关于商人渡河的数学建模
商人过河问题数学建模
作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。
二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。
每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4. 随从会听从商人的调度。
四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。
数学建模—商人们怎样安全过河
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
•练习
1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下 午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径 下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？
甲
乙
A
B
2 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的 每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直 至比赛结束。问共需进行多少场比赛？
5：30
5：55
车 站 5分钟
6：00 5分钟 共走了25分钟。
相遇
家 早10钟
4 甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发 一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中 间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘 最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有 90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲 乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支 1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价 格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现 象。
11对商仆过河问题数学建模.
数学建模论文商仆过河问题摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在11名商人、11名随从、船的最大容量为6人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，利用matlab 7.0，win 7软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
一 .问题的提出当今社会每个人都想当王者，谁都想成为富翁，所以就在这个问题中仆人们也想成为商人。
仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，十一名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳六人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？二. 模型假设3 模型假设（1）每个商人和随从都会划船；（2）只有一条船，且每条船上最多只能乘坐六个人；（3）所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现有人不愿意同坐一条船的现象；（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
三．问题符号说明3符号说明A初始状态下，商人和随从所在的一岸；B初始状态下，商人和随从欲到达的一岸；S 商仆对数K 船最多载人的数目四 .问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
数学建模 商人过河
数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。
对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。
对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。
三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。
四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。
用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。
求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
数学建模：研究商人过河问题
数学建模试验一陈述 【1 】试验标题：研讨商人过河问题一.试验目标：编写一个程序（可所以C,C++或Mathlab ）实现商人安然过河问题.二.试验情形：Turbo c 2.0..Matlab 6.0以上三.试验请求：请求该程序不但能找出一组安然过河的可行筹划,还可以得到所有的安然过河可行筹划.并且该程序具有必定的可扩大性,即不但可以实现3个商人,3个侍从的过河问题.还应能实现n 个商人,n 个侍从的过河问题以及n 个不合对象且每个对象有m 个元素问题(解释：对于3个商人,3个侍从问题分离对应于n=2,m=3)的过河问题.从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安然过河筹划.四.试验步调：第一步：问题剖析.这是一个多步决议计划进程,涉及到每一次船上的人员以及要斟酌此岸和此岸上残剩的商人数和侍从数,在安然的前提下（两岸的侍从数不比商人多）,经有限步使全部人员过河.第二步：剖析模子的组成.记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ,侍从数为k y , 2,1=k ,n y x k k 2,1,=,（具有可扩大性）,将）（k k y x ,界说为状况,状况聚集成为许可状况聚集（S ）.S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ,侍从数为k v ,决议计划为),(k k v u ,安然渡河前提下,决议计划的聚集为许可决议计划聚集.许可决议计划聚集记作D,所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向此岸,k 为偶数时船由此岸驶向此岸,所以状况k s 随决议计划k d 变更的纪律是k k k k d s s )1(1-+=-,此式为状况转移律.制订安然渡河筹划归结为如下的多步决议计划模子：求决议计划)2,1(n k D d k =∈,使状况S s k ∈按照转移律,由初始状况)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模子求解.#include "stdio.h"#include "string.h"#include <memory>#include <stdlib.h>#include <iostream>using namespace std;#include "conio.h"FILE *fp;/*设立文件指针,以便将它用于其他函数中*/struct a{long m,s;struct a *next;};/*数组类型a ：记载各类情形下船上的商人和家丁数,m ：代表商人数 s ：代表家丁数*/ struct a *jj,head;/*head 为头指针的链表单元（船上的人数的各类情形的链表）*/ int n,total=0,js=0;/*total 暗示船上各类情形总数*/struct aim {long m1,s1,m2,s2;int n;struct aim *back,*next;};/*用于树立双向的指针链表,记入相符的情形,m1,s1暗示要过岸的商人数和家丁数;m2,s2暗示过岸了的商人数和家丁数,n暗示往返的次数*/ int k1,k2;void freeit(struct aim *p){struct aim *p1=p;p1=p->back;free(p);if(p1!=NULL)p1->next=NULL;return;}/*释放该单元格,并将其上的单元格的next指针还原*/int determ(struct aim *p){ struct aim *p1=p;if(p->s1>k2)return -1;/*家丁数不克不及超出总家丁数*/if(p->m1>k1)return -1;/*商人数不克不及超出总商人数*/if(p->s2>k2)return -1;/*对岸,同上*/if(p->m2>k1)return -1;/*对岸,同上*/if(p->s1<0)return -1;/*家丁数不克不及为负*/if(p->s2<0)return -1;/*商人数不克不及为负*/if(p->m1<0)return -1;/*对岸,同上*/if(p->m2<0)return -1;/*对岸,同上*/if(p->m1!=0)if(p->s1>p->m1)return -1;if(p->m2!=0)if(p->s2>p->m2)return -1;/*两岸商人数均不克不及小于家丁数*/while(p1!=NULL){p1=p1->back;if(p1!