基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档
商人过河问题数学建模
作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。
二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。
每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4. 随从会听从商人的调度。
四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。
数学建模—商人们怎样安全过河
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
•练习
1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下 午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径 下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？
甲
乙
A
B
2 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的 每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直 至比赛结束。问共需进行多少场比赛？
5：30
5：55
车 站 5分钟
6：00 5分钟 共走了25分钟。
相遇
家 早10钟
4 甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发 一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中 间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘 最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有 90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲 乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支 1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价 格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现 象。
数学建模 商人过河
数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。
对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。
对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。
三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。
四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。
用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。
求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
数学建模案例作业
数学建模案例作业作业1 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行（六个人都会划船）。
随从们密谋，无论何时，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的决定权掌握在商人手中。
商人们怎样才能安全渡河？示意图如下： 随从：商人： 一、状态变量一次决策),(k k k y x S = 3,2,1=k 表示第k 次渡河时，此岸的商人数，随从数. 最初 )3,3(0=S 且为整数）3,0(≤≤k k y x)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),0,1(),1,1(),2,1(),3,1(),0,2(),1,2(),2,2(),3,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S要安全过河，需保证彼岸此岸都安全，及随从数不能大于商人数，所以安全的情况有10种，即)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),1,1(),2,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S ② 二、决策变量设),(k k k v u d =2,0(≤≤k k v u 且)21≤+≤k k v u 表示第k 次渡河时，船上的商人数和随从数 )}1,0(),0,1(),2,0(),1,1(),0,2{(=D与状态变量相结合，安全的情况有三种，即 )}1,0(),2,0(),1,1{((=D ③ 三、状态转移方程奇数次（此案到彼岸）k k k d S S -=+1 偶数次（彼岸到此案）k k k d S S +=+1 即k k k k d S S )1(1-+=+ ① 数学建模：由①确定的转移方程下，经过n 次决策，将初始状态转移到最终状态)0,0(=n S . 每次的决策取自③式，每次到达的状态在②中. 图解法：①从右上角移到左下角，每次最多移两步；②奇数次渡河往左下方，偶数次渡河往右下方。
建立平面直角坐标系如图：n S 过河方案：从A 点)3,3(0=S 出发到D 点)0,0(=n S 结束① 小船一次最多能载两人，所以每次最多移动两个格子② 由此岸即彼岸时人员减少，即奇数遍时向左下方行走；有彼岸及此岸时人员增加，即偶数遍时向右上方行走。
数学建模 商人过河
数学建模商人过河(hjh)
问题
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
分析问题
（1）,数据及其关系？（2）如何存储？（3）过程中数据上的操作？
（4）操作过程中需借助什么结构实现？
