高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用
北师大版数学高一-3.3素材 二倍角公式常用方法例析
二倍角解方攻略二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。
在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。
同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。
这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。
一、逆用公式法： 例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。
分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。
解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°=14sin20° ·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°) =18sin20°·cos80°·(2sin40°cos40°) = 116sin20° ·(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12cos80°cos40°cos20°= 12 · sin160°2sin80° · sin80°2sin40° · sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116 评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sin αcos α的形式，从而达到求值的目的。
高中数学 第1部分 第三章§3 第一课时 二倍角公式及其应用应用创新演练 北师大版必修4
【三维设计】高中数学第1部分第三章§3 第一课时二倍角公式及其应用应用创新演练北师大版必修41．函数f＝in co 的最小值是A．－1 B．－错误!D．1解析：f＝错误!in 2∈[－错误!，错误!]．答案：B2．已知in错误!＝错误!，则coπ＋2α的值为A．－错误!D．－错误!解析：∵in错误!＋α＝错误!，∴co α＝错误!则coπ＋2α＝－co 2α＝1－2co2α＝1－错误!＝错误!答案：B3．已知等腰三角形底角的余弦值为错误!，则顶角的正弦值是C．－错误!D．－错误
§3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用,1．二倍角公式名称简记符号公式适用范围二倍角的正弦公式S2αsin 2α＝2sin__αcos__αα∈R 二倍角的余弦公式C2αcos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1二倍角的正切公式T2αtan 2α＝2tan α1－tan2αα≠π2＋kπ，α≠π4＋kπ2，其中k∈Z(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；①或cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.②其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．(2)常用的两个变形：(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．()(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．()解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠π4＋k π(k∈Z )，故此说法错误．(2)正确．当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)错误．当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.★答案★：(1)× (2)√ (3)× 2.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选B.原式＝cos 20°sin 20°cos 225°－sin 225°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 3.tan 15°1－tan 215°＝________．解析：原式＝12×2tan 15°1－tan 215°＝12tan 30°＝36.★答案★：364．若sin α＝55，则cos 4α－sin 4α＝________. 解析：cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. ★答案★：351．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义．(2)联系：公式S 2α，C 2α，T 2α是在公式S α＋β，C α＋β，T α＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．(3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.化简求值求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8；(3)tan π12－1tan π12.【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． (2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.1.(1)计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.(2)求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．解：(1)原式＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.故填 2.(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝24sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6° ＝23sin 12°cos 12°cos 24°cos 48°16cos 6°＝22sin 24°cos 24°cos 48°16cos 6°＝2sin 48°cos 48°16cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6° ＝116.给值求值(1)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79D ．－89(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan 4α的值． 【解】 (1)选B.cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选B. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝16， 即12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22， 故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－（－22）2＝427.把本例(1)中的条件“sin α＝55”改为“sin α＋cos α＝55”，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 解：因为sin α＋cos α＝55， 所以(sin α＋cos α)2＝15，即1＋2sin αcos α＝15，sin 2α＝2sin αcos α＝－45.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α<0， 所以sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝355，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝55×⎝⎛⎭⎫－355＝－35， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(1)三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)另外，注意几种诱导公式的应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ；③cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x .2.已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求sin 2α的值； (2)求cos(2α＋β)的值．解：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378.(2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724. 二倍角公式在实际中的应用焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？ 【解】 连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH 中，OH ＝cos α，AH ＝sin α，所以BH ＝AH tan 60°＝33sin α，所以OB ＝OH－BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则S ＝OB ·AH ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ ︵的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．3.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，由B 点到E 点的方向前进30 m 至点C 处，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到D 点，测得顶点A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：因为∠ACD ＝θ＋∠BAC ， 所以∠BAC ＝θ，所以AC ＝BC ＝30 m.又因为∠ADE ＝2θ＋∠CAD ，所以∠CAD ＝2θ， 所以AD ＝CD ＝10 3 m. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ ＝103sin 4θ，在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ， 所以103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝32. 又因为2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ＝π6，所以θ＝π12. 