最新初中数学思维技巧专项训练(一) 反比例函数中有关图形面积问题的解法

反比例函数中有关图形面积问题的解法类型一　利用反比例函数k 的几何意义解决有关图形的面积问题如图1－Y －1，过反比例函数y ＝(k ≠0)的图象上任意一点P (x ，y )，作x 轴、y 轴的垂k x线PA ，PB ，则有：(1)矩形PAOB 的面积S ＝PA ·PB ＝|y |·|x |＝＝(当k ＞0时，S ＝k ；|xy ||k |当k ＜0时，S ＝－k )；(2)S △PBO ＝S △PAO ＝(当k ＞0时，S △PBO ＝S △PAO ＝；当k ＜0时，|k |2k 2S △PBO ＝S △PAO ＝－)．k 2图1－Y －11．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是k x坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－22．如图1－Y －2，直线l 和双曲线y ＝(k >0)交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不k x与点A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 的面积是S 1，△BOD 的面积是S 2，△POE 的面积是S 3，则( )图1－Y －2A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1＝S 2>S 3D ．S 1＝S 2<S 33．如图1－Y －3，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边都平行于坐标轴，点C 在反比例函数y ＝的图象上．若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值为k 2＋2k ＋1x( )图1－Y －3A ．1B ．－3C ．4D ．1或－34．如图1－Y －4，A ，B 是双曲线y ＝上的点，分别过点A ，B 作x 轴和y 轴的垂线6x段．若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为________．图1－Y －45．如图1－Y －5，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝(x >0)及y 2＝(x >0)的图k 1x k 2x象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB .已知△ABO 的面积为2，则k 1－k 2＝__________．图1－Y －56．过反比例函数y ＝(k ≠0)图象上一点A 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B ，C ，若k x△ABC 的面积为3，则k 的值为________．7．如图1－Y －6，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y ＝(x <0)的图象上，则k 的值为________．k x图1－Y －68．如图1－Y －7，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝k x________．图1－Y －79．如图1－Y －8，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在双曲线y ＝(x >0)上，且x 2－x 1＝4，y 1k x－y 2＝2.分别过点A ，B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C ，E 和D ，F ，AC 与BF 相交于点G ，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，则双曲线的解析式为____________．图1－Y －8类型二　利用反比例函数k 的代数意义解决有关图形的面积问题(1)已知反比例函数y ＝(k ≠0)图象上一点的坐标为(x ，y )，则有k ＝xy ；k x(2)如图1－Y －9，已知反比例函数y ＝(k ≠0)图象上的两点A (x ，y )，D (m ，n )，则有k xxy ＝mn .图1－Y －910．如图1－Y －10，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y ＝(x >0)的图象8x交于点A ，B ，与x 轴交于点C ，且B 是AC 的中点，分别过点A ，B 作x 轴的平行线，与反比例函数y ＝(x >0)的图象交于点D ，E ，连接DE ，则四边形ABED 的面积为2x________．图1－Y －1011．如图1－Y －11，点A ，B 在反比例函数y ＝(k >0)的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x k x轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD ＝k .