，S=- ], k=3满足条件k< 2018，执行循环体，S=，k=4满足条件k< 2018，执行循环体，S=2, k=5观察规律可知，S的取值周期为4，由于2018=504X 4+2，可得: 满足条件k< 2018，执行循环体，S=- 3，k=2018满足条件k< 2018，执行循环体，S=- ], k=2019此时，不满足条件k< 2018，退出循环，输出S的值为--.2故选：C.5. （5分）已知a>b>0,则下列命题成立的是（）丄丄A. sina> sinbB. log2a< log2bC. a 二,【解答】解：由a>b>0,y=s鬥乂在（0, +x）不具单调性，则sina> sinb错误; y=log2X在（0，+x）单调递增，则log2a> log2b， B 错误；j_ 丄丄由于y=x •'在（0，+x）单调递增，可得a >b •'，则C错误；由于y= （■）x在（0, +x）单调递减，可得（-）a<C ）b，则D正确.2 2 2故选：D.2 26. （5分）已知双曲线C: ' , . （a>0, b>0）与抛物线y2=4工的准线相a2 1/交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为y=「，点F是抛物线的焦点，且△ FAB是正三角形，贝U双曲线C的方程为（）A.「--B. x2「C. ；-' iD. ''2 2 4 2 2 4【解答】解：抛物线y2=W3x的焦点为F （亦，0）,其准线方程为x=^3, •••△FAB为正三角形，•- I AB| =4,2 2 - A将（-「；，2）代入双曲线J - _i可得亠厂--, a2b2 a2 b2•••双曲线的一条渐近线方程是y= ；■,a••• a=1, b=:,2•双曲线C2的方程为x2•'| .故选：B.7. （5分）如图所示，在梯形 ABCD 中，/ B 二一，汁 匚，BC=2点E 为AB 的2 中点，若向量I 在向量"上的投影为 亠，贝U ・■'=（）2A .- 2 B.C. 0 D .匚2【解答】解：以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系如图,•••朋g , BC=2「.g 西），B （0，0），C （2，0），D 的纵坐标为近， •••点E 为AB 的中点，•「•「】、，若向量r 在向量：上的投影为■'，设向量 近与向量瓦的夹角为9,所以|CDlcose^，^ D 作DF 丄BC,垂足为F ,在 Rt △ DFC 中，,,: |CD|:- ::［「，「’__，, _ ,所以 1 - ■ ' - --1 - 故选：A .8. （5分）已知函数「二」r 丁［［八」，若关于x 的方程亠恰有 四个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（），所以匸-：，所以［| |「，二；，所以A.占＜二：B.〔丄• C[: D.:一、—【解答】解：•••函数••一「・':,若关于x的方程=恰有四个不相等的实数根，••• f（x）的图象和直线y=kx--有4个交点.2做出函数f （x）的图象，如图，故点（1, 0）在直线y=kx-丄的下方，2• k?1- 1 ＞0，解得k＞「.2 2再根据当直线y=kx-丄和y=lnx相切时，设切点横坐标为m，2lnrrd-4- d[厂d则k= = ，• m= •，此时，k=—=」，f （x）的图象和直线y=kx- 有3 iri-0 m m e 2个交点，不满足条件，故要求的k的范围是（1 ,二）,2 e二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. （5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200, 400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件.【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=二抽样比例为| H,则应从丙种型号的产品中抽取 300 X 「=18件，100故答案为：18x-y+1^010. （5分）已知x , y 满足约束条件r 十，则z^^的最大值是、2x—6 — L 3x-y-5^0—s-y+1^0【解答】解：画出x , y 满足约束条件x+y-3>0的平面区域，Sx-y-5^0如图示：由I ："豎，解得：人（3, 4）,i3x-y-5=0z=l 的几何意义是可行域内的点与（0,-1）连线的斜率的一半，由题意可知 11. （5分）若正四棱锥P -ABCD 内接于球O ,且底面ABCD 过球心O ,设正四 棱锥P -ABCD 的高为1,贝U 该正四棱锥的体积为—■-_.【解答】解：•••正四棱锥P -ABCD 内接于球O ,且底面ABCD 过球心O , 正四棱锥P-ABCD 的高为1, PO=AO=CO=,1设正方形ABCD 的边长为a ,则2a 2=4,解得a=匚,2工可行域的A 与（0，- 1）连线的斜率最大. ••• z“ 的最大值是：'■， 2x 6故答案为：〔.-5 -4 -3 -2 -1•••该正四棱锥的体积：故答案为：'.12. （5分）已知x> 1,且x-y=1,则：-一的最小值是3y【解答】解：根据题意，若x-y=1,则y=x- 1,则・「=x+〔= （x- 1）+「+1》2|「+1=3, y x-1 K-1 V x-1即一的最小值是3;y故答案为：3.13. （5分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,设SABC的面积，S= （孑+b2- c2）,则角C= 一 .4 ~ 3 ~-2 ,2【解答】解：由余弦定理可知：cosC= . ，则a2+b2- c2=2abcosC2ab由S= absinC,2x 2abcosC= absinC,贝U tanC=；二4 2由O v C v n,则C—,故答案为：三.314. (5分)若函数f (x ) =alnx -x 在区间(1, 2) 上单调递增，则实数a 的取值 范围是 ［2, +x ).【解答】解：••• f (x ) =al nx -x,.°. f'( x ) =— - 1 .x 又••• f (幻在(1, 2) 上单调递增， ••• 一 1>0 在 x €( 1, 2) 上恒成立， x --a 》x max =2，…a € ［ 2, +x). 故答案为：［2, +x)三、解答题：本大题共6小题，共80分■解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. (13分)已知函数 f (x ) =Asin (A >0,0,- nV ©V 0, x € R )的部分图象如图所示.(I)求函数f (x )的解析式；(U)求函数f (x )在区间［-2n, 0］上的最大值和最小值.1 2开_ _兀 . 37P_w _=n三，…3=(「+©)=- 1, 「+© =2k -_, 4 3 4 3 2二，…f (X )=sin L X - 「).(U)解：在区间［-2n, 0］上，器玄-弓€ ［-晋，-弓］, 故当;，-二二-二时，函数f (x )取得最大值为1； 当扌^-弓匚=-9： 时，函数 f (x ) 取得最小值为 - .结合nV ©V 0,可得 ©二-再把点( —-1)代入可得sin16. （13分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击， 若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次 数达4次为止.若甲击中目标的概率为 ―，乙击中目标的概率为32（I ）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；（U ）求比赛停止时，甲、乙两人射击总次数 X 的分布列和期望.【解答】（本小题满分13 分） 解：（I ）设甲在他第二次射击时击中目标为事件 A ，则 P (A ) =( — )(1 -「=「•••(4 分)（U ）由题意X 的可能取值为1，2，3，4,(X=2)P (X=3)P (X=4) =一 一 - ：•(8 分) 所以随机变量X 的分布列为:所以 E (X ) =i 、；+4X]=：.・・・(13 分)17. （13分）如图，在空间几何体ABCDPQ 中，底面ABCD 是直角梯形，AB 丄AD ，AD// BC,四边形APQD 为矩形，且平面 APQD 丄平面ABCD PA=AB=BC=，AD=4, 点M 为AB 中点.