=NULL)if(p1->n%2==p->n%2)if(p1->s1==p->s1)if(p1->s2==p->s2)if(p1->m1==p->m1)if(p1->m2==p->m2)return -1;}/*用于解决反复,算法思惟：即将每次算出的链表单元与以前的比拟较,若反复,则暗示消失轮回*/if(p->s1==0&&p->m1==0)if(p->n%2==0)return 1;else return -1;/*显然假如达到前提就解释ok了*/return 0;}/*断定函数*/int sign(int n){if(n%2==0)return -1;return 1;}/*符号函数*/void copyit(struct aim *p3,struct aim *p){p3->s1=p->s1;p3->s2=p->s2;p3->m1=p->m1;p3->m2=p->m2;p3->n=p->n+1;p3->back=p;p3->next=NULL;}/*复制内容函数,将p中的内容写入p3所指向的链表单元中*/ void print(struct aim *p3){struct aim *p=p3;js++;while(p->back){p=p->back;}printf("\n第%d种办法:\n",js);fprintf(fp,"\n第%d种办法:\n",js);int count=0;while(p){ printf("%ld,%ld::%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2); fprintf(fp,"%ld,%ld::%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2);p=p->next;count++;}cout<<"一共有"<<count<<"步完成"<<endl;}/*打印函数,将p3所指的内容打印出来*/void trans(struct aim *p){struct aim *p3;/*p3为申请的构造体指针*/struct a *fla;int i,j,f;fla=&head;p3=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim));f=sign(p->n);for(i=0;i<total;i++){copyit(p3,p);p3->s1-=fla->m*f;p3->m1-=fla->s*f;p3->s2+=fla->m*f;p3->m2+=fla->s*f;/*运算进程,即过河进程*/ j=determ(p3);/*断定,j记载断定成果*/if(j==-1){if(i<total-1){continue;}else{freeit(p3);break;}}int count1=0;if(j==1){if(i<total-1){print(p3);count1++;continue;}else{print(p3);freeit(p3);break;}//cout<<cout1<<endl;printf("%d",count1);printf("\n");}if(j==0)trans(p3);}return;}/*转移函数,即将人转移过河*//*n=0*/void main(){ struct aim *p,*p1;int j,a,e,f;struct a *flag;/*flag是用与记载头指针*/FILE*fpt;if((fpt=fopen("c:result.dat","w+"))==0){printf("can't creat it\n");exit(0);}fp=fpt;system("cls");printf("问题描写：三个商人各带一个侍从乘船过河,一只划子只能容纳X人,由他们本身荡舟.三个商人窃听到侍从们谋害,在河的随意率性一岸上,只要侍从的人数比上人多,就杀失落商人.但是若何乘船渡河的决议计划权在商人手里,商人们若何安插渡河筹划确保自身安然？\n");printf("\n");p=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim));p->back=NULL;p->next=NULL;p->s2=0;p->m2=0;p->n=1;/*设立初始头指针*/printf("please input the total of people on the board\n");fprintf(fp,"\n请输入船上的人数\n");scanf("%d",&n);fprintf(fp,"\n%d\n",n);flag=&head;for(e=0;e<=n;e++)for(f=0;f<=n;f++)if(e+f>0&&e+f<=n){ total++;jj=(struct a*)malloc(sizeof(struct a));jj->m=e;jj->s=f;flag->next=jj;jj->next=NULL;flag=jj;}/*********************************/printf("please input the total of merchant and salvent as follow: mechant,salvent;\n"); fprintf(fp,"\nplease input the total of merchant and salvent as follow: mechant,salvent;\n"); scanf("%ld,%ld",&p->m1,&p->s1);fprintf(fp,"\n%ld,%ld\n",p->m1,p->s1);/**********************************/k1=p->m1;k2=p->s1;trans(p);fclose(fpt);getch();}第一步：三个商人,三个侍从的模子求解答案为：运行后的成果为：第1 种筹划：(3,3) 到(0,0).(3,1) 到(0,2).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2).(0,2) 到 (3,1).(0,0) 到 (3,3)第2 种筹划：(3,3) 到(0,0).(3,1) 到(0,2).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2).(1,1) 到 (2,2).(0,0) 到 (3,3)第3 种筹划：(3,3) 到(0,0).(2,2) 到(1,1).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2)(.0,2) 到 (3,1).(0,0) 到 (3,3)第4 种筹划：(3,3) 到(0,0).(2,2) 到(1,1).(3,2) 到(0,1).(3,0) 到(0,3).(3,1) 到(0,2).(1,1) 到(2,2).(2,2) 到 (1,1).(0,2) 到 (3,1).(0,3) 到 (3,0).(0,1) 到 (3,2).(1,1) 到 (2,2)(0,0) 到 (3,3)第二步：四个商人三个侍从,其成果为：第1种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第2种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第3种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第4种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第5种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第6种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第7种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第8种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第9种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第10种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第11种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第12种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第13种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第14种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第15种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第16种办法:2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第17种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第18种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第19种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第20种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第21种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第22种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,10,3::4,0 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第23种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 2,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,20,0::4,3 一共有16步完成第24种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第25种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第26种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第27种办法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,10,0::4,3 一共有16步完成第28种办法:4,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第29种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第30种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 2,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,20,0::4,3 一共有16步完成第31种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第32种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第33种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第34种办法:2,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,10,0::4,3 