2015年高考数学《新高考创新题型》之1：集合与常用逻辑用语(含精析)

B ，则 P A
P B ；④若 A B ，则 P A P B ；
n B 1 ，则 n P A 2 n P B 其中正确的命题个数为(
A. 4 B. 3 C. 2
) D. 1
5．已知集合 M={ ( x, y )| y f ( x ) }，若对于任意 ( x1 , y1 ) M ，存在 ( x2 , y2 ) M ，使得
2 知函数 f (x) x (x R), g(x) (x 0), h(x) 2e ln x ．有下列命题：
1 x
1 ① F (x) f (x) g(x) 在 x ( 3 ,0) 内单调递增; 2
② f ( x ) 和 g( x ) 之间存在“隔离直线”, 且 b 的最小值为-4; ③ f ( x ) 和 g( x ) 之间存在“隔离直线”, 且 k 的取值范围是 (4,0] ; ④ f ( x ) 和 h(x) 之间存在唯一的“隔离直线” y 2 ex e ． 其中真命题的个数有( )
a1 b1 c1 是 P Q 的充分必要条件，其中 a2 b2 c2
D．①③
3 ．若存在实常数 k 和 b ，使得函数 F (x) 和 G(x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：
F (x) kx b 和 G(x) kx b 恒成立， 则称此直线 y kx b 为 F (x) 和 G(x) 的“隔离直线”． 已
．
T ，则 S 2T 2014 的最小正整数 n 为
Go the distance
1．B 【 解 析 】 因 为 C ( A) 2 ,A *B ， 1 所 以 C ( B ) 1或 C ( B) 3 . 由 x 2 ax 0 得 ： 满足题设.对 x 2 ax 2 0 ， 当 0 时， x1 0, x2 a .当 a 0 时，B {0}, C ( B) 1 ，
Go the distance
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集，记为 P A ， 用 n A 表示 有限集 A 的元素个数， 给出下列命题： ①对于任意集合 A ， 都有 A P A ； ②存在集合 A ， 使得 n P A 3； ③用 表示空集， 若A ⑤若 n A
(2) f ( x ) 和 g( x ) 之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为 y kx b ，当“隔离直线”与
f ( x) x 2 , g ( x)
1 ( x 0), 同时相切时，截距最小，令切点坐标为 x1 , y1 , x2 , y2 ，则 x
Go the distance
2 已 知 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都 是 不 等 于 零 的 实 数 ， 关 于 x 的 不 等 式 a1 x b1 x c1 0 和
a2 x 2 b2 x c2 0 的解集分别为 P，Q，则
正确的命题是( A．①④ B．①②③ ) C．②③④
1 2 x 1 x2 2 1 2 1 2 切线方程为 y 2 x1 x x1 或y 2 x , 所以 ，故 x1 2, x2 ，所 x2 x2 2 x 2 2 1 x2
11． 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数， 设 A、B、C 为集合， 称 ( A, B, C ) 为有序三元组． 如 果集合 A、B、C 满足 A
B
B C
C
A 1 ，且 A B C ，则称有序三元组
( A, B, C ) 为最小相交．由集合 1, 2,3, 4 的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序
1 1 5 ，故 不 满 足 必 要 性 ，故 ④ 是 假 命 题 ． 1 1 2
1 1 1 ， 则 F x 0, 解得 x ( 3 ,0) ， F x 2x 2 ， x x 2
1 所以 F (x) f (x) g(x) 在 x ( 3 ,0) 内单调递增;故①正确． 2
Go the distance
的. 若 T , V 是 Z 的两个不相交的非空子集，T V Z 且 a, b, c T , 有 abc T ; x, y, z V , 有 xyz V ，有四个命题：① T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的；② T ,V 中至多 有一个 关于乘法是封闭的; ③ T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的；④ T ,V 中每一个关于乘法 都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 .
三元组的个数为 ．
12 ． 已 知 等 比 数 列 {an } 的 首 项 为
4 1 ，公比为 ，其前 n 项和记为 S ，又设 3 3
1 3 5 Bn , , , 2 4 8
,
n 2 n 2
1 n N , n 2 ， Bn 的所有非空子集中 的最小元素的和为
点．例如 y＝| x |是 [2 ，2] 上的“平均值函数” ，0 就是它的均值点．给出以下命题：
2 ] 上的“平均值函数” ①函数 f ( x) cos x 1 是 [2 ， ．
ab [ a ， b ] y f ( x ) ②若 是 上的“平均值函数” ，则它的均值点 x0≥ 2 ．
x1 x2 y1 y2 0 成立，则称集合 M 是 “垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={ ( x, y )| y
1 }； x
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②M={ ( x, y )| y sin x 1}； ④M={ ( x, y )| y e 2 }．
x
③M={ ( x, y )| y log 2 x }； 其中是“垂直对点集”的序号是( A.①② B.②④ C.①④
a 2 2 ，此时 C ( B) 3 符合题意.
当 0 时 ， a 2 2 或 a 2 2 ， 此 时 必 有 C ( B ) 4， 不 符 合 题 意 . 所 以 B. S { 0 , 2 2 , 2 .选 2} 2．D 【 解 析 】 对 于 ① ： 显 然 必 要 性 成 立 ， 反 之 若 a 2 b 2 c 2 ab ac bc ， 则
2 1] 上 的 “ 平 均 值 函 数 ” ③ 若 函 数 f ( x) x mx 1 是 [ 1 ， ，则实数 m 的取 值范围是
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m (0 ，2) ．
④若 f ( x) ln x 是区间[a，b] （b＞a≥1）上的“平均值函数” ， x0 是它的一个均值点，则
) D.②③
二、填空题。 6 ． 定 义 ： 如 果函 数 y f ( x) 在 定 义 域 内 给 定 区间 [ a，b] 上 存 在 x0 (a x0 b) ， 满 足
f ( x0 )
f (b) f (a) ba ，则称函数 y f ( x) 是 [ a，b] 上的“平均值函数” ， x0 是它的一个均值
2 ．下列命题：①△ ABC 的三边分别为 a, b, c 则该三角形是等边三角形的充要条件为
a 2 b 2 c 2 ab ac bc ；②数列 an 的前 n 项和为 Sn ，则 Sn An 2 Bn 是数列 an
为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC 中，A＝B 是 sin A＝sin B 的充分必要条件；④