（I ）求证：AC 丄平面CDQ（U ）求直线QC 与平面PCD 所成角的正弦值；（川）已知点H 在线段PA 上，使得MH //平面PCD,求"的值.APP (X=1)2■【解答】（本小题满分13分）证明：（I ）因为四边形 APQD 为矩形，且平面APQD 丄平面ABCD 所以AP 丄平面ABCD •••（ 1分）以A 为原点，以AB , AD , AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系，由题意得，A （0，0，0），B （2, 0，0），C （2, 2, 0），D （0，4, 0），P （0，0， 2），Q （0, 4, 2）, M （1, 0, 1）,则疋=（2, 2, 0）,设平面CDQ 的一个法向量= （x , y , z ）, ••- （2分） 矗（2,- 2, 0）, DQ = （0, 0, 2）,因为；// |,所以AC 丄平面CDQ. •••（4分） 解：（U ） QC = （2,- 2,- 2）,…（5分）设平面PCD 的一个法向量r = （a , b , c ）, -：=（2, 2,- 2）, -1= （0, 4,- 2）, + m*PC=2a+2b-2c=0 .何 _ /d . 心八、由 j 一 ，取 b=1，得 ir = （1, 1 , 2）,…（6 分）L m*PD=b-2c=0 设直线QC 与平面PCD 所成角为9, 则 sin 9=os v 址,；＞| =国肚=^^瑯,1' iQCl-lnl 273X^63 '所以直线QC 与平面PCD 所成角的正弦值为 —— .•••（8分） （川）设 2" = X （0WM 1）,则 H （0 , 0 , 2”，…（9 分）由‘‘[n*DQ=2z=0取 X=1,得 'i= （1 , 1, 0）, ••• （3 分）D丽（1, 0,—2R, n= （1, 1, 2）,…（10 分）因为MH //平面PCD,所以両?：=0,即1X 1+0X1+ （— 2 入）X 2=0,解得入418. (13分)已知数列｛&｝的前n项和为S,且S= +' .2 2 (1)求数列｛a n｝的通项公式;（2）若数列{ b n}满足b n=a n+2 —C n+a n+2 -,且数列｛b n｝的前n项和为T n,求证: nT n< 2比【解答】(1)解：7,• n=1 时，a1=S=2；心2时，a n=S-时巴+ ' =n+1.a n=n+1.（2）证明:b n=c h+2 —a n +a n+2 * a n=2+「 ...... =2+,列{ b n}数+ L “ +：了十」+ 1o 1 1 1 =2n+.T n =2nn+2 n+3 '的前n 项和为…W W+二丄所以-二的值为丄.…（13分）AP 48ky n +8k 2v 2n+丄,12••• T n v 2n+ .122 219. （14分）已知椭圆C:务耳=1 （a >b >0）过点（2, 0）,且椭圆C 的离心 『b 2 率为1 .2（I ）求椭圆C 的方程；（U ）若动点P 在直线x=- 1上，过P 作直线交椭圆C 于M , N 两点，且P 为线 段MN 中点，再过P :作直线I 丄MN .求直线I 是否恒过定点，如果是则求出该 定点的坐标，不是请说明理由.【解答】解：（I ）因为点（2，0）在椭圆C 上, 所以：,；：_〔，所以a 2=4， （1分）2 2因为椭圆C 的离心率为I ,所以 •，即一，（2分）2 a 2 / 4 解得b 2=3,2 2所以椭圆C 的方程为1，-. （4分）（U ）设 P （- 1 , y o ） , * y ），①当直线MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为y - y 0=k （x+1）, M (X 1, y 1), N (X 2, y 2),二 I?y-y 0=k(x+l)得< . - ■ <::・-.-1 r-- ■■:-,8ky n +8k 2所以十■■1'3+4 k 2因为P 为MN 中点，所以3第仃页(共18页)因为直线1丄MN ，所以「 所以直线I 的方程为V V -'..：,,3 即…「I,显然直线I 恒过定点［了 ■/ • (10分)②当直线MN 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为x=- 1, 此时直线I 为x 轴，也过点」.I ：.4综上所述直线I 恒过定点」.「( 12分)420. (14 分)已知函数 f (x ) =x 3 - a«+10.(I)若a=1时，求函数y=f (x )的单调递增区间；(U)在区间［1, 2］内至少存在一个实数x ,使得f (x )v 0成立，求实数a 的 取值范围.【解答】解：(I)：当a=1时，f'( x ) =3x - 2x ， 由 f'( x )> 0，得 x v 0 或 x >—3所以函数y=f (x )的单调递增区间(-X ， 0)和(^，+x )，(U)解法一：f'( x ) =3x 2- 2x=3x (x -…a)3当a < 1,即a < 时，f'(x )>0在［1, 2］上恒成立，f (x )在［1, 2］上为增函 数，故 f (x ) min =f (1) =11- a ,所以11 - a v 0, a > 11,这与a w 矛盾.2 当 1 v …a v 2，即v a v 3时，3 2 若 1 w x v 彳a ,则 f' (x )v 0;所以"一厂—11： , （8 分）若Za v x<2，则f'(x)>0,3所以当x= a时，f (x)取得最小值，3因此 f ( a)v0, 即卩a3—' a3+10=—：a3+10v0,3 27 9 27可得a>3,一，这与丄v a v3矛盾.当：a> 2,即a>3时，f (x)v 0在在［1, 2］上恒成立，f (x)在［1，2］上为减3函数，所以 f (x) min=f (2) =18—4a,所以18 —4a v 0,解得a> ：，满足a> 3，综上所述，实数a的取值范围是('',+7,2解法二：因为区间［1, 2］内至少存在一个实数x,使得f (x)v 0成立，所以a>二-=x+「X2X2设g (x) =x+］1,X，/ 、d20g (x) =1--y因为1< x< 2,所以g(x)v 0所以g (x)在［1, 2］上是减函数.所以g (x)min=g (2)=,所以a> ,二实数a的取值范围是(：,+x),。
2017—2018学年天津河西区高三二模理科数学试卷
河西区2017—2018学年第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集{|15}U x x =∈Z ≤≤，{1,2,3}A =，{1,2}U B =ð，则=B A （ ）． A ．{1,2} B ．{1,3} C ．}3{ D ． {1,2,3}2．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）．A ．6B ．24C ．24-D ．6-3．已知命题p ：“存在0[1,)x ∈+∞，使得02(log 3)1x ≥”，则下列说法正确的是（ ）． A ．p 是假命题；p ⌝：“任意[1,)x ∈+∞，都有2(log 3)1x <” B ．p 是真命题；p ⌝：“不存在0[1)x ∈+∞，使得1)3(log 02<x ” C ．p 是真命题；p ⌝：“任意[1,)x ∈+∞，都有1)3(log 2<x ”A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ． 12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,33⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知双曲线1C ：1163222=-py x （0a >，0b >）的左焦点在抛物线2C ：)0(22>=p px y 的准线上，则双曲线1C 的离心率为（ ）． A ．34B ．3C ．332D ．46．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，π6B =，π4C =，则ABC △的面积为（ ）． A ．232+B ．13+C ．232-D ．13-7．若“1>x ”是“不等式x a x ->2成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3>aB ．3<aC ．4>aD ．4<a8．如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在边长为2的正方形A B C D ''''的边A B ⅱ和A D ⅱ上移动，则A B A C''⋅的最大值是（ ）．A ．4B ．21+C ．πD ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a 的值为__________．10．已知z 是纯虚数，21iz +-是实数（i 是虚数单位），那么=z __________．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．BB'AA'CD C'D'/分频率a12．若圆C 的方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1y x （θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为__________．（极角范围为[0,2π)）13．如图，四边形ABDC 内接于圆，CD BD =，AB BD ⊥，过点C 的圆的切线与AB 的延长线交于点E ，BE BC =，2=AE ，则=AB __________．