2019学年北京市东城区中考一模数学试卷【含答案及解析】
2019学年北京市东城区中考一模数学试卷【含答案及
解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 与的和为的数是（）
A． B． C． D．
2. 2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。
其中，“冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油．用科学记数法表示245 000 ，正确的是（）
A． B．
C． D．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱柱
4. 在某校初三年级古诗词比赛中,初三（1）班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）
5. 分数5060708090100人数12813144td
6. 在六张卡片上分别写有六个数,从中任意抽取一张,卡片上
的数为
无理数的概率是（）
A． B． C． D．
7. 正五边形的每个外角等于（）
A．36° B．60° C．72° D．108°
8. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点
，连接，．若，则的度数是（）
A． B． C． D．
9. 小李驾驶汽车以千米/小时的速度匀速行驶小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶．已知行驶路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）的函数
图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为（）
A． B． C． D．
10. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON
的平行线交OM于点B,AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（）
A． B． C． D．
11. 如图1，和都是等腰直角三角形，其中，点与
点重合，点在上，，．如图2，保持不动，沿着
线段从点向点移动，当点与点重合时停止移动．设，与重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是（）
二、填空题
12. 分解因式：．
13. 计算的结果为．
14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．
15. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:
某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费元．
16. 已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运
行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．
17. 在平面直角坐标系中，记直线为．点是直线与轴的交点，以
为边做正方形,使点落在在轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形,使点落在在轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形．则点的坐标是，点的坐标是．
三、解答题
18. 如图，与交于点，，．求证：．
四、计算题
19. 计算：
五、解答题
20. 解不等式组：
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 列方程或方程组解应用题：
年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进棵柏树苗和棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的倍少元，每棵柏树苗的进价是多少元？
23. 在平面直角坐标系中，过点向轴作垂线，垂足为，连接．双曲线经过斜边的中点，与边交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△的面积．
24. 如图，中，,是边上的中线，分别过点，作，
的平行线交于点，且交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
25. 为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查名学生；
（2）请把条形图（图1）补充完整；
（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．
26. 如图,在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．
（1）求证：;
（2）已知：，⊙的半径为，求的长．
27. 在四边形中，对角线与交于点，是上任意一点，
于点，交于点．
（1）如图1,若四边形是正方形,判断与的数量关系;
明明发现，与分别在和中，可以通过证明和全等,得到与的数量关系；请回答：与的数量关系是．
（2）如图2,若四边形是菱形, ,请参考明明思考问题的方法，求的值．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与
轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标;
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．
29. 已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，
∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′ 绕点B按逆时针方向旋转角α
（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．
（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
30. 定义符号的含义为：当时, ；当时,
．如：，．
（1）求;
（2）已知, 求实数的取值范围;
（3）已知当时，．直接写出实数的取值范围．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】
第25题【答案】
第26题【答案】
第27题【答案】
第28题【答案】
第29题【答案】。
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合，那么下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，解得x范围，可得即可判断出结论．【详解】解：由，解得，或．．可得0，1，，故选：D．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：，，则为，．故选：A．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】对赋值来排除。
【详解】当，时，A结论不成立。
当时，B结论不成立。
当时，C结论不成立。
故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。
4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，，代入计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式，属于基础题．5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、、、的值，由函数零点判定定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数，且，，，，则函数的零点所在区间是；故选：C．【点睛】本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．6.，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．【详解】解：由，，，在第一象限为增函数，．故得故选：D．【点睛】本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．7.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得，由得，得．则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.8.若实数x，y满足，则的最大值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可求出最大值．【详解】解：实数x，y满足，，，当，时取等号，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．9.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为1的周期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数的定义域为R，且当时，，则，当时，，即，即，则函数为周期为1的周期函数；则，当时，，则有，又由，则；故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.10.已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，；若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则2，4，；若3，，则4，．综上可得：有序集合对的个数为12．故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可. 【详解】解：故答案为【点睛】本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键.12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】且解不等式即可。
2019-2020学年北京市东城区七年级第二学期期末考试数学试题(含答案)
东城区2019-2020学年度第二学期期末教学统一检测初一数学 2020.7一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．4的算术平方根是（）A.-2B.2C.±2D.22. 如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A B C D3.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A．垂线段最短B．点到直线的距离C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是A．调查某中学七年级三班学生视力情况B．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．了解一批手机电池的使用寿命∥，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是5. 如图，直线a b（）A.30°B.40°C. 45°D.50°6.如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（ ）A ．（3，2） B ．（﹣3，2） C ．（3，﹣2）D ．（﹣3，﹣2）7.如果关于x 的不等式31x a -≤-的解集如图所示，则a 的值是（ ）A ．a ＝﹣1B ．a ＝﹣2C ． a ≤﹣1D ．a ≤﹣29. 我们定义一个关于实数,a b 的新运算，规定：43.a b a b *=-例如：56=45-36*⨯⨯若m 满足20m *＜，则m 的取值范围是（ ） A ．32m ＜ B ．32m ＞C ．23m ＜D ． 23m ＞234x x ->-342x x -+>-22x ->1x <-移项合并同类项系数化为110.党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图分别反映了20122019-年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率=贫困人数（人）÷统计人数（人）100%⨯）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确．．．的是A ．20122019-年，全国农村贫困人口逐年递减B ．20132019-年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．20122019-年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6% 二、填空题(本题共18分，11-17题每题2分，18题4分) 11.请写出一个大于2的无理数_______ 12.右边的框图表示解不等式234x x ->- 的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据 是 .13.在平面直角坐标系中，已知点(1,2)M a a -+在第二象限，则a 的取值范围是__________.14. 如果22x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程mx -y =4的解，那么m 的值________. 15．已知一个正数x 的两个平方根分别是127a a +-和，则a=________.16. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD ＝4：5，OA 平分∠EOC ，则∠BOE＝ ． OE D CBA17.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其 中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23， 那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组为 ．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，，则a=________，m=________， n=________.若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，则点F 的坐标为________________.三、解答题（本题共33分，19-22题每题5分，23题6分，24题7分） 19.（本题5分） 计算3492712-2+-+-20.（本题5分）解方程组 4352 2.x y x y -=⎧⎨-=⎩，21. （本题5分）解不等式组：()41710,75.3x xxx+≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来.22．（本题5分）如图，已知点A(-3,3)，点B(-4,1)，点C(-2,2) .（1）求△ABC的面积.（2）将△ABC平移，使得点A与点D（2，4）重合，得到△DEF，点B，C的对应点分别是点E，F，画出平移后的△DEF，并写出点E和点F的坐标.23．(本题6分)完成下面推理填空：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD.证明：∵AF⊥CE∴∠CGF＝90°（）∵∠1＝∠D（已知）∴_______∥_______（）∴∠4＝∠CGF＝90°（）∵∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠2＋∠3＝90°.