安庆一中高一下学期数学期末考试试卷(含答案)(1)
2020-2021学年安徽省安庆市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年安徽省安庆市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(m,−4)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数m 的值为( )A. 2B. −2C. 8D. −8 2. 已知复数z =21−i ，其中i 为虚数单位，则下列说法正确的是( )A. 复数z 虚部为iB. |z|=2C. z ⋅z −=2D. 复数z 在复平面内对应的点在第四象限3. 下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是( )①同一棱柱的侧棱平行且相等；②一个棱柱至少有5个面；③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱；④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =120°，B =45°，b =4，则边c =( )A. √6−√2B. √3−1C. 2−√3D. 2√3−25. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上)，在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是35.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是( )116 785 812 730 134 452 125 689 024 169334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A. 35 B. 12 C. 1320 D. 25 6. 设点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗7.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量．现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数−累计死亡数−累计治愈数．则下列对新冠肺炎叙述错误的是()A. 自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B. 自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C. 自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D. 自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少8.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．且满足m⊥α，m//β，则下列说法一定正确的是()A. α⊥βB. α//βC. 若n⊂β，则m//nD. 若n⊂α，则n⊥β9.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为()A. 23B. 35C. 25D. 31010.如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，其余均为等腰三角形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．则在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是()A. 直线EF//平面BDGB. 直线PA与平面BDG相交C. 直线EH⊥平面PBCD. 平面EFGH//平面ABCD11.在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3sinB=20sinAcosA，则a：b：c=()A. 4：3：2B. 5：4：3C. 6：5：4D. 7：6：512.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA=AC，若三棱锥P−ABC外接球表面积为8π，则三棱锥P−ACD体积的最大值为()A. √24B. 12C. √34D. √23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角2π3，|a⃗|=3，|b⃗ |=2，则|2a⃗−3b⃗ |=______．14.已知复数z=45−sinθ+(cosθ−35)i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则tanθ=______．15.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一个球，摸出红球或黄球的概率为0.6，摸出黄球或蓝球的概率为0.7，若从中依次有放回地摸出两个球，摸到每个球是相互独立的，则这两个球均为黄球的概率为______．16.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是棱AB的中点，过点A作与截面PB1C平行的截面，则所得截面的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，其中i为虚数单位．(1)求p，q的值；(2)记复数z=p+(−q+4)i，求复数z的模．1+i18.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(3,−1)．(1)求向量a⃗与b⃗ 的夹角；(2)若c⃗=(3,m)(m∈R)，且(a⃗−2b⃗ )⊥c⃗，求m的值19.在四面体A−BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD=AC=2，EM=1．(1)求证：EF//平面ACD；(2)求异面直线AC与BD所成的角．20.如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10(公里)，∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD是等腰三角形，∠ABD=120°．(1)试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？21.“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史．明代万历十一年(1583年)的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护．某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理．根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估算该超市肥桃日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个(x∈N,0≤x≤240)，销售利润为y元．(ⅰ)求y关于x的函数关系式；(ⅰ)结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率．22.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC．(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B−PA−C的余弦值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(1,2),b⃗ =(m,−4)，且a⃗//b⃗ ，所以1×(−4)−2m=0，解得m=−2，所以实数m的值为−2．故选：B．根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∵复数z虚部为1，∴A错误，∵|z|=√12+12=√2，∴B错误，∵z⋅z−=(1+i)(1−i)=2，∴C正确，∵复数z在复平面内对应的点(1,1)在第一象限，∴D错误．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的有关概念和几何意义即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念和几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于①，根据棱柱的定义，同一棱柱的侧棱平行且相等，故①正确；对于②，三棱柱为有5个面，故②正确；对于③，当棱柱的底面是正多边形时，侧棱垂直于底面，则该棱柱一定是正棱柱，故③错误；对于④，当棱柱的底面是平行四边形时，该棱柱一定是平行六面体，故④错误．故选：B．直接利用棱柱的定义和性质，平行六面体的定义和性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：棱柱的定义和性质，平行六面体的定义和性质，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为A=120°，B=45°，b=4，所以sinC=sin(180°−A−B)=sin(A+B)=sin120°cos45°+cos120°sin45°=√3 2×√22−12×√22=√6−√24，则由正弦定理bsinB =csinC，可得边c= b⋅sinCsinB=4×√6−√24√22=2√3−2．故选：D．由已知利用两角和的正弦公式可求sin C的值，进而根据正弦定理可得边c的值．本题主要考查了两角和的正弦公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是35．某人用计算机生成了20组随机数，用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有10个，分别为：116，812，730，217，109，361，284，147，318，027，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：P=1020=12，故选：B．利用列举法求出今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有10个，由此能求出今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计值．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：如图示：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．根据向量的线性运算求出答案即可．本题考查了向量的线性运算，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由图一可知A ，B 均正确，由图二数据计算得6月16日的现存确诊病例为84867−79926−4645=296，同理可计算18日，20日，22日，24日现存确诊病例为346，383，441，473，所以选项C 正确，选项D 错误，故选：D ．根据图一、图二逐个分析选项即可算出结果．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.【答案】A【解析】解：若m//β，则β内存在直线m′，使得m′//m ，又m ⊥α，∴m′⊥α，则α⊥β，故A 正确，B 错误；若m//β，则m 与β内的直线有两种位置关系，平行或异面，而n ⊂β，则m//n 或m 与n 异面，故C 错误；由m⊥α，n⊂α，得m⊥n，而m//β，则n⊂β或n//β或n与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．故选：A．由直线与平面平行、直线与平面垂直分析空间中两平面的位置关系判定A与B；由空间中直线与平面的位置关系分析两直线的位置关系判定C；由直线与平面垂直、直线与平面平行的关系分析D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取3只的所有取法有：{a,b，c}，{a,b，A}，{a,b，B}，{a,c，A}，{a,c，B}，{a,A，B}，{b,C，A}，{b,c，B}，{b,A，B}，{c,A，B}，共10种，其中恰有2只做过测试的取法有：{a,b，A}，{a,b，B}，{a,c，A}，{a,c，B}，{b,c，A}，{b,c，B}，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为p=610=35，故选：B．