所以AE ＝30sin π6＝15(m)．所以θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.规范解答关于三角函数性质的综合问题(本题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． [解] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2.(4分)因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(6分)(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.(7分)当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )是递增的； (9分)当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )是递减的． (11分)综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上是递减的．(12分)(1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式，不仅要熟练正用，还要逆用，变形应用．如本例中两个关键步骤：即处由2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2到2sin(2ωx ＋π4)＋2的变化．在处，对2x ＋π4的范围进行判断．(2)在判定函数单调性和求单调区间时，应在给定区间内求解，如本例中⎣⎡⎦⎤0，π2.1．sin π12cos 5π12的值等于( )A ．－12＋34B.12－34 C ．－12－34D.12＋34解析：选B.sin π12cos 5π12＝sin π12sin ⎝⎛π2⎭⎫－5π12＝sin 2π12＝1－cos π62＝1－322＝12－34. 2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78解析：选D.由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ， 因为AB ＝4BD ，所以sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：由tan(π＋2α)＝－43，得tan 2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43.因为α是第二象限的角，所以tan α<0，所以tan α＝－12.★答案★：－124．锐角三角形ABC 中，若B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围是________．解析：因为B 为锐角，所以0<A <π4.又C 为锐角，且C ＝π－B －A ＝π－3A ， 所以0<π－3A <π2.所以－π2<3A －π<0.所以π2<3A <π，π6<A <π4.所以2<2cos A < 3.所以sin B sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ∈(2，3)．★答案★：(2，3)[A 基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79B.79C.23D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos 2α＋1 ＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B. 2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sin B sin C ＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )⇒2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ⇒cos B cos C ＋sin B sin C ＝1⇒cos(B －C )＝1，又－180°<B －C <180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形． 3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76B.32C.16D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( )A ．m <nB ．m >nC ．mn <1D ．mn >1解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α， n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β， 因为0<α<β<π4，所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin 2α<sin 2β，即m 2<n 2，又m >0，n >0，所以m <n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________．解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α.★答案★：sin α7．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________． 解析：因为tan x ＝2，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43.tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：348．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. ★答案★：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 9．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)．因为A ，D 关于点O 对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.[B 能力提升]11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcosα＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.12．已知角α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________．解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. 因为α为锐角，所以sin α≠0，所以2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.因为β为锐角，所以β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan （β－α）＋tan α1－tan （β－α）tan α＝13＋121－13×12＝1，因为β为锐角，所以β＝π4.★答案★：π413．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋ 23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5， 则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]． 14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin 2α＋34·cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin α·cos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14·(1－cos 2α)＝34.。
高中数学北师大版必修4第三章二倍角word例题讲解
二倍角例题讲解两角和与差的三角函数和由它们推出的倍角公式是平面三角学的重要内容，这部份内容是同角三角函数关系及诱导公式的进展，是三角变换的基础．它揭露了复角三角函数与单角三角函数间的彼此关系和内在联系．是研究复角三角函数的性质和应用三角函数知识解决有关问题的有力工具．三角变换涉及范围很广，包括求值、化简、恒等证明、三角形形状的判定、三角不等式的证明，三角数列求和、三角方程求解等等．虽然门类繁多，但从大体思想看，三角变换主要有以下几方面内容：1．化多种三角函数为单一的三角函数．2．化复角三角函数为单角的三角函数．3．化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．抓住这些大体点就可以够专门好地理解“倍角公式”在三角函数教学中的地位．使咱们在教学的各个环节中，对学生进行成心识地启发诱导．在教知识，教方式的同时，进展学生的逻辑思维能力．倍角公式：αααcos sin 22sin ⋅=，ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-，ααα2tan 1tan 22tan -=， 揭露了三角变换中单角的三角函数与倍角的三角函数之间的关系．咱们明白，把一个三角函数式等价地变成需要的形式，这就是三角变换．三角变换中利用倍角公式，能够对函数的结构作适本地调整．例．已知：πθ<<0，求证：θθcot 12cot +≥．分析：求证的式中有单角，有半角，咱们能够从“变角”入手．2cot 212cot 12cot )cot 1(2cot 2θθθθθ---=+-＝2cot 2)12(cot 2θθ-． πθ<<0 ，∴220πθ<<，02cot >θ，0)12(cot 2≥-θ． ∴0)cot 1(2cot ≥+-θθ，即θθcot 12cot +≥．这里注意倍角公式的利用．咱们在解决三角问题时．“已知”与“求证”“求解”之间存在着“不同”．这些“不同”无非是角的不同，函数名称的不同和运算结构的不同．一般来讲，角的不同主要靠几个三角变换的公式（包括倍角公式）来消除，函数名称的不同主要靠同角的三角函数关系来消除，运算结构的不同则要通过代数变换来消除．因此，化“多”角为同角，化“复”角为单角，化同角“异名”为同角“同名”就是咱们在解三角函数问题的中常常遵循的一条原则．而倍角公式正是咱们实施转化思想的一个桥梁．它从βα+S ，βα+C 而来，又可推出222,,αααT C S ．因此在教师的教学中，要分析利用倍角公式解题的规律和方式．。
北师大版数学高一必修4练习 3.3第1课时 二倍角公式及其应用
