朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理科） 2011.1

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）

注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项. 1．设全集U R =，{ |(2)

0 }A x x x ，{ |ln(1) }B x y

x ，则U ()A B C 是

（A ）2, 1-（）

（B ）[1, 2)

（C ）(2, 1]-

（D ）1, 2（）

2．要得到函数sin 24

y x π

（）

的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π

单位

（B ）向右平移

4π

单位（C ）向右平移8

单位

（D ）向左平移8

单位

3．设，

，

是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若，，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ；

③若l

，//

l ，则

；

④若

//，l ，且//l ，则//

l .

其中正确的命题是

（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④

4．下列函数中，在(1, 1)内有零点且单调递增的是

（A ）12

log y x （B ）2

（C ）2

x (D) 3y x

5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n

n S a , 则2a 等于

（A ） 4 （B ）2 （C ）1 （D ） -2

6.若A 为不等式组0,0,2x y y x ??

??-?

≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续变化到1时，动直线x y a

+=扫过A 中的那部分区域的面积为

（A ）913 （B ）313 （C ）72 (D)74

7．在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则

()PA PB PC ?+等于

（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 4

8．如图，正方体1111ABCD

A B C D 中，E ，F 分别为

棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1

AC 平面1B EF ；②

1B EF 在侧面11BCC B 上

的正投影是面积为定值的三角形；③在平面

1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平

面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关.

其中正确判断的个数有

（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知3

cos()5x π+=

，(, 2)x ππ∈，则tan x = .

10．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于

点D ，CD 交BA 的延长线于点E .若3AB =，2ED =，则 BC 的长为________.

11．曲线cos ,

1sin x y αα=??=+?

（α为参数）与曲线

2cos 0的

直角坐标方程分别为，，两条曲线的交点个数为个.

12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的

侧面积等于 .

13．已知点1F ，2F 分别是双曲线22

22 1 (0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于

x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ?是锐角三角形，则该双曲线离心率的取

值范围是 .

14．已知数列*

{} ()n a n

N 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ???? 为整数的数*

()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 .

E D

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）

已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-

n ，求当?m n 取最小值时，)4

tan(π

-A 值.

16．（本小题满分13分）

如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ，90ACB ，侧面PAB 为等边三角形，

侧棱22PC

．

（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB 平面ABC ；

（Ⅲ）求二面角B AP C --的余弦值．

17．（本小题满分13分）

已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

- ()a R ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1

a ≤<时，讨论()f x 的单调性.

18．（本小题满分13分）

已知函数2

()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ），() 0,

()() 0.

f x x F x f x x >?=?

（Ⅰ）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k

的取值范围；

（Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是

否大于0？

19．（本小题满分14分）

设椭圆C ：2

21x y a b

(0)a b

的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A

与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222F F F Q 0，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰

好与直线l ：033=--y x 相切. 过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点

G 在点M ，H 之间）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k

，在x 轴上是否存在点

(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四

边形是菱形. 如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知函数2()1

ax b

f x cx +=

+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）.

（Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2

()1

ax b

f x cx +=

+的图象上，求{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *

∈（p q ≠），

证明：221

()2

p q p q S S S +<

+；（Ⅲ）若1c =时，()f x 是奇函数，(1)1f =，数列{}n x 满足11

x =

，1()n n x f x +=，求证：2

22231121223

1()()()516

n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++

+<.

· F 2

F 1

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）参考答案

一．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

二．填空题：题号 9

10 11

13 14

答案

(1)

1,(1)1x

y x y

93 (1, 12)+ 2026

三．解答题： 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+，

所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………… 3分因为0

A ，所以sin 0A .

所以1

cos 2

B =. ……………………………………………………… 5分因为0

，所以3

B π

. ……………………………………… 7分

（Ⅱ）因为12

cos cos 25A A ?=-

+m n ， ……………………………………… 8分所以2

212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ?=-+-=--m n . ……………… 10分

所以当3

cos 5A =时，?m n 取得最小值.

此时4sin 5A =（0A ），于是4

tan 3A =. …………………………… 12分

所以tan 11

tan()4tan 17

A A A π--==+. ……………………………………… 13分

16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，………… 1分

因为AP BP ，所以PD AB .

