安庆一中高一数学期末数学试题
2022-2023学年安徽省合肥一中、安庆一中等六校高一上数学期末考试试题含解析
15．若 ， ，且 ，则 的最小值为________
三、明过程或演算步骤.）
16．已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）若函数 ，且对任意的 ， ， 恒成立，求实数a的取值范围.
17．已知函数 .
（1）请用“五点法”画出函数 在 上的图象（先列表，再画图）；
1．已知函数 且 ，则函数恒过定点（）
A. B.
C. D.
2．“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．由直线 上的点向圆 作切线，则切线长的最小值为（）
A.1B.
C. D.3
4．在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的大小是
A. B.
【详解】令 ，解得 ， ，
所以函数恒过定点 ，
故选：D
2、A
【解析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.
【详解】 ， 时， ，
， 时， ，
所以“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件，
故选: .
3、B
【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值
（Ⅱ）利用两角和的余弦公式化函数为一个角的余弦型函数，利用余弦函数的性质得最值
【详解】解：（Ⅰ） ，
所以要得到 的图象只需要把 的图象向左平移 个单位长度，再将所得的图象向上平移 个单位长度即可.
（Ⅱ） .
当2x+ =2k ＋ 时，h（x）取得最小值 .
取得最小值时，对应的x的集合为 .
19、（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）根据 为偶函数，将等式 化简整理即可得到 的值；
2018-2019学年安徽省安庆一中高一第二学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年安徽省安庆一中高一第二学期期末考试数学试题一、单选题1．不等式23760x x --≥的解集为（ ） A ．23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集. 【详解】不等式23760x x --≥可以因式分解为(3)(32)0x x -+≥，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为[)2,3,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单. 2．空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A ．三个点 B ．四个点C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】根据公理2即可得出答案。
【详解】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误；在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 【点睛】本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面的理解。
3．若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2a =-或1a = B ．1a =C ．2a =-D ．23a =-【答案】B【解析】利用直线与直线平行的性质求解． 【详解】∵直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=解得a ＝1或a ＝﹣2． ∵当a ＝﹣2时，两直线重合， ∴a ＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．4．设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，若πa 3,b A 3===，则B =（ ） A ．π5π66或 B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】B【解析】根据正弦定理求解即可得到所求结果． 【详解】 由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 12sin 32b AB a===． 又b a <， ∴B 为锐角， ∴6B π=．故选B ． 【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题． 5．设0,0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）.A ．B ．83C ．92D ．【答案】C【解析】由3是a 3与b 3的等比中项，可得2a b +=，再利用不等式知识可得14a b+的最小值. 【详解】 解：3是a 3与b 3的等比中项，2333a b ∴⋅=，∴2a b +=，14a b +=111419()5=24222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5…， 故选C. 【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力. 6．已知,,l m n 为三条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若m α，n α，则m nC ．若l αβ=，m α，m β，则m lD ．若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【解析】根据线线位置关系，线面位置关系，以及面面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，当βγ时，由m αβ=，n αγ=可得m n ，此时由l m ⊥，l n ⊥可得l α⊂或l α或l 与α相交；所以A 错误；B 选项，若m α，n α，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以B 错误；C 选项，若l αβ=，m α，m β，根据线面平行的性质，可得m l ，所以C 正确；D 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或m β，又n β，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以D 错误； 故选C 【点睛】本题主要考查线面，面面有关命题的判定，熟记空间中点线面位置关系即可，属于常考题型.7．已知点P 与点()Q 1,2-关于直线x y 10+-=对称，则点P 的坐标为( ) A ．()3,0 B ．()3,2-C ．()3,0-D ．()1,2-【答案】A【解析】根据题意，设P 的坐标为（a ，b ），分析可得21112122b a a b +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+=⎪⎩，解可得a 、b的值，即可得答案． 【详解】设P 的坐标为（a ，b ），则PQ 的中点坐标为（12a +，22b -）， 若点P 与Q （1，﹣2）关于x +y ﹣1＝0对称，则有21112122b a a b +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+=⎪⎩，解可得：a ＝3，b ＝0， 则点P 的坐标为（3，0）； 故选：A ． 【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题．8．己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）A ．25B ．40C ．50D ．45【答案】D【解析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解n S 的最大值． 【详解】等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，可得：35277225a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =（舍)或19a =，2(1)199(1)22n n n n nS n --+=+⋅-=．所以n=9或n=10时， 故n S 的最大值为910==45S S ． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n 项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．116π B ．73π C ．136πD ．83π 【答案】C【解析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可. 【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A B ．3C ．D ．2【答案】A【解析】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就是最小值． 【详解】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，||||AB AD ==1||1AA =，∴011tan 60AA B AA B ∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠1MD ∴==故选：A ．本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．11．设[x]表示不超过x 的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{n a }满足：1a 1=，n 1n a a n 1+=++（*n N ∈），则12320191111[]a a a a ++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】先求出11=2)1n a n n --（，再求12320191111[]a a a a ++++得值.【详解】由n 1n a a n 1+=++，得n n 1a a n --=（n 2≥），又1a 1=， ∴()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a ...a a a ---=-+-++-+()()()n n 1n n 1n 2 (212)+=+-+-+++=．则()n 12112a n n 1n n 1⎛⎫==- ⎪+-⎝⎭． ∴122018111111111...21 (211)a a a 223201820192019⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，考查新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】当点M 为线段BC 的中点时，画出截面为四边形，当12BM >时，画出截面为五边形，结合选项可得结论. 【详解】∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以正方体的棱长为1，点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点）， 当点M 为线段BC 的中点时，1//MN AD1,,,A M N D 共面，截面为四边形1AMND ，如图，即12BM =，不合题意，排除选项,,A C D ; 当12BM >时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形， 线段BM 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题主要考查正方体的性质、截面的画法，考查作图能力与空间想象能力，意在考查对基础知识的熟练掌握与灵活应用，属于难题.