解答
（1）数据：河两岸的商人数x∈（0，3）和随从人数y∈（0，3）
关系：线性关系
（2）存储：用二维数组来实现。
（3）操作：前进（过河）、后退（返回）
（4）操作过程中需借助栈结构实现
具体分析
此岸商人数与随从人数为C【x】【y】，彼岸商人数与随从人数为B【3-x】【3-y】，C与B数组中x必须大于等于y。
C与B数组中，各个数组中每相邻两个二维数组|x+y|之差不得超过2。
其中过河途中船上人数用数组A表示A【x1】【y1】，返回途中船上人数A【x2】【y2】。
x1，x2，y1，y2=0，1，2。
x1+y1=1或2；y2+x2=1或2。
从此岸来考察，要从最开始的C【3】【3】变到C【0】【0】。
1，C【3】【3】→C【3】【1】，C【3】【1】→C【3】【2】；
2，C【3】【2】→C【3】【0】，C【3】【0】→C【3】【1】；3，C【3】【1】→C【1】【1】，C【1】【1】→C【2】【2】；4，C【2】【2】→C【0】【2】，C【0】【2】→C【0】【3】；5，C【0】【3】→C【0】【1】，C【0】【1】→C【0】【2】；6，C【0】【2】→C【0】【0】。
操作过程中需借助栈结构实现，具体如下图所示：
此岸人数已经全部转移到彼岸，任务圆满完成，商人们安全过河。
数学建模：研究商人过河问题
数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。
二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。
并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。
还应能实现 n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。
从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。
四、实验步骤：第一步：问题分析。
这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
第二步：分析模型的构成。
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。
S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。
允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。
制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。
商人过河问题数学建模c语言
商人过河问题数学建模c语言商人过河问题是一个经典的数学建模问题，通过建立数学模型，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到最优的解决方案。
本文将通过C语言来实现这个问题的数学建模。
一、问题描述假设有n个商人要过河，每艘船只能承载一定数量的货物，而过河需要消耗一定的时间。
为了在最短的时间内完成过河任务，我们需要考虑商人的数量、船只的承载量以及过河的时间等因素，建立相应的数学模型。
二、数学建模1. 变量定义我们需要定义一些变量来描述过河过程中的各种因素，如商人的数量、船只的数量、船只的承载量、过河的时间等。
2. 算法设计算法的核心思想是利用贪心策略，尽可能多地利用船只，以减少过河的时间。
具体步骤如下：(1) 分配船只：根据船只的承载量，将商人分配到不同的船只上；(2) 计算过河时间：根据当前船只的位置和目标河岸的位置，计算每艘船只的过河时间；(3) 更新船只位置：根据过河时间，更新每艘船只的位置；(4) 重复以上步骤，直到所有商人过河。
3. C语言实现以下是一个简单的C语言程序，实现了上述算法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {int n, m, t, i, j, k;scanf("%d%d", &n, &m); // 输入商人数量和船只数量int cargo[n], time[n]; // 定义变量数组，用于存储商人和船只的信息scanf("%d%d", &cargo[0], &time[0]); // 输入第一个商人和他的过河时间for (i = 1; i < n; i++) { // 输入剩余商人和他们的过河时间scanf("%d%d", &cargo[i], &time[i]);}int boat[m]; // 定义船只数组，用于存储船只的承载量和位置信息for (j = 0; j < m; j++) { // 输入船只的承载量和位置信息scanf("%d", &boat[j]);}for (k = 0; k < n; k++) { // 模拟过河过程for (j = 0; j < m; j++) { // 遍历所有船只if (boat[j] >= cargo[k]) { // 如果船只承载量足够承载当前商人time[k] += time[k] / boat[j]; // 根据过河时间和船只速度计算剩余时间boat[j] += cargo[k]; // 将商人转移到指定位置的船只上break; // 如果找到了足够承载商人的船只，跳出当前循环继续下一轮操作}}}printf("%d\n", time[n - 1]); // 输出最后一个商人的过河时间return 0;}```三、总结通过上述C语言程序，我们可以实现商人过河问题的数学建模。
商人们怎样安全过河的数学模型
商人们怎样安全过河的数学模型示例文章篇一：话说啊，商人们遇到了一个棘手的问题：他们得带着随从们一起过河，但随从们可不是省油的灯，一有机会就想着害商人抢货。
这河又不宽不窄，一只小船每次只能载两个人，怎么过河才能确保安全呢？咱们来聊聊这个问题吧。
首先，商人们得明白，随从们人多势众，要是他们比商人多了，那可就危险了。
所以，商人们得想个法子，让随从们没法儿耍花招。
其实啊，这个问题可以变成一个数学模型。
想象一下，我们把每次过河的人都看成是一个状态，就像打游戏一样，每过一次河就是进入了一个新的关卡。
在这个关卡里，商人们得保证自己的人数不能少于随从们。
那具体怎么做呢？咱们得先设定一些规则。
比如说，每次过河的人数只能是两个，这是小船的容量决定的。
然后，商人们得选择让哪些人过河，这就得靠他们的智慧和策略了。
