2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第11讲函数(三角函数、数列函数)模型及其应用
2018届高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案)
三角函数与解三角形热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f(x)＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解 因为f(x)＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解 因为0≤x≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝Asin (ωx＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin (ωx＋φ)＋h 或y ＝Acos (ωx＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】 设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx (ω＞0)，且y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3. 因为y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f(x)可转化为y ＝－sin t. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3， 如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.(1)证明在△ABC中，根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0).则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Aksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sin A＝1－cos2A＝45 .由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2 .由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·ADsin A＋12CB·CDsin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围.解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a ＋c)cos B ＋bcos C ＝0，∴cos B(2sin A ＋sin C)＋sin Bcos C ＝0，∴2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＋sin Bcos C ＝0.即2cos Bsin A ＝－sin(B ＋C)＝－sin A.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2.又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6， 因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.。
2018年高考“三角函数”专题解题分析
中国数学教育2018年第7—8期（总第187—188期）№7—8，2018General ，№187—188ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU三角函数是高中数学课程的重要内容，是高中数学的主干知识，不仅在数学方面有着广泛的应用，是解决解析几何、立体几何等问题的常用工具，在其他学科中（如物理等）也有相应的应用.综观近几年的高考数学试题，研究分析后不难发现，三角函数的考查在内容、题量和分值等方面继续保持稳定，历来是高考的重点和热点之一，题型有选择题、填空题和解答题，难度通常不大，一般属于中档题.近几年的三角函数高考试题中还增加了现实生活及科技发展的相关内容，能较好地考查学生的数学核心素养.在高中数学教材中，三角函数知识基本上由三部分构成，即三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形.主要内容包括：任意角三角函数的定义、同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等.下面通过对2018年部分高考试题的解答与分析，将三角函数的知识和方法进行归纳、总结，研究三角函数的命题原则、导向和侧重点，明确考查方向，梳理出相应的解题规律与方法，对高考中该考点的复习备考提出合理的建议，以供参考与借鉴.一、试题分析1.三角函数的图象与性质三角函数是一类基本初等函数，是研究周期性现象的数学模型，高中阶段通过研究基本初等函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象与性质，让学生感受到周期性的数学现象与本质，再通过对函数y =A sin ()ωx +φ的图象与性质的研究，强化图象变换和研究三角函数的整体代换的思想方法.近几年高考加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此它是高考的重点和难点.常考点为单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换、零点等，要充分运用数形结合思想，让图象与性质有机结合，相辅相成.（1）三角函数的图象与性质.例1（全国Ⅲ卷·理15）设函数f ()x =cos æèöø3x +π6在[]0，π的零点个数为.答案：3.【评析】此题考查了三角函数的零点，属于三角函数的图象和性质的常考点，这类问题通常的处理方法收稿日期：2018—07—22作者简介：张岩（1977—），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.2018年高考“三角函数”专题解题分析张摘要：通过对2018年高考试题中有关三角函数的试题的归类解析，突出在高考中三角函数部分考查的几个侧重点.在此基础上，进一步总结解决三角函数问题的一般思想方法和通解、通法，并给出在高中阶段三角函数知识的教学建议和高考复习建议．关键词：2018年高考；三角函数；试题分析；思想方法分析；复习建议··40是先得出问题的通解，再结合给定区间进行对照判断.根据余弦函数的性质，当x =k π+π2()k ∈Z 时，有f ()x =cos x =0，所以当3x +π6=k π+π2()k ∈Z 时，有f ()x =cos æèöø3x +π6=0.因为x ∈[]0，π，所以3x +π6∈éëùûπ6，19π6，所以当3x +π6取值为π2，3π2，5π2时，f ()x =0，函数f ()x =cos æèöø3x +π6在[]0，π内的零点个数为3.（2）三角函数的图象变换.例2（天津卷·理6）将函数y =sin æèöø2x +π5的图象向右平移π10个单位长度，所得的图象对应的函数（）.（A ）在区间éëùû3π4，5π4上单调递增（B ）在区间éëùû3π4，π上单调递减（C ）在区间éëùû5π4，3π2上单调递增（D ）在区间éëùû3π2，2π上单调递减答案：A.【评析】此题的考点为三角函数的图象变换及性质.三角函数的图象变换，有两种情况：一是先伸缩再平移；二是先平移再伸缩.特别地，注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出.对称变换要注意翻折的方向.三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.该题中先求出平移后的函数解析式，再根据正弦型函数的单调性进行判断.（3）三角函数的图象与解析式.例3（北京卷·理11）设函数f ()x =cos æèöøωx -π6()ω>0.