第十七章 勾股定理知识点与常见题型总结
八年级数学下册 第十七章 勾股定理小结与复习课件1
∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.则这块地
的面积为 24cm2.
B
解析：连接AC.由AD=4m，
12
CD=3m，∠ADC=90°，可得
AC=5m.再由AB=13m，
C
BC=12m，可知△ABC是直角三
3
D
13
角形.于是(yúshì)这块地的面积为
4
(12×5-3×4)÷2=24(cm2)
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【解析(jiě xī)】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，
∵在直角△ABC中，AC为直角边，
∴AC= AB2 BC=224米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米），
∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE=
=15（米），
BE=15-7=D 8（E米2 ）C．D故2选C．
小结与复习。一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.。【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到 C1点，有三种方式：①沿。要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况．。3. 如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建(xiūjiàn)一个上方是一个。4.下列各组数中，是勾股数的为（ ） 。∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°,。3.由DF的长，你还可以求出哪条线段长。互逆定理
因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以(kěyǐ)通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
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考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别(fēnbié)是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角
数学勾股定理知识点与常见题型总结(无答案)
勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中 2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BA C答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE =+=答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
第十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=，这种关系我们称为勾股定理。
利用勾股定理解题时需要注意：1、要确定三角形是不是直角三角形，2、要分清直角边和斜边，3、记准公式4、已知两边求第三边时注意分类讨论
1、知识点1 勾股定理的简单应用
练习1、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a 、b 、c
（1）若a=3，b=4,则c= （2）若a=5，c=13，则b=
（3）若c=17，a ：b=8：15,则a= ,b=
练习2、已知直角三角形的两边长为5和12，则第三条边长为
2、知识点2、利用勾股定理求线段长度
练习1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长
练习2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A=30°，BD 是∠ABC 的角平分线，CD=5，求AB 的长度.
知识点3、利用勾股定理画一条线段的长度等于无理数，例如求作线段
知识点4、勾股定理在网格中的应用
练习1、如图1，每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC 的周长.
练习2、如图2，每个小方格是边长为1的正方形，则△ABC 中，长为无理数的有 条 练习3、如图3、4每个小方格是边长为1的正方形，在每幅图中以格点为顶点，分别画出
符合条件的三角形，（1）三边长分别为35，并求此三角形的面积，（2）直角边长是无理数的等腰直角三角形，并求此三角形的斜边长。
练习4、如图5每个小方格是边长为1的正方形，请在网格中画出格点三角形ABC ，使
AB=,并求△ABC 的面积。
17.1 勾股定理精品课件(知识点分类+题型分类)
例7 如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出 发，沿北偏东60°方向走了100 3 km到达B点，然后再沿北偏西
30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距
离．
解析：根据所走的方向可判断出△ABC是 直角三角形．
在 Rt△ABC 中，AB＝100 3km，BC＝100km，
几何问题 最短路径问题 航行问题 其它实际问题
例5 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN
折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3
，则AM的长是( )
A．1.5
B．2
C．2.25
D．2.5
连接BM，MB′. 设AM＝x，则有
BM 2 AM 2 AB2 x2 92 6
2b2 c2 b2 a2
c2 b2 a2
例3 探索与研究： 方法2：如图. 该图形是由任意的符合条件的两个全等的 Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾 股定理的方法吗？
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋ 1 b2 1 ab S△1BcC2D 1 a(b a)
例3 探索与研究：
方法1：如图. 对任意的符合条件的Rt△ABC绕其顶点A旋转
90°得Rt△AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正
方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的
面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明
勾股定理的过程；
b2 1 c2 1 (b a)(b a) 22
AM 25
AM 2 102 252 725 AM 2 202 152 625
第17章勾股定理
第十七章 勾股定理归纳1：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用。
【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，且CD 如果Rt △ABC 的面积为1，则它的周长为（ ）A ．12B 1C 2D 3 归纳2：勾股定理 基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2; 基本方法归纳：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查。
【例2】如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD =6，DE =5，则CD 的长等于．知识点1.勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a 2+b 2＝c 2）注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。
○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt △ABC 中，斜边未必一定是c ，当∠A=90时，a 2＝b 2+c 2；当∠B=90时，b 2＝a 2+c 2例1．（1）如图1所示，在Rt △ABC 中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB 的长；（2）如图2所示，在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC 的长 （3）在Rt △ABC 中,AC=3，BC=4，求AB 2的值知识点2.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。
人教版七年级数学下册 第十七章 勾股定理小结及复习题 讲义(无答案)
第十七章 勾股定理小结及复习题１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证.３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.cb aHG F EDCB Abacbac cabcab a bc c baE D CBA４.勾股定理的应用① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c b ，a =.② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系. ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题. ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边. ① 勾股定理的逆定可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；② 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边. ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③ 用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用任两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
第17章 《勾股定理》知识点及考点典例
第十七章《勾股定理》知识点及考点典例一、重点知识回顾1、勾股定理的定义内容：直角三角形两直角边的_______和等于_______的平方.表示方法：若两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有____________。
2、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形_______之间的数量关系，它只适用于直角三角形，不适用于锐角三角形和钝角三角形。
