朝阳区高三期末试题及答案(数学理)
北京朝阳区高三期末数学(理)试题答案
北京市朝阳区高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类）三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB=A ，所以AC ⊥平面PAB ． 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥， 所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ， 则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ．又因为13OG OA OB =+（）， 所以(,,0)33a b G ． 于是(,,)33a b DG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ． 因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ， 所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分解法2：取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点， 所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点， 所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ． 又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =． 又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ， 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤．B因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =． 当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当21(,)ex ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………②因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去.由①②知，35m =时，k =．（2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +， 因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+，则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当a b c ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>． 故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >． 所以a b >且a c >． 故,,a b c 三个数中，a 最大． 解法2：依题意lglg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>． 因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >． 于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >， 所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分（Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则l g 1m t m ≤<+，所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +． 当212m m +=时，1m =； 当2121m m +=+时，0,2m =．（1） 当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<．又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<．所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =．（3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．t ．………………13分综上所述4,10,11,12,...20,21。
【精选高中试题】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos 2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥； ② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.b dacbD C证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三高点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）P 21B表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.ACBB 1C 1A 1D18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +)4x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分 （Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-= 当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=. 由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())4f B B π=+， 则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为A DAC D =，所以BC ⊥平面AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ， 因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩)ACBB 1C 1A 1DE 1再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值0()f x .当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得. ……………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+.所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2020朝阳区高三理科数学期末试题及答案
北京市朝阳区2020-2020学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2020．1 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}|11M x x =-<<M N =I A ．{}|01x x ≤< B ．{x C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6km/h ） 频率第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ． 12B ．1 C． 2 D ． 3 7A ．27 B ．30 C ．32 D ．36侧视图俯视图第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a < 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ，最小值是 ．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=u u u r u u u r，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0u u u r u u u r u u u r，记,,AOB BOC AOC∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOCS S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos ADB ∠= （Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；ADBC（ⅱ）并说明理由．19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N L 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-L ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2020-2020学年度第一学期期末高三年级统一考试 数学答案（理工类） 2020．1 一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=．又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………7分（Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF I 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(,,)22E a -，(,0,)22a F -．所以3(,0,)22a AF =-u u u r，(,,0)22a EF =-u u u r ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r所以,.3z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =u u u r是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,13GB <GB >GB⋅===⋅n n n u u u ru u u r u u u r ， 所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立， 即1()0f x a x'=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立，则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =．令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e单调递增． 令()0f x '<,得1(,)ex ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e+∞单调递减． 所以，max 111()()e ln 2eeef x f ==-⋅+=-． 所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ．设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以3c e a ==．所以椭圆C…………………………3分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=u u u r u u u r．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥． 综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ==231k =+223131k k ==++=． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =． 当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n n a n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n n a a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =； （3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =； （4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分（Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==-L ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=， 则有(1)211()2i t m a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ． 当i 是偶数时，0t ≠，2111()2t m a a a =⋅=无正数解，不满足条件； 当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤， 所以112m a -≤．又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====L ， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=． (13)分。
朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试题答案
北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）B （3）B （4）D （5）D （6）C（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）40（12）28n n + （13）（14）43（答案不唯一）（15）① ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由(0)10f m =+=得1m =−．所以2()cos cos 1f x x x x =+−cos2111212cos222222x x x x +=+−=+−π1sin(2)62x =+−．所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==． ················································· 7分（Ⅱ）由πππ2π22π262k x k −++≤≤（k ∈Z ），得ππππ36k x k −+≤≤（k ∈Z ）．所以()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k −+（k ∈Z ）．因为()f x 在区间[0,]t 上单调递增，且ππ0[,]36∈−，此时0k =，所以π6t ≤，故t 的最大值为π6． ······················································· 13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取PB 的中点F ，连接,CF EF ．因为E 是PA 的中点，所以//,2EF AB AB EF =． 又因为//,2AB DC AB DC =， 所以//EF DC 且EF DC =．所以四边形CDEF 为平行四边形． 所以//DE CF ．又因为DE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ······································································ 5分 （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接PO ．因为PB PC =，所以PO BC ⊥． 又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ， 且平面PBC平面ABCD BC =，所以PO ⊥平面ABCD ．如图，在平面ABCD 中，作//Oy BA ， 则,,PO BC PO Oy Oy BC ⊥⊥⊥， 建立空间直角坐标系O xyz −．选条件①：连接AO ，在Rt ABO △中，因为2AB =，1BO =，所以AO 在Rt PAO △中，因为AP =，AO =PO ．所以1(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(2A B C D P E −−−．所以13(,1,),(2,1,0)22BE BD ==．设平面EDB 的法向量是(,,)x y z =m ，则 0,0,BE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即10,220.x y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则2,y z =−=． 于是(1,=−m ．因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 是平面BDC 的法向量．所以cos ,||||〈〉⋅==m n m n m n ．由题知，二面角E BD C −−为钝角，所以其余弦值为． ···················· 14分选条件③：连接AO ，因为PO ⊥平面ABCD ， 所以PAO ∠是直线AP 与平面ABCD 所成角．所以tan PO PAO AO ∠==．在Rt ABO △中，因为2,1AB BO ==，所以AO在Rt PAO △中，因为PO AO AO =，所以PO =．下同选条件①． ··············································································· 14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件A ．在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以2()7P A =． ··············································································· 3分（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．X 的所有可能取值为0,1,2，321255230127277533(0),(1),(2)777241C C C C C P X P X C C C C =========．所以X 的分布列为2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=． ························································· 10分（Ⅲ）11月6日． ···················································································· 13分 （19）（共15分）解：（Ⅰ）由()ln 1()R f x x a x a =−−∈得()1af x x '=−，依题意，(1)10f a '=−=，得1a =．经验证，()ln 1f x x x =−−在点(1,0)处的切线为0y =，所以1a =． ··········· 4分（Ⅱ）由题得()1a x a f x x x −'=−=．（1）若1a ≤，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()f x 无极值点． （2）若1a >，当(1,)x a ∈时，()0f x '<，故()f x 在区间(1,)a 上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在区间(,)a +∞上单调递增．所以x a =为()f x 的极小值点，且()f x 无极大值点． 综上，当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为0；当1a >时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为1． ····················· 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=．所以()f x 在区间(1,)+∞内无零点．当1a >时，()f x 的单调递减区间为(1,)a ，单调递增区间为(,)a +∞． 所以()(1)0f a f <=．若()f x 在区间(1,)+∞内有零点t ，则(,)t a ∈+∞．而22()2ln 1f a a a a =−−，设2()2ln 1(1)g x x x x x =−−>， 则()22(1ln )1ln )g x x x x x '=−+=−−．设()2(1ln )(1)h x x x x =−−>，则12(1)()2(1)0x h x x x −'=−=>，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)0g a g >=，即2()0f a >． 又2()0,f t a a =>， 所以2t a <． ··················································································· 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题可知(,0),(0,),||A a B b AB −=因为AOB △的面积为1，所以112AOB S ab ==△．