若f ()x ≤f æèöøπ4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为.答案：23.【评析】此题主要考查借助三角函数的图象与性质确定f ()x =A cos ()ωx +φ()ω>0中参数的值的问题.而参数ω与周期相关，其最小正周期T =2π||ω，所以通常从周期入手求解ω的值.对于此题，应该把恒成立问题先转化为函数的最值问题，再解三角方程求ω的最小正值，即若f ()x ≤f æèöøπ4对任意的实数x 都成立，当x =π4时，f ()x 取得最大值，即f æèöøπ4=cos æèöøπ4ω-π6=1.所以π4ω-π6=2k π，k ∈Z .所以ω=8k +23，k ∈Z .因为ω>0，所以k =0时，ω取最小值23.2.三角恒等变换三角恒等变换主要是指应用各种三角公式，如两角和差的正弦公式、余弦公式、正切公式、二倍角公式、辅助角公式等对三角函数式进行变形与转化.在三角函数式的恒等变形中，要注意角的变换和函数的交换，其中涉及一定的运算量，在运算中要注意运算的目的性与合理性.平时练习做好积累，总结常见规律和技巧，才能从容应对，熟能生巧.例4（全国Ⅱ卷·文15）若tan æèöøα-5π4=15，则tan α=.解：根据正切的和角公式，可得tan æèöøα-5π4=tan æèöøα-π4=tan α-11+tan α=15.解得tan α=32.【评析】江苏卷第16题和例4都是给定某角的三角函数值，求其他角的三角函数值的问题.研究三角函数式的求值问题常见的有三种，给值求值、给角求值、给值求角，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.3.解三角形解三角形主要是指从正弦定理、余弦定理公式出发，结合面积公式及三角形的相关结论，灵活求解三角形的边角问题以及三角形中的边角互化、判断三角形形状等问题.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，常见三角变形方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角，统一函数，统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.例5（全国Ⅲ卷·文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24，··41则C 的值为（）.（A ）π2（B ）π3（C ）π4（D ）π6解：因为△ABC 的面积为S =12ab sin C =a 2+b 2-c 24=2ab cos C 4=12ab cos C ，所以sin C =cos C ，即tan C =1.因为C ∈()0，π，所以C =π4.故选C.【评析】此题主要考查余弦定理和三角形的面积公式.根据余弦定理和三角形的面积公式求得角C 的正切值，进而得到角C 的大小.例6（天津卷·文16/理15）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A =a cos æèöøB -π6.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin ()2A -B 的值.解：（1）在△ABC 中，根据正弦定理，得到a sin A =b sin B，可得b sin A =a sin B.由b sin A =a cos æèöøB -π6，得a sin B =a cos æèöøB -π6，即sin B =cos æèöøB -π6.所以tan B =3.又因为B ∈()0，π，所以B =π3.（2）在△ABC 中，根据余弦定理，以及a =2，c =3，B =π3，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =7，即b =7.由b sin A =a cos æèöøB -π6，得sin A =37因为a <c ，所以cos A =27.因此sin 2A =2sin A cos A cos 2A =2cos 2A -1=17.所以sin ()2A -B=sin 2A cos B -cos 2A sin B =12-17×.【评析】利用三角恒等变换对所给的条件进行转化，一定要注意待求与已知之间的关系.例如，第（1）小题中要求的是角B 的大小，则应由已知条件，再结合正弦定理、两角和差公式推出tan B =3，即可求角B 的值；而在第（2）小题中，由a ，c 及角B 的值，可以利用余弦定理求出b 的值，再由已知等式得出角A 的正弦值、余弦值，最后利用二倍角公式及两角差的正弦公式求出sin ()2A -B 的值.4.三角函数的综合应用近几年的高考试题中，三角内容的题型呈现出单一、综合考查两种形式.一类是三角函数图象与性质、三角函数恒等变换、解三角形之间的综合；另一类是将三角函数知识与平面向量、函数零点、不等式求最值、方程的根等问题相结合，有时也会以解三角形为背景，以应用题的形式呈现.（1）三角函数的图象与性质、三角函数恒等变换、解三角形之间的综合.例7（北京卷·文16）已知函数f ()x =sin 2x +3sin x cos x .（1）求f ()x 的最小正周期；（2）若f ()x 在区间éëùû-π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.解：（1）f ()x =sin 2x +3sin xcos x=12-12cos 2x 2x=sin æèöø2x -π6+12，所以f ()x 的最小正周期为T =2π2=π.（2）由（1）知，f ()x =sin æèöø2x -π6+12.由题意，知-π3≤x ≤m .所以-5π6≤2x -π6≤2m -π6.要使得f ()x 在区间éëùû-π3，m 上的最大值为32，即sin æèöø2x -π6在区间éëùû-π3，m 上的最大值为1.所以2m -π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.【评析】此题是三角恒等变换与三角函数性质的综合题，涉及到二倍角公式、辅助角公式、三角函数的··42周期性、最值的逆向问题，经分析判断后解不等式求得结果.（2）三角函数与其他知识的综合.例8（全国Ⅰ卷·理16）已知函数f ()x =2sin x +sin 2x ，则f的最小值是.答案:.【评析】这是较复杂的三角函数，研究函数的性质，可以借助导数的方法求函数的最值，即先对f ()x 进行求导，确定函数f ()x 的单调性，再求函数f ()x 的最小值.f ′()x =2cos x +2cos 2x =2cos x +2()2cos 2x -1=2()2cos x -1()cos x +1.因为cos x +1≥0，所以cos x <12时，f ′()x <0，f ()x 单调递减；cos x >12时，f ′()x >0，f ()x 单调递增.所以cos x =12时，f ()x 有最小值，即sin x =时，f ()x 有最小值，最小值为.借助导数解决三角函数的最值问题，显得尤其便捷，也显示了导数的工具作用，以及三角函数与其他知识点的结合交会.同时，在三角函数的应用题中也可以发挥其优势.例如，2018年江苏卷的第17题，也不乏是一道利用三角函数的导数来处理最值问题的典型题目，只是对于实际问题，学生往往会忽视定义域的求解或不会求定义域.二、解法分析数学教学中不仅要让学生记住一些数学的基础知识、掌握基本技能，而且要让学生感悟数学思想，积累数学经验和实践经验，提升学生的数学核心素养.在研究三角函数的问题时，常用到如下几种数学思想方法.1.转化变换的思想（1）角的变换.利用角的变换求三角函数值的两种常用策略为：当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.所以，牢记公式、思维转换、多加练习是解题的关键.例9（浙江卷·18）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P æèöø-35，-45.（1）求sin ()α+π的值；（2）若角β满足sin ()α+β=513，求cos β的值.