2016-2017年安徽省安庆一中高一上学期期末数学试卷与答案Word版

2016-2017学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知锐角α终边上一点A的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则角α的弧度数为（）A．3 B．π﹣3 C．3﹣D．﹣32．（5.00分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．3．（5.00分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．4．（5.00分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．6 B．6 C．10 D．125．（5.00分）已知当时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinx﹣cosx 图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．6．（5.00分）函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）7．（5.00分）化简=（）A．cosαB．sinα C．1 D．8．（5.00分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．9．（5.00分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点10．（5.00分）若偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＜f（sinβ）D．f（sinα）＞f（sinβ）11．（5.00分）设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足，，则=（）A．B．C．D．12．（5.00分）如图，在△OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对（x，y）所表示的区域在直线y﹣x=3的右下侧部分的面积是（）A．B．C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5.00分）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为．14．（5.00分）=．15．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则φ的值为．16．（5.00分）设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量．①若=2，则、线性相关；②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，17题每小题10分，18-22题每小题10分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，．若记，，试用m，n表示，，．18．（12.00分）已知函数．（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若，不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围．19．（12.00分）设两个非零向量与不共线．（1）若=+，=2+8，=3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．20．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）试确定f（x）的解析式；（2）若f（）=，求的值．21．（12.00分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．22．（12.00分）如图，已知OPQ是半径为圆心角为的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠BOC为α．（Ⅰ）若Rt△CBO的周长为，求的值．（Ⅱ）求的最大值，并求此时α的值．2016-2017学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知锐角α终边上一点A的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则角α的弧度数为（）A．3 B．π﹣3 C．3﹣D．﹣3【解答】解：∵锐角α终边上一点的坐标为（2sin3，﹣2cos3），由任意角的三角函数的定义可得tanα=﹣cot3=tan（3﹣），又3﹣∈（0，），∴α=3﹣．故选：C．2．（5.00分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．3．（5.00分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A 选项对应的图象符合．故选：A．4．（5.00分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．6 B．6 C．10 D．12【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴l=4r，∵S=lr=2，扇∴•4r2=2，∴r2=1，r=1．∴其周长c=l+2r=4r+2r=6r=6．故选：A．5．（5.00分）已知当时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinx﹣cosx 图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当时，函数y=sinx+acosx取最大值，∴解得：，∴，∴是它的一条对称轴，故选：A．6．（5.00分）函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：由＜2x﹣，即﹣＜x＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．7．（5.00分）化简=（）A．cosαB．sinα C．1 D．【解答】解：先考虑分母：=，故得=故选：D．8．（5.00分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（0，），∴2α∈（0，π）．∵cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴sin2α==，而α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==，∴cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=（﹣）×（﹣）+×=．故选：D．9．（5.00分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点【解答】解：∵，∴，∴，∴P是AC边的一个三等分点．故选：D．10．（5.00分）若偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＜f（sinβ）D．f（sinα）＞f（sinβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在区间[0，1]上为增函数．又由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，α＞﹣β，1＞sinβ＞cosα＞0．∴f（sinβ）＞f（cosα）．故选：C．11．（5.00分）设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：如图∴四边形DPEB为平行四边形，，故选：C．12．（5.00分）如图，在△OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对（x，y）所表示的区域在直线y﹣x=3的右下侧部分的面积是（）A．B．C．4 D．5【解答】解：如图，过P作MN∥OB，则==所以⇒⇒如图故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5.00分）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为﹣2．【解答】解：∵，∴∴∴∵∴λ=﹣2故答案为：﹣214．（5.00分）=．【解答】解：由=．故答案为：15．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则φ的值为．【解答】解：由函数图象可得：T=2（）=π，从而可求ω==2，由点（，0）在函数图象上，所以：sin（2×+φ+）=0，解得：φ=k，k∈Z，由0＜φ≤，从而可得：φ=．故答案为：．16．（5.00分）设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量．①若=2，则、线性相关；②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的是①④（写出所有正确命题的编号）【解答】解：若、线性相关，假设λ≠0，则=﹣，故和是共线向量．反之，若和是共线向量，则=﹣，即λ+μ=0，故和线性相关．故和线性相关等价于和是共线向量．①若=2 ，则﹣2 =0，故和线性相关，故①正确．②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确．③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当=时，和可以是任意的两个向量．故③不正确．④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共6小题，17题每小题10分，18-22题每小题10分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，．若记，，试用m，n表示，，．【解答】解：∵，，∴∴；=﹣+．=﹣﹣．===．18．（12.00分）已知函数．（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若，不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1），…（5分）由解得：，∴f（x）在区间上单调递增．…（8分）（2），不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，，∴，∴A=[1，2]，又解得B=（m﹣3，m+3）…（12分）而A∩B=A⇒A⊆B∴，得﹣1＜m＜4…（16分）．19．（12.00分）设两个非零向量与不共线．（1）若=+，=2+8，=3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．【解答】解：（1）∵===，∴与共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）∵和共线，则存在实数λ，使得=λ（），即，∵非零向量与不共线，∴k﹣λ=0且1﹣λk=0，∴k=±1．20．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）试确定f（x）的解析式；（2）若f（）=，求的值．【解答】解：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又ω＞0，∴T==2，∴ω=π；由图可知，f（x）=Asin（ωx+φ）经过（，2），∴ω+φ=，即+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（πx+）；（2）∵f（）=，∴2sin（+）=，∴sin（+）=cos[﹣（+）]=cos（﹣）=，∴cos（﹣α）=2﹣1=2×﹣1=﹣．21．（12.00分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．22．（12.00分）如图，已知OPQ是半径为圆心角为的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠BOC为α．（Ⅰ）若Rt△CBO的周长为，求的值．（Ⅱ）求的最大值，并求此时α的值．【解答】解：（Ⅰ）BC=OCsinα=sinα，OB=OCcosα=cosα，则若Rt△CBO的周长为，则+sinα+cosα=，sinα+cosα=，平方得2sinαcosα=，即==，解得tanα=3（舍）或tanα=．则====．（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=OCsinα=sinα，OB=OCcosα=cosα，在Rt△ODA中，OA=DAtan=BC=sinα，∴AB=OB﹣OA=（cosα﹣cosα），则=|||=（cosα﹣cosα）•sinα=∵，∴，∴当，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f ．．．(x ．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()yf u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．即时，有最大值．。