二、填空题13．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩………表示的平面区域ABC △（包括边界），所以yx 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.14．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则此图形中有________个直角三角形．【答案】4【解析】推导出AB BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，由此能求出图中直角三角形的个数． 【详解】∵ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ， ∴AB BC ⊥，PA BC ⊥，∵AB PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAB ，∴图中直角三角形有ABC （ABC ∠是直角 ），PAC （PAC ∠是直角），PAB （PAB ∠是直角），PBC （PBC ∠是直角）， ∴图中直角三角形有4个，故答案为4. 【点睛】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．15．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b cc b+的最大值是______．【解析】利用三角形面积公式可得22sin a bc A =，利用余弦定理化简原式为sin cos A A +，再利用两角和的正弦公式与三角函数的有界性可得结果.【详解】因为BC 边上的高为2a， 所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222bc b c a bc Ac b bc bc+++==2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b cc b+． 【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.16．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11160,OEO O E O A ∠===在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径3r OA ====.三、解答题17．在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的正切值.【答案】（1）π3； （2【解析】（1）先求出PO=再利用公式求该圆锥的侧面积与体积；（2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求，再求其正切值得解.【详解】（1）由题意，得OB 2=，PB 4=，PO ==所以圆锥的侧面积为S πrl 24=8ππ==⋅⋅，211V πr h π33==⋅ 22⋅⋅=； （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求，因为DE ⊥EO,DE ⊥OC,,,EO OC EOC EOOC O ⊂=平面, 所以DE ⊥平面EOC ，DE EC ∴⊥，1DE OA 12==，CE ===于是tan CDE ∠==，即异面直线AB 与CD .【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知直线1l 的方程为x 2y 40+-=，若2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥． （1）求直线1l 和2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程．【答案】（1）()21，；（2）12y x =或250x y +-= 【解析】（1）利用l 1⊥l 2，可得斜率2l k ．利用点斜式可得直线l 2的方程，与直线l 1和l 2的交点坐标为（2，1）；（2）当直线l 3经过原点时，可得方程．当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍，其方程为：2x y a a+=1，把交点坐标（2，1）代入可得a ．【详解】 解：（1）∵l 1⊥l 2，∴2112l k -==-2． ∴直线l 2的方程为：y ﹣0＝2（x 32-），化为：y ＝2x ﹣3． 联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 1和l 2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l 3经过原点时，可得方程：y 12=x ． 当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍， 其方程为：2x y a a +=1，把交点坐标（2，1）代入可得：212a a +=1，解得a 52=． 可得方程：2x +y ＝5．综上可得直线l 3的方程为：x ﹣2y ＝0，2x +y ﹣5＝0．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，A 为锐角，且满足3b 5asinB =.（1）求2B C sin2A cos 2++的值；（2）若a =,ΔABC 的面积为32，求b,c .【答案】（Ⅰ）5350 （Ⅱ） b c ==【解析】（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行化简，得到sin A 35=，然后利用倍角公式即可得到三角函数的值．（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论．【详解】（Ⅰ）∵35sin b a B =， ∴3sin 5sin sin B A B =由()0,sin 0,B B π∈⇒≠∴3sin ,5A =∵A 为锐角， ∴4cos .5A = ()21cos 1cos sin2cos =2sin cos 2sin cos 222B C B C A A A A A A +++-++=+ 341532?·551050=+= （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 34sin ,cos 55A A == ∵ABC ∆的面积为32，∴ABC S ∆= 13sin 22bc A =⇒ 5bc = （1） 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-()()22224182222055b c bc b c bc b c =+-⋅⇒+-=⇒+= ∴b c += （2）由（1）、（2）解得b c ==【点睛】本题主要考查三角函数的化简与求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，建立方程组是解决本题的关键．20．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -BG BE 的值． 【答案】（1）见解析；（2）13.【解析】（1） 设AC BD O =，连结EO ，MO ，推导出四边形EOMF 为平行四边形，从而//FM EO ．由此能证明//FM 平面BDE ．（2）过G 作ED 的平行线交BD 于H ，则GH ⊥平面ABCD ，GH 为三棱锥G BCD -的高，根据三棱锥G BCD -的体积求得GH 长度．从而求得GH ED的值，由三角形相似得BG BE 的值． 【详解】（1）证明：设AC BD O ⋂=，连结EO,MO ．因为M,O 分别是BC,BD 的中点，因为EF //AB ，且1EF=AB 2， 因为OM //AB ，且1OM=AB 2， 所以EF //OM ，且EF=OM ．所以四边形EOMF 为平行四边形．所以FM ∥EO ．又因为EO ⊂平面BDE ，FM ⊄平面BDE ，所以FM ∥平面BDE ．（2）解：过G 作ED 的平行线交BD 于H ． 由已知ED ⊥平面ABCD ，所以GH ⊥平面ABCD ．所以GH 为三棱锥G BCD -的高．因为三棱锥G BCD -的体积为9， 所以三棱锥G BCD -的体积:1111V BD BC sin60GH 22GH 3232=⨯⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯== 2GH 3∴=． BGH BED ∆∆∽，2BG GH 13BE ED 23∴===. 【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，1n a =（1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式n a ;（2）设2n an n b a =+，数列{}n b 前n 项和为n T ，求使不等式2626n n T n <+-成立的正整数n 组成的集合.【答案】（1）11,21n a a n ==-；（2）{}1,2【解析】（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得n S ，代入1n a =求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出212223n n T n +-=+，再代入不等式解不等式即得解. 【详解】（1）解：由已知1n a =-，得当1n =时，11a =；当2n …时，1n n n a S S -=-，代入已知有11n n S S -=-+，即211)n S -=．又0n a >，11=-（舍)，1(2)n …，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，∴n =，则21n a n =-；（2）由题得212=212n an n n b a n -=+-+，所以数列{}n b 前n 项和212122222=(121)233n n n n T n n ++--+-+=+. 因为2626n n T n <+-，所以2(2)9280,128n n n -⋅+<∴<<，所以03n <<.所以正整数n 组成的集合为{1,2}【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.(1)求证：BC ⊥面CDE;(2)在线段AE 上是否存在一点R ，使得面BDR ⊥面DCB ，若存在，求出点R 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）略；（2）14AR AE = 【解析】（1）由已知中AE CD ⊥，垂足为E ，DE EC ⊥．根据线面垂直的判定定理，我们可得DE ⊥面ABCE ．由线面垂直的定义，可得DE BC ⊥，又由BC CE ⊥，得到BC ⊥平面CDE ；（2）取BD 中点Q ，连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ ，求出RQ ，解CRQ ∆，可得CQ RQ ⊥，又由等腰CBD ∆中，Q 为底边BD 的中点，得到CQ BD ⊥，进而根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论．【详解】（1）由已知得：DE AE ⊥，DE EC ⊥,,,AE EC ABCE AE EC E ⊂=平面 DE ∴⊥面ABCE ．DE BC ∴⊥，又BC CE ⊥，,,DE CE DCE DE CE E ⊂=平面BC ∴⊥面DCE（2）分析可知，R 点满足14AR AE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下：取BD 中点Q ，连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ容易计算2,CD BD CR DR CQ === 在BDR ∆中BR DR BD ==， 由平行四边形性质得22222()BD 4DR BR RQ +=+,所以222152()444RQ +=+（可知RQ =， ∴在CRQ ∆中，222CQ RQ CR +=，CQ RQ ∴⊥．又在CBD ∆中，CD CB =，Q 为BD 中点CQ BD ∴⊥，因为,,BD RQ BDR BD RQ Q ⊂=平面CQ ∴⊥面BDR ，因为CQ BDC ⊂平面,∴面BDC ⊥面BDR ．【点睛】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线平面垂直的判定，熟练掌握空间直线平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．说明：条件“G、F分别为AD、CE的中点，”没有使用，是因为这个题目是改编的，把第2问删除了，第2问是证明GF||平面BCD.。