[A 基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79 B.79C.23 D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos2α＝－2cos 2α＋1＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B.2．在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A2，则△ABC 是() A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sinBsinC ＝1＋cos A2⇒2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)⇒2sinBsinC ＝1－cosBcosC ＋sinBsinC⇒cosBcosC ＋sinBsinC ＝1⇒cos(B －C)＝1，又－180°<B －C<180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形．3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76B.32C.16 D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2C ．2D ．4 解析：选C .tan67°30′－1tan 67°30′ ＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( ) A ．m<nB ．m>nC ．mn<1D ．mn>1 解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α，n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin2β，因为0<α<β<π4， 所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sinx 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin2α<sin2β，即m 2<n 2，又m>0，n>0，所以m<n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________． 解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α. 答案：sin α 7．已知tanx ＝2，则tan2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________． 解析：因为tanx ＝2，所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34. 答案：348．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos 2x 2 ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 9．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝14sin2x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －32×1＋cos 2x 2＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，12，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，14， 函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)． 因为A ，D 关于点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)． 此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为102m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400m 2.[B 能力提升]1．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43B.34 C ．－34 D ．－43 解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52， 即3cos 2α＋4sin αcos α＝32， 所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32， 所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13， 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.2．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为__________． 解析：由sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12， 所以()sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝14， 所以2sin αcos α＝34. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22()sin α－cos α ＝－2()sin α＋cos α，而()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝74， 又因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝72， 所以原式＝－142. 答案：－142 3．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin2ωx －cos2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)， 所以ω＝k 2＋13(k ∈Z)． 又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5. (2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5， 则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．4．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝34.。
数学北师大版必修4知识导航：3.3二倍角的三角函数 含
§2 二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π（k ∈Z ）时才成立.②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-. （2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k ∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k ∈Z ）之外，还必须有α≠2kπ（k ∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番. 解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。
高中数学第三章三角恒等变换3.3.1倍角公式课时分层作业含解析北师大版必修4
课时分层作业(二十五) 倍角公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1B [f (x )＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12.] 2．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．－724C ．247D ．－247D [cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.]3．已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．16B ．13C ．12D ．23A [cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.]4．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A ．76B ．32C ．16D ．－16A [原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.]5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A ．－13B ．－79C ．13D ．79B [cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79.] 二、填空题6．2sin 222.5°－1＝________． －22 [原式＝－cos45°＝－22.] 7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________． 116 [原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.]8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 [y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12.] 三、解答题9．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin 2α的值． [解] ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32.10．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．[解] ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.1．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A ．459B ．259C ．－459D ．－259A [令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23，0<α<π，∴sin α＝53. ∴sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459.]2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833C ．4D ．8D [∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos xsin x＝2sin 2x ＋2cos 2x sin x cos x＝4sin 2x， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.] 3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是________．2[∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2.]4．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．－34 [sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α ＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45.又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，所以tan 2α＝－34.]5．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.。