∵∠2与∠C互余(已知)，∴∠2＋∠C＝90°（互余的定义）∴∠C＝∠3（同角的余角相等）∴AB∥CD（）.24. （本题7分）在防控新冠病毒疫情期间，某校对初中六、七、八、九四个年级，围绕着“你最喜欢的居家体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对该校学生进行了随机抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据A.平板支撑B.跳绳C.仰卧起坐D开合跳 E.其他，通过调查得到的一组数据如下：D C C A D A B A D B BE D D E D B C C E其他开合跳仰卧起坐跳绳最喜欢体育活动项目的人数104平板支撑育活动项目E C B D E E D D E D B B C C D C E D D A B D D C D D E D C E 整理、描述数据抽样调查50名初中学生最喜欢的居家体育活动项目人数统计表 活动项目 划记频数 A.平板支撑4 B.跳绳 C.仰卧起坐 正正 10D.开合跳E.其他 正正 10 总计50（1）补全统计表和条形统计图.（2）计算:本次抽样调查中，最喜欢开合跳．．．活动的人占被调查总人数的百分比. （3）下图是根据该校初中各年级学生人数占初中学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，若该校九年级共有200名学生，请你估计该校初中学生中最喜欢跳绳．．活动的人数约为多少？ 各年级学生人数占初中学生 总人数的百分比六年级30%七年级24%八年级26%九年级四、解答题（本题共19分，25题6分，26题7分，27题6分） 25.(本题6分)阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图，AB ∥CD ，E 为AB, CD 之间一点，连接BE,DE,得到∠BED. 求证：∠BED=∠B+∠D. 彤彤是这样做的： 过点E 作EF//AB, 则有∠BEF=∠B. ∵AB//CD,∴EF//CD. ∴∠FED=∠D.∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D. 即∠BED=∠B+∠.FEDCBA请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图，已知：直线a b ∥，点A,B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上,连接AD,BC, BE 平分∠ABC, DE 平分∠ADC ，Q 且BE ，DE 所在的直线交于点E.(1)如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； (2)如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC=β，直接写出∠BED 的度数（用含有αβ，的式子表示）.26. （本题7分）列方程（组）或不等式解决问题每年的4月23日是世界读书日。
2023北京东城区初三一模数学试卷及答案
1东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案C A DB B D BC 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1210．22(1)x -11．1.812．＜13．13514．1415．216．(1)2(2)21三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：03tan3020231︒+--13=⨯-…………4分=．…………5分18．解：312,221 1.x x x x -⎧<⎪⎨⎪+-⎩①≥②由①得-1x ＞，…………2分由②得x ≥–2．…………….4分所以不等式组的解集是-1x ＞．………5分19．解：22)(2)(3)x x x +-+-（=22469x x x -+-+=2265x x -+.…………….3分∵2310x x --=，∴231x x -=.∴2262x x -=.∴原式=22657x x -+=.…………….5分20．解：方法一：证明：∵CF ∥AB ，∴∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F .又∵点E 是AC 的中点，∴AE =CE .∴△ADE ≌△CFE ．∴AD =CF ，DE =FE ．又∵点D 是AB 的中点，∴AD =BD .∴CF =BD .∴四边形BCFD 是平行四边形．∴DF ∥BC ，DF =BC ．∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC .…………….5分方法二：证明：∵AE =EC ，DE =EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∴CF ∥DA ，且CF =DA ．∴CF ∥BD ，且CF =BD ．2∴四边形DBCF 是平行四边形.∴DF ∥BC ，且DF =BC ．又∵DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE =12BC ．…………….5分21．解：（1）∵反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点（-1,3），∴31k =-．∴3k =-．∴反比例函数的解析式为3y x =-．……………………………3分（2）n ≥2．.………………………………………………5分22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠ADB =∠CBD ．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．∴∠ADB =∠ABD ．∴AB =AD ．∴四边形ABCD 是菱形．……………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，∠DOC ＝90°，BD =2DO ．∴∠DCE ＝∠ABC ＝70°．∵∠ECM ＝15°,∴∠DCM ＝55°．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝110°．∴∠ACD ＝12∠ACD ＝55°．∴∠ACD ＝∠DCM .又∵DF ⊥CM ，∴DO =DF =5．∴BD ＝2DO ＝25．……………………6分23．解：（1）83，85.……………………2分（2）①②.……………………4分（3）176034030⨯=（人）．答：估计七年级成绩优秀的学生人数为340人……………………5分24．（1）证明：如图，连接OD 交AC 于点F ，连接OC ．∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ．∴∠ODE =90°．∵点D 为AC 的中点，∴AD CD =．∴∠AOD =∠COD ．∵AO =CO ，∴OF ⊥AC ．∴∠OFA =90°=∠ODE ．∴DE ∥AC ．∴∠E =∠BAC ．……………………3分（2）解：∵∠E =∠BAC ，∴cos ∠BAC =4cos 5E =.在Rt △AOF 中，cos ∠BAC 45AF OA ==，OA=5，∴AF =4，OF =3.∴DF =2.∵OF ⊥AC ，∴CF =AF =4.在Rt △CDF 中，由勾股定理得CD =在Rt △ODE 中，4cos 5E =，∴3tan 4OD E DE ==.∴DE =203.……………………6分25．解：(1)50..….……………………………1分根据表格数据，将（0，18）和（80，50）代入函数关系式21()y a x h k =-+，解得a ＝–0.005．∴二次函数的关系式为20.005(80)50y x =--+．.….……………………………3分(2)乒乓球仍落在球桌上．理由如下：令y =0，则x =180．∴OB =180．令y =42,则x =80±40．∴BC =DE =80．∴OC =OB +BC =260．∵260<274，∴乒乓球仍落在球桌上．….……………………………6分26．解：（1）22y ax ax=-＝2(211)a x x -+-＝2(1)a x a --.∴抛物线的顶点坐标为(1，–a ).………………………………2分（2）－1＜k ＜3.………………………………4分（3）∵y 1＜y 3＜y 2≤－a ，且顶点坐标为(1，–a ),∴抛物线开口向下．∴a ＜0.点A (m －1，y 1)，C (m ＋3，y 3)关于直线x ＝1对称的点的坐标分别为A ′(3–m ，y 1)，C ′(–1–m ，y 3)．∵m -1<m <m +3，y 1＜y 3＜y 2，∴点A ，B ，C 不可能在对称轴的同侧．∴点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧．当点B 在对称轴左侧或在对称轴上时，可得1111m m m m m >--⎧⎪-->-⎨⎪≤⎩，解得12-<m <0．当点B 在对称轴右侧时，可得1333m m m m m >⎧⎪+<-⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解．综上所述，m 的取值范围为12-<m <0．………………………………6分27．（1）证明：∵将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，∴∠EAD =α，AD =AE ．∵∠BAC ＝α，∴∠BAC=∠EAD ．∴∠BAC －∠BAD=∠EAD －∠BAD ，即∠DAC=∠EAB ，在△ACD 和△ABE 中，,,.AC AC DAC EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△ABE （SAS ）．∴∠ABE ＝∠C ．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ．∴∠ABE ＝∠ABC ．∴BA 平分∠EBC ．………………………………3分（2）解：补全图形如图，EF =CG ．理由如下：在AB 上取一点M ，使得BM ＝CG ，连接EM ．∵CG ∥AB ，∴∠ABC ＝∠DCG ，∠BFG ＝∠CGD ．∴∠EBM ＝∠DCG ．由（1）知△ACD ≌△ABE ，∴EB ＝CD ．在△EBM 和△DCG 中,,,EB DC EBM DCG BM CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBM ≌△DCG (SAS )．∴EM ＝DG ，∠EMB ＝∠DGC ．∵∠EMB ＋∠EMF ＝180°，∠EFM ＋∠DFM ＝180°，∴∠EMF ＝∠EFM ．∴EM ＝EF ．∴EF ＝DG ．………………………………7分28．解：（1P '，–2)；点Q 坐标为（1，–2）.…………………3分②1--≤b ≤1.………………………………5分（2）12≤k ≤2.………………………………7分。
2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷+答案解析(附后)
2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷1. 已知集合，且，则a可以为A. B.C. D.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A. B. C. D.3. 抛物线的准线方程为A. B. C. D.4. 已知，则的最小值为A. B. 0 C. 1 D.5.在中，，，，则A. B. 4 C. D.6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为A. B. C. D.8. 已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部不含边界的动点，且满足，则的取值范围是A. B. C. D.9. 已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为A. B. C. D.10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值精确到，可得N的值为M2371113A. 13B. 14C. 15D. 1611. 函数的定义域是_______.12. 在的展开式中，的系数为60，则实数_______.13. 已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为_______.14. 已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则_______，______.15. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则______.给出下列四个结论：①；②图2中，；③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；④图2中，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积大于其中所有正确结论的序号是______.16. 已知函数求的最小正周期;若是函数的一个零点，求的最小值.17. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：次数学生第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593-乙76818085899694从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X 的分布列及数学期望EX ；从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y 表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY 与中EX 的大小．结论不要求证明18. 如图，在长方体中，，和交于点E ，F为AB 的中点.求证：平面；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值；点A 到平面CEF 的距离.条件①：；条件②：与平面所成角为注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19. 已知函数当时，求的单调递增区间；设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；当时，设，，求证：20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率求椭圆E的方程；过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点，直线分别与x轴交于点设椭圆的左顶点为D，求的值.21. 已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②则称这样的数表具有性质若数表具有性质P，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；对于具有性质P的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；对于具有性质P的数表，当n为偶数时，求的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】略2.【答案】A【解析】略3.【答案】D【解析】略4.【答案】B【解析】略5.【答案】C【解析】略6.【答案】B【解析】略7.【答案】A【解析】略8.【答案】D【解析】略9.【答案】B【解析】略10.【答案】C【解析】略11.【答案】【解析】略12.【答案】【解析】略13.【答案】答案不唯一【解析】略14.【答案】【解析】略15.【答案】②③【解析】略16.【答案】解：因为所以的最小正周期为由题设，，由是该函数零点可知，，即故，或，，解得，或，因为，所以的最小值为【解析】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.17.【答案】解：从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分.