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10
10
D． 8000 cm3 3
D.48 对
（）
（ ）
()
（
A.16
()
)
（
第2页共7页
A．0 个 C．2 个
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9.若直线 ax 2 y 6 0 和直线 x a(a 1) y (a2 1) 0 垂直,则 a 的值为
A. 3 或0
2
B.0
C. 3 2
10. 已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为 2 ，底面边长为 3 ，E是SA的中点，则异面直线
BE与SC所成角的大小为
）
A．90° B．60° C．45°
B.至少与 a、b 中的一条相交
D.至多与 a、b 中的一条相交
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省安庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．集合{}N 5215A x x =∈-<-<的子集个数为（）．A ．4B ．7C ．8D ．16【正确答案】C【分析】解出集合A ，再计算集合的子集个数.【详解】因为{}{}{}N |5215N|230,1,2A x x x x =∈-<-<=∈-<<=，所以该集合的子集的个数为328=，故选：C ．2．命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是（）．A ．5x ∀>，5log 1x ≤B ．05x ∃>，50log 1x ≤C ．5x ∀≤，5log 1x ≤D ．05x ∃≤，50log 1x ≤【正确答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，命题“5x ∀>，5log 1x >”的否定是05x ∃>，50log 1x ≤．故选：B ．3．下列各式中，与5πsin 3的值相等的是（）．A ．πcos6B ．2πsin3C ．4πsin3D ．7πsin3【正确答案】C【分析】结合诱导公式求出各三角函数值后可得．【详解】因5ππsin sin 33=-=πcos 6=，2πsin 3=4ππsin sin 33=-=-7ππsinsin 332==，故选：C ．4．“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，所以充分性成立；当2sin sin tan 0cos αααα⋅=<，即cos 0α<时，角α是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A ．5．已知函数()11cos 33xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】计算函数值(π)f 后可得．【详解】由条件知()ππ1111πcos π03333f ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 符合，其它均不符合，故选：A ．6．已知tan 2a =，31log 3b =，20.99c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】结合正切函数性质、指数函数性质，借助中间值1-比较可得．【详解】因23πtan 2tan 10.990.98014a b c =<=-=<=-=-，故选：A ．7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）与3log 100x成正比，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速为1.5m/s ．若一条鲑鱼的游速提高了1m/s ，则它的耗氧量的单位数是原来的（）倍．A ．4B ．8C ．9D ．27【正确答案】C【分析】根据初始值求得比例系数k ，然后设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，由速度差列等式求解．【详解】根据条件设3log 100x v k =，当2700x =时， 1.5v =，代入得327001.5log 3100k k ==，解得12k =，所以31log 2100x v =，设原来的耗氧量的单位数为1x ，提速后的耗氧量的单位数为2x ，则2123331111log log log 1210021002x x xx -==，所以22139x x ==，故选：C ．8．已知函数()ln 2f x x x =+-的零点为0x ，则下列说法错误的是（）．A ．()01,2x ∈B ．020e ex x =C ．()0021xx -<D ．0201x x -<【正确答案】D【分析】由零点存在定理及单调性确定零点0(1,2)x ∈，再利用零点的性质结合对数函数与指数函数性质判断各选项．【详解】由条件知函数()f x 在其定义域内单调递增，所以其最多有一个零点，又()110f =-<，()2ln 20f =>，于是()01,2x ∈，A 正确；所以000l 2n x x +-=，整理得()0000ln ln e ln e 2x x x x +==，所以020e e x x =，B 正确；因()01,2x ∈，所以()020,1-∈x ，于是()0021xx -<，0201x x ->，C 正确，D 错误，故选：D ．二、多选题9．下列各式中，其中运算结果正确的是（）．A π4=-B ．()233log 937⨯=C ．lg 4lg 252+=D ．42log 9log 3=【正确答案】BCD【分析】利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可.【详解】A π44π=-=-，A 错误；B 选项：()23733log 93log 37⨯==，B 正确；C 选项：2lg 4lg 25lg100lg102+===，C 正确；D 选项：22422log 9log 3log 3==，D 正确．故选：BCD ．10．已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()y f x =的最小正周期为π2D ．函数()y f x =是偶函数【正确答案】AB【分析】由正切函数性质判断AB ，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD ．【详解】π()tan 004f -==，A 正确；ππ(,44x ∈-时，ππ(0,)42x +∈，因此此时()f x 递增，B 正确；π(04f -=，但π()4f 不存在，C ，D 均不正确，故选：AB ．11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D ．若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12πcos cos 6x x +==故D 错误．故选：AB ．12．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则下列关于函数()y f x =的判断中，其中正确的判断是（）．A ．函数()y f x =的最小正周期为4B ．11124f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()y f x =在[]2,4上单调递增D ．不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈．【正确答案】ABD【分析】由奇函数的性质与对称性得出函数的周期性，结合周期性、奇偶性、对称性及函数在[0,1]上的解析式可得函数的性质，从而判断各选项．【详解】由()()11f x f x +=-得()()2f x f x +=-，于是()()()()()422f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，所以函数()y f x =的最小正周期为4，A 正确；211311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；()f x 在[0,1]上递增，由()f x 是奇函数得()f x 在[1,0]-上递增，即在[1,1]-上递增，又()f x 图象关于直线1x =对称（∵(1)(1)f x f x +=-），因此()f x 在[1,3]上递减，而()f x 是周期为4的周期函数，因此()f x 在[3,5]上递增，C 错误；由选项C 的讨论，可得到不等式()0f x ≥的解集为[]()4,42Z k k k +∈，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知23x =，则2222x x -+=________．【正确答案】829##199【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【详解】由已知得()()22221822222999x x xx --+=+=+=．故829．14．已知函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，且点P 在角α的终边上，则sin cos αα=________．【正确答案】25-【分析】先由指数型函数过定点的性质求得P 的坐标，再利用三角函数的定义即可求得sin ,cos αα，从而得解.【详解】因为函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，令10x +=，则1,2x y =-=，所以()1,2P -，于是sin α===cos α=-所以2sin cos 555αα⎛==- ⎝⎭．故答案为.25-四、双空题15．已知幂函数()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，则实数m =________；函数()212log y x mx =-+的单调递增区间为________．【正确答案】2[)1,2（或()1,2）【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得m 的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得()212log y x mx =-+的单调递增区间.