设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取3只，利用列举法能求出恰有2只做过测试的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，作出几何体的立体图形如图所示，连结E，F，G，H四点构成平面EFGH，依次分析选项：对于A，EF//AD，而AD//BC，则有EF//BC，再结合图形可得，BC∩BD=B，则直线EF与平面BDG不平行，A错误；对于B，连结AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以MG//PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA//平面BDG，B错误；对于C，△PAB中，PA=PB，则有EH与PC不垂直，故直线EH⊥平面PBC不成立，C错误；对于D，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF//AD，又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF//平面ABCD，同理EH//平面ABDCD，又EH∩EF=E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH//平面ABCD，D正确；故选：D．根据题意，作出立体图形如图所示，连结E，F，G，H四点构成平面EFGH，利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及性质定理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查直线和平面的位置关系，解题的关键是掌握线面平行的判定定理和面面平行的判定定理，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意可得a>b>c，且为连续正整数，可设三边长分别为c=n，b=n+1，a=n+2(n>1，且n是正整数)，因为3sinB=20sinAcosA，可得3b=20acosA=20a⋅b2+c2−a2，2bc则代入，化简可得7n2−13n−60=0，解得n=4，由正弦定理可得：a：b：c=6：5：4．故选：C．由题意可得，可设三边长分别为a，a−1，a−2，由余弦定理求得cos A的值，再根据3b=20acosA求得a的值，可得sin A：sin B：sinC=a：b：c的值．本题主要考查弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：设AB=a，BC=b，由三棱锥P−ABC外接球表面积为8π，得外接球的半径为√2，又PA⊥平面ABC，得AB⊥BC，∴AB2+BC2+AP2=AC2+AP2=2AP2=(2R)2，得AP=2，∴a2+b2=4．∵PA⊥平面ABC，AD⊥BP，∴PB=√4+a2，BD=2√4+a2，过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面ABC，∴DE//PA，可得DEPA =BDPB，则DE=2a24+a2．∴V P−ACD=V P−ABC−V D−ABC=13S△ABC⋅(PA−DE)=16ab⋅(2−2a24+a2)=4ab3(4+a2)=4ab3(2a2+b2)=43(2ab+ba)≤6√2=√23．当且仅当2ab =ba，即a=2√33，b=2√63时，等号成立．∴三棱锥P−ACD体积的最大值为√23．故选：D．设AB=a，BC=b，由三棱锥P−ABC外接球表面积得外接球的半径，再由已知结合勾股定理列式求得AP及a2+b2的值，把PB，BD用含有a的代数式表示，过D作DE⊥AB，可得DE⊥平面ABC，利用三角形相似把DE用含有a的代数式表示，可得V P−ACD=V P−ABC−V D−ABC，整理后利用基本不等式求最值．本题考查空间几何体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13.【答案】6√3【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 的夹角2π3，|a⃗|=3，|b⃗ |=2，所以(2a⃗−3b⃗ )2=4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=4×32−12×3×2×cos2π3+9×22=108，所以|2a⃗−3b⃗ |=√108=6√3．故答案为：6√3．根据平面向量数量积的定义，计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，是基础题．14.【答案】−43【解析】解：根据已知得{45−sinθ=0cosθ−35≠0，∴{sinθ=45cosθ=−35，∴tanθ=sinθcosθ=−43．故答案为：−43．利用纯虚数的定义列出方程组求解即可．本题考查复数纯虚数的定义，考查了同角三角函数的关系，是基础题．15.【答案】0.09【解析】解：设事件A 表示摸出红球，事件B 表示摸出黄球，事件C 表示摸出蓝球， ∵口袋内有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一个球，摸出红球或黄球的概率为0.6，摸出黄球或蓝球的概率为0.7， ∴{P(A)+P(B)=0.6P(B)+P(C)=0.7P(A)+P(B)+P(C)=1， 解得P(A)=0.3，P(B)=0.3，P(C)=0.4，从中依次有放回地摸出两个球，摸到每个球是相互独立的， 则这两个球均为黄球的概率为P(B)P(B)=0.3×0.3=0.09． 故答案为：0.09．利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】8√6【解析】解：分别取棱A 1B 1，CD 的中点E ，F ，连AE ，C 1E ，C 1F ，AF ，所以AF//CP ，AE//PB 1， 又AE ∩AF =A ，B 1P ∩CP =P ， 所以平面AEC 1F//平面PB 1C ，而且四边形AEC 1F 是对角线长分别为4√2，4√3的菱形， 于是所得截面的面积为12×4√2×4√3=8√6．故答案为：8√6．分别取棱A 1B 1，CD 的中点E ，F ，连AE ，C 1E ，C 1F ，AF ，可证平面AEC 1F//平面PB 1C ，截面为四边形AEC 1F ，进而可得答案．本题考查立体几何的截面积，解题关键是找到截面，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵1+2i 是关于x 的方程x 2+px +q =0的一个根，∴1−2i 是关于x 的方程x 2+px +q =0的另一个根， 由根与系数的关系可得：{−p =(1+2i)+(1−2i)q =(1+2i)(1−2i)，解得p =−2，q =12−(2i)2=1+4=5；(2)∵z =p +(−q +4)i =−2+(−5+4)i =−2−i ，∴z1+i 的模为|−2−i 1+i|=|−2−i||1+i|=√(−2)2+(−1)2√12+12=√5√2=√102．【解析】(1)由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个，再由根与系数的关系求解p 与q 的值；(2)把(1)中求得的p 与q 的值代入z =p +(−q +4)i ，再由商的模等于模的商求解． 本题考查实系数一元二次方程根与系数的关系的应用，考查复数模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)根据题意，a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,−1)，则a ⃗ ⋅b⃗ =2×3+1×(−1)=5，|a ⃗ |=√22+1=√5，|b ⃗ |=√32+(−1)2=√10， 设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√5×√10=√22， 又由θ∈[0,π]，θ=π4，即向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π4(2)根据题意，a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,−1)，则a ⃗ −2b ⃗ =(−4,3)， 若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥c ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅c ⃗ =0， 又由c⃗ =(3,m)，则有(−4)×3+3m =0， 解可得m =4．【解析】(1)根据题意，由a ⃗ 、b ⃗ 的坐标求出a ⃗ ⋅b ⃗ 和|a ⃗ |、|b ⃗ |的值，由向量夹角公式计算可得答案；(2)根据题意，求出a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，由向量垂直的判断方法可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅c ⃗ =0，代入向量的坐标可得(−4)×3+3m =0，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角、向量垂直的判断方法，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF//AC，∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF//平面ACD．(2)解：∵点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，∴EF//AC，FM//BD，∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或所成角的补角)，在△EFM中，EF=FM=EM=1，∴△EFM是等边三角形，∴∠EFM=60°，∴异面直线AC与BD所成的角为60°．【解析】(1)推导出EF//AC，由此能证明EF//平面ACD．(2)推导出EF//AC，FM//BD，从而∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AC与BD所成的角．．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)已知：AB=10(公里)，在△BCD中，由BDsin45∘=BCsin30∘，得BC=5√2(公里)．于是，由于：10+5√220×60≈51.21>50，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．(2)在△ABD中，AD2=102+102−2⋅10⋅10⋅(−12)=300，得AD=10√3(公里)，在△BCD中，∠CBD=105°，由：CDsin105∘=5√2sin30°，得CD=5(1+√3)(公里)，由：10√3+5(1+√3)60=20+15√3≈45.98<51.21(分钟)知，汽车能先到达C 处．【解析】(1)首先利用正弦定理求出结果． (2)直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用．21.【答案】解：(1)由题意可知：(0.00125+a +0.0075+0.00625+a +0.0025)×40=1，解得a =0.00375；所以平均数x −=(20×0.00125+60×0.00375+100×0.0075+140×0.00625+180×0.00375+220×0.0025)×40=0.05×20+0.15×60+0.3×100+0.25×140+0.15×180+0.1×220=124； (2)( i)当x ∈[150,240]时，y =150×(20−15)=750，当x ∈[0,150)时，y =(20−15)x −(150−x)(15−10)=10x −750， 故y ={750,150≤x ≤24010x −750,0≤x <150，(x ∈N)；( ii)由( i)可知，利润y ≥650，当且仅当日需求量x ∈[140,240]．