解：（1）由角α的终边过点P æèöø-35，-45，得sin α=-45.所以sin ()α+π=-sin α=45.（2）由角α的终边过点P æèöø-35，-45，得cos α=-35.由sin ()α+β=513，得cos ()α+β=±1213.由β=()α+β-α，得cos β=cos ()α+βcos α+sin ()α+βsin α.所以cos β=-5665或cos β=1665.【评析】该题考查了诱导公式、余弦的和差公式.第（1）小题中角α的终边过点P ，求得sin α，再利用诱导公式sin ()α+π=-sin α求得答案.第（2）小题由角α的终边过点P ，可知α的正弦值和余弦值.再由角的变换β=()α+β-α，根据和差公式求得cos β的值.这也是三角恒等变换中最常用的变换.（2）函数名称的变换.三角函数式化简要遵循“三看”原则：一看角，合理拆分；二看名称，根据名称差异，选择公式，常见的“切化弦”，化异名为同名；三看结构特征.例10（江苏卷·16）已知α，β为锐角，tan α=43，cos ()α+β=（1）求cos 2α的值；（2）求tan ()α-β的值.解：（1）因为tan α=43，tan α=sin αcos α，所以sin α=43cos α.因为sin 2α+cos 2α=1，··43所以cos 2α=925.因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.（2）因为α，β为锐角，所以α+β∈()0，π.又因为cos ()α+β=，所以sin ()α+β=1-cos 2()α+β.因此tan ()α+β=-2.因为tan α=43，所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247.因此tan ()α-β=tan []2α-()α+β=tan 2α-tan ()α+β1+tan 2αtan ()α+β=-211.【评析】该题考查了同角三角函数的关系式、两角和（差）的正切公式和二倍角公式.其中，用到了切化弦，函数名称的变化，以及角的变换tan ()α-β=tan []2α-()α+β，根据和差公式求得tan ()α-β的值.（3）式子结构的变换.变换中通常分析式子的结构特征，找到变形的方向，常见的有“整式因式分解”“遇到分式要通分”“二次式配方”等，“次降角升”和“次升角降”是变换的基本规律.有时还要对一些常数做变换.例如，1=cos 2α+sin 2α=tan 45°=sin 90°.例11（全国Ⅰ卷·文16）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为.解：因为b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，所以sin B sin C +sin C sin B =4sin A sin B sin C .又因为sin C sin B >0，所以sin A =12.由余弦定理，得cos A =b 2+c 2-a 22bc =82bc =4bc>0.所以cos A =bc =4cos A .所以S △ABC =12bc sin A =.【评析】此题是解三角形与三角恒等变换综合题，是近几年高考的重点和热点，关键熟练运用三角公式进行变换，实现简化的目标，求出结果. 2.方程的思想函数与方程思想是高中数学四大数学思想方法之一，而三角公式本身就是等式，因此应用方程思想进行变形是常用手段.可以根据式子特征通过构造对偶式、等式来创造使用公式的条件.例12（全国Ⅱ卷·理15）已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin ()α+β的值为.解：因为sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，两式平方相加，得1+2()sin αcos β+cos αsin β+1=1.所以sin αcos β+cos αsin β=-12.所以sin ()α+β=-12.【评析】此题是考查三角恒等变换的综合题，关键在于两式平方，构造方程组，相加后变换出所求目标.3.数形结合思想数形结合思想也是高中数学四大数学思想方法之一，三角函数兼具有代数与几何的特征，又重点研究了基本初等函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象和性质，以及函数y =A sin ()ωx +φ的一些基本性质.近几年来，大部分三角函数试题都与三角函数的图象有关，而且题目的思维要求越来越高.函数的不等式、三角函数的最值问题、对称问题、周期问题，都与三角函数的图象有关.所以在解题时，要善于结合图象分析问题.在解三角形问题中，还要关注与平面几何结合的问题，充分数形结合，进行化简与求值.例如，北京卷文科第7题，北京卷理科第15题，全国Ⅰ卷理科第17题.三、试题解法欣赏例13（江苏卷·13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为.解法1：因为S △ABC =S △ABD +S △BCD ，如图1所示.DCBA图1··44所以12ac sin120°=12c sin60°+12a sin60°.所以ac=c+a，得1a+1c=1.所以4a+c=()4a+cæèöø1a+1c=c a+4a c+5≥5=9.当且仅当ca=4a c，即c=2a时，取等号.解法2：以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示.图2则D()1，0，Aæèçöø÷c2，，Cæèçöø÷a2，.又因为A，D，C三点共线，所以c2-13=a2-13.所以ac=c+a.以下同解法1.【评析】此题考查解三角形和最值问题，关键在于构造方程，找出a，c的关系式，利用基本不等式进行求解.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］2017年高考“三角函数”专题解题分析［J］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：44-52.考依据的是考试大纲和考试说明，它对考试性质、考试要求、考试形式，以及试题结构等都给出了明确的阐述.这些都是实施有效复习的原则，也是试题命制的根据.要取得两者的双丰收，教师就应该认真研究，比较差异，吃透精神，明确方向，对每个知识点做到心中有数（高中学业水平考试和高考分别考什么、怎么考，应该掌握到什么程度等），这样才可以避免复习教学事倍功半.在高中学业水平考试的复习中，对知识点特别是重点、难点、热点、冷点都进行了梳理和细化，尤其是通过专门的训练巩固了基础，提高了速度，给同步进行着的高考复习带来了莫大的帮助.在当今高考试卷起点普遍下调的背景下，狠抓高中学业水平考试，就是紧抓高考.教师要两种复习相向而行，在抓高中学业水平考试中提高“两率”——准确率和解题速率，为高考复习奠定坚实的基础，提供坚强的保证. 4.抓两头，促中间数学学困生往往只能套用公式、死记硬背，思维常停留在认知阶段；中等生虽然注重方法，但还不善于转化；优等生具有见徽知著的联想本领.会自觉进行接近性、相似性和对比性联想.事实上，联想能力的高低决定数学学习的成败.另外，优等生还储存有许许多多“知识块”和“方法块”，一旦遇到数学问题就会迅速把握住其中熟悉的成分和因素，将难题肢解、组合、转换，从而迅速得出解答；一般学生缺乏这样的思考本领，在一定程度上呈现出思维的呆板性.教学实践表明，块状思维的水平影响学生学习能力的发展.要想实现抓两头、促中间，教师就要打造优质课堂，着眼“大面积提高”，开展数学学习的“扶贫工程”.优质的课堂，既要注重广度，又要挖掘深度，既要关注学生的“面”，也要照顾学生的“片”，应使各个层次的学生都学有所得，学有所长，学有所进.优质的课堂，既不是解题失败者“忏悔”的场所，也不是解题成功者“表演”的舞台，应该让数学学困生感到“暗中有光”，中等生感觉“对中有优”，优等生感叹“山外有山”.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］朱恒元.数学课堂教学的“准、实、活”［J］.中国数学教育（高中版），2012（1/2）：29-31.（上接第8页）··45。
高中数学求三角函数解析式方法总结超全面(必刷题)