一共有16步完成第35种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第36种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第37种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第38种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第39种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第40种办法:2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第41种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第42种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第43种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第44种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第45种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第46种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第47种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第48种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第49种办法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成。
日常生活中的数学建模
改进模型：
l1: 鱼的有效长度 A1：横截面积
V l1 A 1
l1 l
2 A s 1
W kls
2
W V
数学建模
模型检验
在钓鱼比赛期间收集了有关数据:
第i条鱼 长度li
腰围si
所钓鱼的长度、腰围与重量 cm, g
1 36.83
2 31.75
3
5 32.07
6
7
8 32.07
决策 ~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求 ~ 在商人安全的前提下(两岸的随从数都不比商人多), 经有限步使全体人员过河。
数学建模
模型建立及求解
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; 设 yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态，S ~允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
态转方程，由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0)。
数学建模
模型求解
穷举法 ~ 编程上机 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3 2
y
s1
d1
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} 允许状态 ~ 10个 点
1
d11 0sn+1 1 2 3 x
sk+1=sk+(-1)k dk
~状态转移方程
uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2; vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2, D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
多对商人过河数学建模
多对商仆过河问题12对商人过河——（算法中多少对可以改变，此为N=12的时候，稍加修改便可以成为你需要的对数解决方案）摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在12名商人、12名随从、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，最后利用 dijkstra算法，并利用Microsoft Visual C++ 6.0软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
基于此目的，利用了dijkstra算法，得到最短路径的最优解。
但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。
我们通过对程序的改善，使可以运行比较多的将符合条件的情况列出来。
1 问题重述十二名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？2 问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目的。
此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。
但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
数学建模作业(商人过河问题)
数学建模作业（四）——商人过河问题一．问题描述有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。
试为商人制定一个安全过河的方案。
二．解决方案用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include <stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode-> x=a;newnode-> y=b;newnode-> state=n;newnode-> next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2-> next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop()/*弹栈*/{link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer-> next!=PPointer2)pointer=pointer-> next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2-> next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/ {link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer-> x==a&&pointer-> y==b&&pointer-> state==n)return 0;pointer=pointer-> next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n)/*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a> =0&&b> =0&&a <=3&&b <=3&&c> =0&&d> =0&&c <=3&&d <=3&&a+c==3&&b+d==3){switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a> =b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n)/*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ {/*则判断下一个状态，直至问题解决*/ if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)){if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)){if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)){if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)){if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)){if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf( "%d,%d---%d\n ",pointer-> x,pointer-> y,pointer-> state);pointer=pointer-> next;}getch();}。
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模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2;
建模示例 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 河 一旦随从的人数比商人多,
就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 3名商人
商人们怎样才能安全过河?
3名随从
问题分析 多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河
vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2, dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合 sk+1=sk+(-1)kdk ~状态转移律
多步决 策问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要人
划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一， 而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试 设计一安全过河方案，并使渡河次数尽量 地少。
D={(u , v) u+v=1, 2}
模型求解 穷举法 ~ 编程上机
y
图 解
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
s1
d1
评注和思考
0sn+1 1
Байду номын сангаас
2
3x
规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况