由频率分布直方图可知，日需求量x ∈[140,240]的频率约为0.125+0.15+0.1=0.375， 以频率估计概率的思想，估计当天利润y 不小于650元的概率为0.375．【解析】(1)先利用各组频率之和为1，求出a 的值，再利用每组区间的中点值乘以该组的频率依次相加，即可估算出平均数；(2)( i)分情况讨论，得到y 关于x 的分段函数的函数关系式即可；( ii)利润y ≥650，当且仅当日需求量x ∈[140,240]. 由频率分布直方图求出x ∈[140,240]的频率，以频率估计概率的思想，能估计当天利润y 不小于650元的概率．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了根据频率分布直方图估计平均数，以及利用样本估算总体，属于中档题．22.【答案】(1)证明：∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，又∵PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BC ， ∵PC ∩AC =C ，且PC ，BC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ， 又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC；(2)解：∵BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，过C作CM⊥PA于M，连接BM，∵BC∩CM=C，且BC，CM⊂平面BCM，∴PA⊥平面BCM，得PA⊥BM，∴∠BMC为二面角B−AC−M的平面角，在Rt△BMC中，∵CM=√5，BC=√3，∴BM=√45+3=√19√5，则cos∠BMC=MC BM=√5√19√5=2√1919．【解析】(1)由已知可得BC⊥AC，再由PC⊥平面ABC，得PC⊥BC，然后利用直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，从而得到平面PBC⊥平面PAC；(2)过C作CM⊥PA于M，连接BM，可得∠BMC为二面角B−AC−M的平面角，然后求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．。
安庆一中高一数学期末数学试题
安庆一中高一数学试题（必修4模块检测）命题教师 吴显上一 .选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．0tan 600的值是（ ） A．-．2.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( )A.sin α=sin βB.cos α=cos βC.tan α=tan βD.tan α·tan β=13. 下列命题正确的是（ ）A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若|||b -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 4．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）5．已知O 是在四边形ABCD 所在平面内的一点，且22OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形 B.平行四边形 C. 梯形 D. 菱形xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（ ） （A ）y x ≤（B ）y x >（C ）y x <（D ）y x ≥7．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=tanx; B ．y=sin|x| C ．y=cos2x; D ．y=|sinx|;8. 计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③15tan 115tan 1-+ , ④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A.①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④ 8．把函数y=cos （3x+4π）的图象适当变换可以得到y=sin （-3x ）的图象。
2018-2019学年安徽省安庆一中高一下学期期末考试 数学(解析版)
2018-2019学年安徽省安庆一中高一下学期期末考试 数学命题：高二数学组 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．不等式23760x x --≥的解集为（ ）A ．23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦2．空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A ．三个点B ．四个点C ．三角形D ．四边形3．若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2a =-或1a = B ．1a = C ．2a =-D ．23a =-4．设的内角所对的边分别为，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．设0,0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）.A ．B ．83C ．92D ．6．已知,,l m n 为三条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）A ．若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若m α，n α，则m nC ．若l αβ=，m α，m β，则m lD ．若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥ 7．已知点P 与点关于直线对称，则点P 的坐标为 A ．B ．C ．D ．8．己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．25B ．40C ．50D ．459．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．116πB ．73π C ．136πD ．83π10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）AB ．3 C．D ．211．设[x]表示不超过x 的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{}满足：，（），则12320191111[]a a a a ++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.13．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．14．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则此图形中有________个直角三角形．15．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b cc b+的最大值是__________．16.在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线与所成角的正切值.（本小题满分12分）已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．18．（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程．19．（本小题满分12分）已知在中，内角的对边分别为，为锐角，且满足.（1）求的值；（2）若,的面积为，求.20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -的体积为时，求BGBE 的值．21.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 前n 项和为nS ，12-=n n S a（1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式n a ;（2）设2na n nb a =+，数列{}n b 前n 项和为n T ，求使不等式2626n n T n <+-成立的正整数n 组成的集合.22.（本小题满分12分）如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. (1)求证：BC ⊥面CDE;(2)在线段AE 上是否存在一点R ，使得面BDR ⊥面DCB ，若存在，求出点R 的位置；若不存在，请说明理由.A参考答案1．D不等式23760x x --≥可以因式分解为(3)(32)0x x -+≥，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为[)2,3,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选D 2．C在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误；在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 3．B∵直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=解得a ＝1或a ＝﹣2． ∵当a ＝﹣2时，两直线重合，∴a ＝1． 故选：B ． 4．B 由正弦定理得，∴．又，∴为锐角， ∴．故选B ． 5．C 解：3是a 3与b 3的等比中项，2333a b ∴⋅=，∴2a b +=，14a b +=111419()5=24222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5…， 故选C. 6．C A 选项，当βγ时，由m αβ=，n αγ=可得m n ，此时由l m ⊥，l n ⊥可得l α⊂或l α或l 与α相交；所以A 错误；B 选项，若m α，n α，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以B 错误；C 选项，若l αβ=，m α，m β，根据线面平行的性质，可得m l ，所以C 正确；D 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或m β，又n β，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以D 错误； 故选C 7．A设P 的坐标为（a ，b ），则PQ 的中点坐标为（，），若点P 与Q （1，﹣2）关于x +y ﹣1＝0对称，则有，解可得：a ＝3，b ＝0， 则点P 的坐标为（3，0）； 故选：A ． 8．D等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，可得：35277225a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =（舍)或19a =，2(1)199(1)22n n n n nS n --+=+⋅-=．所以n=9或n=10时， 故n S 的最大值为910==45S S ． 故选：D ． 9．C由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C 10．A把面1AA B 绕1A B 旋转至1AA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD '．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，||||AB AD ==1||1AA =，∴0160AA D ∠=．1MD ∴==故选：A ． 11．A 解：由，得（），又，∴．则．∴．故选：A ． 12．B∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以正方体的棱长为1，点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点），当点M 为线段BC 的中点时，1//MN AD1,,,A M N D 共面，截面为四边形1AMND ，如图，即12BM =，不合题意，排除选项,,A C D ; 当12BM >时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，线段BM 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选B ．13．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩………表示的平面区域ABC △（包括边界），所以y x 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 14．4 ∵是直角三角形，，平面， ∴，， ∵，∴平面， ∴图中直角三角形有（是直角 ），（是直角），（是直角），（是直角），∴图中直角三角形有4个，故答案为4.15因为BC 边上的高为2a ， 所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222bc b c a bc A c b bc bc+++== 2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b c c b +．．16.317．（1）； （2（1）由题意，得，，，， ；（2）取的中点，连接，，则或其补角即为所求， 易证平面，，，，于是，即异面直线与， 18．（1）；（2）或解：（1）∵l 1⊥l2，∴2．∴直线l 2的方程为：y﹣0＝2（x），化为：y＝2x﹣3．联立，解得．∴直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l 3经过原点时，可得方程：y x．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得：1，解得a．可得方程：2x+y＝5．综上可得直线l3的方程为：x﹣2y＝0，2x+y﹣5＝0．19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）∵，∴由∴∵为锐角，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵的面积为，∴（1）由余弦定理得：∴ （2）由（1）、（2）解得 20．(1)略.(2) 13. 21．（1）11,21n a a n ==-. （2）{}1,222.（1）略（2）14AR AE =。
2018-2019学年安徽省安庆一中高一第二学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年安徽省安庆一中高一第二学期期末考试数学试题一、单选题1．不等式23760x x --≥的解集为（ ） A ．23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集. 【详解】不等式23760x x --≥可以因式分解为(3)(32)0x x -+≥，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为[)2,3,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单. 2．空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A ．三个点 B ．四个点C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】根据公理2即可得出答案。
【详解】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误；在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 【点睛】本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面的理解。
3．若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2a =-或1a = B ．1a =C ．2a =-D ．23a =-【答案】B【解析】利用直线与直线平行的性质求解． 【详解】∵直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=解得a ＝1或a ＝﹣2． ∵当a ＝﹣2时，两直线重合， ∴a ＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．4．设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，若πa 3,b A 3===，则B =（ ） A ．π5π66或 B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】B【解析】根据正弦定理求解即可得到所求结果． 【详解】 由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 12sin 32b AB a===． 又b a <， ∴B 为锐角， ∴6B π=．故选B ． 【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题． 5．设0,0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）.A ．B ．83C ．92D ．【答案】C【解析】由3是a 3与b 3的等比中项，可得2a b +=，再利用不等式知识可得14a b+的最小值. 【详解】 解：3是a 3与b 3的等比中项，2333a b ∴⋅=，∴2a b +=，14a b +=111419()5=24222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5…， 故选C. 【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力. 6．已知,,l m n 为三条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若m α，n α，则m nC ．若l αβ=，m α，m β，则m lD ．若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【解析】根据线线位置关系，线面位置关系，以及面面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，当βγ时，由m αβ=，n αγ=可得m n ，此时由l m ⊥，l n ⊥可得l α⊂或l α或l 与α相交；所以A 错误；B 选项，若m α，n α，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以B 错误；C 选项，若l αβ=，m α，m β，根据线面平行的性质，可得m l ，所以C 正确；D 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或m β，又n β，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以D 错误； 故选C 【点睛】本题主要考查线面，面面有关命题的判定，熟记空间中点线面位置关系即可，属于常考题型.7．已知点P 与点()Q 1,2-关于直线x y 10+-=对称，则点P 的坐标为( ) A ．()3,0 B ．()3,2-C ．()3,0-D ．()1,2-【答案】A【解析】根据题意，设P 的坐标为（a ，b ），分析可得21112122b a a b +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+=⎪⎩，解可得a 、b的值，即可得答案． 【详解】设P 的坐标为（a ，b ），则PQ 的中点坐标为（12a +，22b -）， 若点P 与Q （1，﹣2）关于x +y ﹣1＝0对称，则有21112122b a a b +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+=⎪⎩，解可得：a ＝3，b ＝0， 则点P 的坐标为（3，0）； 故选：A ． 【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题．8．己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）A ．25B ．40C ．50D ．45【答案】D【解析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解n S 的最大值． 【详解】等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，可得：35277225a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =（舍)或19a =，2(1)199(1)22n n n n nS n --+=+⋅-=．所以n=9或n=10时， 故n S 的最大值为910==45S S ． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n 项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．116π B ．73π C ．136πD ．83π 【答案】C【解析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可. 【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A B ．3C ．D ．2【答案】A【解析】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就是最小值． 【详解】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，||||AB AD ==1||1AA =，∴011tan 60AA B AA B ∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠1MD ∴==故选：A ．本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．11．设[x]表示不超过x 的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{n a }满足：1a 1=，n 1n a a n 1+=++（*n N ∈），则12320191111[]a a a a ++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】先求出11=2)1n a n n --（，再求12320191111[]a a a a ++++得值.【详解】由n 1n a a n 1+=++，得n n 1a a n --=（n 2≥），又1a 1=， ∴()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a ...a a a ---=-+-++-+()()()n n 1n n 1n 2 (212)+=+-+-+++=．则()n 12112a n n 1n n 1⎛⎫==- ⎪+-⎝⎭． ∴122018111111111...21 (211)a a a 223201820192019⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，考查新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】当点M 为线段BC 的中点时，画出截面为四边形，当12BM >时，画出截面为五边形，结合选项可得结论. 【详解】∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以正方体的棱长为1，点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点）， 当点M 为线段BC 的中点时，1//MN AD1,,,A M N D 共面，截面为四边形1AMND ，如图，即12BM =，不合题意，排除选项,,A C D ; 当12BM >时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形， 线段BM 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题主要考查正方体的性质、截面的画法，考查作图能力与空间想象能力，意在考查对基础知识的熟练掌握与灵活应用，属于难题.