【详解】因为()23my m x =-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，又()23my m x =-在()0,∞+上单调递增，所以0m >，则2m =；于是()()221122log log 2y x mx x x =-+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，则()212log 2y x x =-+的定义域为()0,2，又()2221x x x μ=-+=--，其开口向下，对称轴为1x =，所以22x x μ=-+在(]0,1（或()0,1）上单调递增，在[)1,2（或()1,2）上单调递减，又12log y μ=在其定义域内单调递减，所以()212log y x mx =-+的单调递增区间为[)1,2（或()1,2）．故2；[)1,2（或()1,2）．五、填空题16．已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b +=，则3241ac c b ab c +++的最小值为________．【正确答案】18【分析】先化简提公因式再应用1a b +=，a ，b 应用基本不等式，()246161c c ++-+再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可.【详解】由条件知()232432411a b ac c a c b ab c b ab c ⎡⎤+++=++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()4242424242266161111a b c c c c b a c c c c ⎛⎫⎛⎫=+++≥+=+=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭618≥-=，当且仅当4a b b a =，()24611c c +=+，又因为1a b +=，即13a =，23b =，1c =时，3241ac c b ab c +++的最小值为18．故18.六、解答题17．已知集合{}25,R A x x x a a =-≤∈，集合{}2log 1B x x =≤．(1)当4a =-时，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)[]1,2A B = (2)[)0,a ∈+∞．【分析】（1）解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）由并集的结论得B A ⊆，转化为25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，求出25x x -在2(]0,x ∈时的取值范围后可得参数范围．【详解】（1）当4a =-时，2540x x -+≤，解得14x ≤≤，所以[]1,4A =,{}(]2log 10,2B x x =≤=，所以[]1,2A B = ．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，又(]0,2B =，所以25a x x ≥-对(]0,2x ∀∈恒成立，当(]0,2x ∈时，[)2252556,024x x x ⎛⎫-=--∈- ⎪⎝⎭．所以0a ≥，于是实数a 的取值范围为[)0,a ∈+∞．18．已知函数()2f x x bx c =++（b ，c ∈R ）是定义在R 上的偶函数，且满足()104f f ⎡⎤=-⎣⎦．(1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断函数()()()023axg x a f x =>+在[)1,+∞上的单调性并证明．【正确答案】(1)()212f x x =-(2)函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，证明见解析【分析】（1）由偶函数的定义，利用恒等式知识求解；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）由条件可知()()f x f x -=，即()()22x b x c x bx c -+-+=++对任意的x ∈R 恒成立，所以0b =．于是()2f x x c =+，所以()()2104f f f c c c ⎡⎤==+=-⎣⎦，解得12c =-，所以函数()f x 的解析式为()212f x x =-．（2）由（1）可知()()22322ax axg x f x x ==++，当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．证明如下：设1x ∀，[)21,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()()()()221221211212122222221212121112222211211a x x x x a x x x x ax ax g x g x x x x x x x ⎡⎤+-+--⎣⎦-=-==++++++，因121x x ≤<，所以210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，又0a >，所以()()120g x g x ->即()()12g x g x >，因此当0a >时，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减．19．在△ABC 中，3tan 4A =-．(1)求()sin B C +，()cos B C +的值；(2)求sincos 22sin cos22AAAA +-的值．【正确答案】(1)()3sin 5B C +=，()4cos 5B C +=(2)2【分析】（1）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos A A ，再由诱导公式可得结论；（2）由正切的二倍角公式求得tan 2A，然后由弦化切求值．【详解】（1）由3tan 04A =-<知角A 为钝角，所以sin 0A >，cos 0A <因sin 3tan cos 4A A A ==-，22sin cos 1A A +=，解得3sin 5A =，4cos 5A =-，于是()()3sin sin πsin 5B C A A +=-==，()()4cos cos πcos 5B C A A +=-=-=．（2）由22tan32tan 41tan 2AA A ==--，整理得23tan 8tan 3022A A --=，解得tan 32A =或1tan 23A =-，因ππ422A <<，所以tan 32A =．所以sin cos tan 131222231sin cos tan 1222A A A A A A +++===---．20．已知函数()e e 2x x f x --=，()e e 2x x g x -+=，其中e 是自然对数的底数．(1)求证：()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(2)求函数()()()722h x g x g x =-的零点．【正确答案】(1)证明见解析(2)零点为(ln 2，(ln 2-．【分析】（1）分别计算(2)g x 和22[()][()]f x g x +可证；（2）用换元法解方程()0h x =可得．【详解】（1）由条件知()22e e 22x xg x -+=，()()2222222222e e e e e 2e e 2e e e 22442x x x x x x x x x xf xg x -----⎛⎫⎛⎫-+-++++⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以()()()222g x f x g x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．（2）因()()()()22222e e 222e e221222x xx x g x g x g x --+-⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤====-⎣⎦，令()0h x =，则()()272102g x g x ⎡⎤--=⎣⎦即()()24720g x g x ⎡⎤--=⎣⎦，即()()2410g x g x ⎡⎤⎡⎤-⋅+=⎣⎦⎣⎦，解得()2g x =或()14g x =-，又()e e 12x xg x -+==，当且仅当e e x x -=，即0x =时取等号，所以()2g x =，于是e e 22x x-+=整理得2e 4e 10x x -+=，于是e 2x =+e 2x =-，解得(ln 2x =或(ln 2x =，所以函数()()()722h x g x g x =-的零点为(ln 2，(ln 2．21．2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：x（万元）235y（万元）145494(1)根据表中数据，分别用模型()logay x m b=++（0a>且1a≠）与y d=建立y 关于x的函数解析式；(2)已知当9x=时， 3.3y=，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：7.55≈）【正确答案】(1)()()21log124y x x=-+≥，()124y x=-≥(2)选用模型()()21log124y x x=-+≥更合理，理由见解析【分析】（1）根据已知数据列方程组求解即得；（2）9x=代入两个模型计算后比较可得．【详解】（1）若选用()logay x m b=++，则依题意可得()()()1log245log349log54aaam bm bm b⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得2a=，1m=-，14b=，则()()21log124y x x=-+≥．若选用yd=+，则依题意可得145494ddd⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得c=158n=-，14d=-，则()124y x =≥．（2）对于函数()21log 14y x =-+，当9x =时，13 3.254y ==（万元）；对于函数14y =，当9x =时，1 3.5254y =≈（万元）；因3.525 3.3 3.25 3.3->-，所以选用模型()()21log 124y x x =-+≥更合理．22．已知函数()()2sin 2cos R f x x x a a =-+∈，且满足________．从①函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 的图象经过点π3⎛ ⎝．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求实数a 的值并求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知函数()()22lg lg R g x x m x m m =--∈，若对任意的1ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]21,100x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)a =()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]3,1-．【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，选①，由π(06f =求得a ，再由正弦函数性质得单调增区间；选②，由结合正弦函数的最大值求得a ，再由正弦函数的单调性求得增区间；选③，由π()3f =a ，再由正弦函数的单调性得增区间；（2）求出(),()f x g x 的最大值，由()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦可得参数范围．【详解】（1）由条件知())2sin 22cos 1f x x x a=--sin 22x x a =--π2sin 23x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭若选①，则π06f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选②，则函数()f x 的最大值为22a +=，解得a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．若选③，则πππ2sin 2333f a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以a =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由题意可知只需()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可．当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此函数()f x 的最大值为1．令lg x t =，则[]0,2t ∈，则()22g x t mt m=--当12m ≤即2m ≤时，函数()g x 的最大值为242m m --，于是2421m m --≥，整理得2230m m +-≤，解得31m -≤≤，均满足2m ≤，所以31m -≤≤；当12m >即>2m 时，函数()g x 的最大值为2m -，于是21m -≥，无实解；综上所述，实数m 的取值范围为[]3,1-．。