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
2018高考数学解题技巧三角函数
2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=-+θθθθθθθθθθ； 函数的定义域问题例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
例3、求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
人教版2018最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案Word版
的，而
3
决． 解 析： 由 0
1 2sin x cos x ，换元解
x
3
，令 t
sin x
cos x
2 sin( x
4
), 而
4
x
7 4 12
，得
1 t
又t
2
2．
1 2sin x cos x ，得 sin x cos x
2
t
2
1 2
，
得 y
t
t
1 2
1 2
( t 1)
2
1 ，有 1 0
y
2
( 2)
2
即 x
（ 2） f ( x ) 故当 2 x
4
8sin(2 x (k
2
6
)
4，
6
2
k a
2
6
Z ) 时，函数 f x 取得最大值为 12 ．
是三角函数中的一个重要公式， 它在
点评： 结论 a sin 解决三角函数的图象、 点内容．
b cos
b sin
单调性、 最值、 周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，
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高考三角函数重点题型解析及常见试题
三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值） 用，平面向量的基本问题及其应用．
( 附参考答案 )
，
三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值） ，三角函数模型的应用，正余弦定理及其应 其主要方法是利用正余
B
10） 函数
y
tan x sin x
tan x sin x 在区间 (
2
,
【精品】2018届高考数学(理)热点题型：数列(含答案解析)
数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x 的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n.(2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
2018年高中数学三角函数与解三角形
2018年高中数学三角函数与解三角形一．解答题（共40小题，满分429分）1．（11分）在△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．（1）求角B的值；（2）求b=，a+c=5，求△ABC的面积．2．（11分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．3．（11分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A．（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．4．（11分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．5．（11分）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，csinC﹣asinA=（c﹣b）sinB．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=1，求三角形ABC面积S的最大值．6．（11分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．7．（11分）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC ﹣c=2b．（1）求角A的大小；（2）若∠ABC=，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．8．（11分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bsin（C+）=a+c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC=2，求a的值．9．（11分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若，且锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，△ABC的外接圆半径是，求△ABC的面积．10．（11分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．11．（11分）已知=（p，cosx），=（sinx，3），凼数f（x）=•．=，（1）若凼数g（x）=f（x）﹣q（q为常数）相邻两个零点的横坐标分别为x1=，则求q的值以及凼数f（x）在（﹣，）上的值域；x2（2）在（1）的条件下，在△ABC中，满足f（B）=6，且AC=1，+=，求||的最大值．12．（11分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．13．（11分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．14．（11分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．15．（11分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的取值范围．16．（11分）设向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．17．（11分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，x∈[，]．（1）求f（x）的最大值和最小值；（2）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．（3）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，求直线y=2+与函数y=f（x）+g（x）的图象在（﹣π，π）内所有交点的坐标．18．（11分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．19．（11分）如图所示，图象为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式．（2）已知g（α）=f（α﹣）+f（α），且tanα=，求g（α）的值．20．（11分）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且其图象经过点（，0）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（+），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=，求g（α﹣β）的值．21．（11分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．22．（11分）已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos，直线x=t（t∈R）．与函数f（x），g（x）的图象分别交于M、N两点．（1）当时，求|MN|的值；（2）求|MN|在时的最大值．23．