二、填空题13．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩………表示的平面区域ABC △（包括边界），所以yx 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.14．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则此图形中有________个直角三角形．【答案】4【解析】推导出AB BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，由此能求出图中直角三角形的个数． 【详解】∵ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ， ∴AB BC ⊥，PA BC ⊥，∵AB PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAB ，∴图中直角三角形有ABC （ABC ∠是直角 ），PAC （PAC ∠是直角），PAB （PAB ∠是直角），PBC （PBC ∠是直角）， ∴图中直角三角形有4个，故答案为4. 【点睛】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．15．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b cc b+的最大值是______．【解析】利用三角形面积公式可得22sin a bc A =，利用余弦定理化简原式为sin cos A A +，再利用两角和的正弦公式与三角函数的有界性可得结果.【详解】因为BC 边上的高为2a， 所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222bc b c a bc Ac b bc bc+++==2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b cc b+． 【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.16．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11160,OEO O E O A ∠===在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径3r OA ====.三、解答题17．在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的正切值.【答案】（1）π3； （2【解析】（1）先求出PO=再利用公式求该圆锥的侧面积与体积；（2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求，再求其正切值得解.【详解】（1）由题意，得OB 2=，PB 4=，PO ==所以圆锥的侧面积为S πrl 24=8ππ==⋅⋅，211V πr h π33==⋅ 22⋅⋅=； （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求，因为DE ⊥EO,DE ⊥OC,,,EO OC EOC EOOC O ⊂=平面, 所以DE ⊥平面EOC ，DE EC ∴⊥，1DE OA 12==，CE ===于是tan CDE ∠==，即异面直线AB 与CD .【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知直线1l 的方程为x 2y 40+-=，若2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥． （1）求直线1l 和2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程．【答案】（1）()21，；（2）12y x =或250x y +-= 【解析】（1）利用l 1⊥l 2，可得斜率2l k ．利用点斜式可得直线l 2的方程，与直线l 1和l 2的交点坐标为（2，1）；（2）当直线l 3经过原点时，可得方程．当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍，其方程为：2x y a a+=1，把交点坐标（2，1）代入可得a ．【详解】 解：（1）∵l 1⊥l 2，∴2112l k -==-2． ∴直线l 2的方程为：y ﹣0＝2（x 32-），化为：y ＝2x ﹣3． 联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 1和l 2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l 3经过原点时，可得方程：y 12=x ． 当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍， 其方程为：2x y a a +=1，把交点坐标（2，1）代入可得：212a a +=1，解得a 52=． 可得方程：2x +y ＝5．综上可得直线l 3的方程为：x ﹣2y ＝0，2x +y ﹣5＝0．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，A 为锐角，且满足3b 5asinB =.（1）求2B C sin2A cos 2++的值；（2）若a =,ΔABC 的面积为32，求b,c .【答案】（Ⅰ）5350 （Ⅱ） b c ==【解析】（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行化简，得到sin A 35=，然后利用倍角公式即可得到三角函数的值．（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论．【详解】（Ⅰ）∵35sin b a B =， ∴3sin 5sin sin B A B =由()0,sin 0,B B π∈⇒≠∴3sin ,5A =∵A 为锐角， ∴4cos .5A = ()21cos 1cos sin2cos =2sin cos 2sin cos 222B C B C A A A A A A +++-++=+ 341532?·551050=+= （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 34sin ,cos 55A A == ∵ABC ∆的面积为32，∴ABC S ∆= 13sin 22bc A =⇒ 5bc = （1） 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-()()22224182222055b c bc b c bc b c =+-⋅⇒+-=⇒+= ∴b c += （2）由（1）、（2）解得b c ==【点睛】本题主要考查三角函数的化简与求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，建立方程组是解决本题的关键．20．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -BG BE 的值． 【答案】（1）见解析；（2）13.【解析】（1） 设AC BD O =，连结EO ，MO ，推导出四边形EOMF 为平行四边形，从而//FM EO ．由此能证明//FM 平面BDE ．（2）过G 作ED 的平行线交BD 于H ，则GH ⊥平面ABCD ，GH 为三棱锥G BCD -的高，根据三棱锥G BCD -的体积求得GH 长度．从而求得GH ED的值，由三角形相似得BG BE 的值． 【详解】（1）证明：设AC BD O ⋂=，连结EO,MO ．因为M,O 分别是BC,BD 的中点，因为EF //AB ，且1EF=AB 2， 因为OM //AB ，且1OM=AB 2， 所以EF //OM ，且EF=OM ．所以四边形EOMF 为平行四边形．所以FM ∥EO ．又因为EO ⊂平面BDE ，FM ⊄平面BDE ，所以FM ∥平面BDE ．（2）解：过G 作ED 的平行线交BD 于H ． 由已知ED ⊥平面ABCD ，所以GH ⊥平面ABCD ．所以GH 为三棱锥G BCD -的高．因为三棱锥G BCD -的体积为9， 所以三棱锥G BCD -的体积:1111V BD BC sin60GH 22GH 3232=⨯⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯== 2GH 3∴=． BGH BED ∆∆∽，2BG GH 13BE ED 23∴===. 【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，1n a =（1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式n a ;（2）设2n an n b a =+，数列{}n b 前n 项和为n T ，求使不等式2626n n T n <+-成立的正整数n 组成的集合.【答案】（1）11,21n a a n ==-；（2）{}1,2【解析】（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得n S ，代入1n a =求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出212223n n T n +-=+，再代入不等式解不等式即得解. 【详解】（1）解：由已知1n a =-，得当1n =时，11a =；当2n …时，1n n n a S S -=-，代入已知有11n n S S -=-+，即211)n S -=．又0n a >，11=-（舍)，1(2)n …，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，∴n =，则21n a n =-；（2）由题得212=212n an n n b a n -=+-+，所以数列{}n b 前n 项和212122222=(121)233n n n n T n n ++--+-+=+. 因为2626n n T n <+-，所以2(2)9280,128n n n -⋅+<∴<<，所以03n <<.所以正整数n 组成的集合为{1,2}【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.(1)求证：BC ⊥面CDE;(2)在线段AE 上是否存在一点R ，使得面BDR ⊥面DCB ，若存在，求出点R 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）略；（2）14AR AE = 【解析】（1）由已知中AE CD ⊥，垂足为E ，DE EC ⊥．根据线面垂直的判定定理，我们可得DE ⊥面ABCE ．由线面垂直的定义，可得DE BC ⊥，又由BC CE ⊥，得到BC ⊥平面CDE ；（2）取BD 中点Q ，连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ ，求出RQ ，解CRQ ∆，可得CQ RQ ⊥，又由等腰CBD ∆中，Q 为底边BD 的中点，得到CQ BD ⊥，进而根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论．【详解】（1）由已知得：DE AE ⊥，DE EC ⊥,,,AE EC ABCE AE EC E ⊂=平面 DE ∴⊥面ABCE ．DE BC ∴⊥，又BC CE ⊥，,,DE CE DCE DE CE E ⊂=平面BC ∴⊥面DCE（2）分析可知，R 点满足14AR AE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下：取BD 中点Q ，连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ容易计算2,CD BD CR DR CQ === 在BDR ∆中BR DR BD ==， 由平行四边形性质得22222()BD 4DR BR RQ +=+,所以222152()444RQ +=+（可知RQ =， ∴在CRQ ∆中，222CQ RQ CR +=，CQ RQ ∴⊥．又在CBD ∆中，CD CB =，Q 为BD 中点CQ BD ∴⊥，因为,,BD RQ BDR BD RQ Q ⊂=平面CQ ∴⊥面BDR ，因为CQ BDC ⊂平面,∴面BDC ⊥面BDR ．【点睛】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线平面垂直的判定，熟练掌握空间直线平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．说明：条件“G、F分别为AD、CE的中点，”没有使用，是因为这个题目是改编的，把第2问删除了，第2问是证明GF||平面BCD.。