想象一下这个场景：商人们先让两个随从过河，然后一个商人再带一个随从回来。
这样，河对岸的随从人数虽然多了，但商人这边还有足够的人手可以应对。
接下来，两个商人再过河，这样河对岸的商人数就比随从数多了，安全就得到了保障。
然后，再让一个商人带一个随从回来，这样河这边也有足够的商人保护随从不敢造次。
最后，两个随从再过河，问题就解决了。
这个数学模型虽然简单，但却非常实用。
它告诉我们，在面对困难和挑战时，只要我们善于运用智慧和策略，就一定能够找到解决问题的方法。
所以，商人们要想安全过河，就得靠他们的智慧和勇气了。
示例文章篇二：话说啊，有这么一个古老的谜题，叫做“商人过河”。
话说有三名聪明的商人，他们各自带着一个狡猾的随从，准备乘船过河。
这船啊，一次只能载两个人，问题就在于，这些随从们心里都有个小九九，他们密谋着，只要到了河的对岸，随从人数多于商人人数，就立马动手抢货。
这商人们也不是吃素的，他们知道随从们的阴谋，但他们毕竟都是聪明人，于是就想出了一个绝妙的策略。
咱们来想想啊，这过河其实就是一个多步决策的过程。
每次渡河，船上的人员选择都至关重要。
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基于商人过河游戏的数学建模
1提出问题
文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人怎样才能安全渡河呢？”此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一个可行的方案来。
文献[1]中通过图解法给出了解答，但是当商人数与随从数发生变化，船能容纳的人数不是二人时，图解法就会变得繁复而难以解决问题。
因此，将上述游戏改为n名商人各带一个随从过河，船每次至多运p个人，至少要有一个人划船，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人怎样才能安全渡河的问题。
除此之外，考虑了随着船载人数的增多，以及商人与仆人的对数增多到多少时，会影响商人的安全渡河的问题。
2问题分析
由于这个虚拟的游戏已经理想化了，所以不必再作假设。
我们希望能找出这类问题的规律性，建立数学模型，并通过计算机编程进行求解。
安全渡河游戏可以看做是一个多步决策过程，分步优化，船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶回此岸的每一步，都要对船上的商人和随从做出决策，在保证商人安全的前提下，在无限步内使全部人员过河。
用状态表示某一岸的人员状况，决策表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许范围内，确定每一步的决策，最后获取一个全局最优方案的决策方案，达到渡河的目标。
除此以外，我们还要找出，随着船载人数的增加，商人与仆人对数达到多少时，会影响到商人不能安全过河。
这里要对船载人数进行限制，因为船载人数过多时，此智力游戏会变得相当繁复，就会失去作为游戏的本来意义。
3模型构成
记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，，，。
将二维向量定义为过程的状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。
当时，；当时，。
记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量定义为决策。
允许决策集合记为D，由小船容量知。
因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船从彼岸驶向此岸，所以状态sk随决策dk变化的规律是，此式为状态转移率。
制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求，使状态按照状态转移率，由初始状态经无限步r 到达状态。
4模型求解
用C语言编写一段程序，利用计算机求解上述多步决策问题，程序代码见附件。
其算法主要是根据所输入的商人数m，随从数n，小船能载人数p，从s1出发去构造下一个状态s2，再以s2为出发点构造下一个状态，构造过程中避开已构造过的点，如此下去，直到。
若中途受阻不能达到点，就原路退回，去寻找最近被构造的点的其它可行的临近点，如此以往，如果问题有解，算法会在无限步骤内结束，并给出全部路径，否则，算法给出不能安全渡河的结果。
当船载人数为2时，商人与仆人对数增加至4，可得如下两种方案。
方案一：（4，4）-（3，3）-（4，3）-（4，1）-（4，2）-（2，2）-（3，3），接下?砘嶂馗吹诙?步，导致无限循环，商人无法安全过河。
方案二：（4，4）-（4，2）-（4，3）-（4，2），接下来会重复方案一中的第五步，导致无限循环，商人无法安全过河。
在船载人数为2保持不变时，商人与仆人对数的大于3时，在渡河过程中总会出现循环，均无法安全渡河。
通过计算机程序求解，当船载人数为3时，商人与仆人对数的大于5时，在渡河过程中总会出现循环，均无法安全渡河。
5模型的评价
该多步决策模型简单，切合实际，易于理解，建立了科学合理的状态转移模型，结合实际情况对模型进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性。
多步决策不会出现遗漏可能的过河方法，使解题过程更加清撤明了。
由于该算法遍历计算的节点很多，所以求解程序繁复琐碎，效率比较低。
随着船载人数的增多，要想安全过河，能容纳的商人人数也增多，但是这在智力游戏中就会显得相当琐碎，失去了本来的意义，所以我们在这里就不予以讨论了。
6附件
用C程序进行游戏编程，源代码如下：
#include
int a[800][2]，z；
int m，n，p；
int ifok1（int x1，int y1，int x2，int y2）
{
if（x1>=y1 && x2>=y2）return 1；
else if（x2==0）return 1；
else if（x1==0）return 1；
return 0；
}
int ifok2（int n，int x，int y）
{
if（n%2==0）for（int i=0；i=1；i--）for（j=0；j=1），船上可坐人数（p>=2）：”）；scanf（“%d，%d”，&n，&p）；
m=n；
printf（“＼n”）；
fun（m，n，0，0，0）；
if（z==0）
printf（“不能安全xx＼n”）；
}。