14．函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，若方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．EDCB A15．（本小题满分13分）已知函数π()tan 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π2．（1）求ω的值及函数)(x f 的定义域； （2）若32f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α2tan 的值．16．（本小题满分13分）长时间用手机上网严重影响学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长不小于21小时，则称为“过度用网”．（1）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（2）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网” 的概率； （3）从A 班，B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，︒=∠=∠90BAD ADC ，F 为PA 中点，2=PD ，121===CD AD AB ，四边形PDCE 为矩形．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求二面角P BC A --的大小；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为︒30？若存在，求出FQ 的长；若不存在，说明理由．6317512042111309B 班A 班18．（本小题满分13分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线 2:-=x y l 于M 、N 两点，求MN 的最小值． 19．（本小题满分14分）已知直线n l ：n x y 2-=与圆n C ：n a y x n +=+222交于不同的两点n A ，n B ，*n ∈N ．数列}{n a 满足：11=a ，2141n n n B A a =+． （1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若nn a nb 4=，求数列}{n b 的前n 项和n T ； （3）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，在（2）的条件下，求证：对任意正整数n ，2)1(21<+++∑=nk k k k T S k ．20．（本小题满分14分）已知函数x m x x x f ln 12)(2++-=（m ∈R ）．（1）当1=m 时，求过点(0,1)P -且与曲线2)1()(--=x x f y 相切的切线方程； （2）求函数)(x f y =的单调递增区间；（3）若函数)(x f y =的两个极值点a ，b ，且b a <，记][x 表示不大于x 的最大整数，试比较)]([)]([sinb f a f 与)])()][(cos([b f a f 的大小． CD BAF EP。
天津市河西区2017年高三----二模考试数学试卷及答案(理科)
河西区2016-2017学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．4-B ．45-C ．4D ．452.设x ，y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值3.已知命题p ：对任意x R ∈，总有20x>；q ：“1x >”是“2x >”的充分不必要条件，在下列命题为真命题的是（ ） A ．()p q ∧⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧4.执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.已知a ，b ，c 分贝为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，A ∠=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 6.若直线20ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A．32+BC ．14D．32+7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ） A．4B．2C．8D．168.已知()|21|x f x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则必有（ ） A ．0a <，0b <，0c < B ．0a <，0b >，0c > C ．22ac -<D ．1222ac<+<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=，若()U A B =∅ ð，则m = ．10.若8(x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a = ． 11.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是 ．12.如图，在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+= ．13.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 的公共点的直角坐标为 ．14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数(())1y f f x =+的所有零点构成的集合为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量1(cos ,)2a x =- ，,cos2)b x x = ，x R ∈，设函数()f x a b =⋅ ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分，现从盒内任取3个球． （Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列及期望．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE ，若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由．18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n S n n =+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++…，求数列{}nb 的通项公式； （Ⅲ）令4n nn a b c =（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19.在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：22420x y x +-+=的圆心．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线1l ，2l ，当直线1l ，2l 都与圆C 相切时，求P 的坐标．20.设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（Ⅰ）若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．河西区2016-2017学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）答案 一、选择题1-5:DBADC 6-8: ACD二、填空题9.1或2 10.12 11.233 12.12 13.(2,4)-14.113,,24⎧--⎨⎩ 三、解答题15.解：（Ⅰ）1()cos cos 22f x a b x x x =⋅=-12cos 22x x =-sin(2)6x π=-，最小正周期为T π=． （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由sin y x =图象可知,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时单调递增，5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递减， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取最小值12-； 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取最大值1．