（11分）已知函数f（x）=sin2x+•cosx+tanθ﹣，其中x∈[0，]，θ∈[0，]（1）若时，求f（x）的最大值及相应的x的值；（2）是否存在实数θ，使得函数f（x）最大值是？若存在，求出对应的θ值；若不存在，试说明理由．24．（11分）已知函数f（x）=sin2x+2λcosx﹣1，．（1）当λ=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若f（x）的最大值是，求实数λ的值．25．（11分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围．26．（11分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，1），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（）．（1）求m的值；（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调递增区间．27．（11分）已知向量=（sin，1），，记f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．28．设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．29．（11分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知absinC=20sinB，a2+c2=41，且8cosB=1．（1）求b；（2）证明：△ABC的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍．30．（11分）△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求sin（A+B）+sinAcosA+cos（A﹣B）的最大值；（2）若，当△ABC的面积最大时，△ABC的周长；31．（11分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC 的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．32．（11分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=acos2B+bcosAcosB．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若，且△ABC的周长为5，求△ABC的面积．33．（11分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．34．（11分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．35．（11分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．36．（11分）已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，n∈R）在区间[0，]上的值域为[1，2]．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f （A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．37．（11分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．38．（11分）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=ksin（x﹣），（k≠0）．（1）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π]上有两解；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围？39．（11分）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b （1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．40．（11分）已知函数f（x）=sin2x+acosx+a，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（2）如果对于区间上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．2018年高中数学三角函数与解三角形参考答案与试题解析一．解答题（共40小题，满分429分）1．【解答】解：（1）△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．则：2cos2B+cosB+1=0整理得：（2cosB﹣1）（cosB+1）=0解得：cosB=（﹣1舍去）．则：B=．（2）利用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，由于：b=，a+c=5，解得：ac=6．所以：．2．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=2cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．3．【解答】解：（1）由a=2csin A及正弦定理得，==．因为sin A≠0，所以sin C=．因为△ABC是锐角三角形，所以C=．（2）因为c=，C=，由面积公式得：absin=，即ab=6．（i）由余弦定理得，a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7．（ii）由（ii）变形得（a+b）2=3ab+7．（iii）将（i）代入（iii），得（a+b）2=25，可得：a+b=5．4．【解答】解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．（II）∵a=2，A=．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：b2+c2=4+bc．∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号．解得：bc≤2（2+）那么三角形面积S=bcsinA≤=．5．【解答】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简csinC﹣asinA=（c﹣b）sinB．得：c2+b2﹣bc=a2，即c2+b2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===∵A为三角形内角，∴A=30°．（Ⅱ）由（1）可得c2+b2﹣1=bc，∴2bc﹣1≤bc，当且仅当b=c时取等号，∴bc≤=2+∴S=bcsinA=bc≤△ABC∴三角形ABC面积S的最大值．6．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．7．【解答】解：由2acosC﹣c=2b．正弦定理，可得2sinAcosC﹣sinC=2sinB即2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）可得：﹣sinC=2cosAsinC、sinC≠0∴cosA=，A∈（0，π）则A=．（2）由（1）可知A=．∠ABC=∴C=则AC=AB．设AD=x，则AB=2x，在△ABD中利用余弦定理：可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA．即7x2=35，可得x=，故得△ABC的面积S=×=．8．【解答】解：（I）∵2bsin（C+）=a+c，∴b（sinC+cosC）=a+c，即bsinC+bcosC=a+c，∴sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC ∴sinBsinC=cosBsinC+sinC，∵sinC≠0，∴sinB=cosB+1，两边平方得：3sin2B=cos2B+1+2cosB，∴2cos2B+cosB﹣1=0，解得cosB=或﹣1，∵0＜B＜π，∴B=．