8．给定有限单调递增数列 {xn }( n N * ,数列 {xn } 至少有两项)且
xi 0(1 xi n) ,定义集合 A {( xi , x j ) |1 i, j n, 且i, j N *} .若对任意点 A1 ,
存在点 2 使得 OA1 OA2 (O 为坐标原点),则称数列 {xn } 具有性质 P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 ①数列 {xn }: -2,2 具有性质 P ; ②数列 { yn } :-2,-1,1,3 具有性质 P ; ③若数列 {xn } 具有性质 P ,则 {xn } 中一定存在两项 xi , x j ,使得 xi x j 0 ; ④若数列 {xn } 具有性质 P , x1 1, x2 0 且 xn 1(n 3) ,则 x2 1 . (2)若数列 {xn } 只有 2014 项且具有性质 P, x1 1, x3 2 ,则 {xn } 的所有项和 S2014 . .(填上所有正确命题的序号)
a1 A B ；当 n 2 时 ， an sn sn1 2 An A B ，显 然 n 1 时 适 合 该 式 ，因 此
数 列 an 是 等 差 数 列 ， 故 满 足 充 分 性 ， 故 ② 是 假 命 题 ； 对 于 ③ ： 在 三 角 形 中
A B a b，又由正弦定理得
9． 若自然数 n 使得作加法 n＋(n＋1)＋(n＋2)运算均不产生进位现象， 则称 n 为“给力数”， 例如： 32 是“给力数”， 因 32＋33＋34 不产生进位现象； 23 不是“给力数”， 因 23＋24 ＋ 25 产生进位现象．设小于 1 000 的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合 A，则集合 A 中的数字和为________． 10．设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 a, b S , 有 ab S ，则称 S 关于数的乘法是封闭
2 a 2 b 2 c 2 2ab ac bc ， 整 理 得 a b2 b c 2 a c 2 0 ， 当 且 仅 当


a b c 时 成 立 故 充 分 性 成 立 ， 故 ① 是 真 命 题 ； 对 于 ② ： 由 Sn An 2 Bn 得