安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数,则复数在复平面上的对应点的位置在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知两个单位向量与的夹角为,则( )A.C. D.3.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则4.在平行四边形ABCD 中,是线段EF 的中点,则( )A. B. C. D.5.已知圆台的上、下底面圆的半径之比为,侧面积为,在圆台的内部有一球,该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球的表面积为( )A. B. C. D.6.已知中,角所对的边分别是,若,且,则是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.设A,B 是一个随机试验中的两个事件且,则( )A.B.C.D.8.如图,在正方体中,分别是的中点,有下列四个结论:①AP 与CM 是异面直线;②相交于一点;③，④MN //平面.(2)(21)i()z a a a =-+-∈R z a -a bπ,()3a kab ⊥+ k =1212-,a b ,αβ//,a b αα⊂//a b //,//,//a b αβαβ//a b ,,//a b a b αβ⊂⊂//αβ,,a b αβαβ⊥⊥⊥a b⊥15,,56BE BC DF DC M ==AM = 113125AB AD + 1223AB AD + 112123AB AD + 1325AB AD + 129πO O 3π5π8π9πABC V ,,A B C ,,a b c cos cos b C c B b +=cos a c B =ABC V 1137(),(,(22424P A P B P AB AB ==+=()P AB =1811482117131111ABCD A B C D -,,M N P 1111,,C D BC A D 1,,AP CM DD 1//MN BD 11BB D D其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②④C.①③④D.②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若是非零复数,则下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则10.若数据的平均数为3,方差为4,则下列说法正确的是( )A.数据的平均数为13B.数据的方差为12C.D.11.如图,平面ABCD ,正方形ABCD 边长为1,E 是CD 的中点,是AD 上一点,当时,则()A. B.C.若,则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为D.若,则直线PE 与平面ABCD 所成角为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数满足:,则______________.z 0z z +=i z z=2||z z z ⋅=||2z =1z z =1z z=10z z +=21||0z z z ⋅=1210,,,x x x 121041,41,,41x x x +++ 12103,3,,3x x x 10130ii x==∑1021130ii x==∑PA ⊥F BF PE ⊥:2:1AF FD =:1:1AF FD =1PA =231PA =30︒z 22024(1i)42iz -=+||z =13.已知如图边长为的正方形ABCD外有一点且平面,二面角的大小的正切值_____________.14.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形,此图由三个半圆构成,直径分别是直角三角形ABC的斜边AB,直角边AC,BC,点在以AC为直径的半圆上,延长AE,BC交于点.若,,则的面积是_____________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知复数,i是虚数单位.(1)若是实数,求的值;(2)在①点在实轴上,②点在虚轴上,③点在一、三象限的角平分线上,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，并解答.问题:若,复数在复平面内对应的点为,且_____________,求实数的值.注:如果选择多个条件分别求解,按第一个解答记分.16.(本题满分15分)已知向量满足.(1)求;(2)若,求的最小值.17.（本题满分15分）某校对2023级高一上学期期中数学考试成绩(单位:分)进行分析,随机抽取100名学生,将分数按照,分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图：a P PA⊥,ABCD PA a=P BD A--E D5AB=33sin,sin54CAB DCE∠=∠=ABEVi(R)z b b=∈12iz-+bP P P12b=-2()m z+P m,a b2(4,6),2(3,8)a b a b-=-+=sin,a b〈〉//(0)a c c≠||b c+[30,50),[50,70),[70,90),[90,110)[110,130),[130,150](1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.18.（本题满分17分）如图，在平面四边形ABCD 中，.(1)若,求的面积:(2)若,求BC .19.(本题满分17分)如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,M,N 分别是棱PB,PC 的中点,是棱PA 上一点,且.(1)求证:平面MCD ;(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.[50,70)[70,90)[50,70)ππ2,26DC AD BAD BDC ==∠=∠=cos ABD ∠=ABD V C ADC ∠=∠Q 3AQ QP =//NQ 14,8,AB BC PB PD PA PC ======安庆一中2023-2024学年度第二学期高一年级期末考试数学学科参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
安徽省安庆一中2024届数学高一下期末联考模拟试题含解析
安徽省安庆一中2024届数学高一下期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列关于四棱柱的说法： ①四条侧棱互相平行且相等； ②两对相对的侧面互相平行； ③侧棱必与底面垂直； ④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（ ）A ．32B C D ．3．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ） A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >4．已知向量a ，b 满足(cos ,sin )a αα=，α∈R ，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-B ．1C ．3D ．76．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 一定是（ ） A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形7．已知向量||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b -=（ ）8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.39．已知等差数列{}n a 中，若341092a a a =-+=-，，则n S 取最小值时的n =（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．610．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简：OP OA PB BC -++=（ ）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.【详解】OP OA PB BC AP PB BC AB BC AC -++=++=+=. 故选：D2．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A．1 B ．2 C D 【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ b =故选：D.3．已知i 为虚数单位，复数z 满足|2i |1z -=，则||z 的最大值为（ ） A．1 B C ．2D ．3【答案】D【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，利用|2i |1z -=推出z 对应复平面上的点的轨迹，||z 的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值.【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|2i |1z -=，1，则22(2)1x y +-=，于是(,)A x y 可看成以(0,2)为圆心，半径为1的圆上运动，||z 意为A 到(0,0)的距离，距离最大值为3，所以max ||=3z . 故选：D.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )A ．22B ．1C 2D ．(212【答案】A【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB 2=2 所以原图形的面积为：1×2=2 故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力． 5．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（ ） A ．12 B ．11.5C ．11D ．7【答案】A【分析】将数据排序，根据百分位数的求法求60%分位数. 【详解】将数据从小到大排序为5,7,11,12,15,30， 所以660% 3.6⨯=，故该组数据的60%分位数是12. 故选：A6．