则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为随机变量X的所有可能取值为1，2，则随机变量X的分布列为：X123P故随机变量X的数学期望【解析】略18.【答案】解：连接，，因为长方体中，且，所以四边形为平行四边形.所以E为的中点，在中，因为E，F分别为和AB的中点，所以因为平面，平面，所以平面选条件①连接因为长方体中，所以在中，因为E为的中点，，所以如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，，则，，，，，，所以，，设平面CEF的法向量为，则令，则，，可得设平面BCE的法向量为，则令，则，，所以设平面CEF与平面BCE的夹角为，则，所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为因为，所以点A到平面CEF的距离为选条件②与平面所成角为连接因为长方体中，平面，平面，所以所以为直线与平面所成角，即所以为等腰直角三角形.因为长方体中，所以所以以下同选条件①【解析】略19.【答案】解：当时，，定义域为，令，得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为令，则当时，令，得当时，，单调递减;当时，，单调递增;所以当时，最小值为当时，的最小值为1，所以的最小值为由知在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，，，所以【解析】略20.【答案】解：由题设，得解得所以椭圆E的方程为直线BC的方程为由得由，得设，，则，直线AB的方程为令，得点M的横坐标为同理可得点N的横坐标为因为点D坐标为，则点D为线段MN的中点，所以【解析】略21.【答案】解：满足条件的数表为，，，所以的值分别为5，5，若当取最大值时，存在，使得由数表具有性质P可得j为奇数，第11页，共11页不妨设此时数表为①若存在为偶数，，使得，交换和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得②若对任意的为偶数，，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P ，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数，使得当n 为偶数时，令，对任意具有性质 P 数表，一方面，，因此①另一方面，，因此②记，由①+②得又，可得构造数表可知数表具有性质P ，且综上可知，当n 为偶数时，的最大值为【解析】略。
八年级数学东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测 (含答案)
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测初二数学 2020.1一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1.在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m 微间距显示屏就是其中之一.数字0.0009用科学记数法表示应为A.4910-⨯B. 3910-⨯C. 30.910-⨯D. 40.910-⨯ 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．()m a b ma mb +=+B ．23313(1)1x x x x -+=-+ C ．()()23212x x x x ++=++ D ．22(2)+4+4a a a +=3.如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是A.①B.②C.③D.④4. 下列各式计算正确的是 A.2133a aa -⋅= B.236()ab ab = C.22(2)4x x -=- D.824623x x x ÷=5. 对于任意的实数x ，总有意义的分式是A.152--x x B.231x x -+ C.x x 812+ D.21x -6.如图，△ABC 中，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接BE ，则∠BEC 的大小为A.40°B.50°C.80°D.100°7.若分式2213x x -+的值为正数，则x 需满足的条件是 A. x 为任意实数 B. 12x ＜ C. 12x ＞D. 12x ＞- 8. 已知△ABC ,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB ,AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ，点M 一定在A.∠A 的平分线上B.AC 边的高上C.BC 边的垂直平分线上D.AB 边的中线上9.如图，已知∠MON 及其边上一点A .以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交OM ，ON于点B 和C .再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点B .错误的结论是 A. AOC ABC S S =△△ B. ∠OCB ＝90° C. ∠MON ＝30° D. OC ＝2BC10. 已知OP 平分∠AOB ，点Q 在OP 上，点M 在OA 上，且点Q ,M 均不与点O 重合.在OB 上确定点N ，使QN =QM ，则满足条件的点N 的个数为A.1 个B.2个C.1或2个D.无数个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 因式分解：39a a -＝ _ . 12. 已知 -2是关于x 的分式方程23x kx x -=+的根，则实数k 的值为________ . 13. 如图，BE 与CD 交于点A ,且∠C ＝∠D .添加一个条件： ，使得△ABC ≌△AED .BA CM第8题图 第9题图14. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A ，C 重合，折痕为EF .若∠BAE =28°，则∠AEF 的大小为 °.15. 如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD ＝4，E ，P 分别是AC ，AD 上的动点，则C P +EP 的最小值等于 .16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角” (如图)就是一例. 这个三角形给出了()na b +（n =1，2，3，4，5，6）的展开式（按a 的次数由大到小顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数.（1）()5a b +展开式中4a b 的系数为 ；（2）()7a b +展开式中各项系数的和为 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：3+23x x x +-. 18.下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程. 已知：线段m ，n 及∠O .求作：△ABC ，使得线段m ，n 及∠O 分别是它的两边和一角. 作法：如图,① 以点O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点M ,N ； ② 画一条射线AP ，以点A 为圆心，m 长为半径画弧，交AP 于点B ； ③ 以点B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ； ④ 画射线AD ；⑤ 以点A 为圆心，n 长为半径画弧，交AD 于点C ； ⑥ 连接BC ，则△ABC 即为所求作的三角形. 请回答:（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ； （2）∠A ＝∠O 的作图依据是 ； （3）小红说小明的作图不全面，原因是 .19.计算：()201π533-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ，AD ＝AE .连接BD ,CE,∠ABD ＝∠ACE . 求证：AB ＝AC .21. 计算：2()()()4()2m n m n m n m m n m ⎡⎤+-+---÷⎣⎦.B22. 解方程：2151=24xx x +--- . 23.在三角形纸片ABC 中,∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，点E 在AC 上，AE ＝3.将三角形纸片按图1方式折叠,使点A 的对应点A '落在AB 的延长线上，折痕为ED ,A E '交BC 于点F .（1）求∠CFE 的度数；（2）如图2，,继续将纸片沿BF 折叠，点A '的对应点为A ''，A F ''交DE 于点G .求线段DG 的长.图1 图224. 如图，△ABC .（1）尺规作图：过点C 作AB 的垂线交AB 于点O .不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB ，OC 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点B ，C 均在正半轴上.若AB=7.5，OC =4.5，∠A =45°，写出点B 关于y 轴的对称点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△ACD 的面积.25. 先化简，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 是满足|3|3a a -=-的最大整数.26. 列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积. （1） 在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.A'F E C A GA'F E C设首届进博会企业平均展览面积为x 平方米，把下表补充完整： 届别总面积（平方米）企业平均展览面积（平方米）首 届 270 000x第二届 330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解．．方程）.27. 在ABC 中，AB ＞BC ,直线l 垂直平分AC .（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D ，连接AD ，CD . ①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明.（2） 如图2，直线l 与ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D ，连接AD ，CD . 求证：∠BAD =∠BCD .28.对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在 △ABC 的边上，且 123n PM PM PM PM ====L L ，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距lE D A C B lA B 图1 图2点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C . 若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）图1 图2东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测初二数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（本题共20分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDABCCADC二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.()()33a a a +- 12. 2 13.答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC ＝AD 14. 59 15. 4 16. 5 ；128三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17. 解： 原式()()()()332=223x x x x x -+++-L L L L 分()()2336423x x x x x -++=+-L L L L 分 ()()26523x x x +=+-L L L L 分 18.（1）BD ,MN ;……………………1分（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；……………………3分 （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论. ……………………5分19.解：()-201π53⎛⎫- ⎪⎝⎭94=-+……………………4分=……………………5分20.证明：∵∠BAC ＝∠DAE,∴∠BAC －∠CAD ＝∠DAE －∠CAD.即∠BAD ＝∠CAE. ……………………2分 在△BAD 和△CAE 中,,BAD CAE ABD ACE AD AE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝∴△BAD ≌△CAE （AAS ）. …………………… 4分 ∴ AB ＝AC. …………………… 5分2222222()()()4()2(243454)2m (22)2m n m n m n m m n mm n m mn n m mn m mn m m n ⎡⎤+-+---÷⎣⎦=-+-+-+÷=-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯÷=-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.解：分分分B()()()222124532453112343x x x x x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++--=++-+==-=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22.解：分分分经检验：13x =-是原方程的解. ∴13x =-.……………………5分23.解：（1）∵∠A ＝30°,∴∠A '＝30°. ……………………1分 ∵∠A BF '＝90°, ∴∠A FB '＝60°. ……………………2分∵∠CFE ＝∠A FB '，∴∠CFE ＝60°. ……………………3分（2）∵点A 与点A '关于直线DE 对称，∴DE ⊥AA '.∵∠A =30°，AE =3, ∴1322DE AE == . ……………………4分 由（1）知，∠CFE =60°，∠C =60°，∴△CFE 是等边三角形.∴EF =CE =AC -AE =1. ……………………5分 同理，△EFG 也是等边三角形， ∴12DG DE EG =-=DG =DE -EG =.……………………6分 24.解：（1）……………………………………………………………………………………2分GA''DA'FECAB图2A'FECA图1（2）D (-3,0)； ……………………4分 （3）13927==2228ACD S ⨯⨯△.……………………6分22222221225.[](2)(2)44(1)2[](2)(2)442(2124)4231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⋅++---+=-⋅++--+=⋅+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+解：原式分分分分∵a 是满足|3|3a a -=-的最大整数， ∴30a -≥. ∴3a ≤.∴=3a . ……………………5分 ∴1=15原式.……………………6分……………………………………………………………………………………4分（2）270 000330000+300=(1+12.8%)x x.……………………6分 27. 解：（1）①补全图形;……………………1分② 结论：∠BAD +∠BCD =180°. ……………………2分证明：过点D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ， 则∠AED =∠CFD =90°.∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF . ∵直线l 垂直平分AC ，∴DA =DC. ……………………3分在Rt ADE 和Rt CDF 中， DA DC DE DF =⎧⎨=⎩，，∴Rt ADE ≌Rt CDF . ∴∠BAD =∠FCD.∵∠FCD +∠BCD =180°，∴Rt ADN ≌Rt CDM.∴∠BAD =∠BCD. ……………………7分28.解：（1）①是，不是；……………………2分②……………………3分（2）如图，DC ＝2，或DC ＝1； ……………………5分B（3）32a a PC ＜＜.……………………7分。