因为点O 到直线AB的距离为，所以1||12AOB S AB ===△．所以222,5,,ab a b a b =⎧⎪+=⎨⎪>⎩得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为2214x y +=． ························································ 5分（Ⅱ）点N 为线段CM 的中点，理由如下：由题知直线l 的斜率存在，设过点(2,1)P −的直线l 的方程为1(2)y k x −=+，即(2)1y k x =++． 由22(2)1,44,y k x x y =++⎧⎨+=⎩得2222(14)(168)16160k x k k x k k +++++=．由2222(168)4(14)(1616)640k k k k k k ∆=+−++=−>，得0k <． 设11)(,C x y ，22)(,D x y ，则221212221681616,1414k k k k x x x x k k +++=−=++． 直线AD 的方程为22(2)2y y x x =++，令1x x =，得点M 的纵坐标212(2)2M y x y x +=+．直线AB 的方程为1(2)2y x =+，令1x x =，得点N 的纵坐标11(2)2N y x =+．要证点N 为线段CM 的中点，只需证明1)1(2N M y y y =+，即112M N y y y +=．因为2211112(2)(2)(2)(2)2M N y y y y y x x x x +++++=+121121121222222222222222(2)(2)(4)(2)(2)422()4168414216161682()41414(168)416216162(168)4(14)48242121,k x x x x x x x x k x x x x k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k+++++=++++=+++++−++=++++−+++−+++=++−+++−=+=+−=所以点N 为线段CM 的中点． ····························································· 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）10b =，20b =，31b =，103b =； ························································ 3分 （Ⅱ）由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =．若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=， 所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾． 所以11a =．设*1)(n n n d a a n +−∈=N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ．假设存在*k ∈N 使得2k d ≥．设k a t =，由12k k a a +−≥得12k a t ++≥．由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾．所以对任意*n ∈N 都有1n d =．所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+−=． ······································ 8分（Ⅲ）因为对于*n ∈N ，1n n B B +⊆，所以1n n b b +≤．所以111n n n n b n b n b ++++<++≤，即数列{}n n b +是递增数列． 先证明S T =∅．假设ST ∅≠，设正整数p ST∈．由于p S ∈，故存在正整数i p <使得i p i a =+，所以i a p i =−． 因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以11i a p i +−+≥．所以1p i b i −=−，1p i b i−+=．所以()11p i p i b p i i p −−+=−+−=−，1(1)11p i p i b p i i p −+−++=−++=+．又因为数列{}n n b +是递增数列，所以p T ∈/，矛盾． 所以S T =∅．再证明*ST =N ． 由题可知*ST ⊆N ．设*q ∈N 且q S ∈/，因为数列{}n n a +是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数j ，使得jq j a <+．令0min{|}j j j q j a =<+．若01j =，则11q a <+，即11a q >−，所以1a q ≥． 所以q b =，所以q q b q T+=∈．若01j >，则000101j j j a q j a −−+<<+，所以00101j j a q j a −<−+≤．所以0101q j b j −+=−，所以00100(1)11q j q j b q j j q−+−++=−++−=．因为001(1)q j q j b T−+−++∈，所以q T ∈．所以*S T ⊆N ．综上，*ST =N 且ST =∅．·························································· 15分。
朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试卷及答案
北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学 2024.1（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则AB =（A ）[0,3]（B ）[0,3)（C ）(0,3)（D ）(0,3]（2）设a ∈R ，若复数(2i)(2i)a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则a =（A ）4- （B ）1- （C ）1 （D ）4（3）若01a <<，则（A ）1132a a < （B ）23a a < （C ）11log log 23aa > （D ）sin cos a a >（4）在ABC △中，若π1,cos 63a A C =∠==-，则c =（A（B ）23（C）（D ）83（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1),(2,1)A B ，动点P 满足0PA PB ⋅=，则||OP 的最大值为（A ）1（B（C ）2（D1（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是平面1111A B C D 内一点，且//EB 平面1ACD ，则1tan DED ∠的最大值为（A）2（B ）1 （C（D ）2（7）设函数()()2mf x x m x =+∈-R 的定义域为(1,2)-，则“30m -<≤”是“()f x 在区间(1,2)-内有且仅有一个零点”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若30PEF ∠=，则sin PFE ∠= （A（B（C（D（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q AK L αβ=，其中0,0,0,01,01A K L αβ>>><<<<．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是 （A ）存在12α<和12β<，使得Q 不变 （B ）存在12α>和12β>，使得Q 变为原来的2倍 （C ）若14αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （D ）若221+2αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （10）在ABC △中，AB AC ==，当λ∈R 时，||AB BC λ+的最小值为4．若AM MB =，22sin cos AP AB AC θθ=+，其中ππ[,]63θ∈，则||MP 的最大值为（A ）2 （B ）4 （C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区届高三上学期期末考试数学(理)试题.pdf
1、已知△ADF≌△CBE，则结论： ①AF=CE ②∠1=∠2 ③BE=CF ④AE=CF， 正确的________2、面积相等的两个三角形一定全等吗？3、周长相等的两个三角形一定全等吗？ 用刻度尺和圆规画△ABC使其三边的长为AB=4cm，AC=3cm，BC=2cm。
画法： 1.画线段AB=4cm 分别以A，B为圆心，3cm,2cm长 为半径画圆,弧交于点C 3.连接AC，BC. ∴△ABC就是所求的三角形 把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？ A B C E F G ABC ≌ EFG AB=EF BC=FG AC=EG （SSS） 有三边对应相等的两个三角形全等 (简写成“边边边”或“SSS”) 在△ABC和△EFG中 用数学语言表述： 用这样的结论可以判定两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等． 由上面的结论可知，只要三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的稳定性： 三角形的稳定性举例 例1:在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,则∠A=∠C，请说明理由。
A B C D 解： 在△ABD和△CDB中， （已知） （已知） AB=CD AD=CB BD=DB （公共边）∴ △ABD ≌ △CDB （SSS） ∴ ∠A=∠C （根据什么？） A B C D A B C D 1.在四边形ABCD中，AB=AD，CD=CB,你能通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?把请说明理由。
A C B D 有时为了解题需要，在原图形上添一些线，这些线叫辅助线。
辅助线通常画成虚线。
2.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,你能通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?有几种添法。
A B C D A B C D 3.在△ABC中,，AB=AC，AD是BC边上的中线, △ABD和△ADC是否全等? 请说明理由。
朝阳高三数学理科期末答案
C1A1 n
a
2
所以 cos C1A1, n
C1A1 n a 2
.