16.解：（Ⅰ）37397112C P C =-=．（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则1221232433995()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=． （Ⅲ）ξ可能的取值为0,1,2,3．36395(0)21C P C ξ===，12363945(1)84C C P C ξ===，2136393(2)14C C P C ξ===，33391(3)84C P C ξ===．ξ的分布列为：()0123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，E ，(1F -，∴(1,BE =-- ，(0,2,0)AB =，设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设n = ，又(1DF =-，∴0DF n ⋅==， ∴DF n ⊥ ，又∵DF ⊄平面ABE ， ∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）解：∵(1,BE =--，(BF =-，设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =，∴20,20,x y x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩不妨设m = ，∴|cos |||31||||m n m n θ⋅===⋅ ∴平面ABE 与平面EFB．（Ⅲ）设(1DP DF λλ==-(,2)λλ=-，[]0,1λ∈，∴(,2)P λλ-，∴(1,2)BP λλ=---，又∵平面ABE的法向量n =，∴sin |cos ,|BP n θ=<>==， ∴28610λλ-+=， ∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，3(,2BP =-- ，∴||2BP = ； 当14λ=时，53(,424BP =-- ，∴||2BP = ． 综上，||2BP =．18.解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，知12a =满足该式， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =． （Ⅱ）31223(1)31313131n n n b b b ba n =++++≥++++…，① 3+112+123+13131313131n n n n n b b b b ba =++++++++++…，② ②-①得111231n n n n b a a +++=-=+，112(31)n n b ++=+， 而18b =，故2(31)n n b =+（*n N ∈）． （Ⅲ）∵(31)34n n n nn a b c n n n ==+=⋅+， ∴123n n T c c c c =++++…23(1323333)(12)n n n =⨯+⨯+⨯++⨯++++……， 令231323333n n H n =⨯+⨯+⨯++⨯…，③ 则234131323333n n H n +=⨯+⨯+⨯++⨯…，④ ③-④得，231233333nn n H n +-=++++-⨯…13(13)313n n n +-=-⨯-，1(21)334n n n H +-⋅+=，∴数列{}n c 的前n 项和1(21)33(1)42n n n n n T +-⋅++=+．19.解：（Ⅰ）由C ：22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=，故圆C 的圆心为点(2,0)，从而可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其焦距为2c ，由题设知2c =，12e =，所以24a c ==，22212b a c =-=， 故椭圆E 的方程为2211612x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为00(,)x y ，1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1l ，2l 的方程分别诶1l ：010()y y k x x -=-，2l ：020()y y k x x -=-，且1212k k =， 由1l 与圆C ：22(2)2x y -+=相切，=222010010(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦， 同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦， 从而1k ，2k 是方程2220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两个实根， 于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩① 且20122021(2)22y k k x -==--， 由220020201,161221,(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得20058360x x --=解得02x =-或0185x =． 由02x =-，得03y =±；由0185x =，得0y =，它们满足①式， 故点P 的坐标为(2,3)-或(2,3)--或18(5或18(,5． 20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，11'()kxf x k x x-=-=， 当2k =时，'(1)1f =-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=． （Ⅱ）①若0k <时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数，∵(1)0f k =->，()(1)0k k kf e k ke k e =-=-<， ∴(1)()0kf f e ⋅<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =； ③若0k >，令'()0f x =，得1x k=， 在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的最大值为11()ln1ln 1f k k k=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k=--<，解得1k e>， 故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞．（Ⅲ）设()f x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>， ∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=， ∴1212ln ln ()x x k x x -=-，1212ln ln ()x x k x x +=+， ∵212x x e >w ，要证12ln ln 2x x +>，只需证12()2k x x +>， 只需121212ln ln 2x x x x x x ->-+，等价于1122122()ln x x x x x x ->+， 设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >）， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，22(1)'()0(1)t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->+， ∴12ln ln 2x x +>．。
天津五区联考2017-2018高三上学期期末数学(理)试题及答案
13．3
14． ,
1 1 3 e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） f x cos x sin x 2 3 sin x cos x
2 2
cos 2 x 3 sin 2 x
由 g n 1 g n
2 n 1 7 2
n 3
2n 7 9 2n n 3 …………………………11 分 2n 2 2
得：当 9 2n 0 2 n 4 n N 时， g 2 g 3 g 4 g 5 ； 当 9 2n 0 n 5 n N 时， g 5 g 6 g 7 ； 所以对任意 n 2 ，且 n N 均有 g 5 g n ，故 k 5 .………………13 分
（18） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设数列 an 的公比为 q ，则由条件得：