（II）BM=CM=，在△ABC中，由余弦定理得：cosB=，即，∴a2+c2﹣4=ac，在△ABM中，由余弦定理得：cosB==，即，∴．∴联立方程组，解得a=．9．【解答】解：（1）函数．=sin2x﹣，=2sin（2x﹣），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）由于：，故：，所以：，锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，△ABC的外接圆半径是，所以：令b=2，c=，则利用正弦定理：解得：sinB=，sinC=，故：cosB=，cosC=．则：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．所以：．10．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．=，∵，故：f（x）的最大值为：2．要使f（x）取最大值，，即：（k∈Z），解得：（k∈Z），则x的集合为：（k∈Z），（2）由题意，，即：，又∵0＜A＜π，∴，∴，∴．在△ABC中，b+c=2，，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣bc，由于：=1，所以：当b=c=1时，等号成立．则：a2≥4﹣1=3，即：．则a的最小值为．11．【解答】解：（1）由=（p，cosx），=（sinx，3），函数f（x）=•=psinx+3cosx，g（x）=psinx+3cosx﹣q，由题意可得psin+3cos=q，psin+3cos=q，两式相减可得，p===3．q=3sin+3cos=6sin（+）=6sin=3，则有f（x）=3sinx+3cosx=6（sinx+cosx）=6sin（x+），由x∈（﹣，），x+∈（﹣，），则sin（x+）∈（﹣，1]，f（x）∈（﹣3，6]则值域为（﹣3，6]；（2）f（B）=6sin（B+）=6，（0＜B＜π），则B=，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=1，即a2+c2=1+ac，由于a2+c2≥2ac，则ac≤1，当且仅当a=c=1取得等号，由+=，则M为AC的中点，则=（+），||2=（++2•）=（c2+a2+2accos）=（1+2ac）≤，即有||≤．当△ABC为等边三角形时，||取得最大值，且为．12．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣13．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．14．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）15．【解答】解：（Ⅰ）函数=+sinωxcosωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）+（ω＞0），∴f（x）的最小正周期为T==π，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣）+，当x∈[0，]时，2x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴sin（2x﹣）+∈[0，]；∴函数f（x）在区间上的取值范围是[0，]．16．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：==所以最小正周期．（Ⅱ）（将函数y=sinx 的图象向左平移单位得到函数的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的得到函数的图象，最后再向上平移个单位得到就可得到函数的图象．（Ⅲ）由，可得．所以．由，所以．又因为函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，所以m=2．所以函数g（x）的最大值为．当时，即x=时，函数g（x）取得最大值．17．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∵x∈[，]．∴2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈[，1]，∴当2x﹣=时，函数取得最小值为2，当2x﹣=时，函数取得最大值为3．（2）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，即＜sin（2x ﹣）＜在x∈[，]上恒成立，∴＜，且＞1，由此求得m＞1，或 m＜4，由此求得实数m的取值范围为{m|m＞1，或 m＜4}．（3）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]+1=2sin（2x﹣﹣）+1=﹣2cos（2x﹣）+1 的图象，故y=f（x）+g（x）=2sin（2x﹣）+1+﹣2cos（2x﹣）+1=2+2sin（2x ﹣﹣）=2+2sin（2x﹣）=2﹣2cos（2x﹣）．再根据x∈（﹣π，π），可得 2x﹣∈（﹣2π﹣，2π﹣）．由y=2+=f（x）+g（x），求得cos（2x﹣）=﹣1，求得2x﹣=﹣π或2x ﹣=π，即x=﹣，或x=．故直线y=2+与函数y=f（x）+g（x）的图象在（﹣π，π）内所有交点的坐标分别为（﹣，2+），（，2+）．18．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．19．【解答】解：（1）由图象知，A=1，，∴T=π∴，又函数的图象经过（），∴0=sin[2×+φ]，∵|φ|．∴，解得∴…（6分）（2）∵∴===2sin2α…（10分）．∵∴，∴…（12分）20．【解答】解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以=π，解得ω=2．所以f（x）=3sin（2x+φ）．因为函数f（x）的图象经过点，所以3sin=0，得=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z．由，得φ=．所以函数f（x）的解析式为f（x）=3sin．（2）依题意有g（x）=3sin==3cosx．由g（α）=3cosα=1，得cosα=，由g（β）=3cosβ=，得cosβ=．因为α，β∈（0，π），所以sinα=，sinβ=．所以g（α﹣β）=3cos（α﹣β）=3（cosαcosβ+sinαsinβ）=3×=．21．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为22．【解答】解：（1）将代入函数f（x）、g（x）中得到∵==（2）∵==∵，∴|MN|的最大值为．23．【解答】解：（1）f（x）=1﹣cos2x+3cosx+﹣=﹣+，=…5分当cosx=1，即x=0时，f（x）max（2）f（x）=﹣++﹣，当0≤x≤时，0≤cosx≤1，令a=，则a∈[0，]…7分f（x）=﹣（cosx﹣a）2+a2+﹣，若≥a＞1时，则当cosx=1时，f（x）max=2a+﹣=﹣，⇒a=＜1，∴此时不成立…10分当0≤a≤1时，则当cosx=a时，f（x）max=a2+﹣=﹣⇒a=或a=﹣（舍去）．即=，即tanθ=，∴θ=综合上述知，存在符合题设．…（13分）24．【解答】解：（1）λ=1时，f（x）=sin2x+2cosx﹣1=﹣cos2x+2cosx；令t=cosx，∵，∴0≤t≤1；∴y=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1；∴当t=0时，ymin =0，当t=1时，ymax=1；∴函数y=f（x）的值域为[0，1]；（2）f（x）=sin2x+2λcosx﹣1=﹣cos2x+2λcosx=﹣（cosx﹣λ）2+λ2①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最大值0，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最大值λ2；由已知得λ2=，解得；③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最大值﹣1+2λ；由已知得﹣1+2，解得，这与λ＞1相矛盾；综上所述，．