安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数,则复数在复平面上的对应点的位置在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知两个单位向量与的夹角为,则( )A.C. D.3.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则4.在平行四边形ABCD 中,是线段EF 的中点,则( )A. B. C. D.5.已知圆台的上、下底面圆的半径之比为,侧面积为,在圆台的内部有一球,该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球的表面积为( )A. B. C. D.6.已知中,角所对的边分别是,若,且,则是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.设A,B 是一个随机试验中的两个事件且,则( )A.B.C.D.8.如图,在正方体中,分别是的中点,有下列四个结论:①AP 与CM 是异面直线;②相交于一点;③，④MN //平面.(2)(21)i()z a a a =-+-∈R z a -a bπ,()3a kab ⊥+ k =1212-,a b ,αβ//,a b αα⊂//a b //,//,//a b αβαβ//a b ,,//a b a b αβ⊂⊂//αβ,,a b αβαβ⊥⊥⊥a b⊥15,,56BE BC DF DC M ==AM = 113125AB AD + 1223AB AD + 112123AB AD + 1325AB AD + 129πO O 3π5π8π9πABC V ,,A B C ,,a b c cos cos b C c B b +=cos a c B =ABC V 1137(),(,(22424P A P B P AB AB ==+=()P AB =1811482117131111ABCD A B C D -,,M N P 1111,,C D BC A D 1,,AP CM DD 1//MN BD 11BB D D其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②④C.①③④D.②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若是非零复数,则下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则10.若数据的平均数为3,方差为4,则下列说法正确的是( )A.数据的平均数为13B.数据的方差为12C.D.11.如图,平面ABCD ,正方形ABCD 边长为1,E 是CD 的中点,是AD 上一点,当时,则()A. B.C.若,则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为D.若,则直线PE 与平面ABCD 所成角为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数满足:,则______________.z 0z z +=i z z=2||z z z ⋅=||2z =1z z =1z z=10z z +=21||0z z z ⋅=1210,,,x x x 121041,41,,41x x x +++ 12103,3,,3x x x 10130ii x==∑1021130ii x==∑PA ⊥F BF PE ⊥:2:1AF FD =:1:1AF FD =1PA =231PA =30︒z 22024(1i)42iz -=+||z =13.已知如图边长为的正方形ABCD外有一点且平面,二面角的大小的正切值_____________.14.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形,此图由三个半圆构成,直径分别是直角三角形ABC的斜边AB,直角边AC,BC,点在以AC为直径的半圆上,延长AE,BC交于点.若,,则的面积是_____________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知复数,i是虚数单位.(1)若是实数,求的值;(2)在①点在实轴上,②点在虚轴上,③点在一、三象限的角平分线上,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，并解答.问题:若,复数在复平面内对应的点为,且_____________,求实数的值.注:如果选择多个条件分别求解,按第一个解答记分.16.(本题满分15分)已知向量满足.(1)求;(2)若,求的最小值.17.（本题满分15分）某校对2023级高一上学期期中数学考试成绩(单位:分)进行分析,随机抽取100名学生,将分数按照,分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图：a P PA⊥,ABCD PA a=P BD A--E D5AB=33sin,sin54CAB DCE∠=∠=ABEVi(R)z b b=∈12iz-+bP P P12b=-2()m z+P m,a b2(4,6),2(3,8)a b a b-=-+=sin,a b〈〉//(0)a c c≠||b c+[30,50),[50,70),[70,90),[90,110)[110,130),[130,150](1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.18.（本题满分17分）如图，在平面四边形ABCD 中，.(1)若,求的面积:(2)若,求BC .19.(本题满分17分)如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,M,N 分别是棱PB,PC 的中点,是棱PA 上一点,且.(1)求证:平面MCD ;(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.[50,70)[70,90)[50,70)ππ2,26DC AD BAD BDC ==∠=∠=cos ABD ∠=ABD V C ADC ∠=∠Q 3AQ QP =//NQ 14,8,AB BC PB PD PA PC ======安庆一中2023-2024学年度第二学期高一年级期末考试数学学科参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
安徽省安庆一中2024届数学高一下期末联考模拟试题含解析
安徽省安庆一中2024届数学高一下期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列关于四棱柱的说法： ①四条侧棱互相平行且相等； ②两对相对的侧面互相平行； ③侧棱必与底面垂直； ④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（ ）A ．32B C D ．3．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ） A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >4．已知向量a ，b 满足(cos ,sin )a αα=，α∈R ，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-B ．1C ．3D ．76．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 一定是（ ） A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形7．已知向量||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b -=（ ）8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.39．已知等差数列{}n a 中，若341092a a a =-+=-，，则n S 取最小值时的n =（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．610．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简：OP OA PB BC -++=（ ）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.【详解】OP OA PB BC AP PB BC AB BC AC -++=++=+=. 故选：D2．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A．1 B ．2 C D 【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ b =故选：D.3．已知i 为虚数单位，复数z 满足|2i |1z -=，则||z 的最大值为（ ） A．1 B C ．2D ．3【答案】D【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，利用|2i |1z -=推出z 对应复平面上的点的轨迹，||z 的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值.【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|2i |1z -=，1，则22(2)1x y +-=，于是(,)A x y 可看成以(0,2)为圆心，半径为1的圆上运动，||z 意为A 到(0,0)的距离，距离最大值为3，所以max ||=3z . 故选：D.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )A ．22B ．1C 2D ．(212【答案】A【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB 2=2 所以原图形的面积为：1×2=2 故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力． 5．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（ ） A ．12 B ．11.5C ．11D ．7【答案】A【分析】将数据排序，根据百分位数的求法求60%分位数. 【详解】将数据从小到大排序为5,7,11,12,15,30， 所以660% 3.6⨯=，故该组数据的60%分位数是12. 故选：A6．设事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()P AB AB ⋃=（ ） A ．0.36 B ．0.504C ．0.54D ．0.9【答案】C【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，AB AB 与互斥，A B ，相互独立，B ，A 相互独立，AB ，AB 相互独立，故()P AB AB ⋃=()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B +=+0.60.70.40.30.54=⨯+⨯=.故选：C.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中14AB AA ==，3BC =，M 为1AA 的中点，N 为11C D 的中点，过1B 的平面α与DM ，1A N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为（ ） A ．322 B ．311C ．422D ．