2 a3 2 a2 a4 ，
……………………………1分
又 a1 2 ，则 2 2q 2 2 2q 2q 3 4 q 2 1 2q 1 q 2 ， 因为 1 q 0 ，解得： q 2 ， 故 an 2 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn 2nan n 2 则 Sn 1 2 2 2 n 2
3 , 0 , 0 ， C 0 ,1, 0 ，
由 AC 2 DE 3 得 E 0, 0 ,
3 ， A 0 ,1, 3 …………6 分 2
依题意 AE 0 , 1,
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
天津河西2018届高三上学期期中考试数学理试题 含解析 精品
河西区2017-2018学年度第一学期高三年级期中形成性质量调查数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数32i i +的虚部是（ ）． A ．3i B ．3i - C ．3 D ．3-【答案】D 【解析】232i (32i)i i(32i)23i i i ++==-+=-，所以其虚部为3-． 故选D ．2．已知集合{}|2,0x M y y x ==>，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则MN =（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(1,2) C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】B【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>， {}{}22|lg(2)|20N x y x x x x x ==-=->{}{}2|20|02x x x x x =-<=<<，∴(1,2)M N =．故选B ．3．设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数及充要条件的判断． 若ππ1212θ-<，则π06θ<<， 则10sin 2θ<<，充分性成立； 若1sin 2θ<，因为θ∈R ，所以7ππ2π,2π66k k θ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，必要性不成立． 故“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件． 故选A ．4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）．A ．1B ．0C ．3-D ．10- 【答案】C【解析】1k =，1S =，3k ≤，是，2111S =⨯-=，112k =+=，3k ≤，是，2120S =⨯-=，213k =+=，3k ≤，是，2033S =⨯-=-，314k =+=，3k ≤，否，3S =-．故选C ．5．设132a =，4log 3b =，8log 5c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A 【解析】解：∵1321a=>，24log 31log 3log log 2b >====28log 5log 5log log 3c ==== 可得b c >．∴a b c >>．故选A ．6．已知函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移||ϕ个单位长度，所得的图象关于原点对称，则ϕ的一个值为（ ）．A ．3π4B ．3π8C ．5π16D ．3π16【解析】A 将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再把所得的图象向右平移||ϕ个单位长度，可得函数ππcos 4(||)cos 44||44y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象． 结合所得的图象关于原点对称，可得ππ4||π42k ϕ-=+， 即ππ||416k ϕ=--，k ∈Z ，则ϕ的一个值是3π16． 故选D ．7．设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且12AE AB =，23BF BC =，如果EF mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m n +的值为（ ）．A ．12-B ．0C ．12D ．1【答案】C【解析】如图所示，F ECB ADEF EA AC CF =++1123AB AC BC =-+- 11()23AB AC BA AC =-+-+ 1263AB AC =-+ ∴16m =-，23n =． ∴12m n +=． 故选C ．8．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式e ()e 5x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）．A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．(3,)+∞【解析】本题主要考查导数在函数中的应用．由题可知e ()e 5x x f x >+，设()e ()e 5x x g x f x =--，因为()e ()e ()e e [()()1]0x x x x g x f x f x f x f x '''=+-=+->，所以函数()g x 在定义域上单调递增，又因为(0)0g =，所以()0g x >的解为0x >．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．命题“0x ∀>，ln(1)0x +>”的否定是__________．【答案】00x ∃>，ln(1)0x +≤【解析】全称命题的否定要用存在量词，再否定其性质，所以为00x ∃>，ln(1)0x +≤．10．已知向量b 为单位向量，向量(1,1)a =，且|2|6a b +=，则向量a 与b 的夹角为__________．【答案】π3 【解析】∵|2|6a b +=， ∴22(|2|)(6)6a b +==， ∴22||22||||cos ,|2|6a a b a b b +⋅+=，∵b 为单位向量，∴||1b =，又∵(1,1)a =， ∴||2a =，∴221cos ,216a b +⋅+⨯=，∴1cos ,2a b =． ∴夹角为π3．11．在ABC △中，若1a ，1b ，c =，则在ABC △的最大角的度数为__________．【答案】120︒【解析】根据题意可知c a b >>，所以ABC △中最大的角为C ∠，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=12==-， 且C ∠为三角形内角，所以120C ∠=︒．12．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】79【解析】解：∵π1sin cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴ππsin cos cos sin cos 66ααα--1cos 2α=- πsin 6α⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 13=， ∴π1sin 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴2ππcos 212sin 36αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21123⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 79=．13．设函数()f x 是定义在实数上不恒为0的偶函数，且(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【答案】0【解析】解：由(1)(1)()xf x x f x +=+可得35532222f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13312222f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又∵1(11)(11)(1)f f -⨯-+=--，∴(0)0(1)0f f -=-=，即(0)0f =， ∴5(0)02f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 14．已知函数3()log ,x a f x x x a=>⎪⎩≤≤，其中0a >，若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是__________．