2019东城区高三一模数学试卷及答案理科
东城区2019年综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ）（4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度北京市东城区高一第一学期期末数学试卷一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)设集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},那么下列结论正确的是()A.M＝∅B.M∈NC.M⫋ND.N⫋M2.(5分)下列函数为偶函数的是()A.y＝|x|B.y＝lnxC.y＝e xD.y＝x33.(5分)已知函数y＝sin x在区间M上单调递增,那么区间M可以是()A.(0,2π)B.(0,π)C.D.4.(5分)命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为()A.∃x∈A,2x∉BB.∃x∉A,2x∈BC.∀x∈A,2x∉BD.∀x∉A,2x∈B5.(5分)若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.a2＞b2B.2a＞2bC.aD.6.(5分)下列各式正确的是()A. B.C. D.7.(5分)“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A.8100B.900C.81D.9二、多项选择题：本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.(5分)关于函数f(x)＝1＋cos x,x∈(,2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是()A.当t＜0或t≥2时,有0个交点B.当t＝0或时,有1个交点C.当时,有2个交点D.当0＜t＜2时,有2个交点10.(5分)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,下列命题正确的有()A.对于任意实数a,f(x)为偶函数B.对于任意实数a,f(x)＞0C.存在实数a,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)三、填空题：共6小题,每小题5分,共30分.11.(5分)函数f(x)＝ln(1﹣x2)的定义域是.12.(5分)sin的值为.13.(5分)函数f(x)的值域为(0,＋∞),且在定义域内单调递减,则符合要求的函数f(x)可以为.(写出符合条件的一个函数即可)14.(5分)在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为.15.(5分)已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝；若f(t)＝1,则实数t＝.16.(5分)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2＞t1＋t3.其中正确命题的序号有.(注：请写出所有正确结论的序号)四、解答题：共5小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(12分)已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＜0},全集U＝R.(1)求∁U A；(2)设B＝{x|m﹣1≤x≤m},若B⊆∁U A,求m的取值范围.18.(13分)已知函数,f(0)＝.(1)求f(x)的解析式和最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.(1)求tanβ的值；(2)求的值.20.(16分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并说明理由；(3)若f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,求x的取值范围.21.(15分)对于集合A,定义函数f A(x)＝对于两个集合A,B,定义运算A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1}.(1)若A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},写出f A(1)与f B(1)的值,并求出A*B；(2)证明：f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)证明：*运算具有交换律和结合律,即A*B＝B*A,(A*B)*C＝A*(B*C).2019～2020学年度北京市东城区高一第一学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)设集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},那么下列结论正确的是()A.M＝∅B.M∈NC.M⫋ND.N⫋M利用集合与集合的关系直接求解.【试题答案】解：∵集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},∴M⫋N.故选：C.【点评】本题考查集合的关系的判断,考查交集、并集、子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.(5分)下列函数为偶函数的是()A.y＝|x|B.y＝lnxC.y＝e xD.y＝x3根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案.【试题答案】解：根据题意,依次分析选项：对于A,y＝|x|,是偶函数,符合题意；对于B,y＝lnx,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；对于C,y＝e x,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；对于D,y＝x3,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；故选：A.【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题.3.(5分)已知函数y＝sin x在区间M上单调递增,那么区间M可以是()A.(0,2π)B.(0,π)C.D.直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果.【试题答案】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[](k∈Z),当k＝0时,单调增区间为[],由于为[]的子区间,故选：D.【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.4.(5分)命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为()A.∃x∈A,2x∉BB.∃x∉A,2x∈BC.∀x∈A,2x∉BD.∀x∉A,2x∈B根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【试题答案】解：命题为全称命题,则命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为∃x∈A,2x∉B,故选：A.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.(5分)若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.a2＞b2B.2a＞2bC.aD.直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果.【试题答案】解：由于a＞b,且a和b的正负号不确定,所以选项ACD都不正确.对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数,且a＞b,故正确故选：B.【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.6.(5分)下列各式正确的是()A. B.C. D.利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解.【试题答案】解：在A中,sin＞0＞sin＝﹣sin,故A错误；在B中,＜cos,故B正确；在C中,＞,故C错误；在D中,＞cos＝sin,故D错误.故选：B.【点评】本题考查命题真假的判断,考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.(5分)“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件可以取特殊值讨论充要性.【试题答案】解：若a,b为正实数,取a＝1,b＝1,则a＋b＝2,则“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的不充分条件；若a＋b＞2,取a＝1,b＝0,则b不是正实数,则“a＋b＞2”是“a,b为正实数''的不必要条件；则“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的既不充分也不必要条件,故选：D.【点评】本题考查命题充要性,以及不等式,属于基础题.8.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A.8100B.900C.81D.9由题意令V＝2m/s,0m/s,则可求出耗氧量,求出之比.【试题答案】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝,即,即,即o＝8100,鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝,即,即o'＝100,故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为,故选：C.【点评】本题考查对数求值,属于中档题.二、多项选择题：本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.(5分)关于函数f(x)＝1＋cos x,x∈(,2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是()A.当t＜0或t≥2时,有0个交点B.当t＝0或时,有1个交点C.当时,有2个交点D.当0＜t＜2时,有2个交点直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果.【试题答案】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时,有0个交点,故正确.②对于选项B：当t＝0或时,有1个交点,故正确.③对于选项C：当t＝时,只有一个交点,故错误.④对于选项D：当,只有一个交点,故错误.故选：AB.【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.10.(5分)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,下列命题正确的有()A.对于任意实数a,f(x)为偶函数B.对于任意实数a,f(x)＞0C.存在实数a,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果.【试题答案】解：函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,①对于选项A：由于x∈R,且f(﹣x)＝f(x),故函数f(x)为偶函数.故选项A正确.②对于选项B：由于x2≥0,所以,故4|x|＋x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时,f(x)＜0,故选项B错误.③对于选项C：由于函数f(x)的图象关于y轴对称,在x＞0时,函数为单调递增函数,在x＜0时,函数为单调递减函数,故f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,故选项C正确.④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称,且在x＞0时,函数为单调递增函数,在x＜0时,函数为单调递减函数,故存在实数a＝0时,当x∈(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)时,不等式成立,故选项D正确.故选：ACD.【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.三、填空题：共6小题,每小题5分,共30分.11.(5分)函数f(x)＝ln(1﹣x2)的定义域是(﹣1,1).解不等式1﹣x2＞0即可.【试题答案】解：令1﹣x2＞0,解得﹣1＜x＜1,即函数的定义域为(﹣1,1).故答案为：(﹣1,1).【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题.12.(5分)sin的值为﹣.原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,计算即可得到结果.【试题答案】解：sin＝sin(2π﹣)＝﹣sin＝﹣.故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.13.(5分)函数f(x)的值域为(0,＋∞),且在定义域内单调递减,则符合要求的函数f(x)可以为f(x)＝.(写出符合条件的一个函数即可)由函数f(x)＝()x的值域为(0,＋∞),且在定义域R内单调递减,即是符合要求的一个函数.【试题答案】解：∵函数f(x)＝()x的值域为(0,＋∞),且在定义域R内单调递减,∴函数f(x)＝()x即是符合要求的一个函数,故答案为：f(x)＝()x.【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题.14.(5分)在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.①利用交集定义直接求解.②利用并集定义直接求解.【试题答案】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B.故答案为：A∩B.②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.故答案为：A∪C.【点评】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.(5分)已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝；若f(t)＝1,则实数t＝0或1.结合已知函数解析式,把x＝﹣2代入即可求解f(﹣2),结合已知函数解析式及f(t)＝1,对t进行分类讨论分别求解.