511【答案】A【分析】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，G 为1CC 中点，连接1B G ，利用长方体性质及线面平行的判定证1//A N 面1B GE 、//DM 面1B GE ，即面1B GE 为平面α，再延长EG 交DC 于F ，连接AF ，利用线线、线面的性质确定面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，最后延长1,AF B G 分别交BC 于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及1134AFGB AHB S S =求截面面积即可.【详解】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，则11112C ED C =，若G 为1CC 中点，连接1B G ，而M 为1AA 的中点，在长方体中1//B G DM ，而111B G B E B ⋂=且11,B G B E ⊂面1B GE ，由1A N ⊄面1B GE ，则1//A N 面1B GE ，由DM ⊄面1B GE ，则//DM 面1B GE ， 所以面1B GE 即为平面α，延长EG 交DC 于F ，易知：F 为DC 中点，则1//EF C D 且1EF C D =，又11//C D B A 且11C D B A =， 故1AFEB 为平行四边形，则1//EF B A 且1EF B A =，故1,,,,A F E G B 共面， 连接AF ，即面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，延长1,AF B G 分别交BC 于一点，而在1,ABH B BH 中,CF CG 都为中位线， 由14AB AA ==，3BC =，则1CG CFB B AB=，故1,AF B G 交BC 于同一点H ， 易知：△1AHB 为等腰三角形且1213AH B H ==142AB =，则1104329cos 25213AHB -∠==⨯，可得1sin AHB ∠=，又113315244213AFGB AHB S S ==⨯⨯⨯=故选：A【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面α，再根据平面的基本性质找到平面α截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.8．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】A【详解】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法. 二、多选题9．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ）A ．z 的实部为2B ．zC ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以||z =z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误． 故选：AB10．已知O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A ．若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形B ．若0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的外心 C ．若0AB BC ⋅>，则ABC 为钝角三角形D ．若0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，则0OC AB ⋅= 【答案】ACD【分析】由数量积的运算判断A ，根据向量的夹角公式判断C ，由垂直的向量表示判断D ，根据向量线性运算判断B ．【详解】由()()0AB AC AB AC +⋅-=，得22AB AC =，即AB AC =，故A 对； 由0OA OB OC ++=，取BC 中点D ，连接OD ，则2OB OC OD OA +==-， 所以,OA OD 共线，且O 在线段AD 上，21OA OD =，即O 为重心，故B 错；由0AB BC ⋅>，得B π-为锐角，B 为钝角故C 对；由0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，得,OA BC OB AC ⊥⊥，知O 为ABC 的垂心，所以0OC AB ⋅=，故D 对.故选：ACD.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为233cmC 373πD ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm 【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A 选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C 选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D 选项.【详解】如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得12CD ABCE -==，则22213BE ，则圆台的高为3cm ，A 错误；圆台的轴截面面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，B 正确；圆台的体积为()3173cm 33443πππππ⨯⨯++⋅=，C 正确； 将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由1CE EO =可得2BC OB ==，则4OC =，4242COD ππ∠==，又32ADOP OA =+=，则22435CP =+=，即点C 到AD 的中点所经过的最短路程为5cm ，D 正确. 故选：BCD.12．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A ．MB 是定值 B ．点M 在圆上运动C ．一定存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 【答案】ABD【分析】取CD 的中点N ，先证平面MBN ∥平面A 1DE ，再得MB ∥平面A 1DE ；根据余弦定理计算BM 为定值；再根据BM 为定值，可得点M 在圆上运动；若DE ⊥A 1C ，根据条件推出DE ⊥A 1E ,与题意矛盾【详解】解：取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， 因为MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ， 所以平面MNB ∥平面A 1DE ， 因为MB ⊂平面MNB ，所以MB ∥平面A 1DE ，D 正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，所以MB 是定值，A 正确； 因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，B 正确；在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，所以DE ⊥EC ，若DE ⊥A 1C ，可得DE ⊥平面A 1CE ,即得DE ⊥A 1E ,与∠DEA 1为45︒矛盾，∴不存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，C 不正确. 故选： ABD. 三、填空题13．一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为_____. 【答案】16【详解】两人所有的居住方式有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,而住同一单元的只有6种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求概率为61366= 故答案为1614．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，26PA =P ABCD -外接球的体积是______. 【答案】36π【分析】画出图形，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，可得正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，然后利用勾股定理求解即可.【详解】连接AC BD ，交于O '点，连接PO '，所以PO '⊥底面ABCD ， 从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，连接OD ，正方形ABCD 的边长为4， 可得22O D '=26PA PD ==224O P PD O D -'='，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()2222R O D O O O P O O =+=-''''， 即()22284R O O O O =+='-'，解得1'=O O ， 所以3R =，故四棱锥P ABCD -外接球的体积是34π336π3⨯=. 故答案为：36π.15．安排5名志愿者完成,,A B C 三项工作，其中A 项工作需3人，,B C 两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【答案】20【分析】先从5人选3人一组参加A 项工作，然后其他两人完成,B C 即可.【详解】A 项工作安排3人有35C 10=，然后安排,B C 有22A 2=，则所安排的方式共10220⨯=种. 故答案为：20.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，解得3y =3)C ， 设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭， 所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程． 四、解答题17．已知复数()i ,R,0z a b a b ab =+∈<满足z =2z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)设z ，2z ，2z z -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 【答案】(1)1i z =-或1i z =-+； (2)1.【分析】（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.（2）利用（1）的结论，求出点A ，B ，C 的坐标，求出三角形面积作答. 【详解】(1)设i z a b =+（a ，R b ∈），则2222i z a b ab =-+，依题意，222a b +=且220a b -=，而0ab <，解得a =1，b =-1或a =-1，b =1， 所以1i z =-或1i z =-+.(2)当1i z =-时，22i z =-，21i z z -=+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,1C ，2AC =，点B 到边AC 距离为1，则1ABC S =△，当1i z =-+时，22i z =-，213i z z -=-+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,3C -，2AC =，点B 到边AC 距离为1，1ABC S =△，所以△ABC 的面积是1.18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若向量(1,sin )m C =，向量(sin(),1)n B A =-，且3sin 2m n A ⋅=，π3C =(1)求b a(2)若边c =ABC 的周长 【答案】(1)3或1 2(2)4【分析】（1）由已知条件分类讨论即可求得ba的值；（2）分类讨论求得a b 、的值，即可求得ABC 的周长.