【答案】[4,9)【解析】若函数()2y f x =-有两个零点，即3()log ,x a f x x x a=>⎪⎩≤≤与2y =交于两点，因为y =3log y x =在定义域内均为单调递增函数，2时4x =，当3log 2x =时9x =，所以49a <≤，则a 的取值范围是[4,9)．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数2π()sin 22cos 1(0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． （1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间．（2）求()f x 在区间7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）1ω=，单调递增区间πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ． （2）最大值为1，最小值为． 【解析】（1）∵2π()sin 22cos 16f x x x ωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ππsin2cos cos2sin cos266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin 26x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴2ππ2T ω==， ∴1ω=．在πππ2π22π262k x k -+++≤≤中， 即ππ|ππ36x k x k ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭≤≤为单调递增区间．（2）由（1）得π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵7π012x ≤≤， ∴ππ4π2663x +≤≤， ∴当ππ262x +=时，即π6x =时，max ()1f x =，当π4π263x +=时，即7π12x =时，min ()f x =．16．（本小题满分13分）在ABC △中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，()AE AC AB λλ=-∈R ，且4AD AE ⋅=-．（1）求向量AB 在向量CA 方向上的投影．（2）求实数λ的值．【答案】（1）32-．（2）311．【解析】（1）13||cos 322AB A ⋅=⨯=，∴AB 在CA 方向上投影为32-．（2）AD AC CD AC DC =+=-，因为2BD DC =， 所以11()22DC BD BC DC ==-， 所以13DC BC =， 所以11()33AD AC BC AC AC AB =-=--， 整理得：2133AD AC AB =+，因为AE AC AB λ=-， 所以21()433AD AE AC AB AC AB λ⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪⎝⎭①，因为3AB =，2AC =，60A ∠=︒，所以||3AB =，||2AC =，1cos 2A =，代入①式，解得311λ=．17．（本小题满分13分） 在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若23b c =，120C =︒． （1）求cos A 的值．（2）若6c =，求ABC △的面积．【答案】（1．（2）42-【解析】（1）∵23b c =，∴2sin sin 3B C == ∵0πB <<，∴cos B =， cos cos[π()]A B C =-+cos()B C =-+cos cos sin sin B C B C =-+12⎛⎫=- ⎪⎝⎭=． （2）∵23b c =，6c =， ∴4b =，∵0πA <<，cos A ，∴sin A =∴1sin 422S bc A ==-△18．（本小题满分13分）已知函数2()e ()x f x x a x bx =+-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =-． （1）求a ，b 的值．（2）求()f x 的单调区间及极值．【答案】（1）2a =-，2b =．（2）()f x 的增区间为(,ln 2)-∞与(1,)+∞，减区间为(ln 2,1)． 极大值为2(ln2)(2ln2)f =--，极小值为(1)e 1f =-+．【解析】解：（1）由2()e ()x f x x a x bx =+-+， 求导，()e (1)2x f x x a x b '=++-+，由已知可得(0)2f a ==-，由0k =，∴(0)11f a b '=++=，计算得出2a =-，2b =．（2）由（1）可以知道：2()e (1)2x f x x x x =+-+， 求导()(e 2)(1)x f x x '=--，令()0f x '>，计算得出ln 2x <或1x >，令()0f x '<，计算得出ln 21x <<，∴()f x 的增区间为(,ln 2)-∞与(1,)+∞，减区间为(ln 2,1)，∴()f x 的极大值为2(ln2)(2ln2)f =--，极小值为(1)e 1f =-+．19．（本小题满分14分）已知函数22()1,0()()1,0x a x f x x b x ⎧--⎪=⎨--+<⎪⎩≥，其中a ，b ∈R ． （1）当0a <时，且()f x 为奇函数，求()f x 的解析式． （2）当0a >时，且()f x 在(1,1)-上单调递减，求b a -的值．【答案】（1）22(1)1,0()(1)1,0x x f x x x ⎧+-⎪=⎨--+<⎪⎩≥． （2）2-．【解析】解：（1）因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =， 即210a -=，结合0a <得1a =-，所以当0x ≥时，2()(1)1f x x =+-，所以当0x <时，2()()[(1)1](1)f x f x x x =--=--+-=--，所以1b =，综上：22(1)1,0()(1)1,0x x f x x x ⎧+-⎪=⎨--+<⎪⎩≥． （2）因为()f x 在(1,1)-上单调递减，则有221111a b a b⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≤≤， 解得1a =，1b =-，所以2b a -=-．20．（本小题满分14分）已知函数2()(23)e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值． （2）设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-．（2）[e 2,0)--．【解析】解：（1）由2()(23)e x f x x ax a =+--可得22()(2)e (23)e [(2)3]e x x x f x x a x ax a x a x a '=+++--=++--， ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=，∴2(5)e 0a +=，计算得出5a =-．代入()(3)(1)e (2)(1)e x x f x x a x x x '=++-=--， 当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，∴2x =是()f x 的极值．∴5a =-．（2）当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方， 等价于[1,2]x ∈，()e x f x ≤恒成立，即[1,2]x ∈，max ()e x f x ≤恒成立，由（1）知，()(3)(1)e x f x x a x '=++-，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，当5a -≤时，32a --≥，∴()f x 在[1,2]x ∈单调减，2max ()(1)(2)e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去． 当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在(1,3)x a ∈--上单调递减，在(3,2)x a ∈--上单调递增， ∴max ()f x 在(1)f 或(2)f 处取到，(1)(a 2)e f =--，2(2)e f =，∴只要2(1)(2)e e f a =--≤，计算得出e 24a --<-≤．当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[1,2]x ∈上单调增，max ()(2)e x f x f ==，符合题意， ∴实数a 的取值范围是[e 2,0)--．。