【试题答案】解：f(x)＝则f(﹣2)＝2﹣2＝,∵f(t)＝1,①当t≥1时,可得＝1,即t＝1,②当t＜1时,可得2t＝1,即t＝0,综上可得t＝0或t＝1.故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题.16.(5分)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2＞t1＋t3.其中正确命题的序号有①②④.(注：请写出所有正确结论的序号)直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果.【试题答案】解：浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),函数的图象经过(2,2)所以2＝a2﹣1,解得a＝2.①当x＝0时y＝,故选项A正确.②当第8个月时,y＝28﹣1＝27＝128＞60,故②正确.③当t＝1时,y＝1,增加0.5,当t＝2时,y＝2,增加1,故每月的增加不相等,故③错误.④根据函数的解析式,解得t1＝log210＋1,同理t2＝log220＋1,t3＝log230＋1,所以2t2＝2log220＋2＝log2400＋2＞t1＋t2＝log2300＋2,所以则2t2＞t1＋t3.故④正确.故答案为：①②④.【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.四、解答题：共5小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(12分)已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＜0},全集U＝R.(1)求∁U A；(2)设B＝{x|m﹣1≤x≤m},若B⊆∁U A,求m的取值范围.(1)根据题意,求出集合A,进而由补集的性质分析可得答案；(2)根据题意,结合集合间的关系分析可得答案.【试题答案】解：(1)根据题意,因为A＝{x|x2＋3x＋2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}.因为全集U＝R,所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1},(2)根据题意,∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1},若B⊆∁U A,当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2,即m≥0或m≤﹣2,所以m的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[0,＋∞).【点评】本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题.18.(13分)已知函数,f(0)＝.(1)求f(x)的解析式和最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.(1)利用函数值,转化求解函数的解析式,推出函数的周期；(2)利用函数的自变量的范围,求出相位的范围,然后求解正弦函数的最值.【试题答案】解：(1)因为,所以.又因为φ∈,所以φ＝.所以.所以f(x)最的小正周期.(2)因为x∈[0,2π],所以.当,即时,f(x)有最大值2,当,即x＝2π时,f(x)有最小值.【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.(1)求tanβ的值；(2)求的值.(1)由题意利用任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,求得tanβ的值.(2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.【试题答案】解：(1)因为β的终边与单位圆交于点B,B点的纵坐标为,所以.因为,所以.所以.(2)因为α的终边与单位圆交于点A,A点的纵坐标为,所以.因为,所以,故＝＝＝.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系、诱导公式,属于基础题. 20.(16分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并说明理由；(3)若f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,求x的取值范围.(1)定义域为R,然后求出f(﹣x),得f(﹣x)＝﹣f(x),所以为奇函数；(2)直接由指数函数的单调性可判断函数f(x)的单调性；(3)不等式变形,由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,令关于a的函数g(a)＝xa＋1﹣x＞0在(﹣∞,2]上恒成立,g(a)一定单调递减,所以满足则只需解出x的范围.【试题答案】解：(1)f(x)为奇函数.因为f(x)定义域为R,,所以f(﹣x)＝﹣f(x).所以f(x)为奇函数；(2)在(﹣∞,＋∞)是增函数.因为y＝3x在(﹣∞,＋∞)是增函数,且y＝3﹣x在(﹣∞,＋∞)是减函数,所以在(﹣∞,＋∞)是增函数,(3)由(1)(2)知f(x)为奇函数且f(x)(﹣∞,＋∞)是增函数.又因为f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0,所以f(ax﹣1)＞﹣f(2﹣x)＝f(x﹣2).所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈(﹣∞,2]恒成立.令g(a)＝xa＋(1﹣x),a∈(﹣∞,2].则只需,解得所以﹣1＜x≤0.所以x的取值范围为(﹣1,0].【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性,使用中档题.21.(15分)对于集合A,定义函数f A(x)＝对于两个集合A,B,定义运算A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1}.(1)若A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},写出f A(1)与f B(1)的值,并求出A*B；(2)证明：f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)证明：*运算具有交换律和结合律,即A*B＝B*A,(A*B)*C＝A*(B*C).(1)由新定义的元素即可求出f A(1)与f B(1)的值,再分情况求出A*B；(2)对x是否属于集合A,B分情况讨论,即可证明出f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)利用(2)的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律.【试题答案】解：(1)∵A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},∴f A(1)＝﹣1,f B(1)＝1,∴A*B＝{1,4,5}；(2)①当x∈A且x∈B时,f A(x)＝f B(x)＝﹣1,所以x∉A*B.所以f A*B(x)＝1,所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x),②当x∈A且x∉B时,f A(x)＝﹣1,f B(x)＝1,所以x∈A*B.所以f A*B(x)＝﹣1,所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x),③当x∉A且x∈B时,f A(x)＝1,f B(x)＝﹣1.所以x∈A*B.所以f A*B(x)＝﹣1.所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x).④当x∉A且x∉B时,f A(x)＝f B(x)＝1.所以x∉A*B.所以f A*B(x)＝1.所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x).综上,f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)因为A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1},B*A＝{x|f B(x)•f A(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1},所以A*B＝B*A.因为(A*B)*C＝{x|f A*B(x)•f C(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)•f C(x)＝﹣1},A*(B*C)＝{x|f A(x)•f B*C(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)•f C(x)＝﹣1},所以(A*B)*C＝A*(B*C).【点评】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是中档题.。
2019-2020学年北京市东城区七年级(上)期末数学试卷解析版
2019-2020学年北京市东城区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．B．C．5D．﹣52．（3分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入使用，新机场的运行将进一步满足北京地区的航空运输需求，增强国家民航竞争力，促进南北城区的均衡发展和京津冀协同发展．根据规划，2022年大兴国际机场客流量将达到4500万人次．4500用科学记数法表示为（）A．45×102B．4.5×103C．4.5×102D．4.5×1043．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．﹣3B．|﹣7|C．﹣（﹣1）D．﹣4．（3分）若x＝2是关于x的方程2x+a＝3的解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．7D．﹣75．（3分）下列计算正确的是（）A．7a+a＝7a2B．5y﹣3y＝2C．x3﹣x＝x2D．2xy2﹣xy2＝xy26．（3分）把方程去分母后，正确的是（）A．3x﹣2（x﹣1）＝1B．3x﹣2（x﹣1）＝6C．3x﹣2x﹣2＝6D．3x+2x﹣2＝67．（3分）如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果∠AOB＝165°，那么∠COD等于（）A．15°B．25°C．35°D．45°8．（3分）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④9．（3分）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m|C．﹣m＞|n|D．|m|＜|n|10．（3分）如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）某天最高气温为8℃，最低气温为﹣1℃，则这天的最高气温比最低气温高℃．12．（2分）单项式5xy3的次数是．13．（2分）计算﹣3a﹣（b﹣3a）的结果是．14．（2分）写出一个能与合并的单项式．15．（2分）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是．16．（2分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．17．（2分）已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC ＝．18．（2分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有个〇．三、解答题（19-20题每题8分，21-25题每题5分，26题6分，27题7分，共54分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程19．（8分）计算：（1）3×（﹣2）+（﹣5）﹣（﹣20）（2）﹣23÷（﹣）﹣×（﹣2）220．（8分）解方程：（1）5x+2＝3（x+2）（2）21．（5分）先化简，再求值：4（3a2b﹣ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）﹣14a2b，其中a＝1，b＝﹣．22．（5分）按照下列要求完成作图及问题解答：如图，已知点A和线段BC．（1）连接AB；（2）作射线CA；（3）延长BC至点D，使得BD＝2BC；（4）通过测量可得∠ACD的度数是；（5）画∠ACD的平分线CE．23．（5分）一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角的度数．24．（5分）根据题意，补全解题过程：如图，∠AOB＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．求∠EOF的度数．解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC所以∠EOC ＝∠AOC，∠FOC ＝．所以∠EOF＝∠EOC﹣＝（∠AOC﹣）＝＝°．25．（5分）一般情况下，对于数a和b，+≠（“≠”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作＜a，b＞．例如当a＝1，b＝﹣4时，有，那么＜1，﹣4＞就是“理想数对”．（1）＜3，﹣12＞，＜﹣2，4＞可以称为“理想数对”的是；（2）如果＜2，x＞是“理想数对”，那么x＝；（3）若＜m，n＞是“理想数对”，求的值．26．（6分）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：档次每户每月用电量（度）执行电价（元/度）第一档小于或等于2000.50.7第二档大于200且小于或等于450时，超出200的部分第三档大于450时，超出450的部1分（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费元．（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度．①请判断该户居民五、六月份的用电量分别属于哪一个档次？并说明理由．②求该户居民五、六月份分别用电多少度？27．（7分）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n且满足|m﹣12|+（n+3）2＝0．（1）则m＝，n＝；（2）若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P，Q两点相距7个单位长度？（3）若A，B为线段MN上的两点，且NA＝AB＝BM，点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，P，Q，R同时出发，是否存在常数k，使得PQ﹣kAR的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年北京市东城区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：根据相反数的定义得：﹣5的相反数为5．故选：C．2．【解答】解：将4500用科学记数法表示为4.5×103，故选：B．3．【解答】解：∵﹣3＜﹣＜﹣（﹣1）＜|﹣7|，∴所给的四个数中，最小的数是﹣3．故选：A．4．【解答】解：∵x＝2是关于x的方程2x+a＝3的解，∴2×2+a＝3，解得a＝﹣1．故选：B．5．【解答】解：A.7a+a＝8a，故本选项不合题意；B.5y﹣3y＝2y，故本选项不合题意；C．x3与﹣x，故本选项不合题意；D.2xy2﹣xy2＝xy2，正确，故本选项符合题意．故选：D．6．【解答】解：﹣＝1，方程两边都乘以6得：3x﹣2（x﹣1）＝6，故选：B．7．【解答】解：∵三角板的两个直角都等于90°，所以∠BOD+∠AOC＝180°，∵∠BOD+∠AOC＝∠AOB+∠COD，∵∠AOB＝165°，∴∠COD等于15°．