25．【解答】解：（Ⅰ）∵=．又∵，∴，即，∴f（x）max =3，f（x）min=2．（Ⅱ）∵|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，，∴m＞f（x）max ﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．26．【解答】解：（1）∵已知，又∵f（x）过点，∴，解得：．（2）由以上可得，，把f（x）的图象向左左移ϕ个单位后，得到．设g（x）的图象上符合题意的最高点为（x0，2），∵，解得x=0，∴g（0）=2，解得，∴，∴﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈z，∴f（x）的单调增区间为．27．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）==cos+cos2=sin+cos+=sin（）+，由2kπ﹣≤≤2kπ+，k∈Z，解得：4kπ﹣≤x≤4kπ+，k ∈Z，函数f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z，（6分）（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，所以：2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，所以：2sinAcosB=sin（B+C），因为：A+B+C=π，所以：sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，所以：cosB=，又0，所以：B=，则A+C=，A=﹣C，又0，则，得，所以：＜sin（A+）≤1，又因为f（2A）=sin（A+）+，故函数f（2A）的取值范围是（，]．…（12分）28．【解答】解：（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．故sinB=．因△ABC为锐角三角形，故B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，∴＜A+＜，故＜sin＜，＜＜．故cosA+sinC的取值范围是．29．【解答】（1）解：∵absinC=20sinB，∴abc=20b，即ac=20，则=．（2）证明：∵ac=20，a2+c2=41，∴a=4，c=5或a=5，c=4．若a=4，c=5，则，∴cosB=2cos2A﹣1=cos2A，∴B=2A．若a=5，c=4，同理可得B=2C．故△ABC的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍．30．【解答】解：（1）由得：，a=bcosC+csinB，即sinA=sinBcosC+sinCsinB，∴cosB=sinB，∴；由，令t=sinA+cosA，原式=，当且仅当时，上式的最大值为．（2）∵，即，当且仅当等号成立；∴，∴周长．31．【解答】解：（I）∵tanA+tanB=（tanAtanB﹣1），∴tan（A+B）==﹣，∴A+B=，从而C=．（7分）（II）由S==，C=得ab=6，△ABC又cosC==，c=，∴a+b=．（14分）32．【解答】解：（1）证明：根据正弦定理，由bcosC=acos2B+bcosAcosB可得sinBcosC=sinAcos2B+sinBcosAcosB=cosB•（sinAcosB+sinBcosA）=cosBsin（A+B），即sinBcosC=cosBsinC，故sin（B﹣C）=0，由B，C∈（0，π）得B﹣C∈（﹣π，π），故B=C，所以△ABC是等腰三角形；（2）由（1）知b=c，．又因为△ABC的周长为a+b+c=5a=5，得a=1，b=2．故△ABC的面积．33．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．34．【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积35．【解答】解：（1）由于a2+b2=6abcosC，由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC，即cosC=，又sin2C=2sinAsinB，则由正弦定理得c2=2ab，所以cosC===，因为C∈（0，π），所以C=；（2）f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），由f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，即有T==π得，ω=2，则f（A）=2sin（2A﹣），由于C=，且sin2C=2sinAsinB，所以2sinAsin（﹣A）=，整理得sin（2A﹣）=．因为0＜A＜，所以﹣＜2A﹣＜，所以cos（2A﹣）=．f（A）=2sin（2A﹣）=2sin（2A﹣﹣）=2[sin（2A﹣）•﹣cos（2A﹣）•]则①f（A）=2（×﹣×）=，②f（A=2（×+×）=，故f（A）的取值范围是{，}．36．【解答】解：（Ⅰ）===，当时，，则．由题意知m≠0，①若m＞0，则，解得m=2，n=﹣1，则，由（k∈Z），得函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z．②若m＜0，则，解得m=﹣2，n=4．则，由（k∈Z），故函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z；（Ⅱ）当m＞0时，由，所以．因为sinB=4sin（π﹣C），所以sinB=4sinC，则b=4c，又△ABC面积为，所以，即bc=4，所以b=4，c=1，则，所以．37．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．38．【解答】解：（1）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在[0，2π]上有两解，令sinx=t，则2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5﹣a）（1﹣a）＜0或△=0∴a∈（1，5）或a=②当t=﹣1时，x有唯一解x=π；③当t=1时，x有唯一解x=，故a∈（1，5）或a=（2）当x1∈[0，3]时，f（x1）值域为[]，当x2∈[0，3]时，x2﹣∈[﹣，3﹣]，有sin（x2﹣）∈[﹣，1]①当k＞0时，g（x2）值域为[﹣，k]②当k＜0时，g（x2）值域为[k，﹣]而依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集∴或∴k≥10或k≤﹣20．39．【解答】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b 在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．40．【解答】解：（1）当a=1时，，∵cosx∈[﹣1，1]，∴当，即时，．（2）依题得 sin2x+acosx+a≤1，即sin2x+a（cosx+1）≤1对任意恒成立．当时，0≤cosx≤1，则1≤cosx+1≤2，∴对任意恒成立．令t=cosx+1，则1≤t≤2，∴对任意1≤t≤2恒成立，于是．又∵，当且仅当 t=1，即时取等号∴a≤0．。
2018年高考真题解答题专项训练：三角函数(理科)教师版