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2017-2018学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[，+∞）B．[，1]C．[，1]D．[0，1] 2．（5分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）A．y=﹣2x+1B．y=x3C．y=lgx D．y=3．（5分）设a∈R，i是虚数单位，则“a=1”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．2B．﹣3C．D．5．（5分）已知a＞b＞0，则下列命题成立的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a D．（）a＜（）b6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为y=，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线C的方程为（）A．B．x2C．D．7．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，∠B=，，BC=2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则=（）A．﹣2B．C．0D．8．（5分）已知函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=的最大值是．11．（5分）若正四棱锥P﹣ABCD内接于球O，且底面ABCD过球心O，设正四棱锥P﹣ABCD的高为1，则该正四棱锥的体积为．12．（5分）已知x＞1，且x﹣y=1，则的最小值是．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则角C=．14．（5分）若函数f（x）=alnx﹣x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2π，0]上的最大值和最小值．16．（13分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达4次为止．若甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为．（Ⅰ）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；（Ⅱ）求比赛停止时，甲、乙两人射击总次数X的分布列和期望．17．（13分）如图，在空间几何体ABCDPQ中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，四边形APQD为矩形，且平面APQD⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=4，点M为AB中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDQ；（Ⅱ）求直线QC与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）已知点H在线段PA上，使得MH∥平面PCD，求的值．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=a n+2﹣a n+，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2n+．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动点P在直线x=﹣1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P：作直线l⊥MN．求直线l是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+10．（Ⅰ）若a=1时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[，+∞）B．[，1]C．[，1]D．[0，1]【解答】解：∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}，B={x|y=}={x|x≥}，∴A∩B={x|}=[]．故选：B．2．（5分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）A．y=﹣2x+1B．y=x3C．y=lgx D．y=【解答】解：函数y=﹣2x+1，则y′=﹣2，在定义域上单调递减；数y=x3，则y′=3x2≥0恒成立，在定义域上单调递增；函数y=lgx，则y′=＞0恒成立，在定义域上单调递增；函数y=，则y′=﹣，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；故选：D．3．（5分）设a∈R，i是虚数单位，则“a=1”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵=，∴“为纯虚数”⇔“a=±1”，故“a=1”是“为纯虚数”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．2B．﹣3C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=2满足条件k≤2018，执行循环体，S=﹣3，k=2满足条件k≤2018，执行循环体，S=﹣，k=3满足条件k≤2018，执行循环体，S=，k=4满足条件k≤2018，执行循环体，S=2，k=5…观察规律可知，S的取值周期为4，由于2018=504×4+2，可得：满足条件k≤2018，执行循环体，S=﹣3，k=2018满足条件k≤2018，执行循环体，S=﹣，k=2019此时，不满足条件k≤2018，退出循环，输出S的值为﹣．故选：C．5．（5分）已知a＞b＞0，则下列命题成立的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a D．（）a＜（）b【解答】解：由a＞b＞0，y=sinx在（0，+∞）不具单调性，则sina＞sinb错误；y=log2x在（0，+∞）单调递增，则log2a＞log2b，B错误；由于y=x在（0，+∞）单调递增，可得a＞b，则C错误；由于y=（）x在（0，+∞）单调递减，可得（）a＜（）b，则D正确．故选：D．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为y=，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线C的方程为（）A．B．x2C．D．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，∵△FAB为正三角形，∴|AB|=4，将（﹣，2）代入双曲线可得，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴，∴a=1，b=，∴双曲线C2的方程为x2．故选：B．7．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，∠B=，，BC=2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则=（）A．﹣2B．C．0D．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系如图，∵，BC=2，∴，B（0，0），C（2，0），D的纵坐标为，∵点E为AB的中点，∴，若向量在向量上的投影为，设向量与向量的夹角为θ，所以，过D作DF⊥BC，垂足为F，在Rt△DFC中，，所以，所以，所以，，所以．故选：A．8．（5分）已知函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，∴f（x）的图象和直线y=kx﹣有4个交点．做出函数f（x）的图象，如图，故点（1，0）在直线y=kx﹣的下方，∴k•1﹣＞0，解得k＞．再根据当直线y=kx﹣和y=lnx相切时，设切点横坐标为m，则k==，∴m=，此时，k==，f（x）的图象和直线y=kx﹣有3个交点，不满足条件，故要求的k的范围是（，），故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：1810．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=的最大值是．