故选：A．8．【解答】解：①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；③④现象可以用两点之间，线段最短来解释．故选：D．9．【解答】解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，A、m＞n是错误的；B、﹣n＞|m|是错误的；C、﹣m＞|n|是正确的；D、|m|＜|n|是错误的．故选：C．10．【解答】解：A、两个圆所在的面是相对的，不相邻，故A错误；B、C中空白的圆圈不与白色的三角形相邻，故B、C错误；D、正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．【解答】解：8﹣（﹣1）＝8+1＝9℃．即这天的最高气温比最低气温高9℃．故答案为：912．【解答】解：单项式5xy3的次数是4次．故答案是：4．13．【解答】解：﹣3a﹣（b﹣3a）＝﹣3a﹣b+3a＝﹣b．故答案为：﹣b．14．【解答】解：一个能与合并的单项式x3y（答案不唯一）．故答案为：x3y（答案不唯一）．15．【解答】解：∵OA是表示北偏东60°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线，∴∠AOB＝180°﹣60°﹣38°＝82°，故答案是：82°．16．【解答】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：9x﹣11＝6x+16．故答案为：9x﹣11＝6x+16．17．【解答】解：∵点D是线段AB的中点，∴BD＝0.5AB＝0.5×10＝5cm，（1）C在线段AB延长线上，如图．DC＝DB+BC＝5+2＝7cm；（2）C在线段AB上，如图．DC＝DB﹣BC＝5﹣2＝3cm．则线段DC＝7cm或3cm．18．【解答】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2020＝1+6060＝6061个〇，故答案为：6061．三、解答题（19-20题每题8分，21-25题每题5分，26题6分，27题7分，共54分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程19．【解答】解：（1）3×（﹣2）+（﹣5）﹣（﹣20）＝﹣6﹣5+20＝9（2）﹣23÷（﹣）﹣×（﹣2）2＝﹣8÷（﹣）﹣×4＝48﹣1＝4720．【解答】解：（1）5x+2＝3（x+2），去括号，得5x+2＝3x+6，移项，合并同类项，得2x＝4，系数化为1，得x＝2；（2）＝1﹣，去分母得：2（x+3）＝12﹣3（3+2x），去括号得：2x+6＝12﹣9﹣6x，移项合并得：8x＝﹣3，解得：x＝﹣．21．【解答】解：原式＝12a2b﹣4ab2﹣6ab2+2a2b﹣14a2b＝﹣10ab2，当a＝1，b＝﹣时，原式＝﹣．22．【解答】解：如图，就是按照要求完成的作图：（4）通过测量可得∠ACD的度数是152°．故答案为：152°．23．【解答】解：设这个角为x，则90°﹣x+40°＝（180°﹣x），解得x＝30°．答：这个角的度数为30°．24．【解答】解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC 所以∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝＝∠BOC．所以∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB＝45°．故答案为：∠BOC、∠FOC、∠BOC、∠AOB、45．25．【解答】解：（1）对于数对〈3，﹣12〉，有，因此〈3，﹣12〉是“理想数对”；对于数对＜﹣2，4＞，，，0，所以＜﹣2，4＞不是理想数对；故答案为＜3，﹣12＞．（2）因为＜2，x＞是“理想数对”，所以，解得x＝﹣8故答案为﹣8．（3）由题意，〈m，n〉是“理想数对”，所以，即n＝﹣4m＝3[9n﹣4m﹣8n+m]﹣4m﹣12＝3n+12m﹣12将n＝﹣4m代入，原式＝﹣12答：代数式的值是﹣12．26．【解答】解：（1）200×0.5+100×0.7＝170（元）；故答案是：170；（2）①因为两个月的总用电量为500度，所以每个月用电量不可能都在第一档；假设该用户五、六月每月用电均超过200度，此时的电费共计200×0.5+200×0.5+100×0.7＝270（元），而270＜290，不符合题意；又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档；②设五月份用电x度，则六月份用电（500﹣x）度，根据题意，得0.5x+200×0.5+0.7×（500﹣x﹣200）＝290．解得x＝100，500﹣x＝400．答：该户居民五、六月份分别用电100度、400度．27．【解答】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3．故答案为：12；﹣3．（2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是﹣3+t，点Q对应的数是12﹣t，依题意，得：|﹣3+t﹣（12﹣t）|＝7，即2t﹣15＝7或2t﹣15＝﹣7，解得：t＝11或t＝4．答：经过4秒或11秒后P，Q两点相距7个单位长度．（3）∵A，B为线段MN上的两点，且NA＝AB＝BM，∴点A对应的数是﹣3+5＝2，点B对应的数是12﹣5＝7．当运动时间为t秒时，点P对应的数是﹣3﹣2t，点Q对应的数是12+4t，点R对应的数是7+3t，∴PQ＝|﹣3﹣2t﹣（12+4t）|＝15+6t，AR＝|2﹣（7+3t）|＝5+3t，∴PQ﹣kAR＝15+6t﹣k（5+3t）＝15﹣5k+（6﹣3k）t，∴当k＝2时，PQ﹣kAR与它们的运动时间无关，为定值，该定值为5．第11页（共11页）。
2023-2024学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（）2化简结果正确的是（）A．﹣3B．3C．±3D．92．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）A．中位数B．平均数C．方差D．众数4．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．，，C．5，6，7D．5，12，135．（3分）下列命题中正确的是（）A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．（3分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．16C．24D．329．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．35°10．（3分）下面的四个问题中都有两个变量：①正方形的面积y与边长x；②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y＝kx+b（其中k，b是常数，k≠0）的式子表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式．12．（2分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是．13．（2分）如图，数轴上点A表示的数为3，AB⊥OA，AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，与数轴交于一点C，则点C表示的数为．14．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…97531…那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是．15．（2分）某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．16．（2分）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为5，EF＝BG，则CE的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为．18．（2分）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：．①碳﹣14的半衰期为5730年；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．（4分）计算：．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：以AC为对角线的矩形ADCE．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；③连接AE，CE．（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明．证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（）．（填推理的依据）由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（）．（填推理的依据）∴∠ADC＝90°．∴平行四边形ADCE是矩形（）．（填推理的依据）21．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，且经过点A（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．23．（5分）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力x（N）与弹簧长度y（cm）之间的数据，如表所示：弹簧受到的拉力x（单位：N）0510152025弹簧的长度y（单位：cm）6810121416（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；（2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式；（3）若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值．24．（5分）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.12名学生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.3m n（1）写出表中m，n的值；（2）现将12名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高165167167168168171乙组学生的身高160164164166167169（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．25．（6分）如图，矩形ABCD中，点E为边AB上任意一点，连接CE，点F为CE的中点，过点F作MN ⊥CE，MN与AB、CD分别相交于点M、N，连接CM、EN．（1）求证：四边形CNEM为菱形；（2）若AB＝10，AD＝4，当AE＝2时，求EM的长．26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0），（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ＝AP．连接MD，MQ．（1）补全图形；（2）用等式表示MD与MQ的数量关系并证明；（3）连接CQ，若正方形边长为5，CQ＝6，直接写出线段CM的长．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．（1）已知，点A（1，3），B（5，3）．①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是；②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；（2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【分析】原式利用二次根式的化简公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3，故选：B．【点评】此题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【解答】解：A、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；D、不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．3．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括加权平均数、中位数、众数、方差，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键．4．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意；C、52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．5．【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定定理判断．【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，命题正确，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；D、一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．【分析】一次函数y＝kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过1，2，3象限，据此作答．【解答】解：∵k＝3＞0，b＝2＞0，∴直线y＝3x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．7．【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，当吸管与底面垂直时，h最大，此时AB＝＝15（cm），故h最短＝20﹣15＝5（cm），h最大＝20﹣12＝8（cm）．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8．【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．9．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝AB，PF∥AB，求得∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，得到∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，∴PF是△ABD的中位线，∴PF＝AB，PF∥AB，∴∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPE＝130°，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠EFP＝∠FEP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．10．【分析】根据题意列出函数矩形函数解析式，判定即可．【解答】解：①根据题意得，y＝x2，故不符合题意；②根据题意得，y＝20﹣2x，故符合题意；③设汽车从A地匀速行驶到B地的速度为k，y＝kx（k为常量），故符合题意；④根据题意得，y＝x（5﹣x）故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确地列出函数解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴函数表达式为y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．12．