已知AB ＝2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是________．图1－Y －1112．如图1－Y －12，已知双曲线y ＝与直线y ＝－x ＋6相交于A ，B 两点，过点A k x作x 轴的垂线与过点B 作y 轴的垂线相交于点C ，若△ABC 的面积为8，则k 的值为________．图1－Y －1213．如图1－Y －13，已知反比例函数y ＝的图象与直线y ＝－x ＋b 都经过点A (1，k x4)，且该直线与x 轴的交点为B .(1)求反比例函数和直线的解析式；(2)求△AOB 的面积．图1－Y －1314．如图1－Y －14，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝(k ≠0，x ＞0)过点D .k x(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．图1－Y －14类型三　利用正比例函数与反比例函数图象的中心对称性解决有关图形的面积问题如图1－Y －15所示．图1－Y －15(1)(2)S △BOC ＝S △ODB ＝S △AOC ＝，S △ABC ＝.|k |2|k |15．直线y ＝mx (m >0)与双曲线y ＝(k >0)交于点A ，B .过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为k xM ，连接BM .若S △ABM ＝1，则k 的值是( )A ．1B ．m －1C ．2D ．m16．如图1－Y －16，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两1x点．AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，则四边形ABCD 的面积为( )图1－Y －16A ．1 B. C ．2 D.325217．如图1－Y －17，某正比例函数与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点2xA 作x 轴的垂线，垂足为B ，连接BC ，则△BOC 的面积为________．图1－Y －1718．如图1－Y －18所示，已知直线y ＝x 与双曲线y ＝(k ＞0)交于A ，B 两点，且点12k xA 的横坐标为4.(1)求k 的值；(2)若双曲线y ＝(k ＞0)上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；k x(3)过原点O 的另一条直线l 交y ＝(k ＞0)于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，若由点A ，k xB ，P ，Q 为顶点组成的四边形的面积为24，求点P 的坐标．图1－Y －18详解1．B [解析] 如图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，因为EO ＝EF ，所以OM ＝MF ，所以S △MEO ＝S △MEF ＝S △EOF ＝1，所以＝1，所以k ＝2.12k2．D [解析] 结合题意可得点A ，B 都在双曲线y ＝上，则有S 1＝S 2.直线AB 上点A k x与点B 之间的部分在双曲线上方，故有S 1＝S 2＜S 3.故选D.3．D [解析] 设C (x ，y )．∵四边形ABCD 是矩形，对角线BD 经过坐标原点，∴S △BCD ＝S △BAD ，S △BEO ＝S △BFO ，S △DHO ＝S △DGO ，∴S 矩形CEOH ＝S 矩形AFOG ，∴k 2＋2k ＋1＝×＝4，|－2||－2|∴k ＝1或k ＝－3.故选D.4．8　[解析] 如图，∵A ，B 是双曲线y ＝上的点，6x∴S 矩形ACOG ＝S 矩形BEOF ＝6.∵S 阴影＝2，∴S 矩形ACED ＋S 矩形BDGF ＝6＋6－2－2＝8.故答案为8.5．4　[解析] ∵反比例函数y 1＝(x ＞0)及y 2＝(x ＞0)的图象均在第一象限内，k 1x k 2x∴k 1＞0，k 2＞0.∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP ＝k 1，S △OBP ＝k 2，1212∴S △ABO ＝S △OAP －S △OBP ＝(k 1－k 2)＝2，12∴k 1－k 2＝4.6．6或－67．－6　[解析] 如图，连接AC ，交y 轴于点D ，∵四边形OABC 为菱形，∴AC ⊥OB ，且CD ＝AD ，BD ＝OD .∵菱形OABC 的面积为12，∴△CDO 的面积为3，∴│k │＝6.∵反比例函数图象的一个分支位于第二象限，∴k <0，则k ＝－6.故答案为－6.8．6　[解析] 由点P (6，3)，得点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数y ＝，得k x点A 的纵坐标为，点B 的横坐标为，k 6k 3即AM ＝，NB ＝.k 6k 3∵S 四边形OAPB ＝12，∴S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，即6×3－×6×－×3×＝12，12k 612k 3解得k ＝6.