2
3
由图可知，二面角 F
BC1
E 为钝角，所以二面角
F
BC1
E 的大小为 . 4
（ⅱ）假设在线段 EF 上存在点 P ，使得 AP EF .
…………… 10 分
EP
设
, [0,1]，则 EP EF .
EF
因为
AP AE EP AE 又 AP EF ，
所以 EF // 平面 A1C1CA .
B F
C1
z
E
A1
C
A
xB
C1 E
y
C
………………… 4 分
（Ⅱ）因为侧面 A1C1CA 是正方形，所以 A1C 1 C1C . 又因为平面 A1C 1CA 平面 BCC1B1 ，且平面 A1C1CA 平面 BCC1B1 C1C ，
所以 A1C1 平面 BCC1B1 .所以 A1C1 C1B . 又因为 BC1 C1C ，以 C1为原点建立空间直角坐标系 C1 xyz ，如图所示 . 设 C1C a ，则 A(0, a, a), B (a,0,0), C (0, a,0), A1(0,0, a), B1(a, a,0) ，
北京市朝阳区 2018-2019 学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（理工类）
2019.1
一、选择题（ 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
B
A
A
B
C
B
二、填空题（ 30 分）
题号
9
答案
北京市朝阳区高三数学上学期期末考试(理)新人教版
2009-2010学年度第一学期高三年级抽样测试数学（理工类）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3页至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。
共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数21i i +等于 A 、1i -+ B 、1i + C 、22i -+ D 、22i +2. 已知命题:,20x p x R ∀∈>。
那么命题p ⌝为A 、,20x x R ∃∈<B 、,20x x R ∀∈<C 、,20x x R ∃∈≤D 、,20x x R ∀∈≤3. 已知幂函数()y f x =的图象经过点()2,4，则()f x 的解析式为A 、()2f x x =B 、()2f x x =C 、()2x f x =D 、()2f x x =+4. 甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用x x 甲乙、表示，则下列结论正确的是A 、x x >甲乙，且甲比乙成绩稳定B 、x x >甲乙，且乙比甲成绩稳定C 、x x <甲乙，且甲比乙成绩稳定D 、x x <甲乙，且乙比甲成绩稳定5. 如图给出的是九三11113519S =+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A 、10i >B 、10i <C 、9i >D 、9i <6. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是A 、1B 、2C 、3D 、47. 已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是A 、(,5][5,)-∞-+∞B 、(,25][25,)-∞+∞C 、[]25,25-D 、[]5,5-8. 设集合{}1,2,3,4,5,6I =，集合,A I B I ⊆⊆，若A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中所有数均不小于A 中最大的数，则满足条件的集合,A B 有A 、33组B 、29组C 、16组D 、7组第II 卷（非选择题 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科） 2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x ，{ |ln(1) }B x yx ，则U ()A B C 是（A ）2, 1-（）（B ）[1, 2)（C ）(2, 1]-（D ）1, 2（）2．要得到函数sin 24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 （A ）向左平移4π单位（B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位3．设，，是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若，，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ；③若l，//l ，则；④若//，l ，且//l ，则//l .其中正确的命题是（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④4．下列函数中，在(1, 1)内有零点且单调递增的是（A ）12log y x （B ）21xy（C ）212yx (D) 3y x5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn S a , 则2a 等于（A ） 4 （B ）2 （C ）1 （D ） -26.若A 为不等式组0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续变化到1时，动直线x y a+=扫过A 中的那部分区域的面积为（A ）913 （B ）313 （C ）72 (D)747．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 498．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关.其中正确判断的个数有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知3cos()5x π+=，(, 2)x ππ∈，则tan x = .10．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，CD 交BA 的延长线于点E .若3AB =，2ED =，则 BC 的长为________.11．曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0的直角坐标方程分别为 ， ，两条曲线的交点个数为 个.12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于 .13．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .14． 已知数列*{} ()n a nN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 .E DCBAO三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最小值时，)4tan(π-A 值.16．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ，90ACB ，侧面PAB 为等边三角形，侧棱22PC．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求证：平面PAB 平面ABC ；（Ⅲ）求二面角B AP C --的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+- ()a R ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程； （Ⅱ）当102a ≤<时，讨论()f x 的单调性.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ），() 0,()() 0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若(1)0f -=， 且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k的取值范围；CABP（Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于0？