高中数学 3.3.1二倍角的三角函数(一)课时作业 北师大版必修4
高中数学 3.3.1二倍角的三角函数（一）课时作业北师大版必修4一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南昌高一检测)2sin105°cos105°的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.2sin105°cos105°=sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°=-.2.化简:= ( )A.sin4+cos4B.-sin4-cos4C.sin4D.cos4【解析】选B.===|sin4+cos4|,而4∈,有sin4<0,cos4<0,故sin4+cos4<0,即=-sin4-cos4.故选B.【误区警示】本题易对sin4,cos4的符号判断有误,想当然以为sin4>0,cos4>0,导致错选A.3.(2014·汉中高一检测)函数y=1-2cos2x的最小正周期是( )A. B. C.π D.2π【解析】选C.y=1-2cos2x=-cos2x,所以周期T==π.4.(2013·西安高一检测)若=,则tan 2α= ( )A.-B.C.-D.【解题指南】先由已知条件求得tanα,再用倍角公式求得tan 2α.【解析】选B.因为=,所以=,解得tanα=-3, 根据倍角公式得tan 2α=,故选B.5.-的值是( )A.1B.2C.4D.【解析】选C.原式=-===4·=4.6.(2014·安庆高一检测)若θ∈,sin2θ=,则sinθ= ( )A. B. C. D.【解析】选D.由于θ∈,则2θ∈,所以cos2θ<0,sinθ>0.因为sin2θ=,所以cos2θ=-=-=-.又cos2θ=1-2sin2θ,所以sinθ===.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·井冈山高一检测)已知tan(2π+α)=-,则tan2α= .【解析】tan(2π+α)=tanα=-,即tanα=-,所以tan2α===-.答案:-8.(2013·赣州高一检测)设sin=,则sin2θ= .【解析】根据题意,由于sin=,即可知sin cosθ+cos sinθ=,可知sinθ+cosθ=,两边平方可知,1+2sinθcosθ=,可知sin2θ=-.答案:-9.计算:8sin cos cos cos= .【解析】原式=4sin cos cos=2sin cos=sin=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2013·广东高考)已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求f的值.(2)若cosθ=,θ∈,求f.【解析】(1)f=cos=cos=cos=1.(2)f=cos=cos=cos2θ-sin2θ,若cosθ=,θ∈,则sinθ=-,cos2θ=2cos2θ-1=-,sin2θ=2sinθcosθ=-,所以f=cos2θ-sin2θ=.11.(2014·亳州高一检测)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,求的值.【解题指南】根据题意需要将待求式子利用二倍角公式等整理化简,并需要将正弦、余弦转化为正切,然后根据已知条件进行求解.【解析】因为π<2θ<2π,所以<θ<π,所以tanθ<0,因为tan2θ==-2,所以tanθ=-(正值舍去).所以原式====tan===3+2.一、选择题(每小题4分,共16分)1.在△ABC中,cos=,则cos2A= ( )A. B.- C. D.【解析】选A.△ABC中,cos=,则sin=,sin=2sin cos=,cos2A=sin=.2.(2014·西安高一检测)函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为( )A. B. C.π D.2π【解题指南】将y降幂化简为一个角的三角函数后再求周期.【解析】选 B.y=sin4x+cos2x=sin2x(1-cos2x)+cos2x=1-sin2xcos2x=1-sin22x=1-×=+cos4x,所以T==.3.(2013·浙江高考)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α= ( )A. B. C.- D.-【解题指南】由已知条件和sin2α+cos2α=1,联立方程组可求得sinα与cosα的值,从而求得tanα,再利用倍角公式求tan2α.【解析】选C.由解得或所以tanα=-或tanα=3,当tanα=-时,tan2α===-,当tanα=3时,tan2α===-.故选C.4.(2013·重庆高考)4cos 50°-tan 40°= ( )A. B. C. D.2-1【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.4cos 50°-tan 40°=4cos 50°-=========.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·合肥高一检测)已知sin+sin=,则的值为.【解析】因为sin+sin=.所以sinαcos+cosαsin+sinαcos-cosαsin=sinα=,所以sinα=.从而======.答案:6.(2014·宜春高一检测)如图所示的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.【解析】设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则有4×+1=25,所以ab=12.又a2+b2=25,即直角三角形的斜边c=5.解方程组得或所以cosθ=.所以cos 2θ=2cos2θ-1=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·南昌高一检测)已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)由cosα=,0<α<得sinα===, 所以tanα==×=4.于是tan2α===-.(2)由0<β<α<,得0<α-β<.又因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)===.由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,所以β=.8.(2014·江西高考)已知函数f(x)=cos为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈.(1)求a,θ的值.(2)若f=-,α∈,求sin的值.【解题指南】(1)借助诱导公式解决奇函数的问题,再将f=0直接代入即可.(2)先化简解析式,再代入已知条件.【解析】(1)因为y=是偶函数,所以g(x)=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ=,所以f(x)=-(a+2cos2x)sin2x,代入得a=-1.所以a=-1,θ=.(2)f(x)=-(-1+2cos2x)sin2x=-cos2xsin2x=-sin4x,因为f=-,所以sinα=,又α∈,所以cosα=-,sin =×+=.- 11 -。
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1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )
A ．－1
B ．－12 C.12 D ．1
解析：f (x )＝12sin 2x ∈ [－12，12
]． 答案：B
2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13
，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B.79
C.29 D ．－23
解析：∵sin(π2＋α)＝13，∴cos α＝13
. 则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α
＝1－29＝79. 答案：B
3．已知等腰三角形底角的余弦值为23
，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259
C ．－459
D ．－259
解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，
∵cos α＝23
，0<α<π， ∴sin α＝53
. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2×23×53＝459
. 答案：A
4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59
，则sin 2θ等于( ) A.223 B ．－223
C.23 D ．－23
解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2 (sin θcos θ)2＝59
， ∴(sin θcos θ)2＝29
. ∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝23
.
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223
. 答案：A
5．已知α为第二象限角，sin α＝35
，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35
， ∴cos α＝－45.∴tan α＝－34
， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916
＝－247. 答案：－247
6．已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α
＝________. 解析：∵0<α<π2，sin α＝45
， ∴cos α＝35
. ∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1
＝(45)2＋2×45×353×925
－1＝20. 答案：20
7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，π2
)，求sin 2α的值． 解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝12
. 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32
. 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2
＋cos 2A 的值． 解：sin 2
B ＋
C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×(13)2－1＝－19.。