设事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()P AB AB ⋃=（ ） A ．0.36 B ．0.504C ．0.54D ．0.9【答案】C【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，AB AB 与互斥，A B ，相互独立，B ，A 相互独立，AB ，AB 相互独立，故()P AB AB ⋃=()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B +=+0.60.70.40.30.54=⨯+⨯=.故选：C.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中14AB AA ==，3BC =，M 为1AA 的中点，N 为11C D 的中点，过1B 的平面α与DM ，1A N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为（ ） A ．322 B ．311C ．422D ．511【答案】A【分析】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，G 为1CC 中点，连接1B G ，利用长方体性质及线面平行的判定证1//A N 面1B GE 、//DM 面1B GE ，即面1B GE 为平面α，再延长EG 交DC 于F ，连接AF ，利用线线、线面的性质确定面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，最后延长1,AF B G 分别交BC 于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及1134AFGB AHB S S =求截面面积即可.【详解】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，则11112C ED C =，若G 为1CC 中点，连接1B G ，而M 为1AA 的中点，在长方体中1//B G DM ，而111B G B E B ⋂=且11,B G B E ⊂面1B GE ，由1A N ⊄面1B GE ，则1//A N 面1B GE ，由DM ⊄面1B GE ，则//DM 面1B GE ， 所以面1B GE 即为平面α，延长EG 交DC 于F ，易知：F 为DC 中点，则1//EF C D 且1EF C D =，又11//C D B A 且11C D B A =， 故1AFEB 为平行四边形，则1//EF B A 且1EF B A =，故1,,,,A F E G B 共面， 连接AF ，即面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，延长1,AF B G 分别交BC 于一点，而在1,ABH B BH 中,CF CG 都为中位线， 由14AB AA ==，3BC =，则1CG CFB B AB=，故1,AF B G 交BC 于同一点H ， 易知：△1AHB 为等腰三角形且1213AH B H ==142AB =，则1104329cos 25213AHB -∠==⨯，可得1sin AHB ∠=，又113315244213AFGB AHB S S ==⨯⨯⨯=故选：A【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面α，再根据平面的基本性质找到平面α截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.8．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】A【详解】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法. 二、多选题9．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ）A ．z 的实部为2B ．zC ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以||z =z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误． 故选：AB10．已知O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A ．若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形B ．若0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的外心 C ．若0AB BC ⋅>，则ABC 为钝角三角形D ．若0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，则0OC AB ⋅= 【答案】ACD【分析】由数量积的运算判断A ，根据向量的夹角公式判断C ，由垂直的向量表示判断D ，根据向量线性运算判断B ．【详解】由()()0AB AC AB AC +⋅-=，得22AB AC =，即AB AC =，故A 对； 由0OA OB OC ++=，取BC 中点D ，连接OD ，则2OB OC OD OA +==-， 所以,OA OD 共线，且O 在线段AD 上，21OA OD =，即O 为重心，故B 错；由0AB BC ⋅>，得B π-为锐角，B 为钝角故C 对；由0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，得,OA BC OB AC ⊥⊥，知O 为ABC 的垂心，所以0OC AB ⋅=，故D 对.故选：ACD.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为233cmC 373πD ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm 【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A 选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C 选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D 选项.【详解】如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得12CD ABCE -==，则22213BE ，则圆台的高为3cm ，A 错误；圆台的轴截面面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，B 正确；圆台的体积为()3173cm 33443πππππ⨯⨯++⋅=，C 正确； 将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由1CE EO =可得2BC OB ==，则4OC =，4242COD ππ∠==，又32ADOP OA =+=，则22435CP =+=，即点C 到AD 的中点所经过的最短路程为5cm ，D 正确. 故选：BCD.12．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A ．MB 是定值 B ．点M 在圆上运动C ．一定存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 【答案】ABD【分析】取CD 的中点N ，先证平面MBN ∥平面A 1DE ，再得MB ∥平面A 1DE ；根据余弦定理计算BM 为定值；再根据BM 为定值，可得点M 在圆上运动；若DE ⊥A 1C ，根据条件推出DE ⊥A 1E ,与题意矛盾【详解】解：取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， 因为MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ， 所以平面MNB ∥平面A 1DE ， 因为MB ⊂平面MNB ，所以MB ∥平面A 1DE ，D 正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，所以MB 是定值，A 正确； 因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，B 正确；在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，所以DE ⊥EC ，若DE ⊥A 1C ，可得DE ⊥平面A 1CE ,即得DE ⊥A 1E ,与∠DEA 1为45︒矛盾，∴不存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，C 不正确. 故选： ABD. 三、填空题13．一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为_____. 【答案】16【详解】两人所有的居住方式有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,而住同一单元的只有6种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求概率为61366= 故答案为1614．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，26PA =P ABCD -外接球的体积是______. 【答案】36π【分析】画出图形，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，可得正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，然后利用勾股定理求解即可.【详解】连接AC BD ，交于O '点，连接PO '，所以PO '⊥底面ABCD ， 从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，连接OD ，正方形ABCD 的边长为4， 可得22O D '=26PA PD ==224O P PD O D -'='，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()2222R O D O O O P O O =+=-''''， 即()22284R O O O O =+='-'，解得1'=O O ， 所以3R =，故四棱锥P ABCD -外接球的体积是34π336π3⨯=. 故答案为：36π.15．安排5名志愿者完成,,A B C 三项工作，其中A 项工作需3人，,B C 两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【答案】20【分析】先从5人选3人一组参加A 项工作，然后其他两人完成,B C 即可.【详解】A 项工作安排3人有35C 10=，然后安排,B C 有22A 2=，则所安排的方式共10220⨯=种. 故答案为：20.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，解得3y =3)C ， 设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭， 所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程． 四、解答题17．已知复数()i ,R,0z a b a b ab =+∈<满足z =2z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)设z ，2z ，2z z -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 【答案】(1)1i z =-或1i z =-+； (2)1.【分析】（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.