【解答】解：画出x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得：A（3，4），z=的几何意义是可行域内的点与（0，﹣1）连线的斜率的一半，由题意可知可行域的A与（0，﹣1）连线的斜率最大．∴z=的最大值是：，故答案为：．11．（5分）若正四棱锥P﹣ABCD内接于球O，且底面ABCD过球心O，设正四棱锥P﹣ABCD的高为1，则该正四棱锥的体积为．【解答】解：∵正四棱锥P﹣ABCD内接于球O，且底面ABCD过球心O，正四棱锥P﹣ABCD的高为1，∴PO=AO=CO=1，设正方形ABCD的边长为a，则2a2=4，解得a=，∴该正四棱锥的体积：V===．故答案为：．12．（5分）已知x＞1，且x﹣y=1，则的最小值是3．【解答】解：根据题意，若x﹣y=1，则y=x﹣1，则=x+=（x﹣1）++1≥2+1=3，即的最小值是3；故答案为：3．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则角C=．【解答】解：由余弦定理可知：cosC=，则a2+b2﹣c2=2abcosC，由S=absinC，∴×2abcosC=absinC，则tanC=，由0＜C＜π，则C=，故答案为：．14．（5分）若函数f（x）=alnx﹣x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵f（x）=alnx﹣x，∴f′（x）=﹣1．又∵f（x）在（1，2）上单调递增，∴﹣1≥0在x∈（1，2）上恒成立，∴a≥x max=2，∴a∈[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2π，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图象得A=1，=π﹣，∴ω=．再把点（，﹣1）代入可得sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，结合π＜φ＜0，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．（Ⅱ）解：在区间[﹣2π，0]上，﹣∈[﹣，﹣]，故当﹣=﹣时，函数f（x）取得最大值为1；当﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣．16．（13分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达4次为止．若甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为．（Ⅰ）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；（Ⅱ）求比赛停止时，甲、乙两人射击总次数X的分布列和期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设甲在他第二次射击时击中目标为事件A，则P（A）=（1﹣）（1﹣）=．…（4分）（Ⅱ）由题意X的可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）=，…（8分）所以随机变量X的分布列为：X1234P所以E（X）=+4×=．…（13分）17．（13分）如图，在空间几何体ABCDPQ中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，四边形APQD为矩形，且平面APQD⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=4，点M为AB中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDQ；（Ⅱ）求直线QC与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）已知点H在线段PA上，使得MH∥平面PCD，求的值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为四边形APQD为矩形，且平面APQD⊥平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，…（1分）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，2），Q（0，4，2），M（1，0，1），则=（2，2，0），设平面CDQ的一个法向量=（x，y，z），…（2分）=（2，﹣2，0），=（0，0，2），由，取x=1，得=（1，1，0），…（3分）因为∥，所以AC⊥平面CDQ．…（4分）解：（Ⅱ）=（2，﹣2，﹣2），…（5分）设平面PCD的一个法向量=（a，b，c），=（2，2，﹣2），=（0，4，﹣2），由，取b=1，得=（1，1，2），…（6分）设直线QC与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，所以直线QC与平面PCD所成角的正弦值为．…（8分）（Ⅲ）设=λ（0≤λ≤1），则H（0，0，2λ），…（9分）=（1，0，﹣2λ），=（1，1，2），…（10分）因为MH∥平面PCD，所以•=0，即1×1+0×1+（﹣2λ）×2=0，解得，所以的值为．…（13分）18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=a n+2﹣a n+，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2n+．【解答】（1）解：∵S n=+，∴n=1时，a1=S1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=+﹣=n+1．∴a n=n+1．（2）证明：b n=a n+2﹣a n+=2+=2+，∴数列{b n}的前n项和为T n=2n++++…++=2n+＜2n+，∴T n＜2n+．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动点P在直线x=﹣1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P：作直线l⊥MN．求直线l是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以，所以a2=4，（1分）因为椭圆C的离心率为，所以，即，（2分）解得b2=3，所以椭圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）设P（﹣1，y0），，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y﹣y0=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，所以，因为P为MN中点，所以，即．所以，（8分）因为直线l⊥MN，所以，所以直线l的方程为，即，显然直线l恒过定点．（10分）②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=﹣1，此时直线l为x轴，也过点．综上所述直线l恒过定点．（12分）20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+10．（Ⅰ）若a=1时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）：当a=1时，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞，所以函数y=f（x）的单调递增区间（﹣∞，0）和（，+∞），（Ⅱ）解法一：f′（x）=3x2﹣2x=3x（x﹣a）当a≤1，即a≤时，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，f（x）在[1，2]上为增函数，故f（x）min=f（1）=11﹣a，所以11﹣a＜0，a≥11，这与a≤矛盾．当1＜a＜2，即＜a＜3时，若1≤x＜a，则f′（x）＜0；若a＜x≤2，则f′（x）＞0，所以当x=a时，f（x）取得最小值，因此f（a）＜0，即a3﹣a3+10=﹣a3+10＜0，可得a＞3，这与＜a＜3矛盾．当a≥2，即a≥3时，f′（x）＜0在在[1，2]上恒成立，f（x）在[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=18﹣4a，所以18﹣4a＜0，解得a＞，满足a≥3，综上所述，实数a的取值范围是（，+∞），解法二：因为区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，所以a＞=x+设g（x）=x+，g′（x）=1﹣，因为1≤x≤2，所以g′（x）＜0所以g（x）在[1，2]上是减函数．所以g（x）min=g（2）=，所以a＞，实数a的取值范围是（，+∞），赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。