19．（本小题满分14分）设椭圆C ：22221x y a b(0)a b的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222F F F Q 0，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切. 过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k，在x 轴上是否存在点(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出m 的取值范围， 如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数2()1ax bf x cx +=+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）.（Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2()1ax bf x cx +=+的图象上，求{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *∈（p q ≠），证明：221()2p q p q S S S +<+； （Ⅲ）若1c =时，()f x 是奇函数，(1)1f =，数列{}n x 满足112x =，1()n n x f x +=， 求证：2222311212231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<.xOyQA·· F 2F 1北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDBADAB二．填空题： 题号 910 111213 14答案4332222(1)1,(1)1xy x y,293 (1, 12)+ 2026三．解答题： 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+，所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………… 3分 因为0A ，所以sin 0A .所以1cos 2B =. ……………………………………………………… 5分 因为0B，所以3B π=. ……………………………………… 7分（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ， ……………………………………… 8分 所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . ……………… 10分所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.此时4sin 5A =（0A ），于是4tan 3A =. …………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+. ……………………………………… 13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，………… 1分因为AP BP ，所以PD AB .又AC BC ，所以CD AB . ………………… 2分 因为PD CD D ，所以AB 平面PCD .因为PC平面PCD ，所以PCAB . ……… 4分CABPED（Ⅱ）由已知90ACB，2AC BC ，所以2AD BD CD，22AB.又PAB 为正三角形，且PDAB ，所以6PD. …………………… 6分因为22PC，所以222PC CD PD .所以90CDP.由（Ⅰ）知CDP 是二面角P AB C 的平面角.所以平面PAB 平面ABC . …………………………………………… 8分 （Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD 平面PAB .过D 作DE PA 于E ，连结CE ，则CE PA .所以DEC 是二面角B AP C 的平面角. ………………………………… 10分在Rt CDE 中，易求得62DE. 因为2CD ，所以23tan 3CD DECDE. ………………………… 12分 所以21cos 7DEC. 即二面角B AP C 的余弦值为217. …………………………………… 13分 方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. ……………………… 9分以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知(0, 0, 0)D ，(2, 0, 0)C ，(0,2, 0)A ，(0, 0, 6)P .所以(2,2, 0)AC，(2, 0, 6)PC . ……………………… 10分设平面PAC 的法向量为(, , )x y z n ， 则0,0.AC PCn n 即220,260.x xz令1x ，则1y ，33z. 所以平面PAC 的一个法向量为3(1, 1,)3n. ……………………… 11分 xCABPDz易知平面PAB 的一个法向量为(2, 0, 0)DC .所以21cos, 7||||DC DCDC n n n . …………………………………… 12分 由图可知，二面角B AP C 为锐角.所以二面角B AP C 的余弦值为217. …………………………………… 13分17．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a时，2()ln 1f x xxx，(0,)x .所以222()x xf x x ′，(0,)x . ………（求导、定义域各一分） 2分因此(2)1f ′. 即曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线斜率为1. ………… 3分又(2)ln 22f ， …………………………………………………… 4分所以曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为ln 20x y. ……… 5分（Ⅱ）因为11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以211()a f x axx′221x a x ax -+--=，(0,)x . ………… 7分令2()1g x ax x a ，(0,)x ，①当0a =时，()1g x x ，(0,)x ，当(0,1)x时，()0g x ，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；……… 8分当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x ′>，函数()f x 单调递增. …… 9分 ②当102a <<时，由()0f x ′=即210ax x a -+-=解得11x ，211x a. 此时1110a，所以当(0,1)x 时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；…10分1(1,1)x a∈-时，()0g x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增；……11分1(1, )x a∈-+∞时，()0g x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减. …12分综上所述：当0a =时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1, 1)a上单调递增；在1(1,)a上单调递减. …………………………………………………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40.a b a >⎧⎨∆=-=⎩ ……………………… 2分所以24(1)0b b --=. 解得2b =，1a =. 所以2()(1)f x x =+.