（2）利用（1）的结论，求出点A ，B ，C 的坐标，求出三角形面积作答. 【详解】(1)设i z a b =+（a ，R b ∈），则2222i z a b ab =-+，依题意，222a b +=且220a b -=，而0ab <，解得a =1，b =-1或a =-1，b =1， 所以1i z =-或1i z =-+.(2)当1i z =-时，22i z =-，21i z z -=+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,1C ，2AC =，点B 到边AC 距离为1，则1ABC S =△，当1i z =-+时，22i z =-，213i z z -=-+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,3C -，2AC =，点B 到边AC 距离为1，1ABC S =△，所以△ABC 的面积是1.18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若向量(1,sin )m C =，向量(sin(),1)n B A =-，且3sin 2m n A ⋅=，π3C =(1)求b a(2)若边c =ABC 的周长 【答案】(1)3或1 2(2)4【分析】（1）由已知条件分类讨论即可求得ba的值；（2）分类讨论求得a b 、的值，即可求得ABC 的周长.【详解】(1)sin()sin sin cos cos sin sin()2sin cos m n B A C B A B A B A B A ⋅=-+=-++= 则2sin cos 3sin26sin cos B A A A A ==，即()3sin sin cos 0A B A -=当cos 0A =时，πππ,,236A C B ===，则πsin sin 16πsin 2sin 2b B a A === 当cos 0A ≠时，3sin sin 0A B -=，即sin 3sin B A =，则sin 3sin b B a A == (2)①当πππ,,236A C B ===时，由7c =，可得213b =，2213a = 则ABC 的周长为22121721733a+b+c =++=+； ②当ππ,32C A =≠，3b a =时，由7c =， 可得()()222π7323cos 3a a a a =+-⋅，整理得21a =，则1a =，3b = 则ABC 的周长为13747a+b+c =++=+.19．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召a 名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[25,30)内的人数为35．(1)求m 和a 的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到0.1）；(2)若用分层抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这2名志愿者中至少有1人年龄在[35,40)内的概率．【答案】(1)0.07m =，100a =，31.7(2)35【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出m 的值，然后再根据[25,30)段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在[35,40)内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】(1)由频率分布直方图知：(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=，解得0.07m = … 因为年龄在[25,30)内的人数为35，所以35(0.075)100a =÷⨯=设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为x ，则[30,35)x ∈内，且满足0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23131.73x =≈ (2)由频率分布直方图知：小组成员年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的人数之比为3:2:1，故抽取的6名志愿者中，在区间[30,35),[35,40),[40,45]中分别抽取了3人，2人，1人记[30,35)中的3名志愿者为123,,A A A ，[35,40)中的2名志愿者为12,B B ，[40,45]中的1名志愿者为C ，则从6人中再随机抽取2人的所有可能有121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ； 共15种，至少有1人年龄在[35,40)内的情形有9种，故所求概率为93155P == 20．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，EF BC ∥，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，垂足分别是D ，H ，G ，将△ABC 绕AD 所在直线旋转180°．(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V ，当E ，F 分别为边AB ，AC 的中点时，求V ；(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S ，当E ，F 分别在什么位置时，S 最大？【答案】53(2)E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设DG x =，()0,2x ∈，表示出FG ，则旋转图的侧面积2S DG FG π=⨯⨯，再利用基本不等式计算可得；【详解】(1)解：由圆锥与圆柱的定义可知，将ABC 绕AD 旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为3．因此阴影部分形成的几何体的体积为V V V =-圆锥圆柱1534231333πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯=． (2)解：设DG x =，()0,2x ∈，则2CG x =-，()32FG x =-， 此时()223223S DG FG x x πππ=⨯⨯=-≤，． 当且仅当1x =时等号成立，即E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大．21．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．（1）用OA 和OC 表示OM ；（2）求OD DM； （3）设OB CA OP λμ=+，求λμ⋅的取值范围．【答案】(1)2233OM OA OC =+；(2)3；(3)3[0,]4. 【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P 设出1(0)2CP xOA x =≤≤，结合平面向量基本定理，λμ⋅建立为x 的函数求解.【详解】(1)依题意12CB OA =，23AM AB =， 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-，2122()3333OM OA AM OA OC OA OA OC ∴=+=+-=+； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知2222()3333t t OD tOM t OA OC OD OA OC ==+==+， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，22133t t +=，则3t 4=，3OD DM =，||3||OD DM =； (3)由已知12OB OC CB OC OA =+=+， 因P 是线段BC 上动点，则令1(0)2CP xOA x =≤≤， ()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++-，又,OC OA 不共线，则有1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩， 1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 211(1)()24λμμμμ⋅=-=--在3[1,]2μ∈上递增，所以min max 331,()0,,()24μλμμλμ=⋅==⋅=， 故λμ⋅的取值范围是3[0,]4. 【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，()0PF FC λλ=>.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）是否存在点F ，使得58B PAE D PFB V V --=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（3）若平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面PBE 内确定一点H ，使CH FH +的值最小，并求此时BH BP的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，4λ=；（3）点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，BH 2BP 3=. 【分析】（1）先证明AD ⊥平面PBE .，然后得BC ⊥平面PBE ，再得面面垂直；（2）利用棱锥体积之间的关系111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===，D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=，可得λ的关系，求得λ；（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，得C '是点C 关于面PBE 的对称点，在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，然后计算出长度即得．【详解】解：（1）证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为ABCD 是菱形，所以AD AB =.因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=，,BE PE ⊂平面PBE ，所以AD ⊥平面PBE .又//AD BC ，所以BC ⊥平面PBE .因为BC ⊂平面PBC所以平面PBC ⊥平面PBE .（2）由PF FC λ=，知()1PC PF FC FC λ=+=+. 所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=. 因此，58B PAE D PFB V V --=的充要条件是1528λλ+=， 所以，4λ=.即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得58B PAE D PFB V V --=，此时4λ=. （3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，CB PB ⊥，则C '是点C 关于面PBE 的对称点，.在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点设2BC a =，则3PE BE a ==，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE AD ⊥，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABCD ，所以PE BE ⊥，所以6PB a =，所以2tan tan 6BC BC H BPC PB '∠=∠==， 所以4tan 6BH BC BC H a ''=∠=， 所以BH 2BP 3=．。