故答案为6.9．y ＝　[解析] ∵x 2－x 1＝4，y 1－y 2＝2，6x∴AG ＝2，BG ＝4，∴S △ABG ＝AG ·BG ＝4.∵S 长方形AEOC ＝S 长方形BFOD ＝＝k ，∴k ＋k 12|k |－2＋4＝14，∴k ＝6，即y ＝.6x10.　[解析] ∵点A ，B 在反比例函数y ＝(x >0)的图象上，928x∴设点B 的坐标为(，m )．8m∵B 为线段AC 的中点，且点C 在x 轴上，∴点A 的坐标为(，2m )．4m∵AD ∥x 轴，BE ∥x 轴，且点D ，E 都在反比例函数y ＝(x >0)的图象上，2x∴点D 的坐标为(，2m )，点E 的坐标为(，m )，1m 2m∴S 四边形ABED ＝×(－＋－)×(2m －m )＝.124m 1m 8m 2m 92故答案为.9211.　[解析] ∵E 是AB 的中点，3 72∴S △ABD ＝2S △ADE ，S △BAC ＝2S △BCE .又∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，∴2S △ABD ＝S △BAC .设点A 的坐标为(m ，)，点B 的坐标为(n ，)，k m k n则有{m －n ＝k ，k m ＝－2×k n ，（m －n ）2＋（k m －k n ）2＝2k m ，)解得或{k ＝3 72，m ＝72，n ＝－7){k ＝－3 72，m ＝－72，（舍去）.n ＝7)故答案为.3 7212．5　[解析] 由A ，B 两点在直线y ＝－x ＋6上，可设点A ，B 的坐标分别为(m ，－m ＋6)，(n ，－n ＋6)，所以AC ＝n －m ，BC ＝n －m ，所以S △ABC ＝AC ·BC ＝(n －m )2＝8，1212所以n －m ＝4，即m ＝n －4，所以点A 的坐标为(n －4，10－n )．又A ，B 两点在双曲线y ＝上，所以(n －4)(10－n )＝n (－n ＋6)，解得n ＝5，所以点B 的坐标为(5，1)，故k ＝5.k x13．解：(1)把A (1，4)代入y ＝，得k ＝1×4＝4，k x所以反比例函数的解析式为y ＝.4x把A (1，4)代入y ＝－x ＋b ，得－1＋b ＝4，解得b ＝5，所以直线的解析式为y ＝－x ＋5.(2)在y ＝－x ＋5中，令y ＝0，即－x ＋5＝0，解得x ＝5，则B (5，0)，所以△AOB 的面积＝×5×4＝10.1214．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)．∵双曲线y ＝(k ≠0，x ＞0)过点D ，k x∴2＝，得k ＝2，k 1即双曲线的解析式是y ＝.2x(2)S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝＋＝1＋2＝3.（2－0）×12（2－0）×（3－1）215．A [解析] 由直线y ＝mx 与双曲线y ＝均关于原点对称，可得S △ABM ＝，所以k x |k |＝1.又因为k >0，所以k ＝1.故选A.|k |16．C [解析] 由直线y ＝x 与双曲线y ＝均关于原点对称，可得S △ADC ＝S △ABC ＝＝1x|k |1，∴四边形ABCD 的面积为2.故选C.17．118．解：(1)∵点A 的横坐标为4，点A 在直线y ＝x 上，∴当x ＝4时，y ＝2，12∴点A 的坐标为(4，2)．又∵点A 在双曲线y ＝(k >0)上，k x∴k ＝4×2＝8.(2)如图，分别过点C ，A 作x 轴的垂线，垂足为E ，F .∵点C 在双曲线y ＝上，当y ＝8时，x ＝1，8x∴点C 的坐标为(1，8)．∵点C ，A 都在双曲线y ＝上，8x∴S △COE ＝S △AOF ＝4，∴S △COE ＋S 梯形CEFA ＝S △AOC ＋S △AOF ，∴S △AOC ＝S 梯形CEFA .∵S 梯形CEFA ＝×(2＋8)×3＝15，12∴S △AOC ＝15.(3)∵反比例函数的图象是关于原点O 的中心对称图形，∴OP ＝OQ ，OA ＝OB ，∴四边形APBQ 是平行四边形，∴S △POA ＝S 平行四边形APBQ ＝×24＝6.1414设点P 的横坐标为m (m >0且m ≠4)，则点P 的坐标是.(m ，8m)分别过点P ，A 作x 轴的垂线，垂足为E ，F .∵点P ，A 在双曲线上，∴S △POE ＝S △AOF ＝4.若0＜m ＜4，如图①，∵S △POE ＋S 梯形PEFA ＝S △POA ＋S △AOF ，∴S 梯形PEFA ＝S △POA ＝6，即··(4－m )＝6，12(2＋8m )解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴P (2，4)．若m ＞4，如图②，∵S △AOF ＋S 梯形PEFA ＝S △POA ＋S △POE ，∴S 梯形PEFA ＝S △POA ＝6，即··(m －4)＝6，12(2＋8m )解得m ＝8或m ＝－2(舍去)，∴P (8，1)．综上，点P 的坐标是(2，4)或(8，1)．。