【详解】(1)sin()sin sin cos cos sin sin()2sin cos m n B A C B A B A B A B A ⋅=-+=-++= 则2sin cos 3sin26sin cos B A A A A ==，即()3sin sin cos 0A B A -=当cos 0A =时，πππ,,236A C B ===，则πsin sin 16πsin 2sin 2b B a A === 当cos 0A ≠时，3sin sin 0A B -=，即sin 3sin B A =，则sin 3sin b B a A == (2)①当πππ,,236A C B ===时，由7c =，可得213b =，2213a = 则ABC 的周长为22121721733a+b+c =++=+； ②当ππ,32C A =≠，3b a =时，由7c =， 可得()()222π7323cos 3a a a a =+-⋅，整理得21a =，则1a =，3b = 则ABC 的周长为13747a+b+c =++=+.19．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召a 名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[25,30)内的人数为35．(1)求m 和a 的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到0.1）；(2)若用分层抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这2名志愿者中至少有1人年龄在[35,40)内的概率．【答案】(1)0.07m =，100a =，31.7(2)35【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出m 的值，然后再根据[25,30)段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在[35,40)内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】(1)由频率分布直方图知：(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=，解得0.07m = … 因为年龄在[25,30)内的人数为35，所以35(0.075)100a =÷⨯=设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为x ，则[30,35)x ∈内，且满足0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23131.73x =≈ (2)由频率分布直方图知：小组成员年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的人数之比为3:2:1，故抽取的6名志愿者中，在区间[30,35),[35,40),[40,45]中分别抽取了3人，2人，1人记[30,35)中的3名志愿者为123,,A A A ，[35,40)中的2名志愿者为12,B B ，[40,45]中的1名志愿者为C ，则从6人中再随机抽取2人的所有可能有121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ； 共15种，至少有1人年龄在[35,40)内的情形有9种，故所求概率为93155P == 20．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，EF BC ∥，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，垂足分别是D ，H ，G ，将△ABC 绕AD 所在直线旋转180°．(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V ，当E ，F 分别为边AB ，AC 的中点时，求V ；(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S ，当E ，F 分别在什么位置时，S 最大？【答案】53(2)E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设DG x =，()0,2x ∈，表示出FG ，则旋转图的侧面积2S DG FG π=⨯⨯，再利用基本不等式计算可得；【详解】(1)解：由圆锥与圆柱的定义可知，将ABC 绕AD 旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为3．因此阴影部分形成的几何体的体积为V V V =-圆锥圆柱1534231333πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯=． (2)解：设DG x =，()0,2x ∈，则2CG x =-，()32FG x =-， 此时()223223S DG FG x x πππ=⨯⨯=-≤，． 当且仅当1x =时等号成立，即E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大．21．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．（1）用OA 和OC 表示OM ；（2）求OD DM； （3）设OB CA OP λμ=+，求λμ⋅的取值范围．【答案】(1)2233OM OA OC =+；(2)3；(3)3[0,]4. 【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P 设出1(0)2CP xOA x =≤≤，结合平面向量基本定理，λμ⋅建立为x 的函数求解.【详解】(1)依题意12CB OA =，23AM AB =， 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-，2122()3333OM OA AM OA OC OA OA OC ∴=+=+-=+； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知2222()3333t t OD tOM t OA OC OD OA OC ==+==+， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，22133t t +=，则3t 4=，3OD DM =，||3||OD DM =； (3)由已知12OB OC CB OC OA =+=+， 因P 是线段BC 上动点，则令1(0)2CP xOA x =≤≤， ()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++-，又,OC OA 不共线，则有1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩， 1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 211(1)()24λμμμμ⋅=-=--在3[1,]2μ∈上递增，所以min max 331,()0,,()24μλμμλμ=⋅==⋅=， 故λμ⋅的取值范围是3[0,]4. 【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，()0PF FC λλ=>.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）是否存在点F ，使得58B PAE D PFB V V --=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（3）若平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面PBE 内确定一点H ，使CH FH +的值最小，并求此时BH BP的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，4λ=；（3）点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，BH 2BP 3=. 【分析】（1）先证明AD ⊥平面PBE .，然后得BC ⊥平面PBE ，再得面面垂直；（2）利用棱锥体积之间的关系111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===，D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=，可得λ的关系，求得λ；（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，得C '是点C 关于面PBE 的对称点，在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，然后计算出长度即得．【详解】解：（1）证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为ABCD 是菱形，所以AD AB =.因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=，,BE PE ⊂平面PBE ，所以AD ⊥平面PBE .又//AD BC ，所以BC ⊥平面PBE .因为BC ⊂平面PBC所以平面PBC ⊥平面PBE .（2）由PF FC λ=，知()1PC PF FC FC λ=+=+. 所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=. 因此，58B PAE D PFB V V --=的充要条件是1528λλ+=， 所以，4λ=.即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得58B PAE D PFB V V --=，此时4λ=. （3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，CB PB ⊥，则C '是点C 关于面PBE 的对称点，.在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点设2BC a =，则3PE BE a ==，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE AD ⊥，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABCD ，所以PE BE ⊥，所以6PB a =，所以2tan tan 6BC BC H BPC PB '∠=∠==， 所以4tan 6BH BC BC H a ''=∠=， 所以BH 2BP 3=．。
2024届安徽省安庆市石化第一中学数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析
2024届安徽省安庆市石化第一中学数学高一第二学期期末达标检测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．25(32)x x -+的展开式中含3x 的项的系数为（ ） A ．-1560 B ．-600C ．600D ．15602．已知，则 A ．B ．C ．D ．3．角α的终边上有一点P （a ，|a |），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为（） A ．22-B ．22C ．1D ．22或22- 4．已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A ．1B ．5C ．7D ．255．直线倾斜角的范围是（ ） A ．（0，]B ．[0，]C ．[0，π）D ．[0，π]6．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．88．A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形9．已知等差数列{a n }的前n 项和为，满足S 5=S 9，且a 1＞0，则S n 中最大的是（ ） A ．6SB ．7SC ．8SD ．9S10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1218,24S S ==，则4S =（ ） A ．763B ．793C ．803D ．823二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。