安庆一中高一下学期数学期末考试试卷(含答案)-(1)
安庆一中高一下学期数学期末考试试卷一：选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1． 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 （ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③2． 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）Ａ．34000cm 3 Ｂ．4000 3cm Ｃ．32000cm D ． 38000cm 33. 已知点(1,,5),(2,7,2)A a B a ---,则AB 的最小值为 ()A B C D 4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥所在的12条直线中,异面直线有( )A.12对B.24对C.36对D.48对5.E 、F 、G 、H 分别是空间四边形的四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,已知对角线AC=BD=4,则EG 2+HF 2等于 ( ) A.16 B.22 C. 8 D.126．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是 （ ） Ａ．21)2()3(22=-++y xＢ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x7. a 、b 为异面直线, a ⊂α,b ⊂β若α∩β=l,则直线l 必定 ( )A.与a 、b 都相交B.至少与a 、b 中的一条相交C.与a 、b 都不相交D.至多与a 、b 中的一条相交 8．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化9.若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-=垂直,则a 的值为 ( )正视图侧视图俯视图10. 已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°11.过点P 作圆1)2()1(22=-++y x 的切线，切点为M ，若|PM|=|PO|（O 为坐标原点），则|PM|的最小值是 （ ） A ．1 B ．25 C ．1553- D ．552 12．由直线2+=x y ,4+-=x y 及x 轴围成的三角形的内切圆的圆心是（ ）A. ()232 , 1+-B.()323 , 1--C.()232 , 1+D. ()323 , 1-二：填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 14.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是15.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆(x-3m )2+(y-4m )2=5(m+4)相切，则m 的范围是 16．ABCD 为矩形，AB=3，BC=1，EF//BC 且AE=2EB ，G 为BC 中点，K 为△ADF 的外心。
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安庆一中高一数学试题
（必修4模块检测）
命题教师 吴显上
一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．0
tan 600的值是（ ） A
．-
．
2.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( )
A.sin α=sin β
B.cos α=cos β
C.tan α=tan β
D.tan α·tan β=1
3. 下列命题正确的是（ ）
A 若→
a ·→
b =→
a ·→
c ，则→
b =→
c B 若|||b -=+，则→
a ·→
b =0 C 若→
a //→
b ，→
b //→
c ，则→
a //→
c D 若→
a 与→
b 是单位向量，则→
a ·→
b =1 4．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在区间ππ2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的简图是（ ）
5．已知O 是在四边形ABCD 所在平面内的一点，且22OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 是（ ）
A ．矩形 B.平行四边形 C. 梯形 D. 菱形
x
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（ ） （A ）y x ≤
（B ）y x >
（C ）y x <
（D ）y x ≥
7．在下列四个函数中，在区间）
，（2
0π
上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=tanx; B ．y=sin|x| C ．y=cos2x; D ．y=|sinx|;
8. 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③
15tan 115
tan 1-+ , ④
6
tan
16
tan
2
ππ-，结果为3的是
（ ）
A.①②
B. ①③
C. ①②③
D. ①②③④ 8．把函数y=cos （3x+4
π
）的图象适当变换可以得到y=sin （-3x ）的图象。
这种变换可以是（ ） A ．向右平移
4π B ．向左平移4
π
C ．向右平移12π
D ．向左平移12π
10．已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2007)5f = 则(2008)f =（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．不能确定
11．已知1,3,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内部且AOC ∠30o
=， 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m
n
等于（ ） （A ）3 （B
）
1
3
（C ）
3 （D
安庆一中高一数学试题 （必修4模块检测）
一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题（每小题3分，共12分）
12. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为____________. 13．若sin(3)2cos(4)απαπ-=-则
sin()6cos(2)
2cos()sin()
παπαπαα-+-+--的值为
14.一条河的两岸平行,河的宽度为480 m,一艘船从某岸的A 处出发到河对岸，已知船的速度112.5/v km h =，水流的速度2 3.5/v km h =，当行驶航程最短时，所用的时间是
________min
15．给出以下五个命题： ①函数y =sin 4
x -cos 4
x 的最小正周期是π. ②存在实数θ，使sin cos 1θθ∙=
③.函数5sin(
)2
y x π
=-是偶函数 ④在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象只有一个公共点
⑤,αβ都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共
6小题，共55分过程或演算步骤）
16．（本小题满分8分）已知61)b a (2)b 3a (23,|b |4,a =+∙==－｜
｜, （1）求b a 与的夹角θ； （2）求a b -｜｜的值；
17．（本小题满分9分）
已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2
π
, (Ⅰ)求α2tan 的值.
（Ⅱ）求β.
18．（本小题满分8分）已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(3,2)B ,(1,4)C -,O 为坐标原点,若BD BC ,AD BC ⊥ (1)求OD 的坐标, (2)求ABC ∆的面积
19．（本小题满分10分）如图,某大风车的半径为2米,每12秒沿逆时针方向旋转一周,它的最底点O 离地面1米,风车圆周上一点A 从最底点O 开始,运动t 秒后与地面距离为h 米， (1)求函数h=f(t)的关系式, 并在给出的方格纸上用五点作图法作出h=f(t)在一个周期内的图象(要列表,描点)。
(2) A 从最底点O 开始, 沿逆时针方向旋转第一周内,有多长时间离地面的高度超过4米?
20．（本小题满分12分）已知函数()f x a b =⋅,其中向量
2
(3,cos ),(sin ,)2
x
a b x m ωω== x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点()0,2-（其中
0ω>） （1）求m 的值及函数()f x 的值域；
（2）若对任意的c ∈R ，函数()y f x =，(π]x c ∈+，c 的图象与直线1y =-
有
且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明）及y=f (x )的图象的对称中心，
（3）求函数y 的单调增区间．
21.（本小题满分9分）如图 已知OPQ 是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形， A 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠AOP=α （0αθ<<） （1）用α表示矩形ABCD 面积S （2）若θ=6
π
，求当α取何值时，矩形面积S 最大？并求出这个最大面积
O
安庆一中高一数学试题 （必修4模块检测）参考答案
一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选
二、填空题（每小题3分，共12分）
12．_____2______ 13.___-1__________ 14._____2.4___________ 15. __1）3）4）___________
三、解答题（本大题共6小题，共55解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．1）（4分）23
π
2）（4
17．1）（5分）47- 2）（4分）3
π
18．1）（4分）1311
(,)55
2）
（4分） 3
19．1）（6分） 32cos
6
h t π
=- 图象（略）
2）（3分）令4,(012)h t ≥≤≤得48t ≤≤，故有4秒钟时间离地面高度超过4米
20．1）（4分）m=-2 f （x ）的值域为]3,1⎡-⎣
2）（4分）2ω=，y=f (x )的图象的对称中心为(,1),212
k k Z ππ
+-∈
3）（4分）y 222,,33k k k Z ππππω
ωωω⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦ （ 特别地 若在2）成立条件下，则其单调增区间为,,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
）
21．1）（5分）2
sin()sin sin S θααθ
=
-⋅
2）（4分）当12
π
α=时，S 有最大值2。