所以22(1) 0,()(1) 0.x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ …………………………………… 4分（Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-， ………………………… 6分 所以当222k -≥或222k --≤时()g x 单调. 即k 的范围是(, 2]或[6,)时，()g x 是单调函数． …………… 8分（Ⅲ）因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+.所以220,() 0.ax x F x ax x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ ……………………………………………… 10分因为0mn <， 依条件设0m >，则0n <.又0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. ………………………………………………………… 12分 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.即()()0F m F n +>． ………………………………………………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为1222F F F Q0，所以1F 为2F Q 中点. 设Q 的坐标为(3, 0)c -， 因为2AQ AF ⊥，所以2233b c c c =⨯=，2244a c c c =⨯=，且过2, , A Q F 三点的圆的圆心为1(, 0)F c -，半径为2c . …………………………………………… 2分因为该圆与直线l 相切，所以|3|22c c --=. 解得1c，所以2a =，3b.故所求椭圆方程为13422=+y x . …………………………………………… 4分 （Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143ykx x y得22(34)1640k x kx +++=.设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k+=-+. ………………………5分所以1122(, )(, )PGPHx m y x m y 1212(2, )x x m y y .=1212(2, ()4 )x x m k x x21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =. ……………………6分所以21122112()[()2]()[()4]0x x x x m k x x k x x .故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k .因为0k >，所以210x x .所以21212()2 ()40x x m k x x k即212(1)()420k x x km.所以2216(1)()42034k k k m k 解得2234k m k =-+. 即234m k k=-+. 因为0k >，所以06m -<≤. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[ 0). ……………………… 8分 （Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程13422=+y x 得22(34)1640k x kx +++=.由0∆>，得214k >. …………………………………………………… 9分 设11(, )G x y ，22(, )H x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k=+. 又MG MH λ=，所以1122(,2)=(,2)x y λx y -- . 所以12=x λx . …… 10分所以122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx .所以2212122()==1+x +x x x x λλ. 所以2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)34kλλ+=+. …………………………………………… 11分 因为214k >，所以26441634k <<+. 即2(1)416λλ+<<. 所以14216λλ<++<. 解得77λ-<<+.又01λ<<，所以71λ-<<. …………………………………… 13分②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =， 此时(0, 3)G ，(0, 3)H -，(0, 32)MG =-，(0, 32)MH =--， 2323MG MH -=+，所以743λ=-. 所以7431λ-<≤，即所求λ的取值范围是[743, 1)-. ……………… 14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依条件有()f x ax b =+.因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分 所以(1)()2n n n S n a b a -=++⋅(1)2n n nb a +=+⋅. 即数列{}n a 的前n 项和n S (1)2n n nb a +=+⋅. ……………………………… 2分 （Ⅱ）证明：依条件有()27, 434()24.2a b a a b a ++=⎧⎪⎨⨯++⋅=⎪⎩ 即37, 10424.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+.所以.22)(21n n a a n S n n +=+= ……………………………………… 3分 因为222()p q p q S S S +-+=2222[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+22()p q =--，又p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.即221()2p q p q S S S +<+. …………………………………………………… 5分 （Ⅲ）依条件2()1ax b f x x +=+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=.即22011ax b ax b x x +-++=++. 解得0b =. 所以2()1ax f x x =+. 又(1)1f =，所以2a =.故22()1x f x x =+. ……………………………………………………………6分 因为1()n n x f x +=，所以1221n n n x x x +=+. 所以1102x =>时，有10n x +>（n N *∈）. 又1222()112n n n n n nx x x f x x x +===+≤， 若11n x +=，则1n x =. 从而11x =. 这与112x =矛盾. 所以101n x +<<. …………………………………………………………… 8分 所以121(1)1k k k k k k x x x x x x ++-=-⋅+≤1124121k k x x ⋅++-+≤12148222=-. 所以2111111()2111()()8k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-. ………………10分 所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++ 1223121111111[()()()]8n n x x x x x x +<-+-++- 1112111211()(2)88n n x x x ++=-=-. …………………12分 因为112x =，1n n x x +>，所以1112n x +<<. 所以1112n x +<<. 所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++3121521)816++-<=. …14分。