2018年高考真题解答题专项训练：三角函数（理科）教师版1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故因此，．所以，．3．在ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）详解：解：（1）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（2）在ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．4．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5．在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）详解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.。
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第11讲函数（三角函数、数列函数）模型及其应用
【知识要点】
一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．
数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．
数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．
二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．
三、三角函数的应用一般是先根据题意建立三角函数模型，再根据题意结合三角函数的图像和性质分析解答.一般根据函数的最值确定和，根据函数的最小正周期确定，根据函数的最值点确定.
四、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决.注意数列的项数.
五、解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
六、解应用题的一般程序
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；
（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；
（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；
（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．
【方法讲评】
函数的模型一三角函数模型
解题步骤先建立对应的三角函数模型，再解答.
【例1】已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）与时间（单位：时）的函数关系记作，下表是某日各时的浪高数据：
(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 经长期观测，的曲线可近似地看成是函数.
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
（2）由题知，当时才可对冲浪者开放，∴，
【点评】（1）首先要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式，是函数的振幅，是相位，是初相.一般通过函数的最值求,通过周期求，通过最值点求.（2）解简单的三角函数不等式主要是利用三角函数的图像和数形结合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“”，最后给赋值和实际范围求交集.
【反馈检测1】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回
海洋．下面是某港口在某季节每天
从0时至24时的时间（单位：时）与水深（单位：米）的关系表：
（1）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；
（2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12米，安全条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？
【例2】某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点，及的中点处，已知，，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且，与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，，，设排污管道的总长为．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
（Ⅱ）选择函数模型①，
则.
令得，因为，所以，
当时，，是的减函数；当时，
，是的增函数，所以当=时，．这
时点位于线段的中垂线上，且距离边处．
【点评】（1）本题主要考查根据实际意义建立函数模型、三角函数性质和解决最值问题的基本知识，考查了数形结合思想和分析问题、转化求解的能力．（2）对于较复杂的三角函数的最值，一般利用导数来研究函数的单调性从而得到函数的最值.（3）一般以平面几何为背景的应用题，多以角为自变量建立三角函数模型，比以边为自变量建立函数模型简单.
【反馈检测2】如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余地方种花. 若，，设的面积为，正方形的面积为.
（1）（2）
函数的模型八数列模型
解题步骤先建立数列模型，再解答.
【例3 】某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
（1）显然，若，则，即，此时
要使对于任意正整数，均有恒成立，即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式，得，
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数
单调递
减，所以，.
【点评】（1）建立数列模型的关键是从已知中找到数列的递推关系，，，再根据递推关系求出数列的通项，再研究.（2）解答的关键是化归为含
参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
【例4】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元.
（1）引进该设备多少年后，开始盈利？
（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：
第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.
【解析】（1）
所以3年后开始盈利.
【点评】（1）建立数列模型的关键是理解数列函数的意义，再根据其意义求出表达式.
（2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含义，年平均盈利=年盈利=
【反馈检测3】某企业2006年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从2007年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况
下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起
该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第11讲：
函数（三角函数、数列函数）模型及其应用参考答案
【反馈训练1答案】（1）；（2）货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在港口最多能停留4小时.
【反馈检测2答案】（1）；（2）
【反馈检测2详细解析】（1），
（2）
【反馈检测3答案】（1）=，=500－－10；（2）至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.。