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．13．【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，故点C表示的数为：，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．14．【分析】直接根据表格中x，y的值即可得出结论．【解答】解：由表格可知，当x＝﹣4时，y＝9；当x＝﹣3时，y＝7，∵﹣4＜﹣3，9＞7，∴关于x的不等式kx+b≥7的解集是x≤﹣3．故答案为：x≤﹣3．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能直接根据表格中的数据得出不等式的解集是解题的关键．15．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩占80%，面试成绩占20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．16．【分析】根据SAS证明△EHC≌△DHC得出CE＝CD，再根据正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵△AED≌△CBG，∴DE＝BG，∵EF＝BG，∴EF＝DE，又∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝DE，∠EHC＝∠DHC，∴EH＝DH，又HC＝HC，∴△EHC≌△DHC（SAS），∴CE＝CD，又∵正方形ABCD的面积为5，∴CE＝CD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△EHC≌△DHC是解题的关键．17．【分析】由矩形和折叠的性质可知，AB＝CD，AD＝BC＝CF，BE＝EF，再根据三角形周长，求得BC+CD ＝18，DF＝6，然后利用勾股定理，求出CF的长，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，由折叠的性质可知，BE＝EF，BC＝CF，∵△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，∴AE+EF+AF＝AE+BE+AF＝AB+AF＝12，CD+CF+DF＝CD+BC+DF＝24，∴AB+AF+CD+BC+DF＝AB+AD+CD+BC＝36，∴BC+CD＝18，∴DF＝6，CF＝BC＝18﹣CD，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，∴CF2＝（18﹣CF）2+62，解得：CF＝10，∴AD＝BC＝CF＝10，∴AF＝AD﹣DF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．18．【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示剩余碳﹣14所占百分百可得答案．【解答】解：由图象可知：①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确；③经过5个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，说法正确；④某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，设生物死亡时间为x年前，则：x＝5730×≈2866，该生物死亡时间大约在公元前2866年，所以原说法错误．所以正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝3﹣+2＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（三线合一），∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90°的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OE＝OA，OF＝OC∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．【分析】（1）先根据一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到可知k＝2，再由函数图象经过点A（1，4）求出b的值，进而可得出结论；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，∴k＝2，∵函数图象经过点A（1，4），∴4＝2×1+b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）∵一次函数的解析式为y＝2x+2，∴当y＝0时，x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（1，4），∴△AOB的面积＝×1×4＝2．【点评】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．23．【分析】（1）先描点，再连线，即可得出图象；（2）利用待定系数法计算即可；（3）求出当y＝30时，x的值即可．【解答】解：（1）描点、连线如图所示：（2）设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝kx+b，将（0，6），（5，8）代入函数解析式得，，解得：，故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝x+6．（3）当y＝30cm，x+6＝30，解得：x＝60，故弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值为60N．【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．24．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答；（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在175﹣178，据此可解答．【解答】解：（1）从中可以看出第6个数据和第7个数据分别是167，167，所以这组数据的中位数为m ＝＝167，其中，167出现的次数最多，所以这组数据的众数n＝167；故答案为：167，167；（2）甲组学生的身高分布于165﹣171，乙组学生的身高分布于160﹣169，据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，所以舞台呈现效果更好的是甲组；故答案为：甲组；（3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在165cm﹣168cm，从乙组的数据可以知道，在165cm﹣168cm的身高有2个，分别是166、167；故答案为：166、167．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．25．【分析】（1）根据已知证明△EFM≌△CFN，证得EM＝CN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM是平行四边形，然后证明NE＝NC，即可证得结论；（2）AB＝10，AE＝2，则BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，利用勾股定理求出x即可解答．【解答】（1）证明：矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠MEF＝∠NCF，∠EMF＝∠CNF，∵点F为CE的中点，∴EF＝CF，∴△EFM≌△CFN，∴EM＝CN，∴四边形CNEM为平行四边形，∵MN⊥CE于点F，EF＝CF，∴NE＝NC，∴四边形CNEM为菱形；（2）解：∵四边形CNEM是菱形，∴EM＝CM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，∵AB＝10，AE＝2，∴BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMC中，BM2+BC2＝CM2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EM的长为5．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．26．【分析】（1）用待定系数法可得答案；（2）画出图形，用数形结合思想可得答案．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，2）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）函数y＝mx﹣1的图象过定点（0，﹣1），当x＝﹣3时，y＝x+1＝﹣3+1＝﹣2，若函数y＝mx﹣1的图象过（﹣3，﹣2），则﹣2＝﹣3m﹣1，此时m＝；如图：由图可知，当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，m的取值范围是≤m≤1．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想的应用．27．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）连接QD，过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，证明四边形QHCN为矩形，再证明△HPQ和△BAP全等得PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，则CH＝CP+PH＝x+a，由此得矩形QHCN为正方形，则QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，据此可证明△QDH为等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出MD与MQ的数量关系；（3）由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，则△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得CH ＝QH＝6，则PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝1，据此可得CM的长．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2），证明如下：过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，如图2所示：则∠PHQ＝90°，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠PHQ＝∠B＝∠DCM＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，又∵QH⊥BM，QN⊥CD，∴四边形QHCN为矩形，∵PQ⊥AP，∴∠BPA+∠HPQ＝90°，∴∠HPQ＝∠BAP，在△HPQ和△BAP中，，∴△HPQ≌△BAP（AAS），∴PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，∵CH＝CP+PH＝x+a，∴CH＝QH，∴矩形QHCN为正方形，∴QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，∴ND＝CN﹣CD＝a+x﹣a＝x，∵点P是BM的中点，∴PM＝BP＝a+x，∴HM＝PM﹣PH＝a+x﹣a＝x，∴HM＝ND＝x，在△QHM和△QND中，，∴△HM≌△QND（SAS），∴MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，∴∠DQM＝∠DQN+∠HQM＝∠DQN+∠NQD＝∠NQH＝∠90°，∴△QDH为等腰直角三角形，由勾股定理得：MD＝MQ；（3）连接CQ如图3所示：∵CQ＝，正方形边长为5，由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，∴△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得：CH＝QH＝CQ＝＝6，∴PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝6﹣5＝1，∴CM＝CP+PH+HM＝7．【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和正方形是解决问题的难点．28．【分析】（1）①首先求出AB＝5﹣1＝4，然后根据平行四边形的性质得到AB|\PQ，AB＝PQ＝4，然后设P（x，x），然后分别验证求解即可；②首先判断出点Q在直线y＝x+4上运动，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点0，连接QO′，BO′，得到OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO'的长度，然后求出O′（﹣4，4），最后利用勾股定理求解即可，运用待定系数法求得直线O′B的解析式，联立方程组求解即可求得点Q的坐标；（2）首先得出正方形CDEF左上角的顶点坐标为（t﹣1，2），右下角的顶点坐标为（t+1，0），设P（m，m），然后分两种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）．∴AB＝5﹣1＝4，∵四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∵点P在直线y＝x上，∴设P（x，x），当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB，∴x﹣1＝4，x＝5，∴x＝5，∴P（5，5）符合题意，∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”；当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB，∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3，∴x＝3，∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB，∴x﹣0＝4，x＝4，∴x＝4，∴P（4，4）符合题意，∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”；当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB，∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0，∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意；综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4），故答案为：Q1（1，5），Q3（0，4）；②∵点Q为线段AB的“相随点”，∴四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∴设P（y，y），Q（x，y），∴y﹣x＝4，∴y＝x+4，∴点Q在直线y＝x+4上运动，如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'，则QO'＝QO，∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度，∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称，∴O′（﹣4，4），∵B（5，3），∴O′B＝＝，∴OQ+BQ的最小值为，设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线O′B的解析式为y＝﹣x+，联立得：，解得：，∴此时点Q的坐标为（﹣，）；（2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形，。