3、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
(常要考虑分类思想)若在△ABC中，∠C=90º，则有c=√a2+b2 ， a=√c2−b2， b=√c2−a2②已知直角三角形的任意一边，可求另两边的关系。
③在数轴上作出表示√n（n为正整数）的点。
④利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
4、勾股定理的证明一般采用“构造法”。
通过构造几何图形，并计算面积得出一个等式，从而得出勾股定理。
5、勾股定理的逆定理如果三角形的两条边的________等于第三边的_______，那么这个三角形是直角三角形。
6、勾股定理的逆定理的作用①不仅可判定一个三角形是否是直角三角形，还可判定哪个角是直角。
☎②若a2+b2>c2，那么这个三角形是______三角形；若a2+b2<c2，那么这个三角形是______三角形。
7、如何判定一个三角形是直角三角形①先确定最大边（如c）；②验证与是否具有相等关系；③若 c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形。
8、勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
①3、4、5 ②5、12、13 ③6、8、10 ④7、24、25 ⑤8、15、17 ⑥9、40、41二、考点典例（一）选择题1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )A. 9,12,15B. 7,24,25C. 6,8,10D. 3,5,72.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( )A. 可能是锐角三角形B. 不可能是直角三角形C. 仍然是直角三角形D. 可能是钝角三角形3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( )A.20mB.25mC.30mD.35m4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )A. 12cmB.C.D.（二）填空题5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _________ .6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 .7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 .8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若S P＝4，S Q＝9，则S k＝ .（三）解答题10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？11.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.12.如果一个直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，那么这个直角三角形的周长和面积分别是多少？。
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《勾股定理》小结与复习资料
一．知识点：
1. 勾股定理及逆定理
①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 __ 。
直角三角形2+b 2=c 2 (数)
（形）公式的变形：（1）c 2
= , c= ;
（2）a 2= , a= ;
（3）b 2= , b= ; ②勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ___ ，那么这个三角形是 __ ．
a 2+
b 2=
c 2 (数直角三角形 注：
（1依据；
（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．
利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：
①先判断哪条边最大；
②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值；
③判断a 2+b 2和 c 2 是否相等。
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
2、勾股数
满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数如下：
3、互逆命题和互逆定理
互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．
互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.
4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）
5、常见平方数：
121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=
289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=
529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
《勾股定理题型分类》
题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2
注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边
1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是
2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______
“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理！
4、在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A ．25
B ．14
C ．7
D ．7或25
1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为
2、已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为
3、已知△ABC ，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC , BC 的值.
题型三：勾股定理的逆定理：
1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A ．2，3，4
B ．10，8，4
C ．7，25，24
D ．7，15，12
2、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、1
3、5 ③ 17、8 、15 ④
4、11、9其中能构成直角三形的有：
（ ）
Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组
3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形;
B. 锐角三角形;
C. 直角三角形;
D. 等腰三角形
4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题
题型四、与直角三角形面积相关
1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿
2、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝
3、已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积；
4、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .
题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
1、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =︒90，∠DBC =︒90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；
2、已知ABC ∆中，13AB =cm
，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
题型六、折叠问题
1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在
斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
（A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm
2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长
3、已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A ．6cm 2
B ．8cm 2
C ．10cm 2
D ．12cm 2
B C
A
D D E
A A
B A B 题型七：实际问题中应用勾股定理
1、 如右图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
2、如图（1），在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．
3、饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露
出4.6㎝，问吸管要做_______㎝。
4、如图（3）从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
5、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D
后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________米。
6、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A ． 8cm B
．10cm C ．12cm D ．14cm
图（1） 图（2） 图（3）
7、如图（4）有一正方体盒子，棱长是10cm ，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短
路线是___________cm.
图（4）
8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方
30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？。