又AC BC ，所以CD AB . ………………… 2分因为PD CD D ，所以AB 平面PCD .

因为PC

平面PCD ，所以PC

AB . ……… 4分

（Ⅱ）由已知90ACB

，2AC BC ，

所以2AD BD CD

，22AB

又

PAB 为正三角形，且PD

AB ，所以6PD

. …………………… 6分

因为22PC

，所以2

2PC CD PD .

所以90CDP

由（Ⅰ）知CDP 是二面角P AB C 的平面角.

所以平面PAB 平面ABC . …………………………………………… 8分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD 平面PAB .

过D 作DE PA 于E ，连结CE ，则CE PA .

所以DEC 是二面角B AP C 的平面角. ………………………………… 10分

在Rt CDE 中，易求得62DE

. 因为2CD ，所以23

tan 3

CD DEC

. ………………………… 12分所以21cos 7

DEC

. 即二面角B AP C 的余弦值为

. …………………………………… 13分方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. ……………………… 9分

以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知(0, 0, 0)D ，(2, 0, 0)C ，(0,2, 0)A ，(0, 0, 6)P .

所以(2,2, 0)AC

，(2, 0, 6)PC . ……………………… 10分

设平面PAC 的法向量为(, , )x y z n ，则

0,0.

AC PC

n n 即

220,260.

x x

令1x ，则1y ，33

. 所以平面PAC 的一个法向量为3

(1, 1,

. ……………………… 11分 x

易知平面PAB 的一个法向量为(2, 0, 0)DC .

所以21

cos

, 7

||||

DC DC

DC n n n . …………………………………… 12分由图可知，二面角B AP C 为锐角.

所以二面角B AP C 的余弦值为

. …………………………………… 13分

17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a

时，2

()

ln 1f x x

，(0,)x .

所以2

()x x

f x x ′

，(0,

)x . ………（求导、定义域各一分） 2分

因此(2)1f ′. 即曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线斜率为1. ………… 3分

又(2)

ln 2

2f ， …………………………………………………… 4分

所以曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为ln 2

0x y

. ……… 5分

（Ⅱ）因为11ln )(--+

-=x

ax x x f ，所以21

1()a f x a

′2

21x a x ax -+--=，(0,)x . ………… 7分

令2

()

1g x ax x a ，(0,)x ，

①当0a =时，()1g x x ，(0,

)x ，

当(0,1)x

时，()0g x ，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；……… 8分

当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x ′>，函数()f x 单调递增. …… 9分 ②当1

a <<时，由()0f x ′

=即210ax x a -+-=解得11x ，2

11x a

. 此时

110a

，

所以当(0,1)x 时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；…10分

(1,

1)x a

∈-时，()0g x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增；……11分

(1, )x a

∈-+∞时，()0g x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减. …12分

综上所述：

当0a =时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；

当102a <<

时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1, 1)a

上单调递增；在1

(

1,)a

上单调递减. …………………………………………………… 13分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.

因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以2

0,40.

a b a >??

?=-=? ……………………… 2分

所以2

4(1)0b b --=. 解得2b =，1a =. 所以2

()(1)f x x =+.

所以2

(1) 0,

()(1) 0.

x x F x x x ?+>?=?-+

（Ⅱ）因为22

()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+

22(2)()124

k k x --++-， ………………………… 6分所以当

222k -≥或2

k --≤时()g x 单调. 即k 的范围是(, 2]或[6,)时，()g x 是单调函数． …………… 8分

（Ⅲ）因为()f x 为偶函数，所以2

()1f x ax =+.

所以2

() 0.

ax x F x ax x ?>?=?-

因为0mn <，依条件设0m >，则0n <.

又0m n +>，所以0m n >->.

所以m n >-. ………………………………………………………… 12分此时2

()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--2

()0a m n =->.