北京市东城区 2018-2019 学年度八年级上学期期末教学统一检测数学试题
2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣82．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数3．下列运算中，正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b4．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝66．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．7．已知a m＝2，a n＝3，则a3m+2n的值是（）A．6B．24C．36D．728．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC ＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．810．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（）A．B．或10C．10D．或二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11．分解因式：2ax2﹣8a＝．12．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝．13．当x＝时，分式的值为0．14．课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是．15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是；（2）若∠A≠36°，当∠A＝时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．18．计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20．解分式方程：+1＝．21．先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．26．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得＝；参照（二）式得＝；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC 于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7；故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≠0C．a≠1且a≠0D．一切实数【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．【解答】解：若分式有意义，则a﹣1≠0，即a≠1，故选：A．【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3．下列运算中，正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；B、a•a2＝a3，正确；C、3a6÷a3＝3a3，故此选项错误；D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A．4+4﹣＝6B．4+40+40＝6C．4+＝6D．4﹣1÷+4＝6【分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．【解答】解：∵4+4﹣＝6，∴选项A不符合题意；∵4+40+40＝6，∴选项B不符合题意；∵4+＝6，∴选项C不符合题意；∵4﹣1÷+4＝4，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、是最简二次根式，正确；B、不是最简二次根式，错误；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误；故选：A．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．7．已知a m＝2，a n＝3，则a3m+2n的值是（）A．6B．24C．36D．72【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m+2n＝（a m）3×（a n）2＝23×32＝72．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．8．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC ＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC．又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，则∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6．故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB＝60°是解题的关键．10．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（）A．B．或10C．10D．或【分析】分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．【解答】解：若5＞x，即x＜5时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（5﹣a）得：5＝2（5﹣x），解得：x＝，经检验：x＝是原方程的解，且＜5，即x＝符合题意，若5＜x，即x＞5时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（x﹣5）得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，且10＞5，即x＝10符合题意，故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，有理数的混合运算，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11．分解因式：2ax2﹣8a＝2a（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）．故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝12．【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，∴2m﹣24＝0，解得：m＝12，故答案为：12．【点评】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．13．当x＝﹣2时，分式的值为0．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：∵＝0，∴x＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．14．课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【分析】利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的定义，由CD垂直平分AB可得到△ABC就是等腰三角形．【解答】解：若CD垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC就是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为13．【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE＝BE，进而得到AE+CE＝BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．【解答】解：如图，连接BE，∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴AE+CE＝BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC＝5+8＝13，故答案为：13．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．16．已知在△ABC中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是108°，36°；（2）若∠A≠36°，当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）当∠A＝90°或108°时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108°，36°；（2）当∠A＝90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形，故答案为：90°或108°．【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．三、解答题（本题共12小题，共56分）17．计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1﹣4＝0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2＝2x2+2xy＝2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2＝（x+y）2；方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x）．【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．20．解分式方程：+1＝．【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：方程两边同乘以2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，解得x＝，检验：当x＝时，2（x+3）≠0，∴x＝是分式方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验方程的根．21．先化简，然后a在﹣2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．【分析】先去括号，然后化除法为乘法进行化简计算，最后代入求值即可．【解答】解：原式＝＝＝．当a＝0时，＝．【点评】考查了分式的化简求值，注意：如a取﹣2，2，3时，分式无意义．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（0，﹣1），△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．根据“行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列出方程并解答．【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．依题意，得．解方程，得x＝100．经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．【分析】结论：AE与AF的位置关系是垂直．想办法证明∠CAF+∠CAE＝90°即可．【解答】解：结论：AE与AF的位置关系是垂直．证明：∵AE是△ACD的角平分线，∴，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，又∵F为BC中点，∴，∵∠CAB+∠CAD＝180°，∴∠CAF+∠CAE＝90°，∴AE⊥AF．【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得＝﹣；参照（二）式得＝﹣；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．【分析】（一）（1）方法一：利用分母有理化化简；方法二：利用平方差公式把2写成两个数的平方差的形式，然后利用约分化简；（二）1．先把前面括号内的各二次根式分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；2．利用分母有理化得到原式＝（﹣1+﹣+…+﹣），然后合并即可．【解答】解：（1）＝＝﹣；＝＝﹣；故答案为﹣；﹣；（2）1.＝（﹣1+++﹣+…+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2019﹣1＝2018；2.+++…+＝（﹣1+﹣+…+﹣）＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC 于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为②（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的长；（2）过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的长；（3）过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的长．【解答】解：（1）如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；（2）1、补全的图形如下，过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为②．【点评】本题为三角形综合题，关键是通过作辅助线构建新的等边三角形，再通过证明三角形全等，确定边之间的关系，本题难度不大．28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）【分析】（1）点A关于y轴的对称点为D，求出∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，即可求解；（2）∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，求出∠BOD即可求解；（3）证明△AOP≌△ABQ（AAS），而EP为△DAQ的中位线，即可求解．【解答】解：（1）∵点A关于y轴的对称点为D，∴∠DOE＝∠EOA＝90°﹣∠AOB＝30°，∴△OAD为等边三角形，∴∠BOD＝120°，∴∠BDO＝＝30°；（2）如下图：∵∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝60°，∴∠BOD＝360°﹣2α﹣60°＝300°﹣2α，∵BO＝BD，∴∠OBD＝∠ODB．∴（3）如上图，连接AP，过点A作AQ∥y轴，交DB的延长线于点Q，∠OBD＝∠BDO＝α﹣60°，∠ABQ＝180°﹣∠ABO﹣∠BDO＝180°﹣α，而∠AOP＝180°﹣∠AOE＝180°﹣α，∴∠ABQ＝∠AOP，∵AQ∥y轴，∴∠Q＝∠DPE＝∠APE，又AB＝AO，∴△AOP≌△ABQ（AAS），∴AP＝AQ，BQ＝PO，∠BAQ＝∠OAP，∴∠PAQ＝∠QAB+∠BAP＝∠BAP+∠PAO＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴AQ＝PQ＝PB+BQ＝PB+PO，∵AQ∥y轴，E为AD的中点，∴EP为△DAQ的中位线，∴AQ＝2EP，∴2PE＝BP+PO．【点评】本题是几何变换的综合题，涉及到三角形全等、中位线、等边三角形等知识，关键是通过正确画图，找出全等的三角形，确定线段间的关系．。