即()()0F m F n +>． ………………………………………………… 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为1222F F F Q

0，

所以1F 为2F Q 中点. 设Q 的坐标为(3, 0)c -，因为2AQ AF ⊥，

所以2

33b c c c =?=，2

44a c c c =?=，且过2, , A Q F 三点的圆的圆心为1(, 0)F c -，半径为2c . …………………………………………… 2分

因为该圆与直线l 相切，所以|3|

c c --=. 解得1c

，所以2a =，3b

故所求椭圆方程为13

2=+y x . …………………………………………… 4分（Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），

由2

2,1

kx x y

得2

(34)1640k x kx +++=.

设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则122

1634k

x x k

+=-+. ………………………5分

所以1122(, )

(, )

x m y x m y 1

2(2, )x x m y y .

=12

2(2, ()

4 )x x m k x x

21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.

由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +?0GH =. ……………………6分

所以21122112()[()

()[()

4]0x x x x m k x x k x x .

故2

21121

2()[()2 ()

4]0x x x x m k x x k .

因为0k >，所以2

0x x .

所以2

2()2 ()40x x m k x x k

即2

2(1

)()

420k x x k

所以22

16(1

)(

)42034k

k k m k

解得2

234k m k =-

+. 即2

m k k

=-+. 因为0k >，所以0

m -

<≤. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[ 0). ……………………… 8分（Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，

设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程13

2=+y x 得2

(34)1640k x kx +++=. 由0?>，得2

k >

. …………………………………………………… 9分设11(, )G x y ，22(, )H x y ，则1221634k x x k +=-

+，122

34x x k

=+. 又MG MH λ=，所以1122(,2)=(,2)x y λx y -- . 所以12=x λx . …… 10分

所以122=(1+)x +x λx ，2

122=x x λx .

所以22

12122()==1+x +x x x x λλ

. 所以2222164

()3434(1)k k k λλ

-++=+. 整理得2

264(1)34k λλ+=+. …………………………………………… 11分因为2

14k >，所以2

41634k <<+. 即2(1)416λλ+<

<. 所以1

4216λλ

<++<. 解得77λ-

<<+.

又01λ<<，所以71λ-<<. …………………………………… 13分

②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，

此时(0, 3)G ，(0, 3)H -，(0, 32)MG =-，(0, 32)MH =--，

MG MH -=

+，所以743λ=-.

所以7431λ-<≤，即所求λ的取值范围是[743, 1)-. ……………… 14分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：依条件有()f x ax b =+.

因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，

所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分所以(1)()2n n n S n a b a -=++

?(1)

n n nb a +=+?. 即数列{}n a 的前n 项和n S (1)

n n nb a +=+?. ……………………………… 2分

（Ⅱ）证明：依条件有()27,

434()24.2

a b a a b a ++=??

??++?=?? 即37, 10424.a b a b +=??+=?解得2,1.a b =??

=? 所以21n a n =+. 所以.22

)

(21n n a a n S n n +=+=

……………………………………… 3分因为222()p q p q S S S +-+=2

2[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+

22()p q =--，

又

p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.

即221()2

p q

p q S S S +<+. …………………………………………………… 5分（Ⅲ）依条件2()1

ax b

f x x +=

+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=.

即

22011ax b ax b x x +-++=++. 解得0

b =. 所以2()1

f x x =+. 又(1)1f =，所以2a =. 故2

2()1

f x x =

+. ……………………………………………………………6分因为1()n n x f x +=，所以12

21n n n x x x +=

+. 所以1102

x =>时，有10n x +>（n N *

∈）. 又12

22()112n n

n n n n

x x x f x x x +==

=+≤，若11n x +=，则1n x =. 从而11x =. 这与11

x =

矛盾. 所以101n x +<<. …………………………………………………………… 8分所以12

1(1)1k k k k k k x x x x x x ++-=-?

+≤11

24121

k k x x ?++-+≤12148222=-. 所以2111111()2111()()8k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-. ………………10分

所以2

2231121223

()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++

1223

211111

[()()(

)]8n n x x x x x x +<

-+-++- 111

2111211

()(2)88n n x x x ++=

-=-. …………………12分因为112x =

，1n n x x +>，所以11

n x +<<. 所以1112n x +<<. 所以2

231121223

()

()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++3

1215

21)816++-<=. …14分

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高三数学高考模拟题(一)

高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三数学高考模拟题（一）一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( )

A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<